Об угловых ускорениях звеньев плоских стержневых механизмов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2007, № 2, с. 142-144

УДК 37.519.86.681.3.06

ОБ УГЛОВЫХ УСКОРЕНИЯХ ЗВЕНЬЕВ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ МЕХАНИЗМОВ

© 2007 г. М. Ф. Кулешова, Г.И. Тохтарь

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет Marina-Kuleshova@mail. ги

Поступила в редакцию 15.02.2007

На примере плоских стержневых механизмов показано существование двух составляющих углового ускорения звена, совершающего плоскопараллельное движение. Установлен их физический смысл. Приведены примеры практического применения.

Введение

При кинематическом и динамическом исследовании плоских механизмов возникает необходимость определения угловых ускорений. В известной нам учебной литературе [1, 2, 3] приводятся различные способы определения углового ускорения плоской фигуры в целом и речь не идет о каких-либо его составляющих. В статье на примере плоских стержневых механизмов показано существование двух составляющих углового ускорения звена, совершающего плоскопараллельное движение, установлен их физический смысл, приведены примеры их практического использования.

Состояние вопроса

Из литературы [1, 2, 3] известно, что угловые ускорения звеньев, совершающих плоскопараллельное движение, могут определяться:

а в = аА +

а) из векторной формулы

77777

Рис. 1. Кривошипно-шатунный механизм

da dt 1 dVA AP dt

d_ ( V. dt

A

v AP,

ir d + Va ~~~ A dt

(1)

AP

где VA - скорость полюса, АР - расстояние от полюса А до мгновенного центра скоростей Р (м.ц.с.). При этом следует заметить, что применять формулу (1) рекомендуется в случаях, когда расстояние АР = const [1, 2].

Составляющие углового ускорения и их физический смысл

+ аВА + аВА после нахождения aBA и далее, как

отношение gab = aTBA / AB ;

б) по заданному закону вращения плоской фигуры / = /(t) как вторая производная

s = d V/ dt1 от угла ее поворота;

в) из геометрии механизма по известным зависимостям между угловыми и линейными параметрами его звеньев. На примере кривошипно-шатунного механизма (рис. 1), исходя из зависимости OA • sin р = AB • sin /, угловое ускорение шатуна АВ находится после двукратного дифференцирования исходной зависи-мости;

г) по формуле, вытекающей из определения углового ускорения

Представим формулу (1) в виде обозначив

Є = Є * +Є **

є* =

_L V

AP dt

и

є

* * —

= vd dt

aA

AP

\

v AP У

(2)

(3)

(4)

В работе [4] показано, что любому плоскому стержневому механизму в каждый момент времени может быть поставлена в соответствие мгновенная рядовая передача, состоящая из колес, центры которых совпадают с центрами скоростей каждого звена в данный момент времени. Особенностью мгновенной рядовой передачи является наличие переменного радиуса

є

1

1

колеса, которое соответствует звену, совершающему плоскопараллельное движение. В этом случае кривошипно-шатунный механизм (рис. 1) в рассматриваемый момент времени может быть представлен мгновенной рядовой передачей (рис. 2), в которой «ведомое» колесо соответствует шатуну АВ, совершающему плоское движение. Покажем, что угловое ускорение «ведомого» колеса имеет две составляющие.

£пл Ар

(рис. 2) состав-

Из соотношения

£

OA

*

OA

ляющая £ * будет равна

£*

£oaOA

a

AP AP

где АР - мгновенное значение радиуса ведомого колеса.

Вид этой формулы, совпадающий с (3), позволяет придать ей следующий физический смысл: составляющая s * характеризует неравномерность вращения ведущего колеса в соответствующей мгновенной рядовой передаче.

Второе слагаемое формулы (2) и, следовательно, составляющая s ** (формула (4)), очевидно, будет отличным от нуля только тогда, когда расстояние АР, то есть расстояние от полюса А до м.ц.с., не является постоянным при движении механизма. Таким образом, составляющая s ** характеризует изменение радиуса «ведомого» колеса в соответствующей мгновенной рядовой передаче.

Проиллюстрируем приведенные выше рассуждения на нескольких примерах.

Рассмотрим механизм эллипсографа, кривошип которого вращается с угловой скоростью: (0ОА = const. На рис. 3 представлена соответствующая ему мгновенная рядовая передача.

Угловое ускорение SBD в соответствии с (2) запишется: sBD = s * +s * * . Расстояние АР во все время движения механизма является постоянным, следовательно s ** = 0 . Составляющая s *, определяемая формулой (3), приобретает значение s* = sOAOA / AP = sOA углового ускорения звена ОА. Следовательно, угловое ускорение sBD звена BD будет определяться только наличием углового ускорения sOA звена

ОА: £

BD

£ = £

OA •

В результате, в этом примере нам удалось

Рис. 2. Кривошипно-шатунный механизм и соответствующая ему мгновенная рядовая передача

Рис. 3. Механизм эллипсографа и соответствующая ему мгновенная рядовая передача

В качестве второго примера нахождения углового ускорения рассмотрим кривошипношатунный механизм (рис. 2), приняв АВ = 2ОА, р = nt /6, рад., t = 1 с.

. п -1

Угловая скорость (Ooa =р = — c = const,

6

следовательно, s* = 0 во все время движения механизма. Из рис. 2 находим, что AP = AB • cos^/cos р. С использованием (4) и учетом, что по условию АВ = 2ОА, получим:

-®OA sinpcos^ + ^AB sin^cosp

s = ®OA - •

2cos у

найти искомое угловое ускорение £ВП звена При I - 1 с находим, что е** = -0,0565 с

ВБ, сократив процесс его вычисления [2]. = еАв.

Знак минус означает, что направление углового ускорения sAB звена АВ противоположно направлению его угловой скорости О AB. Этот результат совпадает с результатом вычисления sAB по одному из традиционных способов. Итак, если угловая скорость кривошипа кривошипно-шатунного механизма является постоянной, т.е. <i>oa = const, то угловое ускорение

sAB звена АВ обеспечивается только за счет изменения расстояния от полюса А до мгновенного центра скоростей Р или, иными словами, за счет того, что радиус мгновенной рядовой передачи r2 = AP является переменным.

Представление углового ускорения плоской фигуры в виде суммы двух слагаемых позволя-

ет предложить отличный от традиционного алгоритм кинематического анализа плоских механизмов, который в некоторых случаях является более простым и эффективным.

Список литературы

1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т. 1. - М.: Наука, 1982. - 352 с.

2. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Наука.1983. - 575 с.

3. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1972. - 456 с.

4. Кулешова М.Ф., Никитин В.И. Об использовании аналогий в изучении дисциплины «Теоретическая механика» // Вестник ХГАДТУ - Харьков, РИО ХГАДТУ. Сб. научн. тр., 1999. Вып. 9. - С. 13-15.

ANGULAR ACCELERATIONS OF SEGMENTS OF PLANE LINK MECHANISMS

M.F. Kuleshova, G.I. Tokhtar’

By using the example of plane link mechanisms, we demonstrate the existence of two components of the angular acceleration of a segment undergoing plane-parallel motion, reveal their physical meaning, and provide some examples of practical use.