Об условии удвоения для положительно определенных функций на полуоси со степенным весом

Горбачёв Дмитрий Викторович; Иванов Валерий Иванович

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 19. Выпуск 2

УДК 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-90-100

Об условии удвоения для положительно определенных функций

на полуоси со степенным весом1

Горбачёв Дмитрий Викторович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет. e-mail: dvgmail@mail.ru

Иванов Валерий Иванович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики института прикладной математики и компьютерных наук, Тульский государственный университет. e-mail: ivaleryi@mail.ru

Аннотация

Непрерывные неотрицательные положительно определенные функции удовлетворяют следующему свойству:

[ f (х) dx < С(R) i f (х) dx, R > 1, (*)

J-R J-l

где наименьшая положительная константа С(R) те зависит от f. При R = 2 это свойство хорошо известно как условие удвоения в нуле. Данные неравенства имеют приложения в теории чисел.

В одномерном случае неравенство (*) изучалось Б.Ф. Логаном (1988), а также недавно А. Ефимовым, М. Гаалом и Сц. Ревешем (2017). Было доказано, что 2Д—1 ^ С(R) ^ 2Д+1 для R = 2, 3,..., откуда следует, что С(R) ~ 2R. Вопрос о точных константах здесь открыт.

Многомерный вариант неравенства (*) для евклидова пространства R" исследовался Д.В. Горбачевым и С.Ю. Тихоновым (2018). В частности доказано, что для непрерывных положительно определенных функций f: М" ^ R+

/f (х) dx ^ cnRn f (х) dx,

х <R J\x\<1

где сп < 2пп 1пп (1 + о(1))(1 + Д-1)" при п ^ то. Отсюда на радиальных функциях получаем одномерное весовое неравенство

[ /(х)хп-1 dx < сгДп [ /(х)хп-1 ¿X, п £ N. ио J 0

Мы изучаем следующее естественное весовое обобщение данных неравенств:

[ /(х)х2а+1 dx < Са(К) [ /(х)х2а+1 йх, а > -1/2,

00

где ]: ^ — произвольная четная непрерывная положительно определенная функция относительно веса х2а+!. Это понятие было введено Б.М. Левитаном (1951) и означает, что для произвольных х1,...,х^ £ матрица (Т'^/(х^))^-=1 неотрицательно определенная. Здесь Т*а — оператор обобщенного сдвига Бесселя-Гегенбауэра. Левитан доказал

1 Результаты исследований опубликованы при финансовой поддержке ТулГУ в рамках научного проекта .V'2017-2 111V В. 1.

аналог классической теоремы Бохнера для таких функций, согласно которому f имеет неотрицательное преобразование Ганкеля (в смысле меры). Мы доказываем, что для каждого а ^ -1/2

c1(a)R2a+2 < Ca(R) < C2(a)R2a+2, R > 1.

Нижняя оценка тривиально достигается на функции f (х) = 1. Для доказательства верхней оценки мы применяем нижние оценки сумм вида akТХкх(х)-, гДе X — характеристи-

ческая функция отрезка [0,1], а также свойства свертки Бесселя.

Ключевые слова: положительно определенная функция, условие удвоения, преобразование Ганкеля, оператор обобщенного сдвига Бесселя.

Библиография: 14 названий. Для цитирования:

Д. В. Горбачев, В. И. Иванов. Об условии удвоения для положительно определенных функций на полуоси со степенным весом // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 2, с. 90-100.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 2

UDC 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-90-100

On the doubling condition for non-negative positive definite functions on on the half-line with power weight

Gorbachev Dmitry Viktorovich — professor of the department of applied mathematics and computer science, doctor of physical and mathematical sciences, Tula State University. e-mail: dvgmail@mail.ru

Ivanov Valerii Ivanovich — Head of the department of applied mathematics and computer science, doctor of physical and mathematical sciences, Tula State University. e-mail: ivaleryi@mail.ru

Abstract

Continuous non-negative positive definite functions satisfy the following property:

[ f (x) dx < C(R) i f (x) dx, R > 1, (*)

J-R J-1

where the smallest positive constant C (R) does not depen d on /.For R = 2, this property is well known as the doubling condition at zero. These inequalities have applications in number theory.

