CC BY
12
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
УДК 539.3 DOI 10.18522/1026-2237-2020-2-8-12
ОБ УПРОЩЕНИИ СЛОЖНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИМЕНЕНИЕМ БЛОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ*
© 2020 г. В.А. Бабешко1'2, О.В. Евдокимова2, О.М. Бабешко1
1Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия, 2Южный научный центр РАН, Ростов-на-Дону, Россия
ON SIMPLIFYING COMPLEX EQUATIONS BY APPLYING BLOCK ELEMENTS
V.A. Babeshko1'2, O.V. Evdokimova2, O.M. Babeshko1
1Kuban State University, Krasnodar, Russia, 2Southern Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Rostov-on-Don, Russia,
Бабешко Владимир Андреевич - доктор физико-математических наук, академик РАН, заведующий кафедрой математического моделирования, Кубанский государственный университет, ул. Ставропольская, 149, г. Краснодар, 350040, Россия; научный руководитель направления математики и механики, Южный научный центр РАН, пр. Чехова, 41, г. Ростов-на-Дону, 344006, Россия, e-mail: babeshko41 @mail. ru
Евдокимова Ольга Владимировна - доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, Южный научный центр РАН, пр. Чехова, 41, г. Ростов-на-Дону, 344006, Россия, e-mail: evdokimova.olga@mail.ru
Бабешко Ольга Мефодиевна - доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, Кубанский государственный университет, ул. Ставропольская, 149, Краснодар, 350040, Россия, e-mail: babeshko49@mail.ru
Vladimir A. Babeshko - Doctor of Physics and Mathematics, Academician, Russian Academy of Sciences, Head of the Department of Mathematical Modeling, Kuban State University, Stavropolskaya St., 149, Krasnodar, 350040, Russia; Scientific Director of Mathematics and Mechanics, Southern Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Chekhova Ave., 41, Rostov-on-Don, 344006, Russia, e-mail: babeshko41@mail.ru
Olga V. Evdokimova - Doctor of Physics and Mathematics, Main Researcher, Southern Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Chekhova Ave., 41, Rostov-on-Don, 344006, Russia, e-mail: evdokimova.olga@mail.ru
Olga M. Babeshko - Doctor of Physics and Mathematics, Main Researcher, Kuban State University, Stavropolskaya St., 149, Krasnodar, 350040, Russia, e-mail: babeshko49@mail.ru
Существуют несколько подходов, направленных на упрощение сложных уравнений в частных производных (или их систем), участвующих в постановках граничных задач, введением более простых, но в большем количестве дифференциальных уравнений. Их решения позволяют описывать сложные граничные задачи. Однако для осуществления этого подхода необходимо строить решения упрощенных граничных задач в пространствах их разрешимости для произвольных граничных условий. В ряде случаев это можно делать применением метода блочного элемента, который, имея топологическую основу, вскрывает как глобальные, так и локальные свойства решений граничных задач для дифференциальных уравнений в частных производных.
Вместе с этим он может применяться для исследования и решения более сложных граничных задач с помощью соотношений, описывающих некоторые задачи механики сплошной среды посредством относительно простых уравнений, например Гельмгольца. Для этого надо строить такие решения уравнения Гельмгольца, которые удовлетворяют граничным условиям, содержащим не частные значения задаваемых на границе функций, а совершенно произвольные. Применительно к уравнению Гельмгольца это достигается использованием метода блочного элемента. Примеры решений граничных задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца и сравнительный анализ решений приводятся в настоящей статье.
*
Отдельные фрагменты работы выполнены в рамках реализации госзадания ЮНЦ РАН на 2020 г., проекта (00-19-13) № 01201354241, программ Президиума РАН № 7, проект (00-19-03), и № 20, проект (00-19-10), и при поддержке грантов РФФИ (19-41-230003), (19-41-230004), (19-48-230014), (18-08-00465), (18-01-00384), (18-05-80008).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
Ключевые слова: метод блочного элемента, граничная задача, топология, псевдодифференциальные уравнения.
