Об оценках первого собственного значения одной задачи Штурма-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 1 (1), с. 209-217

УДК 517.927.2

ОБ ОЦЕНКАХ ПЕРВОГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

© 2014 г. М.Ю. Тельнова

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

mytelnova@ya.ru

Поступила в редакцию 20.09.2013

Получены некоторые оценки первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с условиями Дирихле и весовым интегральным условием на потенциал.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, краевые задачи, первое собственное значение, интегральное условие, вариационные методы.

Введение 2 1.

||у||На = {(у'2 + Q(х)У2)* .

Рассматривается задача о

у” - Q(х)У + Ху = о, х е (0,1), (1) Доказано [1-4], что первое собственное зна-

у(0) = у(1) = 0, (2) чение X1 задачи (1), (2) может быть найдено

где функция Q принадлежит множеству Та р у как

действительных неотрицательных локально ин- Х 1(Q) = RQ, у],

тегрируемых на интервале (0,1) функций, для

где

которых выполняется интегральное условие 1

1 в IV + Q( х) у2 )йХ

{х “ (1 - х)в Q1 (х) dx = 1, а, в, уе R, у* 0. (3) ^ J ^ ^ ^ 7

Под решением задачи (1), (2) понимается J у2 dx

функция у, абсолютно непрерывная на [0,1], о

удовлетворяющая условиям (2), имеющая абсо- Целью исследования является приведение лютно непрерывную производную на любом некоторых оценок для

отрезке, тедержад™ в интервале (0,1), и От(1,р,г = inf х (Q), MaAy= sup X Q

удовлетворяющая уравнению (1) почти всюду QeTa-».■t QeTa>р>т

на интервале (0,1). Для оценок ша р и Ма р у введем функцио-

Функция у e H1 (0,1) называется слабым нал

решением задачи (1), (2), если для всех функций у—

1 (1 2l jl Л у

fe Q (0,1) (бесконечно дифференцируемых на J у2 ^ + 1 Гу у-1 x 1 у ^1 _ х) i-у dx

(0,1) функций с компактными носителями) вы- ^

полняется равенство

1

G[y] = -

JO'V + Q(x)y\[f)dx = xJyy dx.

Г y2 dx

Задачи на собственные значения с инте-Изучается зависимость первого собственно- гральным условием на потенциал возникли из

го значения X і задачи (1)-(3) от потенциала Q задачи, известной как задача Лагранжа о наибо-

при различных значениях параметров лее прочной колонне заданного объема:

а> й> у (у * °). (д(х)у")" + Xу" = 0,

Для произвольной функции Q из Га,р,у обо- у(0) = у,(0) = у(1) = у,(1) = 0 ,

значим через HQ замыкание множества 1

Сд (0, і) по норме ^л[0(Х) й'х = 1.

Подобные оценки первого собственного значения Xх(0) были получены и для других задач. Первая задача такого типа для уравнения второго порядка и нулевых граничных условий у + X Q(x)у = 0, х е (0,1), (4)

У(0) = у(1) = 0 (5)

была поставлена и изучена Ю.В. Егоровым и В.А. Кондратьевым в работах [5, 6] при условии, что функция Q принадлежит множеству действительных положительных измеримых на интервале (0,1) функций, удовлетворяющих

условию

{ Q1 (х) dx = 1, уе R, у^ 0.

{ х (1 - х^(х) dx

< ж.