In the one-dimensional case, the inequality (*) was studied by B.F. Logan (1988), as well as recently by A. Efimov, M. Gaal, and Sz. Revesz (2017). It has been proven that 2R - 1 < C(R) < 2R + 1 for R =2,3,..., whence it follows that C(R) - 2R. The question of exact constants is still open.

A multidimensional version of the inequality (*) for the Euclidean space 1" was investigated by D.V. Gorbachev and S.Yu. Tikhonov (2018). In particular, it was proved that for continuous positive definite functions f: 1" ^ 1+

//(x) dx ^ cnRn f (x) dx,

x| <R J\x\<1

where cn < 2nпlnп (1 + о(1))(1 + R 1)n щт п ^ то. For radial functions, we obtain the one-dimensional weight inequality

i f (x)xn-1 dx < cnRn i f (x)xn-1 dx, n e N. J о Jo

We study the following natural weight generalization of such inequalities:

f f (x)x2a+1 dx < Ca(R) i f (x)x2a+1 dx, a > -1/2,

оо

where f: R+ ^ R+ is an even positive definite function with respect to the weight x2a+1. This concept has been introduced by B.M. Levitan (1951) and means that for arbitrary x1,...,xN e R+ matrix (TXif(xj))ij=1 is semidefinite. Here T^ is the Bessel-Gegenbauer generalized translation. Levitan proved an analogue of the classical Bochner theorem for such functions according to which f has the nonnegative Hankel transform (in the measure sense). We prove that for every a > -1/2

c1(a)R2a+2 < Ca(R) < c2(a)R2a+2, R > 1.

The lower bound is trivially achieved on the function f (x) = 1. To prove the upper bound we apply lower estimates of the sums J2'k=1 akТХкx(x)i where x is the characteristic function of the segment [0,1], and also we use properties of the Bessel convolution.

Keywords: positive definite function, doubling condition, Hankel transform, Bessel generalized translation.

Bibliography: 14 titles. For citation:

D. V. Gorbachev, V. I. Ivanov, 2018, "On the doubling condition for non-negative positive definite functions on on the half-line with power weight" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 90-100.

1. Введение

В работах [11, 4, 8, 2, 5] изучается следующее интересное свойство неотрицательных непрерывных положительно определенных функций:

I f (х) dx < С(R) I f (х) dx, R ^ 1, (1)

J-R J-1

где положительная константа С(R) не зависит от f. Как отмечается в работе [5] при R = 2 неравенство (1) хорошо известно как условие удвоения в нуле. Оно широко применяется в теории весовых пространств. Соответственно С(R) неформально можно назвать константой удвоения.

Напомним, что функция функция f называется положительно определенной, если для произвольных точек х\,... ,xn e R матрица (f (х% — Xj))fj=i будет неотрицательно определенной. По классической теореме Бохнера непрерывная функция f будет положительно определенной тогда и только тогда, когда

f (х) = i е™У d»(y), J R

где у — неотрицательная конечная мера Бореля [12, Chap. 1].

Будем по-прежнему обозначать через С (R) уже наименьшую константу в неравенстве (1). Для нее справедливы оценки [11, 8]

2R - 1 < С(R) < 2R + 1, R e N,

из которых следует, что С (К) х К при всех К ^ 1. Здесь и далее, как обычно, запись А х В означает, что С\В ^ А ^ С 2В, где константы эквивалентности Сг > 0 и зависят только от несущественных параметров.

Точное значение константы С (К) неизвестно ни для какого К = 2, 3,.... Однако в работе [11] получены точные значения при нечетных К в похожей, но не эквивалентной задаче.

