Об отсутствии разрешимости задачи Шварца для некоторых типов матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95 001: 10.14529/ттрИ160102

ОБ ОТСУТСТВИИ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ШВАРЦА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ МАТРИЦ1

В.Г. Николаев

Рассмотрена задача Шварца для 2-вектор-функций, аналитических по Дуглису в круге. Доказано, что для некоторых типов матриц и граничных аналитических функций она не имеет решений. Построен пример.

Ключевые слова: голоморфная функция; аналитическая продолжимость; матрица; собственный вектор; область; контур Ляпунова.

1. Основные определения

Определение 1. [1] Пусть п Xп-матрица 3 не имеет вещественных собственных чисел. Аналитической по Дуглису (или 3 -аналитической с матрицей I) называется комплексная п-

вектор-функция ю(г) е С1 (В), для которой в плоской области В выполнено уравнение

3-^ = 0, (х,у)е В. (1)

ду дх

Определение 2. Будем говорить, что функция а>{г) соответствует матрице 3, если выполнено равенство (1).

Рассмотрим для системы (1) следующую граничную задачу Шварца [1].

Пусть односвязная конечная область В на плоскости ограничена контуром Г. Требуется найти 3-аналитическую с матрицей 3 в области В функцию а>{г) е С(В), для которой выполнено краевое условие

Re «((Я,...,И,), (2)

где вещественная вектор-функция () = (р(^),...,рп ^)) е С (Г) задана. При рассмотрении задачи Шварца будет использовано следующее

Определение 3. Гладкая кривая Г на плоскости называется линией Ляпунова, если существуют такие два вещественных числа а >0 и Ь, 0< Ь < 1, что для любых двух точек г2 е Г выполняется условие Ляпунова

|в|< а-1 г - г2 |Ь,

где в - угол между касательными или нормалями к Г в точках г2. Примерами линий Ляпунова могут служить окружность и эллипс.

Необходимо отметить, что имеет место следующий классический результат. Пусть Г — линия Ляпунова. Обозначим На(Г), На(В), 0< <г <1 класс функций, непрерывных по Гельдеру на Г или в В. Как показано в [2], в случае размерности п = 1 для любой граничной функции ре На (Г) решение задачи Шварца существует в классе функций ¿у(г) е На (В). Данное решение единственно с точностью до постоянной.

В статье доказано (теорема 1), что при п = 2 этот результат не всегда справедлив. Именно, существуют примеры неразрешимости задачи Шварца для единичного круга в тех же классах функций.

Прежде чем сформулировать основной результат, выполним редукцию задачи Шварца к некоторому функциональному уравнению.

2. Преобразование задачи Шварца для п = 2

Пусть 2 X 2 -матрица 3 имеет собственное число 1 = 1 кратности два, а ее собственный

вектор у не кратен вещественному. Обозначим вектор х = (1,0), тогда вектор

1 Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках выполнения государственного задания (проект 1.857.2014/К).

2 Николаев Владимир Геннадьевич - ведущий математик, Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого, Великий Новгород, Российская Федерация.

E-mail: [email protected]

у = (J — ¡Е) • х Ф 0, так как такая матрица J не может быть треугольной. Из последнего

равенства: Jх = ¡х + у. Кроме того,

Jy = J(J — ¡Е) • х = (J — ¡Е + ¡Е) • (J — ¡Е) • х = (J — ¡Е) • (J — ¡Е) • х + ¡Е(J — ¡Е) • х = ¡у,

поскольку (J — ¡Е )2 =0 согласно теореме Кэли-Гамильтона. Следовательно, столбцы матрицы

-- (1 О = ( х, у) =

а1 + а2г 1 0 ¿1 + b2¡ у

(3)

где а1, Ь1, а2, Ь2 - вещественные числа, будут жордановым базисом для матрицы J. По определению это означает, что

Jl = Я =

л-

о 1

1 \

(4)

Пусть 2-вектор-функция с( 2) е С (О) является аналитической по Дуглису в области О с Я2, то есть для нее выполнено равенство (1). Так как в силу (4) J = О^б"1, то с учетом (1) имеем:

сО^О-1 с о,

Эу Эх

откуда, умножая обе части на О—1, получаем равенство

^(О"1 с) — Jl (О"1с) = о. Эу Эх

(5)

Обозначим

с0( 2) = О"1 С( 2) =

^ 2)

у( х, у) у

Из (6) вытекает, что функции Г, уе С(О). Распишем (5) с учетом (4) и (6) подробнее:

Э ( {(2) Л

Эу х, у)

(i 01 1 ¡

д_ Эх

Г( 2) ^

¥( х, у) у

( 01

V 0 у

(6)