т

а,В,у

1) если у> 0, то т:

а,В,у

имеют место сле-

= %

2) если у < 0, то %2 < та р у < ж , причем если у < 0, а < 2у -1 (р < 2у -1), то

та,р,у < -[0, у1] , где

у 1( х) = <

(1 - х)е, — < х < 1, 2

и е - некоторое действительное число, удовлетворяющее неравенству

е >

а-|р|-у-еу +1

2у

е >

Р-|а|-у-ву +1

2у

(6)

В работе [7] К.З. Куралбаевой были получены оценки снизу и сверху минимального собственного значения задачи (4), (5), где функция Q принадлежит множеству действительных положительных измеримых на интервале (0, 1) функций, удовлетворяющих условию (3) и условию

В.А. Винокуровым и В.А. Садовничим [8] рассматривалась задача (1), (2) при условии, что Q - вещественная интегрируемая по Лебегу на (0,1) функция. Исследовался вопрос о том, как сильно можно изменить (увеличить или уменьшить) собственное значение, если Q меняется в пределах некоторого подмножества

иР[*] = ^ е Iр(0,1)| Ы1р(0,1) < *} , где * > 0 ,

р е [1, + ж].

Авторами получены оценки снизу и сверху минимального собственного значения данной задачи при р > 1, доказана достижимость оценок при р > 1. Достижимость оценок при р = 1 была доказана С.С. Ежак в работе [9], где были получены соответствующие оценки для задачи у + 8 Q(х)у + Ху = 0, х е (0,1), у(0) = у(1) = 0

при 8 = ±1, Q - неотрицательной ограниченной на [0,1] функции, удовлетворяющей условию (6).

В работах [1-4, 10] были доказаны следующие утверждения.

Теорема 1. Для дующие оценки:

0 <е < 1.

Теорема 2. Для Мару имеют место следующие оценки:

1) если у< 0 или 0 <у< 1, то Мару =ж;

2) если у > 1, то Ма р у < ж, причем

2а) если у > 1 и а, В>у, то

а р

Ма,р,у = -[1/у2,уI где у1(х) = х2у(1 -х)2у;

2б) если у> 1 и а, В<у или а < у < < В < 2у -1 или р<у<а< 2у -1, то существуют такие функции Q, е Та р у и и е Н^ , что

М а,р,у = -Ф., и]=т, где т.=];

2в) если у > 1 и а> 2у -1, р < у , то М а р у <

а 1+8

<-1/у22,у2], где у2(х) = х2у (1 -х)2у , 0<8 < 1; 2г) если у > 1 и р> 2у -1, а < у, то

1 + 8 _р_

Ма,р,у < -[1/У2 , Уз ] , где Уз (х) = х 2у (1 - х)2у ,

0 <8 < 1;

2д) если у = 1 > а > 0 > р или у = 1 > р >

> 0 > а или у > 1, а, р < 0, то Ма р у < 2%2;

2е) если у = 1 > а,р> 0, то Мару <3%2; если у = 1, а, р< 0, то Мар у< — %2.

4

Замечание 1. В случае 2б) для т. имеют место следующие неравенства:

Если у> 1, 0< а,р<2у-1, то Мару = т. <

% ; если у> 1 и р<0<

С , , 2у-1 Л

< 3у-2 1 + 2_г Г 2у -1 Л у

1 у V

< а < 2у -1 или а < 0 < р < 2у -1, то М(

а,р,у

2у-1 Л

1 +

С2у -1Ту

2

= т. <

%

У

Замечание 2. Результаты, полученные в теореме 1 при у*0, а,Р = 0 и в теореме 2 при 0 * у < 1 и при у> 1, а = Р = 0, совпадают с результатами работы [9] при 8 = -1.

Основные результаты работы

Уточним оценку для та р у в случае у < 0, а> 2у-1, Р> 2у -1.

В силу неравенства Гёльдера для любой функции Q є Та р у и для данных значений параметров а, Р, у имеем

, ^ _ О

у-1

||у| х1 у(1 - х)1 у йх <

0

1

(і 1 <1 Г Q у(х) х а(1 - х)р йх

0

У

і Q(x) у2

йх

Обозначим

т

= іпГ G\y\.

УєН 1 (0,1)\{0}

Тогда имеем

т

а,Р,у

= іпГ іпГ R\Q, у]>

£^Та,р,у yєHQ\{0}

> іпГ 0\у ]> іпГ б\у] = т,

yєHQ\{0} уєН 0 (0,1)\{0}

то есть та р у > т . Докажем, что т

а,Р,у

= т.