Одна из мотиваций изучения подобных (1) неравенств обусловлена их приложениями в теории чисел. Например, дискретный вариант неравенства (1), полученный в [4], использовался в работе по теории чисел [14]. Также данная проблематика восходит к проблеме Винера об .^-суммируемости рядов Фурье положительно определенных периодических функций, интегрируемых в квадрате в окрестности нуля (см. [13, 11, 6]).

Действительная положительно определенная функция обязательно четная. Поэтому неравенство (1) эквивалентно неравенству

[ {(х) йх < С(Щ I /(х) йх. Уо ■> 0

Представляет интерес обобщить это неравенство на случай степенного веса следующим образом:

rR ¡-1

f (x)x2a+1 dx < Ca(R) f (x)x2a+1 dx, /0 J 0

где a ^ -1/2, Ca(R) обозначает наименьшую константу и f — произвольная четная неотрицательная положительно определенная функция относительно веса x2a+1.

Последнее понятие было введено в [9, § 11] и связано с понятием оператора обобщенного сдвига Бесселя Та (см. секцию 2): четная функция f называется положительно определенной относительно веса x2a+\ если для произвольных Х1,...,Х^ £ М+ матрица (T^if(xj))fj=i неотрицательно определенная. В секции 2 мы также приведем аналог теоремы Бохнера для таких функций. Он опирается на преобразование Ганкеля и был доказан в [9, §11]. Наш основной результат состоит в следующем.

Теорема 1. Для а ^ -1/2, R ^ 1 и произвольной четной неотрицательной непрерывной положительно определенной для веса x2a+1 функции f справедливо неравенство

[ f (x)x2a+1 dx < Ca(R) f f (x)x2a+1 dx, (2)

00

где

d(o)R2a+2 < Ca(R) < C2(o)R2a+2, R ^ 1. (3)

Нижняя граница в (3) получается элементарно, если рассмотреть функцию f (х) = 1. Тогда получаем Ca(R) ^ R2a+2. Нетривиальной частью является доказательство верхней оценки.

В работе [5] изучен многомерный аналог неравенства (1) для случая положительно определенных функций в евклидовом пространстве Мп, п £ N. В частности, рассматривая в [5, Example 2] евклидов шар BR = {х £ Mn: |ж| ^ R} радиуса R, находим

[ f (х) dx < cnRn f f (x) dx, (4)

JB\ Jw{

где cn — некоторая константа, для которой

Cn < 2nnlnn (1 + o(1))(1 + R-1)n, n (5)

Вопрос об асимптотической точности этой оценки остается открытым. В [5] также получены нижние оценки константы удвоения, несколько лучше тривиальных.

Как хорошо известно, для полуцелых а = п/2 — 1 множество четных функций на полуоси М+ можно отождествить с классом радиальных функций на Мга. Поэтому из (4) следует, что

¡к г 1

/ ¡(х)хп-1 Лх < спКп ¡(х)хп-1 Лх. ./о /о

Это неравенство согласуется с верхней оценкой в (3) при а = п/2 — 1.

Структура работы следующая. В секции 2 мы дадим необходимые сведения из гармонического анализа на полуоси со степенным весом. Они будут использованы в следующей секции 3, где доказывается теорема 1.

2. Гармонический анализ на полуоси со степенным весом

Хорошо известно, что гармонический анализ в пространствах четных функций на полуоси R+ со степенным весом х2а+\ а ^ -1/2, базируется на преобразовании Ганкеля (см., например, [1, Chap. 7], [10, Chap. 5], [9]):

<х ^2а+1

Ка( f)(y) := f(x) ja(xy )dva(x), ye R+, dva(x) = J 0

/0 ^ * —+ 2«Г(а + 1у

Здесь = Г(а + 1)(2/ 1)а,1а(Ь) — нормированная функция Бесселя порядка а. Для нее

Ш1 < 1а(0) = 1, ге М. (6)

Оператор %а унитарный в пространстве Ь2(М+,Лиа), Н-1 = На и справедливо равенство Планшереля

/ |¡(х)12 Лиа(х) = 1Па(Л(х)12Лиа(х). оо

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Нам понадобится оператор обобщенного сдвига Бесселя (или Гегенбауэра) Т1 = Т^, подробно изученный во многих работах (см., например, [9, 3, 7]). При а > —1/2 он имеет вид

Г'К

Т1/(х) = са ¡(л/х2+¥—Шс0^0)8т2а0Л0, х,г е М+, о

где нормировочная константа

= Г( а + 1) Са = Г(1/2)Г( а + 1/2)

выбрана из условия Т11 = 1; при а = —1/2

х) = Кх + У + /(1х — А).

