CC BY
19
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 73-80 = Математика
V IК 517.925
Об условиях существования квазипериодического решения системы линейных дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных
Т.Л. Львова
Аннотация. Предложен способ определения условий существования ненулевого квазипериодического решения для систем линейных дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных. Полученные результаты применяются при исследовании конкретной математической модели линейной электрической цепи.
Ключевые слова: система линейных дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных, квазипериодическое решение.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
Ах = Вх + /(£), (1)
в которой х — п-мерный вектор, А и В — п х п постоянные матрицы, /(£) — п-мерная вектор-функция. Интерес представляет случай, когда <1(4, А = 0.
Системы вида (1) можно получить при составлении математической модели линейной электрической цепи. Большое количество задач, которые приводят к необходимости решения системы (1), рассмотрены в [1].
Общее решение уравнения (1) можно построить с помощью теории инвариантных делителей пучков матриц (см., например, [2]). В [1] для решения системы (1) используется обратная матрица Дразина. В [3] находится решение в виде ряда Фурье при условии, что /(£) непрерывная, 2-7г-периодичеекая вектор-функция.
В данной статье предполагаем, что f(t) — квазипериодическая вектор-функция со спектром \¥, вида
ОО /
f(t) = co + J2 X! (ср^с08
3=1 \
+ dpj вт
Л=1
Л=1
где со, а также при любом pj G Dj, cPj, dp. — n-мерные векторы. Множество D, = \pr. Pj=(ki,...,ki), 3€N, *{€Z*1,
І=1
где m G N некоторое фиксированное число; Z* — множество целых неотри-
г ш . S ______
цательных чисел. Спектр W = < О, Е R+, i = 1, т — несоизме-
римые числа.
Символом M(W) обозначим множество тригонометрических рядов вида
ОО / / 771 \ / 771 \\
х(t) = «о + ^ ^ I aPj cos I ^2 I + bPj sin I ^ k{ujit 11, (2)
j=lpj€Dj \ \i=l / \i=l / /
в котором ciq, а также при любом pj G Dj, ap., bPj — n-мерные векторы. Нулевым элементом множества M{W) назовем ряд с нулевыми коэффициентами. Множество M(W) замкнуто относительно операций сложения, умножения на число и на матрицу.
Под символом х(t) будем понимать элемент множества M(W), определяемый равенством
771
= [bpAJ2kiu}i
j=l PjfzDj \ \i=1 / \i=1 J
-aPj *iWiJ S™ ^ J ■
Определение 1. Элемент x(t) G M(W) называется квазипериодичееким решением системы (1), если Ax(t) — Bx(t) — f(t) нулевой элемент множества M{W).
Ставится задача: найти условия, при которых система (1) имеет квазипе-риодическое решение со спектром W.
Выполним замену переменных ж = Qy, det Q ф 0 и умножим систему уравнений (1) слева на матрицу Р, det Р ф 0. Получим систему Ay = By + f(t), в которой А = PAQ, В = PBQ, f(t) = Pf(t).
Будем предполагать, что для системы уравнений (1) выполнено указанное преобразование. Для удобства дальнейших исследований, сохраним прежние обозначения. Тогда матрица А определится равенством [2] А = [colon (Ац, 0), colon (0, 0)], где Ац — s х s матрица, s < п и detyln ф 0. Матрицу В представим в виде В = [colon (Вц, В21), colon (В12, -622)],
Вц — s х s матрица, а квазипериодическую вектор-функцию /(£), как f(t) = colon f2{t)), где
OO / / 771 \ / 771 \\
/и*) = cj+icos (\ + dljsin (kiui4) >
j=l PjeDj \ \i=l / \i=l //
4, а также при любом pj G Dj, cj , dp — s-мерные векторы,
OO / / 771 \ / 771 \\
/г(*) = eg+(c%cos (kiuit + dlisin (ki“i4 b
j=lpj€Dj \ \i=1 / \г=1 / /
с
Система уравнений (1) будет эквивалентна системе
Ац ±1 = Вц XI + Bi2X2 + fi{t), О = В21Ж1 + В22 Х2 + /г(*),
(3)
где Х\ — S-мерный вектор, Х2 — (п — s)-MepHbffl вектор, которые являются компонентами вектора ж = colon (жх, жг).
