CC BY
18
УДК 517.987 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6 (64). Вып. 4 МБС 28С99
Об оценках обобщенной размерности Хаусдорфа
, А. А. Флоринский
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Для цитирования: Леонов Г. А., Флоринский А. А. Об оценках обобщенной размерности Хаусдорфа // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6(64). Вып. 4. С. 534-543. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.401
Работа содержит определение абстрактного однородного размерностного пространства с конечным индексом компактности, определение спектра размерностей Хаусдорфа — Безиковича подобного пространства, теорему о значениях спектра Хаусдорфа — Безиковича для его подпространств и ряд связанных с этими понятиями результатов. Приводятся оценки размерности множеств, допускающих некоторое отображение сжимающего типа на себя. Эти оценки представляют собой абстрактную версию результатов, близких теореме Дуади — Оэстерле о размерности аттракторов гладких динамических систем в евклидовых пространствах.
Ключевые слова: функционал Хаусдорфа — Лебега, однородное размерностное пространство с конечным индексом компактности, спектр размерностей Хаусдорфа — Бе-зиковича.
1. Введение. Проблема оценки хаусдорфовой размерности аттракторов является одной из основных в современной теории хаотических динамических систем (см. [1-11]). В статье [12] Г.А.Леоновым, с целью получения новых оценок размерности аттракторов, было инициировано изучение ряда вопросов, связанных с функционалами, возникающими при внесении в определения меры и размерности Хаусдорфа дополнительного требования дизъюнктности участвующих в этих определениях покрытий. Некоторые функционалы такого рода изучались с различных точек зрения Безиковичем [13], Роджерсом [14], Хамке и Петруской [15], Хантом [16] и другими. Ниже, в пункте 2, мы обсуждаем ряд связанных с подобными функционалами вопросов и формализмов. Основными объектами изучения в настоящей работе являются однородные размерностные пространства с конечными индексами компактности, а также их подмножества и подпространства, для которых оказываются возможными оценки их (обобщенных) размерностей Хаусдорфа; вводится и изучается спектр размерностей Хаусдорфа — Безиковича подмножества однородного размерностного пространства. Определения упомянутых понятий приведены в пункте 3. Основным результатом пунктов 1-5 работы является теорема 2 о значениях спектра Хаусдорфа — Безиковича. Ее доказательству посвящены пункты 4 и 5. В заключительном пункте 6 настоящей работы приведены некоторые оценки (обобщенных) размерностей множеств, инвариантных относительно действующих в произвольных однородных размерностных пространствах с конечным индексом компактности отображений. Основным результатом пункта 6 является теорема 3, представляющая собой одну из возможных абстрактных форм утверждений, близких теореме Дуади — Оэстерле [17] и ее аналогам.
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2019
Г. А. Леонов
2. Предварительные определения и утверждения. Пусть (X, П, Н) — тройка, состоящая из некоторого бесконечного множества X, семейства его подмножеств П и некоторой функции Н : П ^ [0, то]. Мы будем предполагать, что семейство П содержит пустое множество Л и является покрытием X, а функция Н удовлетворяет условию Н(Л) = 0. Такую тройку (X, П, Н) мы будем называть размерностным пространством. Мы будем рассматривать два функционала мн (Е) и мЬн(Е), заданных на множестве всех подмножеств множества X формулами вида м(Е) = М ^ Н(Д^), где, в случае м = Мн, М распространяется на все счетные покрытия {Д^} множества Е элементами П, а в случае м = мьн — соответственно на все дизъюнктные счетные покрытия Е элементами П, при этом М пустого множества мы считаем равным (плюс) бесконечности. Первый функционал мы будем называть (базовым) функционалом Хаусдорфа пространства (X, П, Н); он является внешней мерой на X без всяких дополнительных предположений о свойствах размерностного пространства. Второй же функционал был определен в несколько меньшей общности в статье Г. А. Леонова [12]. Без дополнительных предположений о тройке (X, П, Н) он не является внешней мерой; мы будем называть его функционалом Хаусдорфа — Лебега. В ряде вопросов, в том числе при вычислении размерностей Хаусдорфа аттракторов динамических систем, функционал Мьн выглядит предпочтительнее, чем мн. Он использовался с этой целью Г. А. Леоновым в работе [12].
