CC BY
33
Матем атика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 1 (1), с. 209-217
УДК 517.927.2
ОБ ОЦЕНКАХ ПЕРВОГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
© 2014 г. М.Ю. Тельнова
Московский государственный университет экономики, статистики и информатики
Поступила в редакцию 20.09.2013
Получены некоторые оценки первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с условиями Дирихле и весовым интегральным условием на потенциал.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения, краевые задачи, первое собственное значение, интегральное условие, вариационные методы.
Введение 2 1.
||у||На = {(у'2 + Q(х)У2)* .
Рассматривается задача о
у” - Q(х)У + Ху = о, х е (0,1), (1) Доказано [1-4], что первое собственное зна-
у(0) = у(1) = 0, (2) чение X1 задачи (1), (2) может быть найдено
где функция Q принадлежит множеству Та р у как
действительных неотрицательных локально ин- Х 1(Q) = RQ, у],
тегрируемых на интервале (0,1) функций, для
где
которых выполняется интегральное условие 1
1 в IV + Q( х) у2 )йХ
{х “ (1 - х)в Q1 (х) dx = 1, а, в, уе R, у* 0. (3) ^ J ^ ^ ^ 7
Под решением задачи (1), (2) понимается J у2 dx
функция у, абсолютно непрерывная на [0,1], о
удовлетворяющая условиям (2), имеющая абсо- Целью исследования является приведение лютно непрерывную производную на любом некоторых оценок для
отрезке, тедержад™ в интервале (0,1), и От(1,р,г = inf х (Q), MaAy= sup X Q
удовлетворяющая уравнению (1) почти всюду QeTa-».■t QeTa>р>т
на интервале (0,1). Для оценок ша р и Ма р у введем функцио-
Функция у e H1 (0,1) называется слабым нал
решением задачи (1), (2), если для всех функций у—
1 (1 2l jl Л у
fe Q (0,1) (бесконечно дифференцируемых на J у2 ^ + 1 Гу у-1 x 1 у ^1 _ х) i-у dx
(0,1) функций с компактными носителями) вы- ^
полняется равенство
1
G[y] = -
JO'V + Q(x)y\[f)dx = xJyy dx.
Г y2 dx
Задачи на собственные значения с инте-Изучается зависимость первого собственно- гральным условием на потенциал возникли из
го значения X і задачи (1)-(3) от потенциала Q задачи, известной как задача Лагранжа о наибо-
при различных значениях параметров лее прочной колонне заданного объема:
а> й> у (у * °). (д(х)у")" + Xу" = 0,
Для произвольной функции Q из Га,р,у обо- у(0) = у,(0) = у(1) = у,(1) = 0 ,
значим через HQ замыкание множества 1
Сд (0, і) по норме ^л[0(Х) й'х = 1.
Подобные оценки первого собственного значения Xх(0) были получены и для других задач. Первая задача такого типа для уравнения второго порядка и нулевых граничных условий у + X Q(x)у = 0, х е (0,1), (4)
У(0) = у(1) = 0 (5)
была поставлена и изучена Ю.В. Егоровым и В.А. Кондратьевым в работах [5, 6] при условии, что функция Q принадлежит множеству действительных положительных измеримых на интервале (0,1) функций, удовлетворяющих
условию
{ Q1 (х) dx = 1, уе R, у^ 0.
{ х (1 - х^(х) dx
< ж.