(7)

Первая строка (7) означает, что Г(2) - голоморфная функция. Согласно второй строке функция у( х, у) удовлетворяет условию

Эу . Эу = ЭГ = йf Эу Эх Эх

Обозначая Г( 2) = р+ i д и у/( х, у) = и + i V, выразим функцию с( х, у) из (6) с учетом (3):

с(2) = О • СС (2) =

(1 а1 + а2/' 1 ( 0 Ь1 + Ь2? у

р+ ¡ д

и + i V ,

(р(х,у) + а1 • и(х,у) — а2 • v(х,у) + i • Ь1(х,у) 1 ¿1 • и(х, у) — ¿2 • v(х,у) + i • Ь2(х,у)

(8)

(9)

(10)

где обозначено (Ь1,Ь2) =1т ю( 2).

Пусть функция с(2) е С (О) - решение задачи Шварца (2). С учетом (9) это означает, что имеет место следующая система линейных алгебраических уравнений относительно функций-переменных и(0 и v(t), t е Г:

и • и(0 — а2 • v(t) = — p(t) + ^), [¿1 • u(t) — ¿2 • v(t) = ^).

Определитель системы (10) имеет вид А = —а^2 + а2Ъ1 Ф 0, так как по условию собственный вектор у = (а1 + а^'Д + ¿27') матрицы J не кратен вещественному. Следовательно, система (10) имеет единственное решение относительно функций-переменных и^. С учетом очевидного равенства

р( х, у) =ЯеГ( 2) = 2 • Г 2) + Г( 2)] это решение можно записать в виде

у = и +7V = (к + т7) • р+ g1 + g27 = 1 • (к + т7) • [f + ?] + g1 + g2 7. (11)

Здесь к,т - вещественные числа; g1,g2 - вещественные линейные функции переменных Несложно показать, что

) = а} ) + а2 -р(0, (12)

1^(0 = Д -р(0 + в2 • ), 'еГ,

Ь2 Ь Ь2 а2 п Ь п а

к т ^ А = -а1Ь2 + а2Ьl, «1 = a2=-г, А = ^ А=Т. (13) А А А А А А

Далее рассмотрим уравнение (8). Непосредственной подстановкой проверяется, что его

общее решение имеет вид

7 ( f

у(х, у) = -г • — + ), г = х - 7у, (14)

2 аг

где Б1(г) - произвольная голоморфная в области В функция.

Объединяя (11) и (14), имеем следующее равенство, которое выполняется на контуре Г (в смысле предельных значений изнутри области В):

- а f 1

- г • — + БД г) |г = - • (к + т) • [f( г) + f( г)] + gl + g2 7,

2 аг 2

то есть

7 П

г--+1 • ^г) + г) |Г = —27^1 + g2 7), I = к7 - т, (15)

(г

где обозначено г) = I • f (г) - 27 р (г).

В (15) I Ф 0, так как в противном случае в силу (3) и (13) собственный вектор у будет кратным вещественному. В итоге доказана

Лемма 1. Пусть 2 X 2 -матрица 3 имеет собственное число 1 = 7 кратности два и собственный вектор, не кратный вещественному. Пусть со{г) — определенное в области

В с Я2 решение задачи Шварца (2). Тогда по со{г) можно построить голоморфные в В функции ^ г) е С (В) и г), для которых справедлива формула (15).

Сформулируем еще одно утверждение, которое доказано в [3] и будет использовано в дальнейшем.

Лемма 2. Пусть А, В — вещественные 2 X 2 -матрицы. Для того, чтобы для данной матрицы 3 = А + В7 существовала соответствующая ей непостоянная линейная вектор-функция с(х, у), удовлетворяющая однородному условию Яес° 0, необходимо и достаточно выполнение условия det В = 0.

Из лемм 1 и 2, в свою очередь, вытекает

Лемма 3. Пусть для 2 X 2 -матрицы 3 = А + В7, где А, В - вещественные матрицы, выполнены условия леммы 1. Тогда если det В = 0, то 111= 1 в (15).

Доказательство. Из (3) и (13) следует, что число I в (15) зависит только от матрицы 3, и не зависит от конкретной функции с(г), по которой построены голоморфные функции Поэтому для определения I можно рассмотреть любую функцию, соответствующую матрице 3.