Простейшим случаем совпадения двух функционалов при любой функции Н является случай, когда выполнено следующее условие (*): каждое счетное семейство элементов П содержит дизъюнктное подсемейство с тем же объединением. Этим свойством обладает, в частности, семейство П* всех диадических кубов в К", где под диадическим кубом понимается любое произведение из п полуоткрытых справа интервалов (ребер) с началом каждого из них в одной из точек вида а с концом, соответственно, в точке Мрй", где 1\,...,1п — произвольные целые числа, а к— натуральное число, называемое рангом рассматриваемого куба. Функционалы вида Мн = Мьн на ПФ изучались в работах [3] и [4]. Мы покажем, что интересующие нас свойства функционала Хаусдорфа — Лебега справедливы при фиксированных X и П для произвольной функции Н тогда и только тогда, когда выполнено указанное выше условие (*). Более точно, справедлива
Теорема 1. Пусть множество X и семейство П таковы, как описано выше. Следующие условия эквивалентны.
1. Для всякой функции Н : П ^ [0, то] со свойством Н(Л) = 0 функционал мЬн является внешней мерой.
2. Функционалы мн и мЬн совпадают при любой функции Н : П ^ [0, то] со свойством Н(Л) = 0.
3. Выполнены следующие два утверждения:
а) семейство П диадически упорядочено отношением включения, то есть для любых А, В € П выполнено А С В, или А Э В, или А р| В = Л;
б) семейство П удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей, то есть каждая возрастающая по включению последовательность элементов семейства П конечна.
4. Семейство П удовлетворяет условию (*).
Доказательство. Ясно, что 4 ^ 2 ^ 1. Докажем импликацию 1 ^ 3. Если не выполнено условие 3а, то найдутся А, В € П такие, что ни одно из этих двух
множеств не содержится в другом и A р| B = Л. Положим h(A) = 0, h(A) = h(B) = 1 и h(E) = 3 для всех остальных E € О. Тогда y«LH(A) = y«LH(B) = 1, дън(AUB) > 3 и, значит, hlh —не внешняя мера. Также, если не выполнено условие 3б, то существует бесконечная строго возрастающая последовательность An элементов О. Положим h(Á) = 0, h(An) = — и h(E) = 3 для всех остальных Е £ Q. Тогда ( ~ Á
MLH(An) = 0; /ULH I U An > 3, и мы снова получаем, что ^LH — не внешняя мера. \n=1 j
Таким образом, импликация 1 ^ 3 доказана.
Докажем импликацию 3 ^ 4. Предполагая, что условие 3 выполнено, возьмем любое счетное подсемейство {А®} элементов О. Опираясь на условие 3б, возьмем среди рассматриваемого семейства {А®} для каждого натурального i максимальный элемент G®, содержащий А®. Построенные G® между собой либо дизъюнктны, либо совпадают. Их объединение же очевидно совпадает с объединением исходного семейства {А®}. Таким образом, теорема доказана.
3. Основные определения. Перейдем к основным определениям работы. Заметим, что для любого размерностного пространства (X, О, h), удовлетворяющего эквивалентным условиям теоремы 1, совокупность всех непустых элементов семейства О разбивается на непересекающиеся классы следующим естественным образом. Класс Oí состоит из всех максимальных (по включению) элементов семейства О, класс О2 —из всех максимальных элементов семейства O\Oí и т.д. Элементы класса О к мы будем также называть в дальнейшем элементами О ранга k и писать rg(A) = k при А € О&. В общем случае ранг элемента является порядковым числом (ординалом), но далее мы будем рассматривать лишь однородные размерностные пространства, в которых ранг любого элемента заведомо натурален.