Другое полезное интегральное представление для Т1 при а > —1/2, следующее:

(■х+у '\х-у\

где Уа(х,у, г) Лиа(г) — вероятностная мера, ,

Т

Т0 ¡(х) = ¡(х), На(Т/)(х) = за(1х)На(/)(х).

¡■х+у

тхf(y) = f(z)Va(x,y, z)dua(z), (7)

J |ж—y\

Va(x, у, z) = 21-aT(a + 1)ca[((x + y)2 - z2)(z2 - (x - y)2)]a-1'2(xyz)-2a.

Он позволяет определить коммутативную свертку Бесселя

г <х

(I1 *а /2){х)= (1^(1),

■)о

для которой

ад! *« ¡2) = па{н)па(ь).

Она неотрицательна для неотрицательных функций. Из представления (7) вытекают свойства локальности оператора Т1, в частности

вирр (¡! * а ¡2){х) С [0, а! + (12\,

если 8ирр С [0,а^.

Напомним, что четная функция называется положительно определенной относительно веса х2а+!, если матрица (Тх*/(х^неотрицательно определенная для произвольных х!,...,хN € В [9, § 11] доказан следующий аналог теоремы Бохнера: если f — непрерывна, то условие положительной определенности эквивалентно представлению

/■те

/(х) = За(хЬ) йа(г), Зо

где а — неубывающая функция ограниченной вариации. Отметим, что при а ^ — 1/2 нормированная функция Бесселя является положительно определенной в обычном смысле, поэтому функция / также будет положительно определенной в обычном смысле. Обратное, вообще говоря, неверно.

Если f € СЬ!{Ж+,йра), то

<1а(1) = Па(/Ш &а(1), Па(/) ^ 0.

Для положительно определенных относительно веса х2а+! фупкций f имеем многие привычные свойства положительно определенных функций, в частности, ограниченность I/(ж)! ^ /(0) х € М+, а также тот факт, что /(Хх) — положительно определенная для любого Л > 0.

3. Доказательство теоремы 1

При а = —1/2 теорема 1 известна, поэтому пусть а > -1/2.

Напомним, что достаточно доказать неравенство Са(К) ^ С2(а)В?а+2. Нам будет удобно установить этот факт в следующем эквивалентном виде:

ГЯ Г 2

!

о

где

/ /(х) й1Уа(х) < А-! [ /(х) й^а(х), К > 2, (8)

оо

Л = Ао(Щ х К~2а~2 (9)

с константами эквивалентности, зависящими только от а. Действительно, чтобы привести неравенство (8) к виду (2) достаточно выполнить замены К на 2К и /(х) па /(2х).

3.1. Шаг 1

Пусть XI — характеристическая функция интервала I С К+ и х(х) = Х[о,!](х)-Воспользуемся идеей доказательства теоремы 1 из работы [5]. Положим Хк = к — 1, где к = 1,... ,т и хт — целое число из промежутка [Я + 1/2, К + 3/2). Определим функции

т

А(х) = £ акТх*Х(х), В(х) = (Х *а А)(х), к=!

где ак — некоторые положительные числа, для которых

т

^>к = 1. (10)

к=1

Мы выберем числа ак позднее таким образом, что будет выполняться неравенство

А(х) ^ Ао, х € [0,Д + 1\, (11)

где Ао — константа в (8). Если (11) верно, то

В(х) > АоНа(х)(0), X € [0, Щ, (12)

где

Ка(х)(0) = [ й»а(1) = иа(1). о

/*те г!

