О моделях сейсмогенерирующих геологических структур Текст научной статьи по специальности «Математика»

АПВПМ-2019

О МОДЕЛЯХ СЕЙСМОГЕНЕРИРУЮЩИХ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ СТРУКТУР

М, В, Зарецкая1, О, М, Бабешко1, В, В, Лозовой2

1 Кубанский государственный университет, 350040, Краснодар 2Южный научный центр РАН, 344006, Ростов-на-Дону

УДК 517.968

Б01: 10.24411/9999-016А-2019-10025

Изучение причин возникновения сильных сейсмических событий на территории Краснодарского края позволило выявить факторы, оказывающие влияние на их возникновение на территории интенсивной эксплуатации месторождений углеводородного сырья. К ним относятся, в том числе, грязевулканические структуры. Сложность сформулированной задачи определяет подходы к её решению — оценка напряженно-деформированного состояния и резонансного поведения сложно структурированной, разномасштабной, разнотипной геологической среды вулканической постройки под действием внешних и внутренних факторов делает необходимым привлечение математического аппарата, основанного на топологическом подходе: теории блочных структур и метода блочного элемента. В работе предложено для моделирования вулканических построек применять блочный элемент в форме треугольной пирамиды, позволяющей приближенно описывать любые выпуклые многогранные области и области с криволинейными границами.

Ключевые слова: сейсмогенерирующая структура, грязевулканическая постройка, блочная структура, топологический подход, дифференциальный метод факторизации.

Введение

Освоение ресурсов нефти и газа акватории Азовского и Черного морей — одно из перспективных направлений увеличения минерально-сырьевой базы Краснодарского края и юга России. Геолого- геофизическое изучение глубинного строения коры Земли этих территорий началось еще с 50-х годов XX в. Проведен об-гцирный комплекс исследований, включающий грави-, магнито- и электроразведку. Обобщение полученного материала позволило констатировать тот факт, что на шельфе можно выделить геологические и геофизические структуры, ответственные за реализацию сейсмического потенциала. В качестве первого источника сейсмической опасности можно рассматривать вулканические структуры, при этом процесс катастрофического извержения и сильные сейсмические явления могут сопровождать друг друга или проявляться независимо.

Так как Краснодарский край относится к регионам высокой сейсмической опасности, то изучение сейсмо-генерирующих структур, ответственных за реализацию сейсмического потенциала региона, закономерностей развития техногенной сейсмичности и ее взаимосвязи с промышленным воздействием на верхние слои литосферы, является актуальной задачей. Кроме того, возможность активизации наведенной сейсмичности должна учитываться при разработке шельфовых месторождений углеводородов, так как техническая сложность и, как следствие, стоимость ликвидации последствий экологических катастроф, например, в морских условиях на порядок превышают сложность и стоимость аналогичных работ на суше.

1 Модель

Для получения достоверных результатов при решении задачи оценки напряженности нефтегазоносных провинций требуется построить модель геологической среды, наиболее приближенную к естественным грязе-вулканическим постройкам. Выделение блочных элементов в исследуемых природных объект выполняется,

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и администрации Краснодарского края (код проекта 19-41-230002).

ISBN 978-5-901548-42-4

как правило, по результатам экспериментального исследования строения коры Земли. Для определения глубинного строения грязевулканических построек важны как результаты отдельных экспериментальных геофизических исследований, так и совместная интерпретация результатов исследований (методом микросейсмического зондирования (ММЗ), методом магнитотеллурического зондирования (МТЗ)), изотопной и гидрохимической геотермометрии, что позволит предложить рабочую гипотезу о моделировании исследуемого геологического объекта совокупностью блочных элементов.

На территории Краснодарского края грязевой вулканизм широко представлен на шельфе Азовского моря, на Таманском полуострове, также грязевые вулканы обнаружены на Керченском полуострове и на нижней части крымского континентального склона. Анализируя результаты экспериментальных геофизических исследований, можно выделить четыре типа структур грязевых вулканов.

Первый тип — конические в поперечном сечении структуры, довольно правильные, округлые в плане, диаметром 700-800 м и высотой в несколько десятков метров.

Второй тип — вулканы с четко выраженными кальдерами обрушения по системе концентрических сбросов. Они имеют разнообразную форму и диаметр до 1 км.