Определение 1. Мы будем говорить, что пространство (X, О, h) есть однородное размерностное пространство (ОРП), если выполнены следующие условия.
1. Условия О-однородности, состоящие в том, что
а) семейство О имеет вид О = {A}U |J О&, где при каждом целом k > 1 семей-
fc=í
ство Ок состоит из непустых множеств, образующих разбиение X;
б) для каждого E € Ок и каждого l > k семейство О;(Е) = {P € О; : Pp|E = Л} образует разбиение E, причем количество элементов |О; (E) | этого разбиения конечно и больше единицы; количество элементов множества О1 предполагается конечным (возможно равным единице) или счетным;
в) найдется константа Cq такая, что при любых целых k > 1 и l > k и любых Ei, Е2 €= flk справедливо неравенство < Cq.
2. Условия h-однородности, состоящие в том, что
а) 0 < h(E) < 1 при любом непустом E € О;
б) sup{h(E) : E € Ок} = 0;
в) существует константа Ch такая, что для любого целого k > 1 и для любых Ei, Е2 €= flk справедливо неравенство -щ^у < Сh-
Зафиксируем теперь некоторое ОРП A = (X, О,Л.), где О = {A}U |J Ок. По-
fc=í
скольку семейства О к однозначно восстанавливаются по семейству О, мы будем также использовать сокращенную запись О = {Ой}^=1. Пусть а > 0 — веществен-
ное число. Обозначим для каждого множества E С X и каждого натурального n значение на E функционала hH, отвечающего пространству (X, {Ок}£=п, ha) через
<(E).
Определение 2. Мы будем называть внешней а-мерой Хаусдорфа произвольного множества E С X число Ha(E) =f lim нО, (E), где в качестве возможного значения предела допускается и то. Размерностью Хаусдорфа множества E С X мы будем называть (возможно равную бесконечности) величину dimH(E) = dimH(E, A) d==f inf{а > 0 : ^S(E) = 0}.
Мы рассмотрим теперь произвольную строго возрастающую последовательность натуральных чисел а = {kn}W=i (мы будем обозначать это с помощью символа а Gt (N)). Положим Ост = {Од^Тогда, обозначая сужение h на Ост по-прежнему через h, получим, что Aa = (X, Ост, h) — ОРП. Для каждого E С X положим DimH(A, E) = {dimH(ACT, E) : а Gt (N)}.
Определение 3. Множество DimH(A, E) мы будем называть спектром Хаусдорфа — Безиковича множества E в пространстве A. В случае, если E = X множество DimH (A, E) мы будем называть спектром Хаусдорфа — Безиковича пространства A и обозначать через DimH (A).
Нас будут интересовать далее возможные значения спектра DimH (A, E) для различных E и A.
Введем некоторые дополнительные обозначения. Положим для любого E С X: N(E) = |ft;(E)| = еаг^{д G О; : Др|E = Л}. Далее, пусть M; = sup{h(A) : Д G О;}, то; = ш1{/г.(Д) : Д G О;}. Тогда ^ < Ch, в силу определения ОРП.
Положим d(E) = ii(A, Е) =f lim _ мы будем называть величину d(E)
оо ln т;
размерностью Минковского множества E в пространстве A. Заметим, что, в силу однородности рассматриваемого пространства, значение d(A, E) при всех E G О одинаково; мы будем называть это значение верхней размерностью пространства A.
Ясно, что в случае, если A есть пространство Rn, вместе с совокупностью О всех диадических кубов и длиной стороны куба, взятой в качестве значения h, то определенная выше размерность Минковского совпадает с обычной фрактальной размерностью множества E в Rn, а величина dimH(A, E) — с его размерностью Хаусдорфа. В общем случае справедливо неравенство dimH (A, E) < d(A, E), а множество DimH(A, E), как легко видеть, лежит между величинами dimH(A, E) и d(A, E). В частности, если размерности Хаусдорфа и Минковского множества E совпадают, то его спектр Хаусдорфа — Безиковича состоит из одной точки.