Квазипериодическое решение системы (3) находим в виде (2). Векторы
«о, <■ipj) bPj представим как ао = colon (aj, )> aPj = c°l°n aPj)’ bPj =
colon (j)^, bpj'j, причем Oq, a*., bp. — s-мерные векторы, a a§, a2., bp. —
(n — s)-MepHbie векторы.
Подставим ряд (2) в систему (3) и приравняем коэффициенты при
тп . \ / 771
cos kfcoitj и sin kfcoitj. Получим, что ряд (2) тогда и только тогда
является решением системы (1), когда разрешимы следующие системы алгебраических уравнений:
Впао + Bi2ao — ~~ Сси ^21a0 + i?22a0 = ~~ c0i
(4)
Bual. + В12а2р. - Aubp. ' ^ k?
; | Ср^ .
Auapj ki“i + Bubpj + Bub% = ~dPi> (5)
\i=1
B2l(Lpj + B3 = ~CPj '
в 21 Ьгр. + В22Ь2р. = -d2p..
Рассмотрим систему (4). Ее можно представить в виде Вад = —со- Это — СЛАУ п-го порядка. Если она не совместна, то система (1) квазипериодиче-ского решения со спектром \¥ не имеет.
Исследуем систему (5). Рассмотрим систему уравнений, составленную из последних двух уравнений:
В дальнейшем нам потребуется следующее определение [1].
Определение 2. Матрица С! называется полуобратной к матрице К, если выполняется равенство КОК = К.
Любую из полуобратных матриц к матрице К будем обозначать через К~, так что
Теорема 1. Для того, чтобы матричное уравнение (7) было разрешимо необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Пусть У — решение матричного уравнения (7). Умножим равенство В‘>У = Fp^ слева на матрицу Е — В-2:
Откуда получаем НВ>У — В>В2 В>У = (Е — В>В2 ) ■ Учитывая свойство
(8), получим равенство (9).
Достаточность. Пусть равенство (9) справедливо. Тогда непосредственной подстановкой можно убедиться, что Ур^ = В^ является решением уравнения (7). Теорема доказана.
Если равенство (9) выполнено, то общее решение системы (7) принимает
вид
в 210^. + в 22а2. = -Ср,., В2іЬгр. + B22b2p. = -d2p..
(6)
Введем обозначения
В2 = (В21, В22), EPj = (-Ср,., -d2p^J , Yp. = colon (а*., а2р^ , colon (б*., Ь2р^
для любых Є О у. Тогда систему (6) можно записать как
(V
кк~к = к.
(8)
{E-B2Bi)FPj= 0.
(9)
(Е - В>В2) ВгУ = (Е — В2В.2) Fp..
Найденное решение (10) подставим в первые два уравнения системы (5). Получим систему линейных алгебраических уравнений порядка 2л с 2п неизвестными.
Возможны следующие случаи:
1) полученная система неразрешима, тогда система дифференциальных уравнений (1) квазипериодического решения со спектром \¥ не имеет;
2) полученная система разрешима, тогда число произвольных постоянных в квазипериодическом решении системы дифференциальных уравнений (1), определится рангом полученной системы линейных алгебраических уравнений.
Таким образом, нахождение квазипериодического решения системы дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных (1), сводится к исследованию и определению решений систем алгебраических уравнений (4) и (5).
Пример. Найдем квазипериодический режим математической модели линейной электрической цепи, приведенной в [1, с. 24]. Система дифференциальных уравнений, определяющая энергетическое состояние цепи, выводится на основании двух законов Кирхгофа и имеет вид
Заменой переменных исг = х\, ч = Ж2, Ч = х$ систему (11) сведем к системе (1), где
Пусть параметры цепи будут С\ = 0,1 Ф, II\ = 10 Ом, 1{ > = .4 Ом, =
5 Ом, /^2 =11 н. На вход подается напряжение вида
и(г) = + ис 1 + чЩ,
и(Ь) = г2Я2 + иш + гзЯз,
Ч = Н + *2.
