Об оценке размера зоны локализации носителя решения полулинейного эллиптического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ОБ ОЦЕНКЕ РАЗМЕРА ЗОНЫ ЛОКАЛИЗАЦИИ НОСИТЕЛЯ РЕШЕНИЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ1

© 2013 С.В. Пикулин

2

В данной работе уточняется оценка размера зоны локализации носителя решения задачи Дирихле для полулинейного эллиптического уравнения с измеримыми коэффициентами при росте константы, ограничивающей решение на границе области.

Ключевые слова: свободная граница, мертвая зона, локализация носителя решения, полулинейное эллиптическое уравнение, задача Дирихле, обобщенное решение.

Введение

Эффект "мертвой зоны" заключается в том, что решение дифференциального уравнения обращается в нуль на некотором непустом открытом подмножестве области определения. Например, для обыкновенного дифференциального уравнения и'' — иа =0, а £ (0,1) "мертвая зона" его решения

есть луч [I ^ 0}. Решение полулинейного эллиптического уравнения вида

может иметь "мертвую зону" при а £ (0,1), тогда как при а ^ 1 выполняется так называемый сильный принцип максимума [1; 2]: решение, равное нулю на непустом открытом множестве, должно быть тождественно нулевым.

Вопрос о наличии "мертвых зон" у решений полулинейных эллиптических и параболических уравнений представляет не только теоретический интерес, но мотивирован также приложениями к химической технологии [3; 4], биологии, физике. Краткий обзор таких приложений со ссылками на литературу можно найти в книге [5]. Изучению условий возникновения "мертвых зон", описанию геометрических свойств их границ, оценкам размеров зоны локализации носителя решения посвящено немало литературы. Отметим монографии [5-7], работы [2; 8; 9], а также

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00923) и программы № 3 фундаментальных исследований ОМНРАН.

2Пикулин Сергей Владимирович ([email protected]), сектор аналитико-численных методов, ВЦ РАН, 119333, Российская Федерация, г. Москва, ул. Вавилова, 40.

Дп - П = 0

(1)

статьи [10-13], в которых изучались полулинейные эллиптические уравнения и неравенства с измеримыми коэффициентами.

В данной работе расматривается задача Дирихле для полулинейного уравнения вида

Е ¿~ (aijx du) -а{х) н<т-1 u =0 (2)

i,j=1 i j

в области П С M", n ^ 2. Коэффициент a(x) — измеримая функция в П, причем а(х) ^ ао = const > 0, функции aij = aji G (П) удовлетворяют условию равномерной эллиптичности: для некоторого Л ^ 1 (константы эллиптичности) и всех £ G M" справедливы неравенства

п

Л-1 |£|2 aij(х) < Л |£|2. (3)

i,j=1

Известно [5], что если оператором в главной части уравнения (2) является лапласиан, то носитель решения сосредоточен в окрестности границы, размер R которой пропорционален степени константы M, ограничивающей по модулю решение на границе области

R < cM(1-^)/2. (4)

В этом случае носитель решения, определенного во внешности компакта и ограниченного сверху, имеет конечные размеры в M", то есть верен принцип компактности носителя. Выполнение этого принципа для определенного класса квазилинейных эллиптических уравнений показано в работе [2], в [13] рассмотрены условия выполнения принципа компактности для некоторых полулинейных эллиптических неравенств с измеримыми коэффициентами.

Теорема 1 настоящей работы утверждает справедливость оценки вида (4) размера носителя решения для общего случая дивергентного равномерно эллиптического оператора с измеримыми коэффициентами в главной части уравнения. Этот результат фактически был установлен, хотя и не сформулирован явно, в работе [14]. Основной результат настоящей работы (теорема 2) гласит, что показатель степени, с которой M входит в оценку размера носителя, может быть уменьшен до (1 — a)/(n — (n — 2) а) при достаточно больших M и n ^ 3. Ключевую роль в рассуждениях играют результаты работ [14; 15]. Отметим, что применение аналогичных методов для уравнения (2) при а > 1 позволило получить теоремы типа осреднения [16]. Результаты данной работы анонсированы в [17].