и" + ти = х у (1 - х)

Р у+1 у-1 ,, у-1

и удовлетворяет условиям и(0) = и(1) = 0,

1 2у а

Ги ^ х^

(1 - х) у-1 йх = 1.

& (х) = х у-1(1 - х)

у-1 ,, у-1

(х) є Т0

такова, что ^Яп , и ] —— G\u ] = т при

та,Р,у = т .

Доказательство основных результатов работы

Доказательство теоремы 3.

Лемма 1. Существует такая функция

и е Н (0,1), что 0\и\ = т , где т определяется формулой (7).

Доказательство. Обозначим

г.Ч У

У є Н (0,1), | угйх = 1І.

Заметим, что для любой функции у е Г. имеем

1 1

б[У]>{У'2Лх и ||у||Н1 (0,1) = {у'2 ^ +1 < °\у] +1.

0 0

Пусть {у} - минимизирующая последовательность функционала 0[у] в Н0(0,1). Тогда

последовательность

Ук

12

где С, =

минимизирующая последователь-

(7)

1

= { укйх,

0

ность функционала 0[у] в Г., и для всех достаточно больших значений к имеем Фк ] < т +1

и У

Н1 (0,1) < G\Уk ] +1 < т + 2.

Теорема 3. Пусть у< 0, а> 2у-1,

Р > 2у -1; тогда существует такая неотрицательная на интервале (0,1) функция и є Н1 (0,1), что G\u] = т , причем и является слабым решением уравнения

х є (0,1), (8)

(9)

(10)

Теорема 4. Пусть у< 0, а> 2у -1, Р> 2у -1 и функция и удовлетворяет условиям теоремы 3. Тогда существует такая последовательность положительных на интервале (0, 1) функций

ип є Н1 (0,1), для которой последовательность функций

Докажем, что существует такая функция и. е Г., что С[м.] = т .

Так как {ук} - ограниченная последовательность в сепарабельном гильбертовом пространстве Н^ (0,1), то она содержит подпоследовательность { zk}, слабо сходящуюся в Н ^ (0,1) к неко-

II ||2

торой функции и., причем и. и < т + 2.

II 11Н 0 (0,1)

Пространство Н (0,1) компактно вкладывается в пространство с ([0,1]), следовательно, существует подпоследовательность {s'k} последовательности {zk}, сильно сходящаяся в С([0,1]). Поскольку С([0,1]) вкладывается в Ьр (0,1), где р > 1, то последовательность { s'k} сильно сходится в Ь2 (0,1) к функции и.. Следовательно, для функционала ]

11

Г s2k йх — Г и2 йх при к — да

а,Р,у

п — да и

и2 йх = 1.

Докажем также, что найдется такая подпосле-

довательность

К}

последовательности

{*к},

что

2

а

Р

и

Р

2

а

п

1 а

у

{х у-1 (1- х)-у-1

1 у 1

_2у_

у-1 dx ^

1 а

у

{х у-1 (1- х)-у-1

р _2у_

I у-1

1

х \(1

Дх)|<{|и1(^)|^<х21 {и'к йх

0 V 0 V

= CkX 2;

и у dx

х

0

при k ^ ж.

Применим теорему Лебега ([11], гл. V, теор. 6). Рассмотрим последовательность

Га р 2у 1

-1 (1- х) у-1

у-1 с у-1

ху . ,

членами которой являются функции, принадлежащие пространству £1(0,1), поскольку при у< 0, а> 2у -1, р> 2у -1 для любого k имеем

р 2у

1 а

у

{х у-1 (1- х)-у-1

5,1у 1 йх < +ж.

Докажем сначала, что найдется такая подпоследовательность {ик} последовательности

{ Sk }

а р 2 у

■х) у-1 \и,,\У=Т^х~1(1-х)-у=Ткр

а р 2 у

х у-1 (1- х) у-1 |иА.| при k ^ ж при почти всех х е [0,1].