т
а,В,у
1) если у> 0, то т:
а,В,у
имеют место сле-
= %
2) если у < 0, то %2 < та р у < ж , причем если у < 0, а < 2у -1 (р < 2у -1), то
та,р,у < -[0, у1] , где
у 1( х) = <
(1 - х)е, — < х < 1, 2
и е - некоторое действительное число, удовлетворяющее неравенству
е >
а-|р|-у-еу +1
2у
е >
Р-|а|-у-ву +1
2у
(6)
В работе [7] К.З. Куралбаевой были получены оценки снизу и сверху минимального собственного значения задачи (4), (5), где функция Q принадлежит множеству действительных положительных измеримых на интервале (0, 1) функций, удовлетворяющих условию (3) и условию
В.А. Винокуровым и В.А. Садовничим [8] рассматривалась задача (1), (2) при условии, что Q - вещественная интегрируемая по Лебегу на (0,1) функция. Исследовался вопрос о том, как сильно можно изменить (увеличить или уменьшить) собственное значение, если Q меняется в пределах некоторого подмножества
иР[*] = ^ е Iр(0,1)| Ы1р(0,1) < *} , где * > 0 ,
р е [1, + ж].
Авторами получены оценки снизу и сверху минимального собственного значения данной задачи при р > 1, доказана достижимость оценок при р > 1. Достижимость оценок при р = 1 была доказана С.С. Ежак в работе [9], где были получены соответствующие оценки для задачи у + 8 Q(х)у + Ху = 0, х е (0,1), у(0) = у(1) = 0
при 8 = ±1, Q - неотрицательной ограниченной на [0,1] функции, удовлетворяющей условию (6).
В работах [1-4, 10] были доказаны следующие утверждения.
Теорема 1. Для дующие оценки:
0 <е < 1.
Теорема 2. Для Мару имеют место следующие оценки:
1) если у< 0 или 0 <у< 1, то Мару =ж;
2) если у > 1, то Ма р у < ж, причем
2а) если у > 1 и а, В>у, то
а р
Ма,р,у = -[1/у2,уI где у1(х) = х2у(1 -х)2у;
2б) если у> 1 и а, В<у или а < у < < В < 2у -1 или р<у<а< 2у -1, то существуют такие функции Q, е Та р у и и е Н^ , что
М а,р,у = -Ф., и]=т, где т.=];
2в) если у > 1 и а> 2у -1, р < у , то М а р у <
а 1+8
<-1/у22,у2], где у2(х) = х2у (1 -х)2у , 0<8 < 1; 2г) если у > 1 и р> 2у -1, а < у, то
1 + 8 _р_
Ма,р,у < -[1/У2 , Уз ] , где Уз (х) = х 2у (1 - х)2у ,
0 <8 < 1;
2д) если у = 1 > а > 0 > р или у = 1 > р >
> 0 > а или у > 1, а, р < 0, то Ма р у < 2%2;
2е) если у = 1 > а,р> 0, то Мару <3%2; если у = 1, а, р< 0, то Мар у< — %2.
4
Замечание 1. В случае 2б) для т. имеют место следующие неравенства:
Если у> 1, 0< а,р<2у-1, то Мару = т. <
% ; если у> 1 и р<0<
С , , 2у-1 Л
< 3у-2 1 + 2_г Г 2у -1 Л у
1 у V
< а < 2у -1 или а < 0 < р < 2у -1, то М(
а,р,у
2у-1 Л
1 +
С2у -1Ту
2
= т. <
%
У
Замечание 2. Результаты, полученные в теореме 1 при у*0, а,Р = 0 и в теореме 2 при 0 * у < 1 и при у> 1, а = Р = 0, совпадают с результатами работы [9] при 8 = -1.
Основные результаты работы
Уточним оценку для та р у в случае у < 0, а> 2у-1, Р> 2у -1.
В силу неравенства Гёльдера для любой функции Q є Та р у и для данных значений параметров а, Р, у имеем
, ^ _ О
у-1
||у| х1 у(1 - х)1 у йх <
0
1
(і 1 <1 Г Q у(х) х а(1 - х)р йх
0
У
і Q(x) у2
йх
Обозначим
т
= іпГ G\y\.
УєН 1 (0,1)\{0}
Тогда имеем
т
а,Р,у
= іпГ іпГ R\Q, у]>
£^Та,р,у yєHQ\{0}
> іпГ 0\у ]> іпГ б\у] = т,
yєHQ\{0} уєН 0 (0,1)\{0}
то есть та р у > т . Докажем, что т
а,Р,у
= т.
