Об уплотнении счетно компактных пространств на бикомпакты Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 5, 1998

УДК 515.12

ОБ УПЛОТНЕНИИ СЧЕТНО КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ НА БИКОМПАКТЫ

Н. С. Стреколовская

В статье строится пример счетно компактного вполне несвязного пространства, уплотняющегося на связный бикомпакт в СН.

Теория уплотнений счетно компактных топологических пространств содержит ряд нерешенных вопросов.

В статье строится пример счетно компактного вполне несвязного пространства, уплотняемого на связный бикомпакт в предположении СН. В работе [1] В. В. Федорчук и А. В. Архангельский в теореме 1 построили класс нормальных счетно компактных пространств, не уплотняющихся на бикомпакты. В частности, авторами работы

[1] поставлен вопрос (5): можно ли индуктивно нульмерное счетно компактное пространство уплотнить на связный бикомпакт ?

В настоящей заметке мы построим пример счетно компактного пространства X с близкими свойствами, уплотняемого на связный бикомпакт У. Отметим, что из связности бикомпакта У следует, что его размерность сЦт У(тс1, тс1) строго положительна. А именно, тс1У = 1. Имеет место

Теорема 1. Существует счетно компактное вполне несвязное пространство X с первой аксиомой счетности, тс1Х = 1, которое уплотняется на связный бикомпакт У в СН.

© Н. С. Стреколовская, 1998

Об уплотнении счетно компактных пространств на бикомпакты 149

Доказательство. Перейдем к построению пространства X. Пусть Z = \¥(иох) — пространство трансфинитов, меньших первого несчетного порядкового числа в естественной порядковой топологии. Возьмем два экземпляра пространства и и вклеим в каждый от-

резок трансфинитной прямой [а, а + 1] отрезок единичной длины. Получим два множества Zo и Zl. На объединении множеств Т = и 21 введем естественный лексикографический порядок.

Из пространства Т сконструируем основное пространство X следующим образом. Обозначим декартово произведение пространств Т и канторова совершенного множества С на прямой через Т', то есть Т1 = Т х С. Из топологического пространства Т1 путем склейки каждой пары рациональных точек вида х Е Zo, х Е в пространствах Т х {р} в одну, если р — точка первого рода, а также путем склейки каждой пары иррациональных точек вида ж Е ^о, ж Е ^1 в одну в пространствах Т х {р}, если р — точка второго рода, получим фактор-пространство. Обозначим его То. Рассмотрим дискретную сумму пространств То и одноточечного пространства {1} .

Получим пространство X = {1} и То. Нетрудно видеть, что полученное пространство X счетно компактно с первой аксиомой счет-ности и имеет индуктивную размерность тс[Х = 1. В качестве пространства У, на которое уплотняется пространство X, возьмем множество X и изменим топологию в одной лишь точке 1. Множества вида {1} и (а, 001) х (7, где (а, 001) — сумма двух интервалов в пространствах Zo,Zl, образуют базу окрестностей точки {1}.

В качестве уплотнения % : X => У возьмем тождественное отображение, т. е. %{х) — х для любой точки х Е X. Очевидно, прообраз базисной окрестности точки 1 при отображении i открыт в X, что обеспечивает непрерывность отображения г.

Бикомпактность пространства У устанавливается непосредственной проверкой.

Покажем, что пространство У связно. Допустим противное: У допускает разложение У = 0\ и О2, где 0\, О2 — непустые открытые дизъюнктные множества. Пусть точка 1 принадлежит множеству 0\ для определенности.

Обозначим

тГ{& : (Ъ,р) е О1} = Ър.

Точки р, для которых Ър = 0, не могут быть всюду плотным множеством в канторовом совершенном множестве С. Иначе имели бы

150

Н. С. Стреколовская

Ьр = О для всех точек р Е (7, откуда вытекает, что X С Oi, О2 = 0. Итак, существует отрезок [а, Ь] С [0,1], что для всех точек множества Cab — С П [а, 6] имеем Ьр ^ 0. Если р — точка первого рода, то Ьр является иррациональным числом, если р — точка второго рода, то Ър является рациональным числом на множестве Саъ• Пусть образуют множество рациональных чисел. Пусть Еп — это множество точек второго рода из множества Саъ, для которых Ьр = гп. Тогда множество Е точек второго рода является счетным объединением Е = UЕп. Тогда множество Саъ является счетным объединением множества точек первого рода и множеств Еп. По теореме Бэра существует такой номер П, ЧТО множество Еп ВСЮДУ ПЛОТНО В куске Са'Ъ' ^ СаЪч где для любой точки р из множества Са'Ъ' Ьр = гп. Возьмем точку первого рода z = (р, гп) из множества Са'Ъ' • Тогда точка z может находиться либо в Oi, либо в02. В любой окрестности точки z лежат точки множества 0\, а именно, точки z1 — (р1, у'), где \р — р1 \, у1 — гп 0, р1 G Е и достаточно мало. Но в любой окрестности точки z имеются точки множества О2, а именно, точки z' = (р', у'), причем р' G Е, у' — гп 0 и достаточно мало. Из замкнутости множества О2 следует, что точка z лежит в множестве О2. Аналогично, точка z лежит в множестве 0\. Итак, z G 0\ П О2. Противоречие. Связность бикомпакта Y установлена.

Теорема доказана. □

Resume

In the paper in assumption CH it is constructed the example of one to one continuous mapping of first countable most disconnected topological space X with dimension indX = 1 onto connected compact Y.

Литература

[1] Архангельский А. В., Федорчук В. В. Об уплотнении счетно компактных пространств на бикомпакты// Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2. Вып. 3. С. 52

[2] Александров П. С., Урысон П. С. Мему ар о компактных топологических пространствах// М.: Наука, 1971.