There are several approaches aimed at simplifying complex partial differential equations or their systems involved in the formulation of boundary value problems by introducing simpler, but in a larger number of differential equations. Their solutions allow us to describe solutions to complex boundary value problems. However, to implement this approach, it is necessary to construct solutions of simplified boundary value problems for arbitrary boundary conditions in solvability spaces boundary value problem. In some cases, this can be done using the block element method. The block element method, which has a topological basis, reveals both global and local properties of solutions to boundary value problems for partial differential equations.
At the same time, it can be used to study and solve more complex boundary value problems by applying relations that describe certain equations of the continuum by means of relatively simple equations, for example, Helmholtz. To do this, we need to construct solutions of the Helmholtz equations that satisfy boundary conditions that contain completely arbitrary values, rather than partial values, set at the boundary of functions. In relation to the Helmholtz equations, this is achieved using the block element method. Examples of constructing solutions to boundary value problems for Helmholtz equation for Di-richlet and Neumann problems and a comparative analysis of solutions are given in this article.
Keywords: block element method, boundary value problem, topology, pseudo differential equation.
Введение
Исследованию краевых задач для уравнения Гельмгольца посвящено большое количество работ, часть из которых вместе с применяемыми методами приведена в [1—10]. Метод блочного элемента впервые для решения граничной задачи Неймана для уравнения Гельмгольца рассмотрен в [11]. В этой работе построено точное решение в виде упакованных блочных элементов при произвольных граничных условиях в области типа неограниченного прямоугольного клина. Также произведен некоторый анализ акустических свойств среды в этой области.
В настоящей работе исследуется граничная задача Дирихле для уравнения Гельмгольца в сопоставлении с задачей Неймана. Решения этих задач являются исходными для применения подхода [810], состоящего в представлении операторов сложных граничных задач через посредство операторов Гельмгольца и более простых, и могут служить целям нового способа проектирования материалов мозаичной структуры [12]. Представления решений граничных задач в виде упакованных блочных элементов [13] открывают возможность исследования и решения граничных задач практически любой сложности и в любых областях. Это связано с тем, что произвольную область всегда можно реально или виртуально представить в виде некоторой блочной структуры, блоки которой можно формировать из условия удобства решения поставленных на них граничных задач [12]. Применяя подходы [8-10] и решения уравнения Гельмгольца, основываясь на аналитических решениях, можно осуществлять глубокий анализ операторов сложных граничных задач методом, разработанным академиком И.И. Воровичем в [14].
Основные уравнения
Введем правую прямоугольную систему координат, направив оси оx1, 0x3 горизонтально, а ось оx2 - вертикально вверх. Рассматривается граничная задача для трехмерного уравнения Гельмгольца в прямоугольной области 0(|хз| < го, Х1 < 0, Х2 < 0).
Для применения метода блочного элемента к граничной задаче в блочной структуре необходимо выполнить три алгоритма: внешней алгебры, внешнего анализа и построение фактор-топологии. Ввиду рассмотрения лишь одного блочного элемента необходимость в последнем алгоритме отпадает.
Рассмотрим для этого уравнения граничные задачи Дирихле и Неймана.
В первом случае считаем, что граничные условия имеют вид
м(хь0, хз) = Жхь хз), «(0, Х2, Х3) = /2(х2, Хз). (1)
Здесь произвольные функции /п обладают свойствами, достаточными для разрешимости соответствующих граничных задач в пространствах медленно растущих обобщенных функций. Поскольку область О содержит бесконечно удаленные точки, то в случае, если в граничной задаче появляются волновые функции, ищется решение с применением принципа излучения.
Метод решения
Применением преобразования Фурье к трехмерному дифференциальному уравнению Гельмгольца
(д2ху + д2 х2 + д 2х3 + р1)«(ху,х2,хъ) = 0 по параметру хз в обеих граничных задачах получаем дифференциальное уравнение с параметром вида
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
(д2 х1 + д2 х2 + к 2)ы(х1, х2, а3) = 0, (2)
,2 2 2 к = р — а3 .
Используем один из способов касательного расслоения границы. После применения двумерного
1. Рассмотрим случай задачи Дирихле. Внесем в правую часть значения функций (1). Имеем
ôU1(0,«2)
^ _ t"" Mit /-/ /-/ /-/ t — ■
(а2 — к 2)Ц (а, а2 , а3 ) = ди (а 0 а )
преобразования Фурье и введения внешних форм - ¡а Р2 (0,а2 ,а3) +■ 1( 15 ' 3) приходим к функциональным уравнениям вида
dx,
dx
— ia2F(a1'0'a3).