и" + ти = х у (1 - х)
Р у+1 у-1 ,, у-1
и удовлетворяет условиям и(0) = и(1) = 0,
1 2у а
Ги ^ х^
(1 - х) у-1 йх = 1.
& (х) = х у-1(1 - х)
у-1 ,, у-1
(х) є Т0
такова, что ^Яп , и ] —— G\u ] = т при
та,Р,у = т .
Доказательство основных результатов работы
Доказательство теоремы 3.
Лемма 1. Существует такая функция
и е Н (0,1), что 0\и\ = т , где т определяется формулой (7).
Доказательство. Обозначим
г.Ч У
У є Н (0,1), | угйх = 1І.
Заметим, что для любой функции у е Г. имеем
1 1
б[У]>{У'2Лх и ||у||Н1 (0,1) = {у'2 ^ +1 < °\у] +1.
0 0
Пусть {у} - минимизирующая последовательность функционала 0[у] в Н0(0,1). Тогда
последовательность
Ук
12
где С, =
минимизирующая последователь-
(7)
1
= { укйх,
0
ность функционала 0[у] в Г., и для всех достаточно больших значений к имеем Фк ] < т +1
и У
Н1 (0,1) < G\Уk ] +1 < т + 2.
Теорема 3. Пусть у< 0, а> 2у-1,
Р > 2у -1; тогда существует такая неотрицательная на интервале (0,1) функция и є Н1 (0,1), что G\u] = т , причем и является слабым решением уравнения
х є (0,1), (8)
(9)
(10)
Теорема 4. Пусть у< 0, а> 2у -1, Р> 2у -1 и функция и удовлетворяет условиям теоремы 3. Тогда существует такая последовательность положительных на интервале (0, 1) функций
ип є Н1 (0,1), для которой последовательность функций
Докажем, что существует такая функция и. е Г., что С[м.] = т .
Так как {ук} - ограниченная последовательность в сепарабельном гильбертовом пространстве Н^ (0,1), то она содержит подпоследовательность { zk}, слабо сходящуюся в Н ^ (0,1) к неко-
II ||2
торой функции и., причем и. и < т + 2.
II 11Н 0 (0,1)
Пространство Н (0,1) компактно вкладывается в пространство с ([0,1]), следовательно, существует подпоследовательность {s'k} последовательности {zk}, сильно сходящаяся в С([0,1]). Поскольку С([0,1]) вкладывается в Ьр (0,1), где р > 1, то последовательность { s'k} сильно сходится в Ь2 (0,1) к функции и.. Следовательно, для функционала ]
11
Г s2k йх — Г и2 йх при к — да
а,Р,у
п — да и
и2 йх = 1.
Докажем также, что найдется такая подпосле-
довательность
К}
последовательности
{*к},
что
2
а
Р
и
Р
2
а
п
1 а
у
{х у-1 (1- х)-у-1
1 у 1
_2у_
у-1 dx ^
1 а
у
{х у-1 (1- х)-у-1
р _2у_
I у-1
1
х \(1
Дх)|<{|и1(^)|^<х21 {и'к йх
0 V 0 V
= CkX 2;
и у dx
х
0
при k ^ ж.
Применим теорему Лебега ([11], гл. V, теор. 6). Рассмотрим последовательность
Га р 2у 1
-1 (1- х) у-1
у-1 с у-1
ху . ,
членами которой являются функции, принадлежащие пространству £1(0,1), поскольку при у< 0, а> 2у -1, р> 2у -1 для любого k имеем
р 2у
1 а
у
{х у-1 (1- х)-у-1
5,1у 1 йх < +ж.
Докажем сначала, что найдется такая подпоследовательность {ик} последовательности
{ Sk }
а р 2 у
■х) у-1 \и,,\У=Т^х~1(1-х)-у=Ткр
а р 2 у
х у-1 (1- х) у-1 |иА.| при k ^ ж при почти всех х е [0,1].