Для формулировки основной теоремы работы введем следующее
Определение 4. Будем говорить, что пространство (X, О, h) имеет конечный индекс компактности, если найдется n G N такое, что для каждого Д G О найдется множество Н(Д), являющееся объединением самого Д и не более, чем n других элементов О того же ранга, что и Д, называемых примыкающими к последнему, так, что отношение примыкания является симметричным и выполнены следующие условия:
1) для любых Д1 С Д2 из П выполнено Н(Дх) С Н(Д2);
2) для любой убывающей последовательности {Дг}^=1 С ü выполнено
то
ПК(Д0=Л;
1=0
3) для каждого Д £ i! справедливо условие lim = 1, где Г2;(А) = {А' €
i^w1 1 ( ))
üi : Н(Д') С Д}.
Заметим, что конечный индекс компактности имеет, очевидно, пространство Rn с совокупностью ü всех диадических кубов. Этот пример показывает, что требование убывания последовательности {Д^}°=1 С ü в пункте 2 определения 4 нельзя заменить требованием убывания последовательности {Н(Дг)}^=1.
Нашей целью является доказательство следующей основной теоремы.
Теорема 2. Пусть A = (X, ü, h) — ОРП с конечным индексом компактности и верхней размерностью d > 0. Пусть J С [0, d] — компакт. Тогда существуют а €t (N) и E С X такие, что DimH(A, E) = J.
Вначале мы установим ряд вспомогательных утверждений.
4. Вспомогательные построения.
Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 2, к € N, E С ük, card(E) < то. Пусть ß < а — два числа из (0, d(A)). Тогда существуют натуральное число l > к, натуральное число N и множество G = G(a,ß, E), лежащее в ül, такие, что
1) для каждого Д' € G существует Д € E такое, что Д' € й1(Д);
2) для каждого Д € E выполнено card(G(a, ß, E) р| й1(Д)) = N;
3) для каждого Д' € G(a, ß, E) найдется Д € E такое, что Н(Д') С Д;
4) для каждого Д € E справедливо неравенство Y1 hß(Д') > 1;
a'eo(a,ß,e) п ог(д)
5) справедливо неравенство Y1 ha(Д') < 1.
д'ес
Доказательство леммы 1. В силу условия имеем lim ln A/jj^) > ß для любого
i—►ОО ln rn;
А (E Oft. To же справедливо при замене Л/; (А) на ^TVi(A) при любом значении константы C. Учитывая однородность пространства, получаем, что для каждого из бесконечного множества значений l € N, при любом Д € ü справедливо неравенство Ni ^)mß > 2. Учитывая эквивалентность Ni(Д) и Т\^(Д), отмеченную в пункте 3 определения 4, получим 1 при всех Д € E и каждого из бесконечного
множества индексов l. Выберем Ni < тт{^(Д), Д € E} так, чтобы Nimß < 2. Тогда ü 1(Д) содержит по крайней мере N элементов для каждого Д € E. Зафиксировав для каждого Д € E указанные элементы, обозначим всю их совокупность через Gi(E). Тогда получим
ha{ А') < M*KTi\£\ = (^-Y mfM?-ßM |Е| < 2cßhM°-ß\£\.
a'GGj(e) \ml J
Последнее выражение стремится к 0 при l ^ то. Выбирая l достаточно большим и положив G(a, ß, E) = Gi(E), получаем, что G(a, ß, E) —искомое. Лемма доказана.
Замечание к лемме 1. Множество О(а, в, Е) определено в доказательстве леммы 1 неоднозначно. Если некоторое множество О удовлетворяет требованию леммы 1, мы будем обозначать это символом О € 3(а,в, Е). Заметим, в частности, что если О € 3(а, в, Е) и О1 € 3(ах, вь О), то О1 € 3(а1, вь Е). Это замечание мы будем использовать в дальнейшем.
