Об уравнении Кабанова и Фрумкина Текст научной статьи по специальности «Физика»

кими свойствами поверхности частиц: при контакте гидрофильных частиц силы сцепления между ними уменьшаются с ростом температуры; наоборот, силы сцепления между гидрофобными частицами увеличиваются с повышением температуры (рис. 3).

Разброс экспериментальных значений на рис. 3 обусловлен, по-видимому, тем, что по мере увеличения размера частиц (с ростом температуры увеличивается размер агрегатов) возрастает доля контактов, образованных наибольшими гранями. Большинство полиэдрических частиц

при падении друг на друга касаются углами и ребрами. Иными словами, проявляется масштабный эффект. После касания частицы начинают поворачиваться и до момента фиксации могут перекатиться через одну-две грани. При таких условиях формирования контактов вероятность переворота частиц через малые грани и, следовательно, вероятность остановки лишь на больших гранях с увеличением массы частиц резко возрастает, что приводит к более сильному разбросу экспериментальных значений. птщ

— Коротко об авторах--------------------------------------------------------------

Евдокимов С.И. - СКГМИ (ГТУ),

Паньшин А.М. - ОАО «Электроцинк».

Доклад рекомендован к опубликованию семинаром № 25 симпозиума «Неделя горняка-2007». Рецензент д-р техн. наук, проф. А.А. Абрамов.

-------------------------------------------- © Э.П. Ячушко, 2008

УДК 622.7:51 Э.П. Ячушко

ОБ УРАВНЕНИИ КАБАНОВА И ФРУМКИНА

Семинар № 25

Зто уравнение впервые выведено Кабановым и Фрумки-ным для случая, когда воздушный пузырёк в воде прилип к неограниченной твёрдой поверхности, и определяет прочность прилипания воздушного пузырька к твёрдой поверхности в статистических условиях [1].

Условие равновесия пузырька на твёрдой поверхности (см. рис. 1), выражается следующим уравнением:

т7 па 2а ж _ г I \

пааЖ_г 81пУ = Удр +-----(——— пдр).

4 К

где а - диаметр окружности, по которой пузырёк прикоснулся к твёрдой

поверхности, м; аЖ_Г - поверхностное натяжение на разделе жидкость-газ, н/м; 0 - краевой угод смачивания, град.; V - объём пузырька, м3 ; я

- ускорение сиды тяжести, м/с2; p -плотность жидкости, кг/м3; R - радиус пузырька в его купольной части, м; Ь -высота пузырька, м.

Рис. 1. Схема прилипания к твердой поверхности

2а Ж- Г

Я

- капиллярное давление

газа в пузырьке, дин/см2. Оно на всех участках пузырька практически одинаково.

Рг = кдр - гидростатическое давление воды у основания пузырька. Разница давлений Рк - Ри внутри пузырька и вне его приводит к появлению добавочной силы отрыва Рг, равной произведению площади контакта

па

на величину добавочного дав-

ления

Я

- hqp,

^ па . 2а ж г і \

т.е. Г2 =----(—Ж-^ -hqp)

2 4 Я

Сида прилипания пузырька

Г = пааЖ-Г біп# , с которой он удерживается поверхностью минерала, действует по периметру площади контакта пузырька и минерала, как бы притягивает твёрдую поверхность к ободочке пузырька.

Сила Архимеда пузырька ^ = Уцр

- гидростатическая сила подъёма пузырька стремится оторвать пузырёк от твёрдой поверхности. Следовало бы р1 уменьшить на вес воздуха в пузырьке.

Таким образом, уравнение Кабанова и Фрумкина, выражающее полное равновесие пузырька на твёрдой поверхности, предусматривает в качестве отрывающих усилий, кроме Архимедовой силы пузырька, добавочную силу отрыва, включающую капиллярное давление Рк, уменьшенное на величину гидростатического давления воды Рг у основания пузырька.