Согласно лемме 2 существует непостоянная линейная вектор-функция с( г), соответствующая 3 со свойством Яес(г) = 0. В этом случае формула (15) выполнена тождественно, а ее правая часть равна нулю:

7 П

г--+1 • ?(г) + Б(г) ° 0, IФ 0. (16)

(г

Применяя к обеим частям (16) оператор

А-■ А

Эу Эх'

убеждаемся, что функции Б будут линейными, то есть {(z) = Х0 + Х1г, z) = £0 + После подстановки этих выражений в (16) имеем:

гX +1• (Хо + Хг) + £0 + £> °0. (17)

Из (17) вытекает, что X Ф 0. Действительно, в противном случае £1 =0, откуда в силу (6), (14) и (15) будет следовать, что вектор-функция с(г) постоянна, что противоречит ее

определению. Поэтому согласно (17) X +1 Х1=0, то есть 111=1.

3. Теорема об отсутствии разрешимости задачи Шварца

Применим леммы 1-3 для построения примеров отсутствия разрешимости задачи Шварца. При этом будет использован обобщенный принцип аналитического продолжения Шварца [4], который состоит в следующем.

Пусть функция {(г) голоморфна в плоской области Б, граница которой содержит аналитическую кривую Г, причем {(г) является аналитической на Г (в смысле предельных значений изнутри Б). Тогда существует аналитическое продолжение {(г) через Г.

Обозначим К единичный круг, Г — его границу (единичную окружность). Имеет место Теорема 1. Пусть неособая 2 X 2 -матрица 3 = А + Ы, где А, В — вещественные матрицы, имеет кратное собственное число 1 = ¡, а ее собственный вектор не кратен вещественному. Пусть detВ = 0. Тогда существует аналитическая на Г вектор-функция р=(р,р2), для которой задача Шварца (2) в классе функций с(г) е С(К), то есть и в классе сое На (К), 0 < о < 1, не имеет решений.

Доказательство. Идея доказательства основана на использовании леммы 1, а также формулы (15) и состоит в следующем. Нужно показать, что при определенном подборе комплексного числа г = г1 + г2/ Ф 0 равенство

7 П

г--+1 • {(г) + Б(г) + г • г |Г = 0, I Ф 0, г Ф 0 (18)

невозможно ни для каких функций {(г) е С (К) и г), голоморфных в К. Тогда для граничной функции р= (р,р2), найденной по данной матрице 3 с учетом (12) из условия

2 (81 + 82 01г= г • г, (19)

задача Шварца будет неразрешима, так как существование решения будет противоречить лемме 1.

Доказываем от «противного»: пусть для всех г Ф 0 существуют функции {(г) е С(К) и г), для которых выполнено (18). Покажем, что из (18) вытекает продолжимость {(г) и г) в некоторую окрестность единичного круга К. Действительно, разложим функции {(г), {(г) и г) в ряды Тейлора в круге К:

{(г) = X , {(г) = X Х^, г) = £ ^, г е К. (20)

к=0 к=0 к=0

По {(г) образуем функцию

+¥ _ 1

{1(г)= X ~Хк~, к=0 г

которая будет голоморфна вне замыкания круга К. Так как {(г) е С(К) по предположению, то

_ ВД|Г+ ={(г) |Г_, (21)

то есть функции { (г), {(г) совпадают на Г в смысле предельных значений снаружи и изнутри круга К соответственно. Кроме того, на единичной окружности Г совпадают значения функций 1/г и г. Поэтому с учетом (18) и (21) имеем:

1 7 П 1

- • — !г- +1 • —1 (2) |г+ + 7) |г_ + г • - |г_ =0. (22)

2 а2 2

Голоморфная вне круга К функция --(2) с учетом (20) непрерывна на Г+, так как по условию -(2) е С (К). При этом согласно (22) --(2) совпадает на Г с функцией, голоморфной внутри круга К. Следовательно, — (2) аналитически продолжима в некоторое внутреннее кольцо К_ с К через окружность Г (см. [4]).

а—

Таким образом, в силу (20) функция —(2) и ее производная — продолжимы в некоторое

й2

внешнее кольцо К + круга К. Отсюда следует, что функция 2) будет согласно (22) аналитической на аналитическом контуре г (единичной окружности). Поэтому в силу приведенного выше обобщенного принципа аналитического продолжения Шварца функцию 2) так же можно продолжить в К +.