Поскольку пространство С ([0,1]) вкладыва-
ется в
где р =
2у
у-1
2 у
, то последователь-
2у
где Ск = Г{и'к2 йх
Аналогично, ик (х) = - I ик (^) ^ и |ик (х)|<
< Ск (1- х) 2.
II || 2
Поскольку ||Ук ||Н1 (01) < т + 2, то
1
СI Л2 ,_____
Ск =|{и'к йх <-\/т +1.
V 0 V
На (0,1/ 2) при р < 0 имеем
__^ __^ ^ / л —-т у-а
х у-1 (1- х) у-1| ик (х)| у-1 <(т + 1)у-11 — 1 ху-1,
на [1/2, 1) при а < 0 имеем
х у 1 (1 - х) у 1 |ик(х)|у 1 <
а п
у г 1 Л—г 1-р
< (т +1)у-11 — | (1 - х)у-1.
\Ь1 (0,1) сходится к < |и. | у- >е
Тогда положим
\Ь1 (0,1). Тогда существует такая подпоследо-
вательность {ик} последовательности { sk}, что
2у 2у
|ик| у- ^ \и,\ у-1 при почти всех х е [0,1] .
Тогда
а р 2 у а р 2 у
х У=1 (1 - х)-уГ11ик\уГТ^ х У=1 (1 - х)-у- |и.| уГГ при почти всех х е [0,1].
Докажем далее, что найдется такая функция Ф е ^1(0,1) , что для любого к
а р 2 у
х у-1 (1- х) у-1 |и^ У_ 1 <ф(х) при почти всех х е [0,1].
Для функции ик е ЛС[0,1], удовлетворяющей условиям ик (0) = ик (1) = 0, имеет место
равенство ик (х) = {и'к (;)йЕ,. В силу неравенства
0
Гёльдера
{ Sk }
ф(х ) =
С, ху 1, 0 < х <—, 1 2
1
С2 (1-х)у-1, ^-< х< 1,
где
С1 =(т+1)у-1Г 2 ] у при р< 0;
у
С1 = (т +1)у 1 при р > 0 .
С2 =(т + 1)у 1Г11 при а< 0,
С2 = (т + 1)у 1 при а > 0 .
При у < 0 , а > 2у 1 , р > 2у 1 функция фе X1 (0,1). Тогда по теореме Лебега
а р 2 у
-х )-уГГ |и.| Я е_
-1 (1- х) у-1 \иГ<-‘е 11 (0,1)
и
к
и
р
а
у-а
а
у
и
OL _JL 2L -1 (l- x) y-1 uk\т4 dx ^
g (t) =
1 a
У'
X
0
Гx y-1 (l- x)-y-1
2l
Iy-1 dx
1
Г(u'(x) + tz'(x))2 dx -
при к ^ ж.
Поскольку последовательность {ик} ограничена в Н1 (0,1), в силу определения нормы
1|ик| Н (01) последовательность {ик} ограничена в Ь2 (0,1). Тогда существует такая подпоследова-
тельность {wk I последовательности {u
{ukк
последовательность {w’k} слабо сходится к м' в L2 (0,1).
v,t последовательности
что
1 1 lim v"2 dx = lim w"2 dx.
k^»J k k^J
то
u'li . < limiv"|| . ,
*I,L2(0,1) Т-ГІІ k"L 2(0,1)
= lim і v"
\l 2(0,1)
Г = ^ y
y є H
г (о,1). Г
2y a ___^ |
y|y-1 x y-1 (l- x) y-1 dx = l}
V
y-1А
( 1 ___^ _^ _2^ А У
+1 Гx y-1 (1 -x) y-1 |u(x) + tz(x)\y-1 dx
( 1 А !(u(x) + tz(x))2 dx ,
что
t
u"
где * е — . Поскольку функционал б[у] достигает экстремума при у = и , то g '(0) = 0 . Поскольку и е Г и 0[и] = т , получаем
1 1 a P у+1
у-1 (i - x) y-1lu| у-1
Рассмотрим такую подпоследовательность
Г u'z'dx + Г x у (1 -x) у |u|у sgnuzdx =
0 0 (11)
Так как {v"I слабо сходится к u, в L2 (0,і),
(см. [12, с. 217]).