Лемма 2. Пусть A — ОРП с конечным индексом компактности, а = {kn}0=1 —строго возрастающая последовательность натуральных чисел, ап > ßn > 0 — последовательности чисел из промежутка (0, d(A)), причем ßn — ап ^ 0. Пусть к0 = 1, Eo — произвольное конечное подсемейство в , En — конечные подсемейства в , причем En = G(an,ßn, En-1),n > 1 (такие En существуют, 'разумеется, не для всех а). Пусть En — объединение всех множеств, входящих в
оо
Е„,Е = П Еп. Тогда dim#(A<j, Е) = lim а».
i=1 п^о
Доказательство леммы 2. Пусть а = lim ап. Поскольку J2 han(Д) < 1
п^оо дейп
и En —покрытие E элементами , имеем dim_#(ACT, E) < а. Пусть ß < а. Тогда ßn > ß, начиная с некоторого no. Мы имеем для каждого n > no и каждого Д G En-1 неравенство ^ (Д') >5^ (Д') > 1. Предположим, что
д'ееп(а) д'ееп(а)
существует последовательность {/;} С |J Пд^, являющаяся покрытием E, такая,
i>no
о
что £ (Ц) < 1.
1=1
Тогда для каждого n > n0 и каждого Д G En-1 имеем En^) \ {/}0=1 = Л. Следовательно, существует последовательность Дп G En, где n > n0, со свойствами:
1) Дп = / для всех l;
2) Дп+1 G En+1 (Дп).
Из последнего условия имеем Н(Дп+1) С Дп. Следовательно, р| Дп = Л.
n>no
Пусть x G р| Дп. В силу условия 1 и того, что Дп G , имеем Дп р| /г = Л
n>no
при /г G . Но {/г} С IJ , следовательно, для каждого l найдется n > n0
n>no
оо
такое, что /г р| Дп = Л. Следовательно, x G U /г.
г=1
Мы доказали, что при любом ß < а не существует покрытия E множествами
о
/г G U со свойством ^ (/г) < 1.
i>n0 г=1
Следовательно, неравенство dim_#(ACT, E) < а невозможно. Лемма доказана.
Замечание к лемме 2. Утверждение леммы остается в силе, если вместо равенства En = С(ап,ßn, En-1) выполнено условие En G 3(ап^п, En-1).
5. Доказательство теоремы 2. Взяв произвольное конечное E0 С и последовательность ап G (0, d(A)) с множеством частичных пределов равным J, мы,
положив /3„ = ап — —, найдем по индукции с помощью леммы 1 последовательности кп € ^ и Еп С Пкп такие, что Еп = С(а„£"-1) для любого п € N.
Тогда, учитывая замечание к лемме 1, для любой подпоследовательности {кп последовательности {кп} имеем £„. € 3(а„. ,вп , Еп -1), а значит по лем-
( — А
ме 2 мы можем утверждать, что I А^ }, |=| Еп з I = ИтМ а„;.
то
Но при любой последовательности п выполнено р| Еп. = Е; множество же
5=1
нижних пределов всех подпоследовательностей последовательности ап совпадает с множеством частичных пределов самой последовательности ап, то есть с J. Итак, Бшя(А{кп},Е) = 7. Теорема доказана.
В заключение заметим, что построенное в теореме 2 множество Е вместе с се-
def
мейством покрытий {Др| Е : Д € £„}"= и функцией , где (Др| Е) = Л(Д), само является ОРП, которое можно, тем самым, рассматривать как подпространство исходного пространства А.
Теорема 2 означает, таким образом, что спектр Безиковича — Хаусдорфа у подпространства произвольного фиксированного ОРП А с конечным индексом компактности может быть произвольным замкнутым множеством, лежащим в [0, ¿(А)].
6. Оценки размерности неподвижных множеств. Рассмотрим теперь отображение / : X ^ X, где (X, П, Л, Н) — произвольное фиксированное однородное размерностное пространство с конечным индексом компактности. В этой ситуации, как и в классическом случае, когда X есть пространство К", вместе с совокупностью П всех диадических кубов и длиной стороны куба, взятой в качестве значения Л, оказывается возможным выделить условия (подобные условиям, фигурирующим в стандартных доказательствах теоремы Дуади —Оэстерле [17] и близких результатах), при которых неподвижное относительно / множество Е имеет размерность меньше заданного числа в > 0. Это и является целью данного пункта работы.