Третий тип — структура с правильной округлой формой, совершенно плоским сводом и сильно разжиженными продуктами извержения. Его диаметр достигает 1100 м (грязевой вулкан Двуреченского).

К четвертому типу относятся не собственно грязевые вулканы, а трещинные излияния по системе параллельных трещин, ориентированных в широтном направлении. Ширина потоков достигает 1,5 км, а длина — 4 км.

Для первых двух типов модель предполагает наличие полости, ограниченной некоторой замкнутой поверхностью произвольной конфигурации и расположенной в многослойной среде. Как правило, рассматривается цилиндрическая поверхность. В отдельных случаях форма полости может быть близка к сферической или эллипсоидальной.

В третьем случае может быть принята упругая модель, в которой верхняя часть вулканической постройки моделируется гибкой плитой на упругом основании. Это одна из простейших моделей, позволяющая учесть реальные резонансные свойства геофизической среды.

В качестве модели вулканической постройки четвертого типа допустимо принять две полуплоскости с параллельными границами, удаленные друг от друга на некоторое расстояние, на линейно деформируемом основании.

2 Численно-аналитические методы исследования

Для исследования процессов в структурированной геофизической среде грязевулканической постройки, блоки которой являются разномасштабными и разнотипными по свойствам и структуре, применяется топологический математический аппарат, включающий в себя теорию блочных структур, дифференциальный метод факторизации и метод блочного элемента [1,2].

Метод блочного элемента разработан для исследования и решения граничных задач для систем дифференциальных уравнений любого порядка. Его достоинство состоит в универсальности и способности выявлять составляющие решений, обладающие сингулярностями различного уровня, которые сложно выявить иными методами.

При применении метода блочного элемента граничная задача для каждого блока средствами внешнего анализа погружается в топологическую структуру таким образом, чтобы она стала эквивалентной функциональному уравнению для элементов алгебраического кольца. Дальнейшие исследования граничных задач состоит в факторизации коэффициента функционального уравнения, который может быть как функцией, так и матрицей-функцией, вычислении многомерного формы-вычета Лере и построении псевдодифференциального уравнения, содержащего все типы граничных условий, допустимых граничной задачей. Объединение блочных элементов, для которых построены свои псевдодифференциальные уравнения, производится построением фактор-топологий соответствующих прямых произведений топологических пространств. Из псевдодифференциальных уравнений извлекаются интегральные уравнения, отвечающие тому или иному типу взаимодействия блоков.

Ниже рассматривается блочный элемент в форме произвольной треугольной пирамиды, который позволяет рассматривать граничные задачи в любых областях, в том числе с криволинейными границами, для дифференциальных уравнений и их систем, имеющих также переменные коэффициенты. Блочный элемент в форме произвольной пирамиды занимает область П с границей дП. Одновременно он является ограниченным объемным элементом, имеющим наименьшее количество граней, которые будем обозначать

к = 1, 2, 3, 4. Последнее обстоятельство позволяет уменьшить количество псевдодифференциальных уравнений, возникающих при решении задачи. При построении блочного элемента принято расположение локальных систем координат с началом в двух вершинах, причем в одной сосредоточено три системы, оставшаяся, основная, имеет начало координат в отдельной вершине треугольной пирамиды. Две оси локальных систем координат лежат в плоскостях граней, а третья ось во всех системах направлена по внешней нормали к соответствующим граням.

Расположим основную декартову прямоугольную локальную систему координат х1о1, ( х1, х2, х3) па нижней грани 9^1. Поместим начало системы координат х1о\ в одной го трех вершин грани д^1, направив орт е3 вертикально вниз, соответственно орт е1 — вдоль линии пересечения граней 9^1, д0>2, взяв орт е2> в виде е2 = е3 х е|[. Тогда в системе ж1 о1 уравнение плоскости принимает вид х\ = 0.

В результате плоскости остальных граней пирамиды в координатах х1 о1 описываются уравнениями

: С2х\ + ¿2^3 = 0, С2 > 0;

дПз : Ъ3х1 + с3х2 + ^зх1 = 0, Ь3 > 0, ез < 0;

дП4 : 64Х1 + С4^2 + ¿^х^ = 0, 64 > 0.