Сказанное выше означает, что голоморфные функции —(2) и 2) разлагаются в ряды Тейлора с центром в точке 2 = 0, сходящиеся в некоторой полной окрестности круга К. Отсюда вытекает, что в (22) оказывается правомерной подстановка 2 = еЛ :

е~и •а— (еи) +1 • -(еи) + Б(еи) + г • ° 0, 7 е[0,2р). (23)

В (23) функция —-(2) заменена на —(2), так как они совпадают на Г согласно (21). С учетом (20) формулу (23) можно переписать в виде

е"й • X Хке,{к_-)г +1 • X 1ке~,Ш + I ^ + г • е"й ° 0, 7е [0,2р). (24)

к=1 к=0 к=0

Так как система комплексных функций е'к, к - целое число, ортогональна в 1}[0,2к), а ряды в (24) сходятся равномерно (а значит и в ]} [0,2р)), то из единственности разложения в ряд Фурье легко следует, что Хк =0 при всех к > 1, то есть функция —(2) = Х0 + Х-2 ■ Перепишем (24), учитывая это:

е"й •Х- +1• (Х + )+ X Ске'Ш + г• е"" =0, 7е [0,2Р). (25)

к

к=0

Здесь Х1 Ф 0, так как г = г1 + г2, Ф 0 согласно (18). Из (25) следует, что

Х1 +1 • Х1 + г1 + г2, = 0, Х1 Ф 0, I = к _ ш, (26)

то есть равна нулю сумма коэффициентов перед е_,7 .

Обозначим Х1 = Я + где я, 5 - вещественные числа. Рассмотрим (26) как систему линейных алгебраических уравнений относительно переменных я, 5 :

Г(1 _ ш)я + к5 = _г,,

Г 1 (27)

[кя + (1 + ш)5 = _г2.

Определитель системы (27) имеет вид Д1 =1 _ ш2 _ к2 = 1_ 111. По условию detВ = 0, откуда согласно лемме 3 111 = 1, то есть Д1 = 0. Поэтому можно так подобрать число г = г1 + г2, Ф 0, что система (27) будет несовместной. При таком г не имеет решений (26), то есть функции —(2) = Хо + Х12, для которой выполнено равенство (18), не существует. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. Тем самым теорема 1 доказана. В качестве иллюстрации к теореме 1 приведем Пример 1. Пусть

(0 1 ^ (0 0 ^ J = , В = . (28)

1 2,

02

Матрица 3 имеет собственное число 1 = 7 кратности два, а также собственный вектор у = (3 _ 7Е) • (1,0) = (—7,1), не кратный вещественному. При этом detВ = 0. Следовательно, для 3 выполнены условия теоремы 1.

По формулам (3) и (13) находим: А = —1, а1 = 0, а2=1, Д=1, Ь2=0, к = 0, т = —1. Таким образом, система (27) несовместна при г = 7. Далее находим функцию 81 + 82 7 из (19) и находим функции (р1,р2) из (12):

Р(0 = (Р(0, Р2(0) = (_^пг, 1оо8г), ге[0,2^). (29)

Остается заметить, что в силу теоремы 1 задача Шварца (2) для матрицы 3 (28) в единичном круге К с граничной функцией (29) в классе функций с(г) е С (К) не имеет решений.

Литература

1. Солдатов, А.П. Задача Шварца для функций, аналитических по Дуглису / А.П. Солдатов // Совр. математика и ее приложения. - 2010. - Т. 67(68). - С. 99-102.

2. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1968.- 342 с.

3. Николаев, В.Г. Об одном преобразовании задачи Шварца / В.Г. Николаев // Вестник Самарского государственного университета. - 2012. - Т. 6(97). - С. 27-34.

4. Привалов, И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И.И. Привалов .М.: Высшая школа, 1999. - 432 с.

Поступила в редакцию 20 ноября 2015 г.

Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2016, vol. 8, no. 1, pp. 13-18

DOI: 10.14529/mmph160102

ABOUT THE UNSOLVABILITY OF SCHWARZ'S TASK FOR SOME TYPES OF MATRICES

V.G. Nikolaev'

The task of Schwarz is considered for 2-vector functions, being analytic in a circle by Douglis. It is proved that for some types of matrices and boundary analytic functions the task has no solutions. The example is given.

Keywords: holomorphic function; analytic continuability; matrix; eigenvector; region; Lyapunov contour.

References

1. Soldatov A.P. The Schwarz problem for Douglis analytic functions. Journal of Mathematical Sciences, 2011, 173(2), pp. 221-224. DOI: 10.1007/s10958-011-0244-7

2. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye integral'nye uravneniya [Singular integral equations]. Moscow, Nauka Publ., 1968, 342 p. (in Russ.).

3. Nikolaev V.G. Ob odnom preobrazovanii zadachi Shvartsa (About a transformation of Schwarz problem). Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta, 2012, no. 6(97), pp. 27-34.

4. Privalov I.I. Vvedenie v teoriyu funktsiy kompleksnogo peremennogo [Introduction to the theory of functions of a complex variable]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1999, 432 p.

Received November 20, 2015

1 Nikolaev Vladimir Gennadyevich is Leading Mathematician, Federal State-Funded Educational Institution of Higher Vocational Education "Yaroslav-the-Wise Novgorod State University", Novgorod, Russia. E-mail: [email protected]