Поскольку пространство С ([0,1]) вкладыва-

ется в

где р =

2у

у-1

2 у

, то последователь-

2у

где Ск = Г{и'к2 йх

Аналогично, ик (х) = - I ик (^) ^ и |ик (х)|<

< Ск (1- х) 2.

II || 2

Поскольку ||Ук ||Н1 (01) < т + 2, то

1

СI Л2 ,_____

Ск =|{и'к йх <-\/т +1.

V 0 V

На (0,1/ 2) при р < 0 имеем

__^ __^ ^ / л —-т у-а

х у-1 (1- х) у-1| ик (х)| у-1 <(т + 1)у-11 — 1 ху-1,

на [1/2, 1) при а < 0 имеем

х у 1 (1 - х) у 1 |ик(х)|у 1 <

а п

у г 1 Л—г 1-р

< (т +1)у-11 — | (1 - х)у-1.

\Ь1 (0,1) сходится к < |и. | у- >е

Тогда положим

\Ь1 (0,1). Тогда существует такая подпоследо-

вательность {ик} последовательности { sk}, что

2у 2у

|ик| у- ^ \и,\ у-1 при почти всех х е [0,1] .

Тогда

а р 2 у а р 2 у

х У=1 (1 - х)-уГ11ик\уГТ^ х У=1 (1 - х)-у- |и.| уГГ при почти всех х е [0,1].

Докажем далее, что найдется такая функция Ф е ^1(0,1) , что для любого к

а р 2 у

х у-1 (1- х) у-1 |и^ У_ 1 <ф(х) при почти всех х е [0,1].

Для функции ик е ЛС[0,1], удовлетворяющей условиям ик (0) = ик (1) = 0, имеет место

равенство ик (х) = {и'к (;)йЕ,. В силу неравенства

0

Гёльдера

{ Sk }

ф(х ) =

С, ху 1, 0 < х <—, 1 2

1

С2 (1-х)у-1, ^-< х< 1,

где

С1 =(т+1)у-1Г 2 ] у при р< 0;

у

С1 = (т +1)у 1 при р > 0 .

С2 =(т + 1)у 1Г11 при а< 0,

С2 = (т + 1)у 1 при а > 0 .

При у < 0 , а > 2у 1 , р > 2у 1 функция фе X1 (0,1). Тогда по теореме Лебега

а р 2 у

-х )-уГГ |и.| Я е_

-1 (1- х) у-1 \иГ<-‘е 11 (0,1)

и

к

и

р

а

у-а

а

у

и

OL _JL 2L -1 (l- x) y-1 uk\т4 dx ^

g (t) =

1 a

У'

X

0

Гx y-1 (l- x)-y-1

2l

Iy-1 dx

1

Г(u'(x) + tz'(x))2 dx -

при к ^ ж.

Поскольку последовательность {ик} ограничена в Н1 (0,1), в силу определения нормы

1|ик| Н (01) последовательность {ик} ограничена в Ь2 (0,1). Тогда существует такая подпоследова-

тельность {wk I последовательности {u

{ukк

последовательность {w’k} слабо сходится к м' в L2 (0,1).

v,t последовательности

что

1 1 lim v"2 dx = lim w"2 dx.

k^»J k k^J

то

u'li . < limiv"|| . ,

*I,L2(0,1) Т-ГІІ k"L 2(0,1)

= lim і v"

\l 2(0,1)

Г = ^ y

y є H

г (о,1). Г

2y a ___^ |

y|y-1 x y-1 (l- x) y-1 dx = l}

V

y-1А

( 1 ___^ _^ _2^ А У

+1 Гx y-1 (1 -x) y-1 |u(x) + tz(x)\y-1 dx

( 1 А !(u(x) + tz(x))2 dx ,

что

t

u"

где * е — . Поскольку функционал б[у] достигает экстремума при у = и , то g '(0) = 0 . Поскольку и е Г и 0[и] = т , получаем

1 1 a P у+1

у-1 (i - x) y-1lu| у-1

Рассмотрим такую подпоследовательность

Г u'z'dx + Г x у (1 -x) у |u|у sgnuzdx =

0 0 (11)

Так как {v"I слабо сходится к u, в L2 (0,і),

(см. [12, с. 217]).