Постоянные коэффициенты Ьп ,ст, ¿к определяются размерами пирамиды. Приняв вершину схождения боковых граней дП2, дП3, дП4 в качестве начал координат локальных систем хкок, (хк,хк,х3), к = 2, 3, 4, построим орты ек, ек, е3, к = 2, 3, 4, лежащие вдоль координат ных осей хк, хк, х3 соответственно. Во всех указанных системах координат орты ек, к = 2, 3,4, расположим вдоль исходящих из этой вершины ребер, по одному на каждое ребро. Производя при принятых построениях довольно простые преобразования, имеем

= {с21,с22,с2З} = {b20, -^С2}

1

^2 + ¿2 + Щ

Ью = Ъ3 1 (сз^2 - С2^з - ез);

20

0,

22 сз2, сзз

} = {0, -С2 , -да }

^2 + ¿2'

22

2 2 _ Г 2 2 ^ \ _ Г 2 2 22 22 2 2\

ез х е1 = \с21, с22, с2з{ = \сз2с1з — с12сзз, с11сзз, - С1С2 / ;

1 = {с11,с12,СзЛ = {&зо,^зо,сзо}

з0

Ъзо = -ЪА 1 ( С4^зо + ¿4Сзо ), ¿зо = - (¿зЬ3 1 + ЪА 1^4 + езЬ3 1 с301) , сзо = сзЬ3 1 - с^Ъ-

2

е

1

1

2

е

з

2

1

е

1

ез = {4,4,4} = ;

ез = ез = !г3 г3 г3 1 = /г3 г3 - г2 г3 г3 г3 - Г3 г3 г3 г3 -с3 с3 \ •

е2 = ез х е1 = \с21, с22, с2з / = \с32с3 с3зс2, с11с3з с3 1с1з, с3 1С12 с11с32 / ;

1

у/ь4о + ¿2 + с2

е1 = {&4о, -d2,C2} ■ 2 = {с41,С!2, 4} , &4о = ь4 1 (С4^2 - d4C2) ;

= {4,4,4} = {&4,С4,^4} ■

^ь! + + ¿4

Формулы перехода между системами координат имеют вид:

е4 V е4 = (г4 г-4 гМ = (г-4 И И И И И И И И И И И 1 ез х е1 = \с21, с22, с2з / = \сз2с1з - сззс12, с11сзз - сз1с1з, сз1с12 - с11сз2/ •

1

В"т = А„А-1 Л = \\сктп\\, В"т = \\ъ%р\\, Ь^к = с^рс1р, (В"т)-1 = (В"т)* = ВТ

~"т = А /„1 „1 \ ит = г ит ит „,"т\ т = г т т т!

хо = А" Iх то х"о) , хо = {х1о ,х2о , хзо } , х = {Х1 ,х2 ,хз} • Здесь х^о — векторы начал координат систем хтотт = 2, 3,4 в системе х1о1.

Далее для иллюстрации построен блочный элемент для дифференциального уравнения:

д(дж1, дх12,дх13)^ = [А11д2х11 + А22д2ж1 + Аззд2х1з + А] х\, ж!) = 0.

х"

В" х + Xп

Граничная задача поставлена в области П с некоторыми граничными условиями, например, Дирихле или Неймана.

Сформулируем граничную задачу в каждой локальной системе координат хиоу, V = 2, 3,4:

д (дх„, дх„ ,дх„) V = (к1кВдх1кдх: + А) V = 0, Аррс^с]

А"

РР^тр^вр тв •

=

тк ак,

т г т т т

а = {а^ , а, аз

}.

Следуя алгоритму дифференциального метода факторизации [1,2], введем двойное и тройное преобразования Фурье и запишем функциональные уравнения для пирамиды:

К Фи

Ц [А33 (^„з - г а^) - К А^« - га«А«з?„] ехрг [а?^ + а«г]„] ¿^¿г]« +

ЭПъ

4 '

+ // [А3з (Ут3 - гьзтат^т) - г&1татА1з^т - гЬ^тА\з^т] х

х Бит (а1 ,а„ ,а„ ,х\,хт2, 0) йх^йх^, V = 1, 2, 3, 4.