(11)
X = Со1оп(ж1, Ж2, Жз),
В = [со1оп
А = [со!оп(1, 0, 0), со1оп(0, 1,0), со1оп(0, 0, 0)] .
оо
«(*) = со + ££( ср^ сое (к{л/2 + к2\/з) t + (1Р:1 81 п
Таким образом, имеем т = 2, ш = (\/2, \/3), спектр W = jo,
Dj = IPj : pj = (k{, k0 , = І’ І Є ki є Z*| •
Тогда получим систему (3), в которой
А11 = [colon (1, 0), colon (0, 1)],
В и = [colon (—1, 0), colon (0, —3)],
В12 = colon (-5, -5), В21 = (0,1,-1), В2 2 = 1,5,
fi(t) = colon (u(t), u(t)), f2{t) = -0,l«(i).
Решение этой системы находим в виде (2). Для этого необходимо найти решения систем алгебраических уравнений (4) и (5), которые в условиях рассматриваемого примера записываются так
о1 -0з)(:И-Л"3-^
(0,1 -1) (Д) + 1,5а| = ОДсо,
-Уйьга-и:!)®-Й
і :)(|)•<*(•' -") © *(:»)<•■ й
(0,1 -1) (а/А + 1,Ъа% = ОДср
(12)
а- , ■ Pj
Pj/
(0,1 -1) ($] +l,56j. =0,ldp.,
1 Pj /
(13)
где y/2 + к?} у/ъ) ■
Решением системы (12) будет вектор
а0 = colon Qсо, ^с0, . (14)
Система, составленная из двух последних уравнений системы (13), имеет вид системы (7), где В2 = (0,1 -1 1,5), FPj = (0, lcPj 0,1 dPj), YPj =
colon 2p., a2., dp. j , colon (j)p., b2., bp. j для любых pj 6 Dj. Одной из
полуобратных матриц матрицы В2 будет = colon (0, —1, 0). Равенство
(9) примет вид (1 — 1) Fp:i = 0. Тогда решением системы (7), согласно (10), будет
Найденное решение системы (7) подставим в первые четыре уравнения системы (13). Получим
Непосредственно вычислениями можно убедиться, что для любых точек
6 О3 система алгебраических уравнений (15) имеет единственное решение. Итак, в электрической цепи с заданными параметрами возникает квазипе-риодический режим изменения тока и напряжения, определенный равенством
в котором ао принимает значение (14), а векторы ар^ и ЬР] для любых р3 6 О 3 находятся из решения системы (15).
Условия разрешимости системы (15) определяют условия существования квазипериодического режима математической модели электрической цепи, заданной системой (11).
1. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980. 224 с.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Гостехиздат, 1954. 492 с.
3. Лукьянова Г. С. Нахождение решения линейной системы дифференциальных уравнений с собственной матрицей при производных с помощью рядов Фурье // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 1998. № 1. С.57-64.
в котором
Ypj = colon ^«1!, 0, 1 и\г + 1,5^! — 0,1 cPj, u3$1J , colon ^и{2, 0,1 и{2 + 1,5и332 — 0,1 dPi, ,
ifi, u331, u312, И32) произвольные постоянные.
u3u + 5 u331 + ZjU312 = cPj,
0,3^ + 9,5u331 + 0,1 ZjU312 + l,5zjU332 = 1,3cPj + 0,1 ZjdPj,
(15)
ZjU3u + u{2 + 5u332 = dPj,
0,1 ZjU3^ — l,5zju331 + 0,3«f2 + 9,5«32 = — 0,lzjCPj + 1,3 Zjd.
Список литературы
Поступило 28.05.2009
Львова Татьяна Львовна ([email protected]), ассистент, кафедра высшей математики, Рязанский государственный радиотехнический университет.
About conditions of existence quasiperiodic solutions of the linear differential equations with singular matrix at derivatives
T.L. Lvova
Abstract. The method to determine conditions for existence of nonzero quasiperiodic solution for systems of linear differential equations with singular matrix at derivatives is offered. Obtained results are used for analysis of mathematical model of linear electric circuit.
Keywords: system of linear differential equations with singular matrix at derivatives, the quasiperiodic solution.
Lvova Tatiana ([email protected]), assistant, department of higher mathematics, Ryazan State Radio Engineering University.
