УДК 511.83
(О С. А. Логунов
serlog@uni. udm.ru
Об УДАЛЕННЫХ ТОЧКАХ И ТОЧКАХ-БАБОЧКАХ
Ключевые слова: расширение Чеха-Стоуна, наследственная нор-
мальность, удаленные точки, точки-бабочки.
Abstract. It is proved for second countable topological spaces without isolated points, that every remote point in the remainder of Chech-Stone compactifxcation is a butterfly-point.
Введение
Мы исследуем различные типы точек в наростах X* = /ЗХ —X расширений Чеха-Стоуна. Пусть р £ X*. Если /ЗХ - {р} не нормально, то р называется точкой ненормальности. Несмотря на |tii.iiыпие усилия, в со* только для очень специфических типов инок удалось показать, что они являются точками ненормальности (см. например, [1], [7] или [8]). Но если X — нормальное пространство со счётной базой и без изолированных точек, кото-
...либо локально компактно, либо нульмерно, то всякая точка
п.фоста является точкой ненормальности [5], [6]. Б.Э. Шагсиров-' Ы1Й ввёл понятие 6-точки (или точки-бабочки) [9]. Мы будвм го-иирить, что р 6 X* является 6-точкой в (ЗХ , если она является IIIИ '.цельной точкой для некоторых множеств F и G С X* — {р}, ммкиутых в /ЗХ — {р} и непересекающихся [5]. В этом случае р тшиется точкой ненормальности. До сих пор неизвестно, всякая in к)Чка в экстремально несвязном компактном пространстве ии ок'тся точкой-бабочкой. Если р не принадлежит замыканию никакого нигде не плотного подмножества пространства X, то /> называется удалённой точкой. Этот тип точек стал посуля-1"'м после опубликования работ Э. ван Дауэна [2] и [3]. А, Доу пи. гроил удалённые точки в наростах непсевдокомпактных про-
■ 11»лпс.тв 7г-веса и)\ [4].
1. Основные результаты
Теорема 1. Пусть пространство X нормально, со счётной базой и без изолированных точек. Тогда всякая удалённая точка р £ X* является b-точкой в (ЗХ. Следовательно, пространство (ЗХ — {р} ненормально.
Доказательство. Всегда в дальнейшем выполняются условия теоремы. Каждое трансфинитное число отождествляется с множеством меньших трансфинитных чисел. Так 2 = {0,1}, 3 — {0,1,2} и со = {0,1...}. Если U С X открыто, то Ue = (ЗХ — clрх{Х — U). Мы пишем U С V только для собственных подмножеств множества V. Пусть 2х — семейство подмножеств множества X. Тогда семейство 7г С 2х называется (строго) клеточным, если его члены (их замыкания) попарно дизъюнктны. Семейство называется звёздно конечным, если каждый его член пересекает не более конечного числа других членов тг. Множество всех отображений из 7г в 2 обозначается 27Г. Если каждый член 7г содержится в некотором члене сг, где а С 2х, то 7г измельчает <т, 7г > а. Если, кроме того, каждый член п пересекает не более конечного числа членов <7, то тг конечно измельчает сг, 7г >fin сг. Пусть В = {bjjj^u — счётная база в X. Пусть непустое открытое множество bj {k) С X выбрано для всяких j,k Еш так, что clbj(k) С и bj = Т°гДа
Bjk = {bj} (J{6 G В: b f)bj(k) = 0} — открытое покрытие X. Семейство {Bjk}j,k£w может быть заиндексировано в виде {В{){^ш. Открытые звёздно конечные бесконечные покрытия Vi, i € со пространства X и непустые открытые множества U(k) С X для всяких U £ Vi и к £ со легко могут быть построены так, что:
1) с\Щк)си(к + 1) и U = \JkewU(k);
2) если i<j <со и V£Vj, то либо V£ U, либо V f) U{j) = 0;
3) Vi+\ !> fin Vi > Bi. Тогда (3) легко влечёт, что V = ^>i
является базой в X.
Лемма 1. Для каждого покрытия п С V пространства X существует локально конечное в X подпокрытие сг С тг.
Доказательство. Для каждой точки х 6 X фиксируем единственное U{x) Е 7г, содержащее х и принадлежащее V{ с минимальным индексом i. Тогда любое подпокры-
тие без повторяющихся множеств а покрытия {и(х) : х Е X] удовлетворяет условиям леммы. Действительно, если X Е и для некоторого и Е сг, то х Е и (к) и II Е Р{ для подходящих А:, г 6 о;. Для любого ^ /г -И существует окрестность С X точки ж, пересекающая лишь конечное число членов Но тогда Ох — Р) Отхи(к) пересекает лишь конечное число членов
п. Действительно, для любых т > к + i и V Е Рт, У <£ V влечёт V (~]и(к) — 0 по построению и V С и влечёт У а.