Таким образом, функционал G[y] является слабо полунепрерывным снизу (см. [13, с. 73])

функционалом в H1 (0,1), и G[u,]< lim G[vk ] = m .

k

Поскольку m = inf G[y], получаем G\u, ] = m .

yeH0 (0,1){0}

Лемма 1 доказана.

Пусть

и функция и = Си., где С выбирается так, чтобы и принадлежала Г и была неотрицательной на [0,1].

Тогда 0\и\ = б[и.] = т .

Лемма 2. Пусть и е Г и б[и] = т ; тогда неотрицательная на интервале (0,1) функция и является слабым решением уравнения (8) и удовлетворяет условиям (9), (10).

Доказательство. Зафиксируем некоторую функцию z е Н (0,1) и рассмотрим семейство кривых и + tz , где * - произвольный параметр. На кривых и + tz функционал б[у] превращается в функцию параметра *:

= т { и 2 йх.

0

Равенство (11) выполняется для любой функции 2 е Н1 (0,1). Полагая, что 2 е С0ж (0,1), получаем, что функция и имеет обобщенную производную, равную

а р у+1

и" = х у-1(1 -х) у-1 |и| у-^пи -ти =

__^ _______^ _2_

= х у-1(1 - х) у-1 иу-1 и - ти.

Таким образом, функция и е Н01 (0, 1) является слабым решением уравнения (8).

Так как 0\и] = б[ и |], то можно считать, что последовательность { ик} неотрицательна, и и > 0.

Лемма 2 доказана.

С помощью лемм 1 и 2 мы получили, что существует неотрицательная на интервале (0, 1)

функция и е Н01 (0, 1) , которая является слабым решением уравнения (8) и удовлетворяет условиям (9), (10).

Теорема 3 доказана.

Доказательство теоремы 4.

Рассмотрим последовательность функций

u(x), u(x) >—, x є (0,1), n

un (x) = ^x (1 - x), u(x) < Г, x є| 0,1 lull-Г,1

n І n У І n

1 гл 1 (‘ і ‘А

—, u(x) < —, x є I — ,1—I,

n n І n n у

x

u

*

X

X

2

где п > 3, и последовательность функций ип = Спуп, где константы Сп таковы, что для любого п > 3 ип е Г.

Рассмотрим последовательность функций

2 у-а

2у-Р

Р2

^ (х) = х у-1 (1 - х) у-1 ип У~1 (х) є Та

а,Р,у

1 а _ Р 2

у-1 (1 - х) у-1 и у-1 и2 йх —

1 а Р

Гх ^ (1- х)-уГ1 г

1а Р 2у

— Г х у-1 (1 - х) у-1 иу-1 йх

0

при п — да.

Применим теорему Лебега ([11], гл. V, теор. 6). Для последовательности

Iх у-1 (1- х) у-1 и„ у~1 и 2 Г

имеем:

X _2_

у-1 и у-1 и 2

х

1 (1 -х) у-1 ип у-1 и2 <Ах у-1 (1 -х) у-1 иу-1.

0, — ^ Г1 —1, 1*1, и(х)<11, п) V п ) п I

х є | — ,1-1 |, и(х)< — Г , п п ) п

Пусть

X. =\х

У =\х

х е (0,1), и(х)>11 .