Основные обозначения: П — область в M" с границей дП; mes Q — мера Лебега множества Q С M";

L = X"j=i дХ (a,ij(х) — линейный равномерно эллиптический оператор

с измеримыми коэффициентами; B(xo,R) — шар в M" с центром в хо радиуса R;

W21 (П) — пространство Соболева, состоящее из функций класса L2(n), которые обладают обобщенными частными производными также из L2(n), снабженное нормой ||-; ^2(П)||:

п

||u ; ^(П)||2 = ||u ; L2(n)||2 + £ ||дu/дxi ; L2(n)||2. (5)

i=i

о

Ш^П) — пополнение пространства Сд°(П) по норме ||-; (П)||;

1ос(П) — пространство таких функций и в П, что (и|ц) € Ш21(^) для любой ограниченной подобласти Q С П.

1. Задача Дирихле в ограниченной области

Пусть О С К", n ^ 2, — ограниченная область, удовлетворяющая следующему условию регулярности границы (условие (А), [18]): существуют числа r0 > 0, в0 G (0,1) такие, что для любой точки x0 G дО и r G (0,r0) справедливо соотношение mes (О П B(xo,r)) ^ во mes B(xo,r). Данному условию удовлетворяют, в частности, все ограниченные липшицевы области.

Рассмотрим задачу Дирихле

Lu — a(x) \u\a-1 u = 0 в О,

(6)

u = ф на —О

для уравнения вида (2), где ф G W^^) П L^^), a G (0,1), и выполняются указанные выше условия на коэффициенты a(x),aij(x).

Определение 1. Функция u G Wj^) П Lx (О) называется (обобщенным)

о

решением задачи (6), если справедливо включение (u — ф) G W2^(О) и для любой функции ф G C§°(О) выполняется равенство

i 'S^ aij(x) ———Ф dx + i a(x) \u\a-1uфdx = 0. (7)

Jn —xj —xi Jn

Известно [18], что обобщенное решение задачи (6) существует, единственно, непрерывно по Гельдеру внутри О и удовлетворяет (слабому) принципу максимума.

Пусть Г С дО — такое замкнутое множество, что ф = 0 на —О \Г и \ф\ ^ M = = const на Г. Это означает, что функция ф может быть аппроксимирована в норме пространства Wj1^) функциями из класса СТО(О), равными нулю в окрестности дО \ Г и ограниченными по модулю числом M.

Теорема 1. Существует константа c1 > 0, зависящая только от n,a,X,a0, такая, что u = 0 в О0, где

О0 := {x G О : dist(x, Г) > c1 M. (8)

Справедливость теоремы 1 вытекает из следующего результата.

Теорема 1' ([14]). Пусть и € Ш^^) П — обобщенное решение

уравнения (2) в области Q С Б(хо,т) при а € (0,1), удовлетворяющее условию и = 0 на дQ П Б(х0,г). Существует такое число С1 > 0, зависящее только от п, а, X и а0, что если |и| ^ С1 гна дQ, то и(х0) = 0.

Замечание. Доказательство [14] теоремы 1' основано на аппроксимации обобщенного решения из класса Ш^П) решениями уравнений с гладкими коэффициентами. Выполнение условия (А) является достаточным для того, чтобы последовательность приближенных решений сходилась равномерно в П.

Доказательство теоремы 1. В силу принципа максимума \и(х)\ ^ М при х € О. Положим

1 — ст 1 _ а

Я := (М/с^) 2 = с1 М —,

2

где 01 = с1 1—ст , с1 — то же, что в теореме 1'.

Пусть хо € О — такая точка, что ^^хо, Г) > Я. Тогда к компоненте связности Q множества (В(хо, Я)ПО), содержащей хо, применима теорема 1'. Следовательно, и(х0) = 0. Теорема доказана.

2. Принцип компактности и размер носителя

Рассмотрим область (возможно, неограниченную) О С К", n ^ 3, удовлетворяющую условию (А). Решение u е W^ |ос(О) П L^, (О) задачи (6) в этом случае определяется так же, как и для ограниченной области (определение 1). Сохраним предположения предыдущего пункта: для замкнутого подмножества Г С дО выполняются соотношения

\ф\ < M на Г, ф = 0 на дО \ Г. (9)

Если участок Г конечен, то из теоремы 1 следует, что носитель ограниченного решения компактен, и размер этого носителя есть величина порядка O (M(1-ст)/2) при M ^ ж.