Таким образом, функционал G[y] является слабо полунепрерывным снизу (см. [13, с. 73])
функционалом в H1 (0,1), и G[u,]< lim G[vk ] = m .
k
Поскольку m = inf G[y], получаем G\u, ] = m .
yeH0 (0,1){0}
Лемма 1 доказана.
Пусть
и функция и = Си., где С выбирается так, чтобы и принадлежала Г и была неотрицательной на [0,1].
Тогда 0\и\ = б[и.] = т .
Лемма 2. Пусть и е Г и б[и] = т ; тогда неотрицательная на интервале (0,1) функция и является слабым решением уравнения (8) и удовлетворяет условиям (9), (10).
Доказательство. Зафиксируем некоторую функцию z е Н (0,1) и рассмотрим семейство кривых и + tz , где * - произвольный параметр. На кривых и + tz функционал б[у] превращается в функцию параметра *:
= т { и 2 йх.
0
Равенство (11) выполняется для любой функции 2 е Н1 (0,1). Полагая, что 2 е С0ж (0,1), получаем, что функция и имеет обобщенную производную, равную
а р у+1
и" = х у-1(1 -х) у-1 |и| у-^пи -ти =
__^ _______^ _2_
= х у-1(1 - х) у-1 иу-1 и - ти.
Таким образом, функция и е Н01 (0, 1) является слабым решением уравнения (8).
Так как 0\и] = б[ и |], то можно считать, что последовательность { ик} неотрицательна, и и > 0.
Лемма 2 доказана.
С помощью лемм 1 и 2 мы получили, что существует неотрицательная на интервале (0, 1)
функция и е Н01 (0, 1) , которая является слабым решением уравнения (8) и удовлетворяет условиям (9), (10).
Теорема 3 доказана.
Доказательство теоремы 4.
Рассмотрим последовательность функций
u(x), u(x) >—, x є (0,1), n
un (x) = ^x (1 - x), u(x) < Г, x є| 0,1 lull-Г,1
n І n У І n
1 гл 1 (‘ і ‘А
—, u(x) < —, x є I — ,1—I,
n n І n n у
x
u
*
X
X
2
где п > 3, и последовательность функций ип = Спуп, где константы Сп таковы, что для любого п > 3 ип е Г.
Рассмотрим последовательность функций
2 у-а
2у-Р
Р2
^ (х) = х у-1 (1 - х) у-1 ип У~1 (х) є Та
а,Р,у
1 а _ Р 2
у-1 (1 - х) у-1 и у-1 и2 йх —
1 а Р
Гх ^ (1- х)-уГ1 г
1а Р 2у
— Г х у-1 (1 - х) у-1 иу-1 йх
0
при п — да.
Применим теорему Лебега ([11], гл. V, теор. 6). Для последовательности
Iх у-1 (1- х) у-1 и„ у~1 и 2 Г
имеем:
X _2_
у-1 и у-1 и 2
х
1 (1 -х) у-1 ип у-1 и2 <Ах у-1 (1 -х) у-1 иу-1.
0, — ^ Г1 —1, 1*1, и(х)<11, п) V п ) п I
х є | — ,1-1 |, и(х)< — Г , п п ) п
Пусть
X. =\х
У =\х
х е (0,1), и(х)>11 .