Здесь и далее штрих у знака суммы означает, что член т = V опущен. Внешняя форма в локальных системах координат имеет вид

ш" = К"йх„ Л йх" + д„йх„ Л йх„ + Р" йхТ Л йх3,

д„ = ^'Л" >

= ег(а"х" >

Атт ( д"*7 - гат^ - «а А1 т+ Атз

А3з ( - - А1з^„ - ~>'аТАТз^

Р„ = ^г'а" х" >

Ч-га1^ +Al3 дх" + А1т ех^

е*'а"х" > = ехр ^а\х1 + аТхТ + а„х„), V = 1,2, 3, 4. Определив корни характеристического уравнения

К (а„) = -д (-г а„) = А33 (а„ )т + А1 •а" + Ао - А = 0,

А1 = Е [Атзат + а«], Ао = ]Т А

^-0 / , Атв атав т,з = 1

в каждой локальной системе координат, составим псевдодифференциальные уравнения для рассматриваемого блочного элемента:

¥_1(х"1 ) { / I [А3з (^з - га„_р„) - га« - гаТ А>„] ехр*[а„ + а« ц«] ¿^ х

т=1

]Г / / [А3з (^тз - г(Ь1"тат)_^т) - г(ЬТ^-А^т - г(б^т^з^т]

£>„т (а!, а«, а«_, х1, хт, ^ ¿х[йхт } =0, V =1, 2, 3, 4,

(ЪР^ат)- = ЩлаЧ + + Ьр"аз3_, а«±

-А1 ^АТ - 4А«з (Ао - А)

2А3з

Коэффициент А«3 те ^^гаспт от а", Ао, А1 — только от а„,а„; а«_ — корень с отрицательной

мнимой частью, 1т а3_ ^ 0.

а" = Вита

т

а

т

т

х

х

X

Решение задачи, записанное в локальных системах координат, имеет вид:

i „« ^) = -F-1 (_„ „« ^)K-I\J! [A33 (^3 - *«3Vv) - КA"^ - га^A^v] х

^ ЯП

fv ) = F (Ж„ ,х2 ,Х„ )К„ } J I ^33^1-3 - - ъ u^^v - ъ ^2^234^1

ЯП

4 '

х exp г [п\ + av2^] dVv2 + ¿ íí [A33 (Vt3 - Íb3^avm^T) -

«mA13^T - «^rn «rnk23^T ] х ^t ^ , «2 > «3 > > > 0) dx1 dx2^ ■

T =1 ЯП

Заключение

Вулканнческася постройка — сложный геологический объект, включающий области как с прямолинейными, так и криволинейными границами. Для их моделирования возможно введение блочных элементов частного вида, например, слоя или полупространства с вырезанным цилиндром, но и универсального блочного элемента в форме треугольной пирамиды, позволяющей приближенно описывать любые выпуклые многогранные области и области с криволинейными границами. Рассмотренный блочный элемент может быть самостоятельным упругим телом, моделирующим конус вулканической постройки. В этом случае решения псевдодифференциальных уравнений и их производные могут иметь особенности в вершинах пирамиды и на ее ребрах, как и само решение граничной задачи. Если же блочный элемент возник как результат разбиения на контактирующие блоки некоторой области, то в этом случае указанные особенности взаимно уничтожаются при контакте блоков и не присутствуют в решении, что позволяет упрощать решение псевдодифференциальных уравнений.

Список литературы

fl] Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko Ü.M.. Gorshkova E.M., Zaretskaya M.V., Mukhin A.C., Pavlova A.V. Convergent properties of block elements // Doklady Physics. 2015. V. 60. iss. 11. P. 515-518.

[2] Зарецкая M.B. Математические методы исследования неустойчивых геологических структур // Защита окружающей среды в нефтегазовом комплексе. 2013. № 7. С. 33-38.

[3] Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К теории блочного элемента // Доклады академии наук. 2009. Т. 427, № 2. С. 183-186.

Зарецкая Марина Валерьевна — д.ф.-м.н., профессор кафедры математического моделирования;

Кубанский государственный университет;

e-mail: zarmv@mail.ru;

Бабешко Ольга Мефодиевна — д.ф.-м.н., главный научный сотрудник научно-исследовательского центра прогнозирования и предупреждения геоэкологических и техногенных катастроф;

Кубанский государственный университет;

e-mail: babeshko49@mail.ru; Лозовой Виктор Викторович — к.ф.-м.н., старший научный сотрудник лаборатории математики и механики; Южный научный центр РАН;

e-mail: niva_kgu@mail.ru. Дата поступления — 30 апреля 2019 г.