Теорема 2. Пусть О С К" — область (возможно, неограниченная), n ^ 3, u е W2, ioc(0) ПL^, (О) — решение задачи (6), выполнены соотношения (9), причем Г С B(0,d), d> 0.

Тогда существует такое число c2 > 0, зависящее только от n,a,X,a0, что (supp u) С B(0,R), где

R = max j ad; c2 d1/a M^ ,

1 - a 1 - a 1

7 = -;-;— < -, a = ---— > 1.

' n - (n - 2) a 2 ' (n - 2) 7

Для доказательства теоремы потребуется ряд вспомогательных утверждений.

Принцип максимума [15; 18]. Пусть u е W2 (О) удовлетворяет условиям Lu ^ 0 в О, u ^ 0 на дО. Тогда u ^ 0 в О.

Лемма 1. В условиях теоремы 2 справедлива оценка

\u(x)\ < eM (\x\/d)2-n , x е О \ B(0,d),

где в = const ^ 1 зависит только от n и X.

Доказательство. Согласно [15], существует положительное фундаментальное решение G(x; y) оператора L с особенностью в точке y е О, причем для некоторого в1 ^ 1, зависящего только от n, X, выполняются оценки

в-1 \x - y\2-" < G(x; y) < в1 \x - y\2-", X е О.

Зафиксируем произвольное число р ^ d. Положим

О(р) := О \ В(0,р), в := в2, M1 = M1 (р) := eM (p/d)2-n .

Покажем, что

\u(x)\ < M1 при x е О(р). (10)

Предположим противное: пусть хо € П(р) — такая точка, что |и(хо)| > М1. Без ограничения общности можно считать, что

и(хо) > М1, (11)

поскольку функция (-и) является решением уравнения и удовлетворяет условиям (9).

Положим д(х) := С(х;0). Пользуясь монотонным убыванием функции т2-п при г > 0, получим

д(хо) < в1 Р2-П, (12)

д(х) > в--1 сР~п, х € дБ(0,С). (13)

Положим

к(х) := М1дх) > 0, х € П(С). (14)

д(хо)

Из (12), (13), с учетом (10) получаем

Н(х) > М1 в--2 С2-п/р2-п = М при х € дБ(0, С), (15)

к(хо) = М1 > 0. (16)

Положим -у(х) := и(х) — к(х). Из (14)—(16) и (9) следует, что

V < 0 на дП(С), (17)

«(хо) = и(хо) — М1 > 0.

Пусть Б — компонента связности множества {х € П : «(х) > 0}, содержащая хо. Пользуясь тем, что Ьк = 0 в Б, и(х) > к(х) > 0 при х € Б, покажем, что ЬV > 0 в Б:

ЬV = Ьи = иа > 0 в Б. (18)

Из (17) следует, что V ^ 0 на дБ. С учетом (18) это противоречит принципу максимума для функции V в Б. Следовательно, предположение (11) неверно, что доказывает (10). Лемма доказана.

Лемма 2. Минимальное значение функции /(р) = р + е (р/С)-к на луче {р : р ^ С> 0}, где е,С,к > 0 — константы, равно

/ Г (1 + к-1) (ек)к+т Ск+Т, если С < (ек),

тш \ С + е, если С> (ек).

Доказательство. Вычислим и приравняем нулю производную /(р):

/'(р) = 1 — ек (р/С)-к-1 /С, 1 = ек (ро/С)-к-1/3,,

1

ро/С = (С/ек) к+т . (19)

Найдем значение /(х) в точке экстремума:

/(ро) = С (С/ек)-е+т + е (С/ек) 1к+1 = ек+1 Ск+1 (кк+1 + к-к+т) . (20)

Если ро ^ С, то /т'т = /(ро), в противном случае /т-т = /(С) = С + е. Условие ро ^ С в силу (19) эквивалентно С ^ (ек). Лемма доказана.

Доказательство теоремы 2. Пусть р ^ С. Согласно лемме 1, справедливо неравенство

|и(х)| < вМ (р/С)2-п при х € П(р).

1-а

R(p) = р + C1 {^M (P) 2-n^j

Применяя теорему 1 к решению и(х) в О(р), найдем, что и = 0 на множестве О (Я(р)), где

, 2—п\ ~2~

Минимизируем функцию Я = Я(р) на луче {р : р ^ й} с помощью леммы 2 при следующих значениях параметров:

* = "' - 2)2(1 - ", е = 01 вМ) — .