п \
Из условий ип = Сп ип и ип е Г следует, что
С = I {х у-1 (1 - х) у- у у-1 йх
1-у
^ ^ 2у
у-1 ~ у-1
п
У
( 2у-а
у-
2 у-Р
2у а
Г х у 1 (1- х) у 1 йх + Г п1 у х1 у(1- х)1 у йх +
а Р 2у ] 2у
+ Г х1_ у(1- х)1-у иу- 1^х
У
2у-а 2 у-Р
Поскольку функция х у 1 (1 - х) у 1 суммируема, то по теореме об абсолютной непрерывности интеграла Лебега
Г х у 1 (1 - х) у 1 йх — 0
Тогда для любого п > 3 функция ип принадлежит пространству НQ с выбранным Qn. Докажем, что
_ ________________ ___________
х ,_1 (1- х) у- ип у _1 и2 — х у- (1- х) у- иу-1 при п — ж почти всюду на [0,1].
Докажем, что найдется такая константа А, что для любого п > 3
а р 2 а р 2у
при п — ж.
Рассмотрим монотонно возрастающую последовательность интегралов
а р 2у
{ ху (1 - х)1-у иу-1 йх.
7п
Данная последовательность ограничена, поскольку для любого п > 3
а р 2 у 1 а р 2 у
{ ху (1 - х)1-у иу- йх < { ху (1 - х)1-у иу- йх = 1.
7п 0
Значит, по теореме Вейерштрасса данная последовательность имеет предел. Докажем, что этот предел равен 1.
В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега для любого 8 > 0 найдется такое 88 > 0, что для любого множества е с (0,1) из того, что ц(е) < 88, следует, что выполняется
а р 2у
неравенство { ху (1 - х)1-у иу 1 йх <8 .
е
Заметим, что (0,1) = и 2п и 71 с 72 с ....
п
Тогда для любого 8 > 0 , и в частности для 8 = 88, найдется такой номер N, что для любого п > N выполняется неравенство ц((0,1 )\7п)< <88 . Следовательно, для любого п > N выполняется неравенство
Г х1 у(1- х)1
Р_ _2у_
у и у-1
йх <8 ,
(0,1 )\ 2п
то есть
а Р 2у а Р 2 у
Г ху(1- х)1-у иу- йх - Г ху(1- х)1-у иу- йх <8.
(0,1)
Тогда
а в 2у
1 = Г ху (1 - х)1-у и у-1 йх < 8 +
(0,1;
а в 2у
+ Г ху(1- х)1-у иу-1 йх <8 + 1
а р 2у
и 1- 8 < { ху(1- х)1-у иу- йх < 1.
7п
Но это означает, что
а р 2у
Нш I ху (1 - х)1-у иу-1 йх = 1.
п——ж ^
7
п
2у а р
Поскольку Нш | пу ху (1 - х)1-у йх = 0 , получа-
п—ж 2
Гп
ем Нш Сп = 1. Так как для любого п > 3 имеем
п
а
у
п
Р
и
V Хп
п
Таблица 1
P У a ma,P,y
p<-1 У < (P +1)/2 a < 2y -1 Л < ma,p,y < R 1 Уі1. Уі.
p<-1 У < (P +1)/2 2y -1 < a ma,P,y = m
p<-1 (p +1)/2 <y< 0 -; < a < +; Л < ma,p,y < R 1 Уі1. Уі]
p<-1 0 < у -; < a < +; ma,P,y = л1
p>-1 у < 0 a < 2y -1 Л < ma,p,y < R 1 Уі1. Уі]
p>-1 0 < у -; < a < +; ma,P,y = л1
С > 0, то Ъ = inf С > 0 . Тогда получаем
neN \ {l ,11
_2
A = Ъ1-у, так как для любого n > З выполняются
соотношения:
2
1 1 у
u у-‘ u1 = С 1-1 u y-1 u1 < Ъ1 у u у-‘.
n n n
Поскольку
JL _2т. x ' ‘(l- x) y-1 uy-1 є
то по теореме Лебега
1 (l- x)-y-1 uy-1 є L ‘(0,1),
1 a _ p 1
y-1 - x) y-1 и y-1 u2 dx ^
Гx y-1 (l- x)V 1
la p 1y
^ Г x y-1 (l - x) y-1 u y-1 dx = 1
0
при n ^ ;, и, следовательно,
p2
lim R
x
-1 (l- x) y-‘un У_‘. u
= G[u ].
