CC BY
10Об учёте нелинейности объёмной деформации в деформационной теории пластичности
Агахи К.А. fKamilla@imec.msu.ru ), Кузнецов В.Н., Шестериков С.А.
Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова
В работе рассмотрены варианты деформационной теории пластичности для изотропной и транстропной сред, учитывающие нелинейное поведение объёмной деформации.
Работа выполнена при поддержке Российского Фонда фундаментальных исследований (грант № 00-01-00564)
Как известно, в теории малых упругопластических деформаций [1] механические свойства материала полностью задаются одной материальной функцией (ги = Ф (еи) , которая определяется из опыта на кручение
тонкостенного цилиндрического образца и двумя константами - модулями сдвига О и объёмного сжатия К.
Основные уравнения обычно записываются в виде:
si] = 2в (1 -ю( еи)) е. (1)
с = Кв (2)
s .. = с - сд ,е.. = б - —вд..
] ] ] ] ] 3 ]
Пусть сги = Ф (еи) - экспериментально определённая зависимость между квадратичными инвариантами девиаторов si] и е.. Тогда функция нелинейности а>(еи), без обычно принимаемого условия несжимаемости V = 0,5, определится следующим образом:
-Ф(еи)
ю
(еи)
2Сен 0,
С = S]S] с = 1/3сА , еи2 = е]е] ,в = С5]
Здесь с. ,£„■ - тензоры напряжений и деформаций, s ., е . - соответствующие
У У У У
девиаторы, си, еи - их квадратичные инварианты (интенсивности), с -среднее напряжение, в - относительное изменение объёма, е8 - предел упругости материала, V - коэффициент Пуассона.
В этой модели функция Пуассона р, равная модулю отношения поперечной деформации е22 к продольной б11 в опыте на растяжение цилиндрического образца,
V
¿
22
'11
(3)
может быть выражена аналитически через введенную выше функцию с( еи). Действительно, в случае одноосного растяжения, когда <11 ф 0, а остальные компоненты < = 0, из (1) и (2) имеем, в частности
<22 = 20 (1 -с) е22 + Кв = 0
или
2G (1
¿11 + ¿22 + S33
'22
+ К (¿Гц + ¿22 + ¿33 ) = 0
V ^ У
причём, в этом опыте, очевидно, е22 = £33 =-рехх. После простых преобразований получаем, что р является дробно-линейной функцией со :
3Л + 2цсо
V
22
11
6 (Л + ¡и)- 2^(0
(4),
где, как известно
упругости
ш = 0
и
К = Л + 2/3и G = и
Очевидно, что в пределах V = v = Л/2(Л + и) = const.
Таким образом, если функция ш( еи) найдена из опыта, то функция v
полностью определена согласно выражению (4); в то же время эта зависимость может быть построена по формуле (3) непосредственно из эксперимента, как модуль отношения измеренных в опыте на одноосное растяжение деформаций ¿22 и ¿п, причём ¿п и ¿22 являются функциями параметра нагружения <г11. Это отношение можно представить как функцию
интенсивности деформаций соотношением:
еи, которая в этом случае определяется
¿11 + ¿22 + ¿33
'11
+
¿11 + ¿22 + ¿33
22
+
¿11 + ¿22 + ¿33
33
1/2
(5),
причём £п ив22 = £33 измерены в опыте как функции напряжения <11, играющего роль параметра нагружения. Сопоставляя (5) и (3) получаем, экспериментальную зависимость
( = (( еи) (6Х
е
и
которая может быть сопоставлена с «теоретической» зависимостью (4). При этом совпадение гарантируется только в точке £11 = е5 на границе упругой
области и при е11 >> , (когда е11 ; 10%), и р; 0,5. В области упругопластических деформаций такое совпадение или близость известны для стали, дюраля и обычно не проверяются для классических сплавов. В то же время близость экспериментально найденной функции Пуассона р (3) и функции (5), существующей в теории не гарантирована для других материалов (порошковых, армированных и т.д.), изотропных и в среднем однородных.
В случае, если эти зависимости существенно различаются, естественным представляется исправить положение путём введения второй функции нелинейности, учитывающей нелинейность зависимости относительного изменения объёма в от среднего напряжения <. Подчеркнём, что линейность этой зависимости является упрощающей гипотезой, экспериментальное обоснование которой для большинства материалов авторам неизвестно.