(af +a|+k2)u (a a a ) = J
где
О=
du(0' x2'a3) éa2x2dx _
dxx
— i aiu(0, x2 ' a )eia2 x2 dx2 + du( xi'0'a3) eiaixi dx1
Для выполнения алгоритма внешнего анализа факторизуем коэффициент функционального уравнения по каждому параметру:
(а12+а^ — к2) = (а —а )(а +а_) = (а —а )(а +а_),
a = —iJ a — к
a2_ = —i^a2 — к2
dx0
Im a - 0'
Ima2_ - 0.
— ia2u(xi'0'a)eiaiXldxi.
U(a' a2a) = JJJ u(x'x2'x3)e^dxdx2dx3,
Условие автоморфизма для носителя и функций на нем приводит к псевдодифференциальным уравнениям вида
(ХХу — ^^^ Х^ ^ ^^ ^ ,
u(x, х2, хъ) — j]J U(a ,аз)е ^daхda2da3.
Правую часть в функциональном уравнении можно представить в виде
dU1(0' a2_ ) dxx
dU1(a1'0'«3)
+
dx0
— i a1F2 (0' a2— ' a3 ) +
— i a2—F1 (a1'0' a3 ) = 0,
(3)
0 du(0' x2'a3) ia2x2
dU1(0' a2a3 ) dx,
— ia1_ F2 (0' a2 ' a3 ) +
dx
Jm= J
dQ — œ — i a J u(C' x2 ' a3 )ei a2x2 dx2 +
dx2 —
+
dU1(a1— '0' a ) dx0
— ia2Fi(ai— Aa3) = 0.
— œ
+
0 du(xi'0'a3) eiaixi^
— œ
dx-
— ia2 J u(x1'b'a3)eiaiXldx1.
— œ
Вычислив одномерные интегралы, которые яв-
Неизвестными в (3) являются функции дИ1(0,а2- ,а3) дИ1(а1- ,0,а3) дИ1(0,а2,а) дх1 дх2 дх1
дИ1(а1,0,а) дх2
Решение псевдодифференциальных уравнений, найденное с требованием обращения в нуль псевдодифференциальных уравнений вне области О, приводит после преобразований к следующему ви-
ляются преобразованиями Фурье соответствующих ду функционального уравнения:
(o¿l + а2 — к 2)U (o ,o2 ,o3 ) =
функций, можно функциональное уравнение представить в форме
(a +a2 — к )U(aa2a) = _ dU (0'«2'a )
= [ F (ai— '0'a3) — Fi(ai'0'a3) ](a2 —a2—)
3)
+
+
dxx
dU (ai'0'a ) dx0
— ialU (0,a2,a ) +
— ia2U(ai'0'a ).
+ [ ^2(0,а2— ,аз) — ^2(0,а2,аз) ](а1 —а1—). Решение, представляющее упакованный блочный элемент, принимает вид
и(х1,х2,х3) = И1(а1,а2,а3)е ^dа1dа2dа3,
R3
В дальнейшем прописной буквой будут обозначаться преобразования Фурье, вычисленные от функций, представленных соответствующей строчной буквой.
Ui(aba2'a3) = i
2 , „,2 ([F(ai— '0'a3) — F(ai'0'a3)](a2 —a2— ) +
(a +a2 — к )
m
Q
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
+ [^2(0,«2-,«з) " ^(0,«2,«з)] («1 ~а1-) ).
Функцию ^1(а1,«2,«з) можно представить в виде
и1(«1,«2,«3) =¡( [ ^(«1-,°,«з)- ^1(«1,0,«з) ] +
(«2 + «2- )
| [ ^,(0,«2- ,«з) - ^2(0,«2,«з) ] \ («+«_ )
Если на одной из граней функция и(х1, х2, хз) обращается в нуль, например, 2 =0, то решение упрощается и принимает вид
и1(«1,«2,«з) = и [/,|(«1-,0,«з)-^1(«1,0,«з)] х.