Уравнением Кабанова и Фрумкина часто пользуются исследователи флотации, конкретно Мелик-Гайказян [2]. Мелик-Гайказян, рассматривая различие между плёночной и пенной флотацией, что в 3-м пункте, отмечает, что при плёночной флотации устойчивость закрепления частицы на поверхности воды, обусловлена трудно-подвижностью трёхфазного периметра контакта, его эластичностью или гистерезисом краевого угла. Напротив, при пенной флотации закрепление частиц на пузырьках (а также пузырька на подложке) возможно при полном отсутствии явления гистерезиса смачивания [4]. Функции же гистерезиса смачивания, препятствующего наступлению жидкости на газовую фазу у периметра контакта пузырька, выполняет капиллярное давление Рк (рис. 2, г). На этом рисунке показан пузырёк, закреплённый на твёрдой поверхности в воде; у основания пузырька стрелками указано Рк, действующее на основание закрепления и боковые стенки пузырька у этого основания. Высота пузырька обозначе на Н, причём вершина пузырька обозначена буквой О, а нижняя часть пузырька - К. Далее, он продолжает, что это наступление (т. е. жидкости на

4

■1а

[2] Рис. 2. Схемы поясняющие: явления пленочной флотации (а); пенной флотации (б); увеличение флотационной силы, обусловленной ростом гистерезисного угла от 9' до 9" (в); действие капиллярного давления Рк, препятствующего сокращению периметра пузырька (г); явление пленочной флотации при пониженном уровне жидкости при флотогра-витации (д-ж); вычисление угла 9 при допущении о сферичности пузырька (3)

газ) становится возможным и пузырёк пиллярными давлениями в пузырьке на

будет согнан с гидрофобной подложки уровне О и К станет меньше разницы

только тогда, когда разность между ка- гидростатических давлений между эти-

ми уровнями, т.е. меньше величины Hаq , где Н-высота пузырька, а -разность между плотностями жидкости и газа, я - ускорение силы тяжести.

Подтверждением этому может служить то, что предельную величину Н перед отрывом легко рассчитать по экспериментально проверенной формуле [7], для вывода которой представление о гистерезисе не потребовалось. Нас интересуют две величины в уравнении Кабанова и Фрумкина: величина капиллярного давления Рк и гидростатического давления Рг = hqp . Но прежде следует кратко обсудить вопрос о воздушных (газовых) пузырьках в жидкости (воде).

Пузырьки газа в жидкости образуются благодаря подвижности (текучести) жидкости, поверхностному натяжению и её искривленности.

Газовый пузырёк, образовавшийся в жидкости тем или иным путём в состоянии равновесия, это масса газа, ограниченная поверхностью вращения и стремящаяся под действием поверхностного натяжения принять сферическую форму. Так как газы формой не обладают, то они занимают определённый объём только при наличии внешнего сжимающего давления — со стороны стенок сосуда, в котором находится данная масса газа. Газы могут подвергаться только всестороннему (объёмному) сжатию или расширению [3, стр. 112]. Газы никогда не образуют свободной поверхности.

Так, пузырёк газа в жидкости - это сосуд, содержащий определённую мас-су газа. Так как пузырёк образуется в жидкости, то стенками его сосуда является оболочка жидкости, в которой он находится. Таким образом, пузырёк газа, смеси газов и паров, находящийся в жидкости, обладает оболочкой той жидкости, в которой он находится. Эта оболочка

односторонняя, т.к. на границе раздела газ-жидкость находится с внутренней стороны газ, а наружной границей является та же жидкость.

Система пузырёк газа - жидкость является гетерогенной системой. Признаком гетерогенности является наличие межфазной поверхности, поверхностного слоя.

Так как силы молекулярного взаимодействия молекул газа в поверхностном слое значительно меньше, чем межмолекулярное взаимодействие молекул жидкости в слое, то они обеспечивают наличие поверхностного слоя жидкости определённой толщины.