п \

Из условий ип = Сп ип и ип е Г следует, что

С = I {х у-1 (1 - х) у- у у-1 йх

1-у

^ ^ 2у

у-1 ~ у-1

п

У

( 2у-а

у-

2 у-Р

2у а

Г х у 1 (1- х) у 1 йх + Г п1 у х1 у(1- х)1 у йх +

а Р 2у ] 2у

+ Г х1_ у(1- х)1-у иу- 1^х

У

2у-а 2 у-Р

Поскольку функция х у 1 (1 - х) у 1 суммируема, то по теореме об абсолютной непрерывности интеграла Лебега

Г х у 1 (1 - х) у 1 йх — 0

Тогда для любого п > 3 функция ип принадлежит пространству НQ с выбранным Qn. Докажем, что

_ ________________ ___________

х ,_1 (1- х) у- ип у _1 и2 — х у- (1- х) у- иу-1 при п — ж почти всюду на [0,1].

Докажем, что найдется такая константа А, что для любого п > 3

а р 2 а р 2у

при п — ж.

Рассмотрим монотонно возрастающую последовательность интегралов

а р 2у

{ ху (1 - х)1-у иу-1 йх.

7п

Данная последовательность ограничена, поскольку для любого п > 3

а р 2 у 1 а р 2 у

{ ху (1 - х)1-у иу- йх < { ху (1 - х)1-у иу- йх = 1.

7п 0

Значит, по теореме Вейерштрасса данная последовательность имеет предел. Докажем, что этот предел равен 1.

В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега для любого 8 > 0 найдется такое 88 > 0, что для любого множества е с (0,1) из того, что ц(е) < 88, следует, что выполняется

а р 2у

неравенство { ху (1 - х)1-у иу 1 йх <8 .

е

Заметим, что (0,1) = и 2п и 71 с 72 с ....

п

Тогда для любого 8 > 0 , и в частности для 8 = 88, найдется такой номер N, что для любого п > N выполняется неравенство ц((0,1 )\7п)< <88 . Следовательно, для любого п > N выполняется неравенство

Г х1 у(1- х)1

Р_ _2у_

у и у-1

йх <8 ,

(0,1 )\ 2п

то есть

а Р 2у а Р 2 у

Г ху(1- х)1-у иу- йх - Г ху(1- х)1-у иу- йх <8.

(0,1)

Тогда

а в 2у

1 = Г ху (1 - х)1-у и у-1 йх < 8 +

(0,1;

а в 2у

+ Г ху(1- х)1-у иу-1 йх <8 + 1

а р 2у

и 1- 8 < { ху(1- х)1-у иу- йх < 1.

7п

Но это означает, что

а р 2у

Нш I ху (1 - х)1-у иу-1 йх = 1.

п——ж ^

7

п

2у а р

Поскольку Нш | пу ху (1 - х)1-у йх = 0 , получа-

п—ж 2

Гп

ем Нш Сп = 1. Так как для любого п > 3 имеем

п

а

у

п

Р

и

V Хп

п

Таблица 1

P У a ma,P,y

p<-1 У < (P +1)/2 a < 2y -1 Л < ma,p,y < R 1 Уі1. Уі.

p<-1 У < (P +1)/2 2y -1 < a ma,P,y = m

p<-1 (p +1)/2 <y< 0 -; < a < +; Л < ma,p,y < R 1 Уі1. Уі]

p<-1 0 < у -; < a < +; ma,P,y = л1

p>-1 у < 0 a < 2y -1 Л < ma,p,y < R 1 Уі1. Уі]

p>-1 0 < у -; < a < +; ma,P,y = л1

С > 0, то Ъ = inf С > 0 . Тогда получаем

neN \ {l ,11

_2

A = Ъ1-у, так как для любого n > З выполняются

соотношения:

2

1 1 у

u у-‘ u1 = С 1-1 u y-1 u1 < Ъ1 у u у-‘.

n n n

Поскольку

JL _2т. x ' ‘(l- x) y-1 uy-1 є

то по теореме Лебега

1 (l- x)-y-1 uy-1 є L ‘(0,1),

1 a _ p 1

y-1 - x) y-1 и y-1 u2 dx ^

Гx y-1 (l- x)V 1

la p 1y

^ Г x y-1 (l - x) y-1 u y-1 dx = 1

0

при n ^ ;, и, следовательно,

p2

lim R

x

-1 (l- x) y-‘un У_‘. u

= G[u ].