(«2 +«2- )
Если на поверхности акустической среды задается дельта-функция 5(х1 - хю, хз - хз0) , то в этом
случае ^(«ь0,«з) = /«1х10+«зхз0),
[ ег(«1-х10 +«зхз0) - ег(«1х10 +«зхз0) ]
^1(а1,«2,«з) = ¡--;-:-J.
(«2 +«2-)
Учитывая, что = - ¡д/«\ - р2 + «2,
2 2 2
«_=-гл\ал - p + а3 , получаем представление
решения граничнои задачи в виде
u(Xi, Хз, Х3 ) =
fff
8ж R3
[ exp(x10^/«2 -P2 +a32 -ialxl0) -1 ]
;if(sin aixi0)e
a x + i,la2 - p2 + a2x + a (x - x ) 11 К 1 e 3 2 3V 3 3Г
da da •
1 3
С помощью внутренних односторонних пределов на границе можно убедиться в выполнении заданных граничных условий.
2. Рассмотрим граничную задачу Неймана [11] для уравнения (2).
Считаем, что граничные условия имеют вид
ди№х2,хз)=/ х2,хз,, а«^ = мх„хз).
Ч 2
Здесь произвольные функции / п обладают свойствами, достаточными для разрешимости соответствующих граничных задач в пространствах медленно растущих обобщенных функций.
Повторяя выполненные выше построения, получаем в преобразованиях Фурье решение граничной задачи:
и («1,«2,«з) = 1 1
(a2 + a\ + a32 - к2) a1-a2-
(«2 - ¡д/«2 - р2 + «3 )
х ^¡[«1(х1-х10)+«2х2 +«з(хз-хз0)]^««« .
Построенные решения топологически представляют упакованные блочные элементы. Функции в области О имеют эту область в качестве носителя, т.е. вне её они обращаются в нуль. Упакованные блочные элементы нужны при исследовании и решении граничных задач, поставленных для блочных структур (для каждого её блока). С их помощью выполняется алгоритм построения фактор-топологии, когда в качестве соотношений эквивалентности выступают межблоковые граничные условия. Для осуществления аналитического или численного анализа решения, представленного упакованным блочным элементом, его надо распаковать [14], вычислив по теории вычетов интеграл, что всегда возможно. Получившееся в результате выражение, представленное с участием интегралов или без них, во внутренности области О дает решение граничной задачи. Оно для х1, х2 < 0 имеет вид i
и(хь х2, хз) = —г- х 2п2
*( («з--«з)[ ai-Fi(ai,a3)-aiFi(ai-,аз) ] +
+ («i- - «i)[ «2-F2 («з, «з ) - «2F2 («з-, «з ) ] ) .
После сокращении U (ai,аз,аз) =
i_1 [ ai-F(ai,a3)-a, F, (a , _,a3) ]
~ («2 +«2_ )
= i-
+
a,_a
1-a2-
+
[ a2-F2(a2,a3) -a2F2(a2-,a3) ]
(«1 +«1- )
Полученное представление позволяет сформулировать условия на задаваемые граничные функции.
Справедлива
Теорема [11]. Пусть преобразования Фурье функций /1(х1, хз) , /2(х1, хз) имеют непрерывные первые производные по первой координате у первой функции и по второй координате - у второй. Тогда существует решение граничной задачи в пространстве медленно растущих обобщенных функций.
Действительно, в этом случае выполняются условия ^ «з ) -F1(«1_,«з) = («1 -«1_)0(1),
р2 («2, «з ) - ¥2 («2-, «з ) = («2 - «2- )°(1) , при «1 ^ «1- и «2 ^ «2-, обеспечивающие выполнение автоморфизма и удовлетворение граничных условий.
Решение исходной граничной задачи в виде упакованного блочного элемента дается интегралом
и(х1,х2,хз) = и(«1,«2,«з)е ^й«1й«гс1«з.
8ж Кз
-1
R
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
В [11] рассмотрены различные примеры решения этой граничной задачи.
Выводы
Построенные решения (и подобные им в других областях) в форме упакованных блочных элементов могут служить целям формирования блочных структур с различными требованиями как к композитным материалам мозаичной структуры, так и к их сопряжению на границе. Среди них может быть формулировка условий появления на границе трещин Гриффитса - Ирвина или трещин нового типа.
Литература
1. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 502 с.