Обычно толщина поверхностного слоя жидкости составляет несколько молекул [4, стр. 19].

Пусть газовый пузырёк в жидкости находится в статическом равновесии. Давление, которое испытывает газ в пузырьке, складывается из атмосферного давления, гидростатического давления жидкости и капиллярного давления за минусом давления насыщенных паров жидкости.

Поэтому следовало бы Мелику-Гайказяну учитывать не только капиллярное давление Рк, но и эти давления.

Так как газ находится в пузырьке, являющимся для него сосудом с жидкой оболочкой, и он в нём сжат суммарным давлением и, находясь в статическом равновесии в жидкости он не меняет своей формы и объёма, то это суммарное давление газа компенсируется давлением оболочки на газ, и они уравновешиваются. Следовательно, капиллярное давление Рк не будет «давить» на площадку контакта при прилипании воздушного пузырька к твёрдой поверхности, что трактуют Кабанов и Фрумкин, а вслед за ними и Мелик - Гайказян, так как при этом капиллярное давление будет пере-

распределяться в пузырьке, уравновешиваясь противодавлением водной оболочки пузырька. Теперь о гидростатическом давлении у основания воздушного пузырька, прилипшего к твёрдой поверхности в воде Рг = hqp .

Выражения hqp не должно быть по двум причинам: 1. На пузырек, прилипший к твёрдой поверхности это гидростатическое давление не действует, потому что там его нет, так как остаточная водная прослойка, остающаяся между оболочкой пузырька и твёрдой поверхностью, по данным Дерягина, обладает свойствами, отличными от свойств воды в объёме, близкими твёрдому телу.

В элементарном учебнике физики под редакцией академика Г. С. Ландсберга (Т.1. М., Наука, 1972) в § 166, стр. 356 рассматриваются тела, лежащие на дне сосуда.

Дно стеклянного сосуда покрыто тонким слоем парафина. На него кладут кусок парафина с гладким основанием и осторожно наливают в сосуд воды. Парафин не всплывает на поверхность воды, хотя плотность

1. Кабанов Б.Н., Фрумкин А.Н. Величина пузырьков, выделившихся при электролизе. - ЖФХ. Т. IV, вып. 5, 1933.

2. Мелик-Гайказян В. И. Сб. Совре-

менное состояние и перспективы развития теории флотации. Недостатки классических

его меньше плотности воды. Слегка наклоняя сосуд, можно заставить его передвигаться по дну, но он не всплывёт.

Объяснение этого парадокса состоит в том, что вода не проникает между парафином и дном сосуда и, следовательно, на нижнюю поверхность парафина не действует гидростатическое давление.

2. Учитывать ^р не следует и потому, что сила Архимеда пузырька обусловлена гидростатическим давлением. Так, нельзя же «само отнимать от себя». Если представить пузырёк кубиком со стороной Ь, тот его объём V будет равняться площади основания, равной Ь2 , умноженной на высоту Ь, т.е. равным V=h3. Тогда сила Архимеда этого кубика в воде равна

Р1 = V(Р -Р2^ = ^(Л -Р2^ , где

р - плотность воздуха в кубике, (кг/м3).

Поэтому уравнением Кабанова и Фрумкина при исследованиях в теории флотации пользоваться не следует.

-------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

представлений теории флотации. Стр. 2846. - М.: Наука, 1979.

3. Геворкян Р.Г., Шепель В.В. Курс общей физики, - М.: Высшая школа,1972.

4. Фролов Ю.Г. Курс коллоидной химии. Поверхностные явления и дисперсные системы. - М.: Химия, 1982. ШИН

— Коротко об авторах-------------------------------------------------------------

Ячушко Э.П. - инженер.

Доклад рекомендован к опубликованию семинаром № 25 симпозиума «Неделя горняка-2007». Рецензент д-р техн. наук, проф. А.А. Абрамов.