Тогда

ma,p,y= jf fR[Q. У]<

QeTa.p.y yeHQ\{()I

< lim inf R

n^; yeHQ\{0I

P 1

-1 (1- x) y-‘uny', y

< lim R

p2

-1 (l- x) y-‘un У_‘. u

= G[u]= m .

если y< 0, 2y -1 <a< 0 < P , то

( i А

ma,p,y < minі Л + 1

1 + 4(a - 2y + l)y

1 + 4(p-2y + l)y

i Л

ma,P,y <

1 + 4(a-2y + l)y

2

если y< 0, 2y -1 <P< 0 < a , то

( Л

1 + 4(p-2y +1)

ma,P,y <

л1;

Таким образом, имеем таРу < т , и мы получаем та р у = т = G\u].

Теорема 4 доказана.

Замечание 3. Отметим, что если у < 0 , а > 2у -1, Р > 2у -1, то показано [1-4], что для указанного значения та,Р,у = т имеют место следующие неравенства: если у < 0, а, Р > 0, то

если у < 0, 2у -1 < а,р < 0, то

( 1 0+4у-2 Л

та,р,у< 1 + 0У 2 У

V )

где 0 = max {а, р}- 2у +1.

Проиллюстрируем результаты теорем 1, 3, 4 в виде таблицы (см. табл. 1).

Для та р у имеем приведенные в табл. 1

оценки, где функция y1 определяется в теореме 1, т определяется формулой (7).

Проиллюстрируем результаты теорем 1, 3, 4 графически (см. рис. 1).

Список литературы

1. Telnova M.Yu. Some estimates for the first eigenvalue of the Sturm-Liouville problem with a weight integral condition // Mathematica Bohemica. 2012. V. 137. № 2. P. 229-238.

2. Тельнова М.Ю. Оценки первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с условиями Дирихле и весовым интегральным условием // В сб.: Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа: научное издание под ред. И.В. Асташовой. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. C. 608-647.

3. Тельнова М.Ю. Об оценках первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с весовым интегральным условием // Тез. докл. межд. мини-конф. «Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения» (8-15 июня 2010). М.: МЭСИ, 2011. С. 45-63.

4. Тельнова М.Ю. Об оценках первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с условиями Дирихле и весовым интегральным условием // Тез. докл. межд. миниконф. «Качественная теория

22

У

a

У

x

a

У

x

2

Л

2

л

Рис. 1

дифференциальных уравнений и приложения» (16 июня 2012). М.: МЭСИ, 2013. С. 208-266.

5. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А. Об оценках первого собственного значения в некоторых задачах Штурма-Лиувилля // Успехи математических наук.

1996. T. 51(3). С. 73-144.

6. Egorov Yu.V., Kondratiev V.A. On Spectral theory of elliptic operators // Operator theory: Advances and Applications. Birkhouser. 1996. V. 89. P. 1-325.

7. Куралбаева К.З. Об оценках первого собственного значения оператора Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения. 1996. T. 32(6). С. 852853.

8. Винокуров В.А., Садовничий В.А. О границах изменения собственного значения при изменении потенциала // Доклады Академии наук. 2003. Т. 392. № 5. С. 592-597.

9. Ежак С.С. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с интегральным условием //Современная математика и ее приложения. 2005. Т. 36. С. 56-69.

10. Тельнова М.Ю. Оценки первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с нулевыми граничными условиями и весовым интегральным условием на потенциал // Дифференциальные уравнения.

2012. Т. 48. № 11. С. 1570-1571.

11. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2009. 572 с.

12. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

13. Осмоловский В.Г. Нелинейная задача Штурма-Лиувилля. Учеб. пособие. СПб: Изд-во С.-

Петербургского университета, 2003.

ON ESTIMATES FOR THE FIRST EIGENVALUE OF A STIJRM-LIOIJVILLF. PROBLEM

M.Yu. Telnova

Some estimates for the first eigenvalue of a Sturm-Liouville problem with Dirichlet conditions and a weighted integral condition for the potential are obtained.

Keywords: differential equations, boundary problems, first eigenvalue, integral condition, variational methods.

References

1. Telnova M.Yu. Some estimates for the first eigenvalue of the Sturm-Liouville problem with a weight integral condition // Mathematica Bohemica. 2012. V. 137. № 2. P. 229-238.

2. Tel'nova M.Ju. Ocenki pervogo sobstvennogo znachenija zadachi Shturma-Liuvillja s uslovijami Di-rihle i vesovym integral'nym usloviem // V sb.: Kachest-vennye svojstva reshenij differencial'nyh uravnenij i smezhnye voprosy spektral'nogo analiza: nauchnoe izda-nie pod red. I.V. Astashovoj. M.: JuNITI-DANA, 2012. C. 608-647.

3. Tel'nova M.Ju. Ob ocenkah pervogo sobstvennogo znachenija zadachi Shturma-Liuvillja s vesovym integral'nym usloviem // Tez. dokl. mezhd. minikonf. «Kachestvennaja teorija differencial'nyh uravnenij i pri-lozhenija» (8-15 ijunja 2010). M.: MJeSI, 2011. S. 4563.

4. Tel'nova M.Ju. Ob ocenkah pervogo sobstvennogo znachenija zadachi Shturma-Liuvillja s uslovijami Di-rihle i vesovym integral'nym usloviem // Tez. dokl. mezhd. minikonf. «Kachestvennaja teorija differencial'nyh uravnenij i prilozhenija» (16 ijunja 2012). M.: MJeSI, 2013. S. 208-266.

5. Egorov Ju.V., Kondrat'ev V.A. Ob ocenkah pervogo sobstvennogo znachenija v nekotoryh zadachah Shturma-Liuvillja // Uspehi matematicheskih nauk. 1996. T. 51(3). S. 73-144.

6. Egorov Yu.V., Kondratiev V.A. On Spectral theory of elliptic operators // Operator theory: Advances and Applications. Birkhouser. 1996. V. 89. P. 1-325.

7. Kuralbaeva K.Z. Ob ocenkah pervogo sobstvenno-go znachenija operatora Shturma-Liuvillja // Differen-cial'nye uravnenija. 1996. T. 32(6). S. 852-853.

8. Vinokurov V.A., Sadovnichij V.A. O granicah iz-menenija sobstvennogo znachenija pri izmenenii poten-ciala // Doklady Akademii nauk. 2003. T. 392. № 5.

S. 592-597.

9. Ezhak S.S. Ob ocenkah minimal'nogo sobstvennogo znachenija zadachi Shturma-Liuvillja s integral'nym usloviem //Sovremennaja matematika i ee prilozhenija. 2005. T. 36. S. 56-69.

10. Tel'nova M.Ju. Ocenki pervogo sobst-vennogo znachenija zadachi Shturma-Liuvillja s nulevymi gra-nichnymi uslovijami i vesovym integral'nym usloviem na potencial // Differencial'nye uravnenija. 2012. T. 48. № 11. C. 1570-1571

11. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Jelementy teorii funkcij i funkcional'nogo analiza. M.: FIZMATLIT, 2009. 572 s.

12. Ljusternik L.A., Sobolev V.I. Jelementy funk-cional'nogo analiza. M.: Nauka, 1965.

13. Osmolovskij V.G. Nelinejnaja zadacha Shturma-

Liuvillja. Ucheb. posobie. SPb: Izd-vo S.-Peter-

burgskogo universiteta, 2003.