В(х)= Х^)ТхА(1) (1иа(г)= ТгА(х) (1»а(1). оо

о

Действительно,

/■те /■!

Т1

оо Если х € [0, Д\, то х + £ ^ К + 1 при £ € [0,1\, поэтому

гх+ъ гх+ъ

ТгА(х) = А(г)Уа(х, у, г) ёиа(г) ^ Ао Уа(х, у, г) ёиа(г) = АоТ11 = Ао

./|х-4| ./|х-4|

и (12) верно.

3.2. Шаг 2

Имеем

Па(В)= На(х)Ка(А),

где

т т

Па(А)(х) = ^ ак Па(Тхк х)(х) = ^ ак]а(Хк х)Па(х)(х).

к=1 к=1

Отсюда и из (6), (10) для любого х € М+

т

Па(В )(х) = (На(х)(х))2^ ак За(Хк х) < (На(х)(х))2 = Па (X *а Х)(х).

к=1

Возьмем произвольную четную неотрицательную непрерывную положительно определенную относительно веса х2а+! фупкцию £. Тогда

/•те

/(х) = / ¿а(хЬ) йа(г), г!(г ^ 0,

о

h = В(x)f (х) dva(x) = Ha(B)(t) da(t) На(Х *« x)(t) da(t) J 0 J 0 J 0

f <x

= (x *« x)(x)f (x) dva (x) = h.

0

Свертка % *a % является положительно определенной относительно веса x2a+1, поэтому

(Х *« Х)(х) < (Х *« Х)(0) = vа(1). Кроме того, supp (х *а х) С [0, 2]. Следовательно,

12 =! (х *а x)(x)f (х) dva(x) < va(1) f f (x) dva(x). 00

С другой стороны, с учетом неотрицательности функции В(х) и оценки (12)

f <Х !■ R

Ii ^ B(x)f (х) dva(x) > Аоиа(1) f (х) dua(x). 00

Таким образом, приходим к нужному неравенству (8).

3.3. Шаг 3. Выбор ак и константы А0 в (11)

Нам потребуются равномерные оценки снизу для действий оператора обобщенного сдвига ТХкх(х) на характеристическую функцию отрезка [0,1] при х, достаточно близких к хк.

Лемма 1. Пусть для к = 1,...,т

= min [TXkх(х): |ж - хк| < 1/2}.

Тогда

^ ~ х—2а—1.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Доказательство. Вначале убедимся, что > 0. Действительно, при к = 1 имеем TX1 х(х) = Т°х(х) = х(х) и = 1. Если к ^ 2, то х + хк ^ 1, |ж — хк| ^ 1/2 и

РХ+Хк г-1

ТХкх(х) = x(z)Va(x,xk,z) dva(z) = Va(x,xk,z) dua(z) ^ ц.к > 0.

■Цх—хк | Jlx-xkl

Покажем, что x x—2a-i. Достаточно проверить большие xk. Пусть x такое, что lx — xk| ^ 1/2. Имеем

TXkx(x) = с J X(^x2 + x\ — 2xxk cos 9) sin2a в d9.

Здесь интегрирование можно ограничить на отрезок [0, вх,хк ], где

„ х2 + х! — 1

"ххь = arccos---.

х,хк 2ххк

Нетрудно видеть, что если хк ^ ж и ^ — хк| ^ 1/2, то равномерно по ж в этом промежутке

,хк x х— .

и

Поэтому для некоторой константы с > 0

ссх—1

ТХкх(х) > са\ sin2a ОМ х X12а~1.

J0

Лемма доказана. □ Положим

m

ак = ^ 1А0, к = 1,...,т, А^1 = ^ /л^1

к=1

и покажем (11).

Действительно, пусть х Е [0, R + 1^. Тогда найдется точка Хк, такая что 1х — Хк\ ^ 1/2-Поэтому

m

А{х) = ЧТхх(х) > акТХкХ(х) > акц-к = А^1. =1

Осталось показать (9). Имеем Хк = к — 1 и m < R + 3, поэтому при R ^ ж

m m

¿0 х £ 1 х £ х2^1 х £ x R2a+2.