Легко заметить, что если 7г — локально конечное открытое покрытие X, то семейство Л(тг) = {У(/) : / Е 2^ и У(/) / 0} о ткрытых множеств
У(Л = ГКГ/е/№) = °ь1>1С7:Я17) =!}
• чётно, клеточно, локально конечно и измельчает 7г, с1 Я(к) = Х. ()цределим семейства V*. и 144 индукцией по к £ со следующим образом. Пусть £>о = 72. (Ро)- Если = {У{ : г Е о;}, то = : с1Уг(1/) С К' Для каждого г Е о;, ^ Е 3} является строго плеточным подсемейством V и Т>ь+1 = 72.(Р& и и 7^+1). По построению каждое Т>к локально конечно; V{у) Е У\?к непусто ДЛЯ каждого V Е Т>к и и Е 3; если [/ и У Е ЦьеиД^и^) пересекаются, то либо (/СУ, либо и Э У. Каждое V £ V принадлежит Р^и) Для единственного /с(С/) Е Тогда
/)([/) = {У е ^(гу): ^ П и ф 0 или, эквивалентно V С £/}
п моет всюду плотное в и объединение. Если тс С V — локально мжечное покрытие X, то Х>(7г) = \1{0(и) : Е 7г} локально ко-
Н1*чио и И7 = и Т>(тг) всюду плотно в X. Для произвольной точ-| п х Е УУ мы положим кж(х) = тт {&({/) : 17 Е 7г и х Е и^(^)} и обозначим У’(ж) единственный член содержащий х.
Гогдв V(ж) Е 2}(7г). Покрытие (У(а;) : х Е И^}, состоящее из пню совпадающих, либо дизъюнктных множеств, содержит кле-Iочное подпокрытие <т(7г) множества ’УУ. Если а — а(тт) = {У{ : м; и}, то а (и) = {У{(и) : i £ и} для каждого г/ Е 3 и
<т(р) = {5 С сг: р Е с!/?* У$}.
Так как р является удалённой точкой, то следующие условия эквивалентны для любого 8 С а : 8 £ ^{р), р £ и
Р £ ~ <*)• Поэтому £(сг) - {А С : ре с1^ЦеЛУг}
является ультрафильтром на ш и [ст] = р){с1да и^ : ^ € ^{р)} равно [}{с\рХ Цел К 1 А £ С(сг)}- Для всяких а и <5 из
О = {сг(7г): 7г С V является локально конечным покрытием X}
мы положим а <р 8, если
Р £ с1 рх{У £ 8: и <^.У для некоторого V £ сг}.
Тогда {аа : а £ г} С Г2 мы будем называть максимальной цепью, если а < /3 < т влечёт сга <р ар (и, следовательно, [<та] I) [ар]) и для каждого а £ £2, а <р аа для некоторого а < т. Так как любые а и 8 € £2 сравнимы в смысле <р, то максимальные цепи существуют. Пусть
А(р) = ппп{|Д|: А С ^ является максимальной цепью}.
Пусть в дальнейшем 0 = {<та: а < А(р)} — максимальная цепь минимальной мощности А(р), где [сг0] С X*.
Л е м м а 2. Для произвольной окрестности Ор С (ЗХ, [*а] С Ор для некоторого <та £ 0.
Доказательство. Пусть с\рх О'р С Ор для окрестности О'р С (ЗХ. Для произвольной точки х £ X существует окрестность Ох Е V такая, что либо Ох С Ор, если х Е сЮ'р, либо Ох {^\с\0'р = 0 в противном случае. Покрытие {Ох\ х Е X] пространства X содержит локально конечное подпокрытие 7г в силу леммы 1. Тогда для каждого аа £ 0, (Уа >р 7Г) > 7Г ВЛечё'Г
[аа] с [сг (7г)] с с1 рх у|{0а; :х£1П с \0'р] С с1 рх Ор.
Лемма 3. Для любых а < Х(р) и и Е 3 существует точка ра{у) £ [^а] такая, что ра(и) Е с\рх и сгр(и) для каждого (3 Е А (р) - а.