2. Бабич В.М. О коротковолновой асимптотике функции Грина для уравнения Гельмгольца // Мат. сб. 1964. Т. 65. С. 577-630.
3. Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в проблеме дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. 256 с.
4. Cerveny V., Molotkov I.A., Psencik I. Rey Method in seismology. Praha: Univerzita Karlova, 1977. 216 р.
5. Мухина И.В. Приближенное сведение к уравнениям Гельмгольца уравнений теории упругости и электродинамики для неоднородных сред // ПММ. 1972. Т. 36. С. 667-671.
6. Молотков Л.А. Исследование распространения волн в пористых и трещиноватых средах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред. СПб.: Наука, 2001. 348 с.
7. Беркович В.Н. К теории смешанных задач динамики клиновидных композитов // Докл. АН. 1990. Т. 314, № 1. С. 172-175.
8. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
9. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.
10. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир, 1986. 160 с.
11. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. К проблеме акустических и гидродинамических свойств среды, занимающей область трехмерного прямоугольного клина // Прикладная механика и техническая физика. 2019. Т. 60, № 6. С. 90-96. DOI: 10.15372/PMTF20190610.
12. Бабешко ВА., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Рядчиков И.В. Метод проектирования неоднородных материалов и блочных конструкций // Докл. АН. 2018. Т. 82, № 4. С. 398-402. DOI: 10.1134/S1028335818100014.
13. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О стадиях преобразования блочных элементов // Докл. АН. 2016. Т. 468, № 2. С. 154-158.
14. Ворович И.И., Бабешко В.А., Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.
References
1. Brekhovskikh L.M. (1973). Waves in layered media. Moscow, Nauka Publ., 502 p. (in Russian).
2. Babich V.M. (1964). On short-wave asymptotics of the Green function for the Helmholtz equation. Ma-tematicheskii sbornik, vol. 65, pp. 577-630. (in Russian).
3. Babich V.M., Buldyrev V.S. (1972). Asymptotic methods in the problem of short wave diffraction. Moscow, Nauka Publ., 256 p. (in Russian).
4. Cerveny V., Molotkov I.A., Psencik I. (1977). Rey Method in seismology. Praha, Univerzita Karlova Press, 216 p. (in Russian).
5. Mukhina I.V. (1972). Approximate reduction to the Helmholtz equations of the equations of elasticity theory and electrodynamics for inhomogeneous media. PMM, vol. 36, pp. 667-671. (in Russian).
6. Molotkov L. A. (2001). Investigation of wave propagation in porous and fractured media based on effective models of Bio and layered media. Saint Petersburg, Nauka Publ., 348 p. (in Russian).
7. Berkovich V. N. (1990). On the theory of mixed problems of dynamics of wedge-shaped composites. Doklady AN, vol. 314, no. 1, pp. 172-175. (in Russian).
8. Novatsky V. (1975). Theory of elasticity. Moscow, Mir Publ., 872 p. (in Russian).
9. Novatsky V. (1970). Dynamic problems of thermoe-lasticity. Moscow, Mir Publ., 256 p. (in Russian).
10. Novatsky V. (1986). Electromagnetic effects in solids. Moscow, Mir Publ., 160 p. (in Russian).
11. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. (2019). On the problem of acoustic and hydrodynamic properties of a medium occupying the area of a three-dimensional rectangular wedge. Prikladnaya mekhani-ka i tekhnicheskaya fizika, vol. 60, no. 6, pp. 90-96. DOI: 10.15372/PMTF20190610. (in Russian).
12. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M., Ryadchikov I.V. (2018). A method for the design of inhomogeneous materials and block structures. Doklady Physics, vol. 63, no. 10, pp. 402-406. DOI: 10.1134/S10283358181 0001413. (in Russian).
13. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. (2016). Stages of transformationof block elements. Doklady Physics, vol. 61, no. 5, pp. 227-231. DOI 10.1134/S1028335816050049. (in Russian).
14. Vorovich I. I., Babeshko V. A. (1979). Dynamic mixed problems of elasticity theory for non-classical domains. Moscow, Nauka Publ., 320 p. (in Russian).
Поступила в редакцию /Received
6 апреля 2020 г. /April 6, 2020