Предположим, (е к) ^ й. Минимум функции Я(р) достигается в этом случае при р > й:

Ят[п = (1 + к—1) (ек)е+т йк+1 = а (ек) — й1/а = с2 М7 й1/а,

2 7 1

где 02 = а в1 (с1 к) . При (ек) < й имеем Ят;п = й + е < й (1 + к—1) = ай. Теорема доказана.

Литература

[1] Vazquez J.L. A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations // Appl Math Optim. 1984. V. 12. № 3. P. 191-202.

[2] Pucci P., Serrin J. The strong maximum principle revisited // J. Differential Equations. 2004. V. 196. P. 1-66.

[3] Aris R. The mathematical theory of diffusion and reaction in permeable catalysts. Oxford: Carledon Press, 1975.

[4] Bandle C., Sperb R. P., Stakgold I. Diffusion and reaction with monotone kinetics // Nonlinear Anal. 1984. V. 8. № 4. P. 321-333.

[5] Diaz J.I. Nonlinear partial differential equations and free boundaries. V. 1: Elliptic equations. Research Notes in Mathematics, V. 106. Boston: Pitman, 1985.

[6] Antontsev S.N., Diaz J.I., Shmarev S.I. Energy methods for free boundary problems. Applications to nonlinear PDEs and Fluid Mechanics // Series Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. V. 48. Boston: Birkhauser, 2002.

[7] Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений / А.А. Самарский [и др.]. М.: Наука, 1987.

[8] Diaz J.I., Herrero M.A. Estimates on the support of the solutions of some nonlinear elliptic and a parabolic problems // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh 89-A. 1981. P. 249-258.

[9] Антонцев С.Н., Шмарeв С.И. О локализации решений эллиптических уравнений с неоднородным анизотропным вырождением // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46. № 5. С. 963-984.

[10] Landis E. M. Some properties of the solution of degenerating semilinear elliptic inequalities // Russian J. Math. Phys. 1993. V. 1. № 4. P. 483-494.

[11] Ландис Е.М. О "мертвой зоне" для полулинейных вырождающихся эллиптических неравенств // Дифф. уравнения. 1993. Т. 29. № 3. С. 414-423.

[12] Туваев М.В. Теорема о "мертвой зоне" для слабо вырожденного квазилинейного эллиптического уравнения // Диф. уравнения. 1993. Т. 29. № 2. С. 349-352.

[13] Kon'kov A.A. Positive Solutions of Nonlinear Second-Order Elliptic Inequalities in Unbounded Domains // Russian J. Math. Phys. 1997. V. 5. № 1. P. 119-122.

[14] Кондратьев В.А., Ландис Е.М. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка // Матем. сборник. 1988. Т. 135(177), № 3. С. 346-360.

[15] Littmann W., Stampacchia G., Weinberger H. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3). 1963. V. 17. № 1-2. P. 43-77.

[16] Матевосян О. А., Пикулин С. В. Об усреднении полулинейных эллиптических операторов в перфорированных областях // Матем. сб. 2002. Т. 193, № 3. С. 101-114.

[17] Pikulin S.V. Behavior of solutions of semilinear elliptic equations in domains with complicated boundary // Russian J. Math. Phys. 2012. V. 19. № 3. P. 401-404.

[18] Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

Поступила в редакцию 30/IX/2013; в окончательном варианте — 30/IX/2013.

ON ESTIMATE OF SIZE OF LOCALIZATION ZONE OF CARRIER OF SOLUTION TO A SEMILINEAR ELLIPTIC EQUATION

© 2013 S.V. Pikulin3

In this paper an estimate of size of localization zone of carrier of solution to the Dirichlet problem for a semilinear elliptic equation with measurable coefficients when the constant which limits the boundary conditions grows is defined more exactly.

Key words: free boundary, dead space, localization of carrier of solution, semilinear elliptic equation, Dirichlet problem, generalized solution.

Paper received 30/IX/2013. Paper accepted 30/IX/2013.

3Pikulin Sergey Vladimirovich ([email protected]), the Dept. of Analytical and Numerical Methods, Institution of Russian Academy of Sciences Dorodnicyn Computing Centre of RAS, Moscow, 119333, Russian Federation.