Тогда
ma,p,y= jf fR[Q. У]<
QeTa.p.y yeHQ\{()I
< lim inf R
n^; yeHQ\{0I
P 1
-1 (1- x) y-‘uny', y
< lim R
p2
-1 (l- x) y-‘un У_‘. u
= G[u]= m .
если y< 0, 2y -1 <a< 0 < P , то
( i А
ma,p,y < minі Л + 1
1 + 4(a - 2y + l)y
1 + 4(p-2y + l)y
i Л
ma,P,y <
1 + 4(a-2y + l)y
2
если y< 0, 2y -1 <P< 0 < a , то
( Л
1 + 4(p-2y +1)
ma,P,y <
л1;
Таким образом, имеем таРу < т , и мы получаем та р у = т = G\u].
Теорема 4 доказана.
Замечание 3. Отметим, что если у < 0 , а > 2у -1, Р > 2у -1, то показано [1-4], что для указанного значения та,Р,у = т имеют место следующие неравенства: если у < 0, а, Р > 0, то
если у < 0, 2у -1 < а,р < 0, то
( 1 0+4у-2 Л
та,р,у< 1 + 0У 2 У
V )
где 0 = max {а, р}- 2у +1.
Проиллюстрируем результаты теорем 1, 3, 4 в виде таблицы (см. табл. 1).
Для та р у имеем приведенные в табл. 1
оценки, где функция y1 определяется в теореме 1, т определяется формулой (7).
Проиллюстрируем результаты теорем 1, 3, 4 графически (см. рис. 1).
Список литературы
1. Telnova M.Yu. Some estimates for the first eigenvalue of the Sturm-Liouville problem with a weight integral condition // Mathematica Bohemica. 2012. V. 137. № 2. P. 229-238.
2. Тельнова М.Ю. Оценки первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с условиями Дирихле и весовым интегральным условием // В сб.: Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа: научное издание под ред. И.В. Асташовой. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. C. 608-647.
3. Тельнова М.Ю. Об оценках первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с весовым интегральным условием // Тез. докл. межд. мини-конф. «Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения» (8-15 июня 2010). М.: МЭСИ, 2011. С. 45-63.
4. Тельнова М.Ю. Об оценках первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с условиями Дирихле и весовым интегральным условием // Тез. докл. межд. миниконф. «Качественная теория
22
У
a
У
x
a
У
x
2
Л
2
л
Рис. 1
дифференциальных уравнений и приложения» (16 июня 2012). М.: МЭСИ, 2013. С. 208-266.
5. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А. Об оценках первого собственного значения в некоторых задачах Штурма-Лиувилля // Успехи математических наук.
1996. T. 51(3). С. 73-144.
6. Egorov Yu.V., Kondratiev V.A. On Spectral theory of elliptic operators // Operator theory: Advances and Applications. Birkhouser. 1996. V. 89. P. 1-325.
7. Куралбаева К.З. Об оценках первого собственного значения оператора Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения. 1996. T. 32(6). С. 852853.
8. Винокуров В.А., Садовничий В.А. О границах изменения собственного значения при изменении потенциала // Доклады Академии наук. 2003. Т. 392. № 5. С. 592-597.
9. Ежак С.С. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с интегральным условием //Современная математика и ее приложения. 2005. Т. 36. С. 56-69.
10. Тельнова М.Ю. Оценки первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с нулевыми граничными условиями и весовым интегральным условием на потенциал // Дифференциальные уравнения.
2012. Т. 48. № 11. С. 1570-1571.
11. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2009. 572 с.
12. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.