к=1 к=1 0^к<К+2

Здесь константы эквивалентности зависят только от а. Этот факт завершает доказательство теоремы 1.

3.4. Финальные замечания

Отметим, что приведенное доказательство достаточно грубое и не дает хорошей оценки константы 02(a). По аналогии с неравенством (5) было бы интересно выяснить порядок поведения 02(a) при а ^ ж. Однако это представляется непростой задачей, особенно в контексте нахождения точного порядка роста, где этот порядок неизвестен и в многомерном случае. Также представляет интерес улучшить тривиальную оценку 01(a) ^ 1 для нижней границы.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bateman G., Erdelvi A., et al., Higher Transcendental Functions. Vol. II. New York: McGraw Hill Book Company, 1953.

2. Gaal M., Revesz Sz. Gv. Integral comparisons of nonnegative positive definite functions on locally compact abelian groups // arXiv:1803.06409 [math.FA].

3. Ghobber S., Jaming P. The Logvinenko-Sereda theorem for the Fourier-Bessel transform // Integral Transforms and Special Functions. 2013. Vol. 24, no. 6. P. 470-484.

4. Gorbachev D.V. Certain inequalities for discrete, nonnengative, positive definite functions // Izv. Tul. Gos. Univ. Est. nauki 2015. No. 2. P. 5-12. fin Russian]

5. Gorbachev D.V., Tikhonov S.Yu. Doubling condition at the origin for non-negative positive definite functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2018 (in press); arXiv:1612.08637 [math. С A].

6. Gorbachev D.V., Tikhonov S.Yu. Wiener's problem for positive definite functions // Math. Z. 2018. Vol. 289, no. 3-4. P. 859-874, DOI 10.1007/s00209-017-1978-9.

7. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Y. Positive Lp-bounded Dunkl-tvpe generalized translation operator and its applications // Constr. Approx. 2018. P. 1-51. DOI 10.1007/s00365-018-9435-5.

8. Efimov A., Gaal M., Revesz Sz. Gv. On integral estimates of nonnegative positive definite functions // Bull. Aust. Math. Soc. 2017. Vol. 96, no. 1. P. 117-125.

9. Levitan B.M. Expansion in Fourier series and integrals with Bessel functions // Uspekhi Mat. Nauk. 1951. Vol. 6, no. 2. P. 102-143. fin Russian]

10. Levitan B.M., Sargsjan I.S. Introduction to spectral theory: Selfadjoint ordinary differential operators. Transl. Math. Monogr. Vol. 39. Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1975.

11. Logan B.F. An interference problem for exponentials // Michigan Math. J. 1988. Vol. 35. P. 369-393.

12. Rudin W. Fourier analysis on groups. New York: Interscience Publ., 1962.

13. Shapiro H.S. Majorant problems for Fourier coefficients // Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). 1975. Vol. 26. P. 9-18.

14. Shteinikov Yu.N. On the set of joint representatives of two congruence Classes // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2015. Vol. 290, no. 1. P. 189-196.

REFERENCES

1. Bateman G., Erdelvi A., et al., Higher Transcendental Functions. Vol. II. New York: McGraw Hill Book Company, 1953.

2. Gaal M., Revesz Sz. Gv. Integral comparisons of nonnegative positive definite functions on locally compact abelian groups // arXiv:1803.06409 [math.FA].

3. Ghobber S., Jaming P. The Logvinenko-Sereda theorem for the Fourier-Bessel transform // Integral Transforms and Special Functions. 2013. Vol. 24, no. 6. P. 470-484.

4. Gorbachev D.V. Certain inequalities for discrete, nonnengative, positive definite functions // Izv. Tul. Gos. Univ. Est. nauki 2015. No. 2. P. 5-12. fin Russian]

5. Gorbachev D.V., Tikhonov S.Yu. Doubling condition at the origin for non-negative positive definite functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2018 (in press); arXiv:1612.08637 [math.CA].