Доказательство. Мы должны для всяких п Е и, а - (3о <...< (5к < Рк+1 < ... < 0п < КР) и 8а Е аа(р) построить последовательность
Ио = ... — [/о-\-к0 ^ ио(у) Э . . . Э = . . . 11г+к{ 2 ^г{у) 2 • • •
5 -=: . . . — ит-\-кгп » ® — 0 ... 771 1,
так, что
<Уо ^ ^ (1)
и для каждого к = 0.. .п € <70*. для подходящих индексов
/ ^ 771 И £ &г\
Выберем 5^ £ сгрк(р) следующим образом. Пусть <^0 = <£а. 13сли к < 7г и ^ построены, то
<5 = {и £ сгрк+1: и ^.У для некоторого У £ сг^}, е 6: и$У для некоторого У 6 8рк}
и <$1 = {О Е 6 : /7 П (и^) = 0} удовлетворяют следующим условиям: рЕ и^£) <^о и = 6 и (и^)е ^ (Ц)^)е = 0- Следонагельно, р Е и^о и> обеспечивая 5рк+1 > 8рк, мы можем положить 8рк+1 = <$о- Теперь мы можем зафиксировать 11к Е 6рк для каждого к — 0 .. .тг так, что они образуют последовательность
I 'о — . . . = £/о+/с0 2 • • • 2 иг = • • • — ^г+А^ 2 ’ • * 2 — • • • = ^тп+А:т •
II. 1М необходимо вставить £/г-(г/) в нужные места последоиатель-||п(’ти. Для этого предположим, что для некоторого г < тп удо-|> к гворяющая (1) последовательность
и0 = ... = и0+ко 2 ЭД>М 2 • • • 2 ЭД-1М 2^ = ...
... = иг+к12и1э... 2 К
....роена и все £/Д^), j < г, вставлены. Тогда, используя мак-
■ имальность и клеточность семейств сга, мы можем заменить
I I <7^, для каждого к = £.. .п на тот же самый или другой
....и и к того же самого семейства сгрк, так, чтобы выполня-
.... (I) и следующее условие: П2=< и и%(и) ф 0. Но тогда
Ui(u) Э Uk потому, что иначе Uk 2 Ui 2 Щ в противоречие с нашей конструкцией. Последовательность
С/о = ... = ^0+А:о ^ Uo(v) D . . . D Ui = . . .=
= Ui+ki 2 Ui(v) DUkt 2 • • • 2 Ukn
ещё с одним вставленным Ui{v) является искомой на данном шаге. После окончания индукции доказательство завершено.
Пусть для каждого v Е 3, Fu — {pa(v) : а < А(р)}. Тогда Fv С Ы С X* в силу выбора <т0. Для произвольной окрестности Ор С (ЗХ, {ра{у) : ос Е А(р) - /3} С [ар] С Ор для не-
которого /3 < А(р). Это влечёт р Е clpx(Fu ~ {р})? исключая, возможно, случай, когда pa{v) = Р для каждого а Е А(р) — 7 и {ра: а < /3} содержится в с\рх иа/?(^)> который не пересекается с U c7/?(zy/)) для любого другого v' Е 3. Наше доказательство завершено.
Список литературы
1. Blaszczyk A. and Szym^nski A. Some nonnormal subspaces of the Cech-Stone compactifications of a discrete space // Proc. 8-th Winter School on Abstract Analysis, Prague. .1980. P. 73.
2. Douwen van E.K. Why certain C’ech-Stone remainders are not homogeneous // Colloq. Math.. 1979. V. 41. P.45-52.
3. Douwen van E.K. Remote points. Dissert.Math. 1980. V. 188. PP. 95.
4. Dow A. Remote points in spaces with 7r-weight // Fund. Math. 1984. V. 124. P. 197-205.
5. Logunov S. On hereditary normality of compactifications // Topology Appl. 1996. V. 20. P. 35-39.
6. Logunov S. On hereditary normality of zero-dimentional spaces // Topology Appl. .1999. V. 18. P. 25-31.
7. Mill van J. An easy proof that (3N \ N \ {p} is non-normal // Ann.Math.Silesianea. 1984. V. 2, № 2. P. 81-84.
8. Rajagopalan M. (3N — N — {p} is not normal // Journal of the Indian Math. Soc. 1972. V. 36. P. 173-176.
9. Шапировский Б.Э. О вложениях экстремально несвязных пространств в компактные хаусдорфовы пространства, 6-точки и вес точечно нормальных пространств // ДАН СССР. 1987. Т. 223. С. 1083-1086.