13. Осмоловский В.Г. Нелинейная задача Штурма-Лиувилля. Учеб. пособие. СПб: Изд-во С.-
Петербургского университета, 2003.
ON ESTIMATES FOR THE FIRST EIGENVALUE OF A STIJRM-LIOIJVILLF. PROBLEM
M.Yu. Telnova
Some estimates for the first eigenvalue of a Sturm-Liouville problem with Dirichlet conditions and a weighted integral condition for the potential are obtained.
Keywords: differential equations, boundary problems, first eigenvalue, integral condition, variational methods.
References
1. Telnova M.Yu. Some estimates for the first eigenvalue of the Sturm-Liouville problem with a weight integral condition // Mathematica Bohemica. 2012. V. 137. № 2. P. 229-238.
2. Tel'nova M.Ju. Ocenki pervogo sobstvennogo znachenija zadachi Shturma-Liuvillja s uslovijami Di-rihle i vesovym integral'nym usloviem // V sb.: Kachest-vennye svojstva reshenij differencial'nyh uravnenij i smezhnye voprosy spektral'nogo analiza: nauchnoe izda-nie pod red. I.V. Astashovoj. M.: JuNITI-DANA, 2012. C. 608-647.
3. Tel'nova M.Ju. Ob ocenkah pervogo sobstvennogo znachenija zadachi Shturma-Liuvillja s vesovym integral'nym usloviem // Tez. dokl. mezhd. minikonf. «Kachestvennaja teorija differencial'nyh uravnenij i pri-lozhenija» (8-15 ijunja 2010). M.: MJeSI, 2011. S. 4563.
4. Tel'nova M.Ju. Ob ocenkah pervogo sobstvennogo znachenija zadachi Shturma-Liuvillja s uslovijami Di-rihle i vesovym integral'nym usloviem // Tez. dokl. mezhd. minikonf. «Kachestvennaja teorija differencial'nyh uravnenij i prilozhenija» (16 ijunja 2012). M.: MJeSI, 2013. S. 208-266.
5. Egorov Ju.V., Kondrat'ev V.A. Ob ocenkah pervogo sobstvennogo znachenija v nekotoryh zadachah Shturma-Liuvillja // Uspehi matematicheskih nauk. 1996. T. 51(3). S. 73-144.
6. Egorov Yu.V., Kondratiev V.A. On Spectral theory of elliptic operators // Operator theory: Advances and Applications. Birkhouser. 1996. V. 89. P. 1-325.
7. Kuralbaeva K.Z. Ob ocenkah pervogo sobstvenno-go znachenija operatora Shturma-Liuvillja // Differen-cial'nye uravnenija. 1996. T. 32(6). S. 852-853.
8. Vinokurov V.A., Sadovnichij V.A. O granicah iz-menenija sobstvennogo znachenija pri izmenenii poten-ciala // Doklady Akademii nauk. 2003. T. 392. № 5.
S. 592-597.
9. Ezhak S.S. Ob ocenkah minimal'nogo sobstvennogo znachenija zadachi Shturma-Liuvillja s integral'nym usloviem //Sovremennaja matematika i ee prilozhenija. 2005. T. 36. S. 56-69.
10. Tel'nova M.Ju. Ocenki pervogo sobst-vennogo znachenija zadachi Shturma-Liuvillja s nulevymi gra-nichnymi uslovijami i vesovym integral'nym usloviem na potencial // Differencial'nye uravnenija. 2012. T. 48. № 11. C. 1570-1571
11. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Jelementy teorii funkcij i funkcional'nogo analiza. M.: FIZMATLIT, 2009. 572 s.
12. Ljusternik L.A., Sobolev V.I. Jelementy funk-cional'nogo analiza. M.: Nauka, 1965.
13. Osmolovskij V.G. Nelinejnaja zadacha Shturma-
Liuvillja. Ucheb. posobie. SPb: Izd-vo S.-Peter-
burgskogo universiteta, 2003.