Будем считать, что соотношение (2) обобщено следующим образом:
< = Кв[1 -с(в)]< 1
\= 0,в<в* (7Х
а = 0 о 2> 0,в>в*
в" играет роль предела пропорциональности для объёмной деформации [2]. Очевидно, что функция со (в) учитывает нелинейность изменения объёма
(вообще говоря, слабую, но существенную во многих случаях).
Эта функция со (в) может быть определена путём сравнения функции Пуассона р найденной экспериментально и полученной аналитически из уравнений модели, учитывающей нелинейное изменение объёма. Действительно, аналогично тому, как (4) определялось из (1) и (2), мы можем определить его из соотношений (1) и (7): р = 3Л + 2а) - КСо (в) 1 6(Л +ц)- 2цс(еи)- 6Ксо (в) Приравнивая р1 из (8) экспериментально определённой функции р, формула (3), найдём функцию со (в). Это устраняет погрешность теории, связанную с ошибкой в определении функции Пуассона р, а так же косвенно определяет зависимость < = <(в).
Продолжая рассматривать одноосное растяжение (сжатие), мы можем сравнивать величину функции с и со при значениях их аргументов, соответствующих величине .
Так как с < 1, со < 1, то знаменатель в формуле (8) положителен.
Пусть со << с, тогда 2цсо(еи)- Ксо (в)> 0
В этом случае функция Пуассона р возрастает и стремится к величине 0,5, что естественно ожидать.
Пусть теперь со и с одного порядка. Обозначим
1/3(2с(еи)-Ксо (в)) = А. Тогда, если А > 0, то р возрастает, если А < 0, то р может как возрастать, так и убывать.
Таким образом устанавливается, что в теории малых упругопластических деформаций при нелинейном изменении объёма возможны самые различные варианты изменения отношения Пуассона -возрастание, убывание, немонотонное изменение. Это обстоятельство позволяет в ряде случаев применять модель (1), (7) к расчёту деталей из пористых материалов с учётом их сильной нелинейной сжимаемости.
Теперь, когда суть дела ясна из анализа изотропного случая, рассмотрим этот же вопрос для случая модели ортотропной упругопластической среды, введённой в работе [2]:
= СуА - а^С (е )-аС(е)- ХСо (в)
е = - Лрв + Х°]к18г]8к1 )
в = Л°ыеу 8Ы
с(е) > 0,е > 1 0 со (в)> 0,в >в'
где е1]к1 - тензор упругих постоянных, Ау.к1 ,А°к1 - материальные тензоры: первый
описывает анизотропное распределение предела упругости в частице среды, второй - влияние типа напряжённого состояния с учётом анизотропии, 3Л = Ау.к1^]5к1, в - экспериментальная константа
Эта модель представляет собой обобщение на случай ортотропных материалов теории малых упругопластических деформаций, причём она содержит две функции нелинейности с и со, аналогично (1), (7).
Остановимся на важном случае трансверсальной изотропии. Пусть имеется цилиндрический образец, ось которого параллельна оси симметрии трансверсальной изотропии, которую обозначим Х3. Введём матричные
обозначения:
Х1111 ^ Х11>"ч х1122 ^ Х12 Х2323 ^ Х44,---, Х1212 ^ Х66 , ^ -ч А23 ^ "Ч А12 ^ А6 .
Пусть со (в) = 0. Тогда в условиях одноосного растяжения образца в направлении оси Х3 имеем:
£1 _ -р13£3, £2 = -р23£3, где рХ3 = /£ |, причём р23 _ рхъ и, аналогично изотропному случаю,
= С13 -(^13 + </£3 )с( е) .
13 С11 + С12 +а12 )с(е)' (В изотропном случае с11 _ Л + 2ц;..., с12 _ Л,...,а11 _ 4/3ц,...,а12 = -2/3ц). Если ао(в) ф 0, имеем:
с13 - (а13 + аГ /£3 )с(е) - — со (в)
р __£3
С11 + С12 - (а11 + а12
)с(е )
Список литературы
1. Ильюшин А.А. Пластичность (основы общей математической теории). Наука, М., 1963, 316 с.
2. Кузнецов В.Н., Агахи К.А. Построение материальных функций и численный метод решения краевых задач пластичности с учётом влияния гидростатического давления. Изв. АН Аз.ССР, сер. физ.-тех. и матем. наук, 1976, № 5, с. 130 - 135.