Пусть а € (0,1), в > 0.
Определение 5. Пусть Е С X,/ : Е ^ Е. Элемент Д € П(Е) мы будем называть (а; в)-сжимающимся относительно /, если для любого к € N и любого Д' € П^(Е) со свойством Д' С Н(Д) найдется натуральное I > к такое, что
|ВД(Д'))|< а
Определение 6. Отображение / будем называть (а, в)-сжатием на Е, если существует покрытие {Д^}°=1 множества Е, состоящее из (а, в)-сжимающихся элементов П.
Определение 7. Множество Е С X будем называть Н-компактным, если оно содержится в объединении некоторого конечного семейства элементов П и справедливо соотношение р| и Н(Д) = Е.
г=1ДШг(£)
Заметим, что термин «Н-компактные множества» связан со свойством подобных множеств, описанным ниже в лемме 3.
Основной целью настоящего пункта работы является доказательство следующего утверждения.
Теорема 3. Пусть Е — Н-компактное подмножество X, / : Е ^ Е — сюрьек-тивное отображение. Тогда если отображение / является (а, в)-сжатием, то (Е) < в.
Сначала проверим справедливость следующей леммы.
Лемма 3. Пусть С О —некоторое бесконечное покрытие Н-
компактного множества Е С X. Тогда из семейства {Н(Дг)}?=1 можно выделить конечное подпокрытие множества Е.
Доказательство леммы 3. Предположим противное. Тогда семейство {Н(Дг)}°=1 является покрытием Е, из которого нельзя выделить конечного подпокрытия Е. По индукции для каждого I € N находим убывающие элементы / € Ог(Е) такие, что семейство {Н(Дг)}°=1 не содержит конечного подпокрытия множества /. По свойствам Н, с учетом компактности Е, можем утверждать, что множество
оо
р|Н(/;) содержит некоторую точку х € Е. Имеем х € Д^ для некоторого г € N.
г=1
Но если I — ранг элемента Д^, то Д^ = /, или указанные два элемента примыкают друг к другу. Следовательно, Н(Д^) Э /г, что противоречит тому, что в семействе {Н(Д^)}0=1 нет конечного подпокрытия элемента /г. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 3. Пусть ^¿}о=1 С О — покрывающая Е последовательность (а, в)-сжимающихся множеств. Выберем из семейства {Н(Дг)}0=1 конечное подпокрытие Н(Дг)™=1 множества Е. Пусть г = шах{ гд(Д^), г < п}. Тогда при к > г для любого Д € Од(Е) выполнено Д С Н(Д^) для некоторого г < п (последнее справедливо в силу диадической упорядоченности О).
Таким образом, для любого к > г любой элемент Д € Од(Е) является (а, в)-сжимающимся.
Рассмотрим любое конечное покрытие Р = {Д^}р=1 множества Е, состоящее из
п
элементов О ранга выше г, не дизъюнктных с Е. Пусть £ = ^ Для каждого
¿=1
г = 1,...,р мы найдем (в силу определения 5) такое ^ > что |Ог.(/(Д¿))| <
р
Семейство и Ог* (/^¿)) образует покрытие Р' множества Е, причем
¿=1
пр
^Я(Д) I(/^¿))|Мгя < аХЖ^) = а£. Применяя доказанное к покры-
деР' ¿=1 * ¿=1
тию Р', мы найдем покрытие Р'' с суммой ^ Л.Я(Д) < а2£ и так далее.
деР''
Доказанное означает, что м|(Е) = 0 при к > г. Таким образом, (Е) < в. Теорема доказана.
Замечание. Заметим, что в случае, когда / — отображение класса С1, заданное на открытом множестве евклидова пространства, такое, что при некотором в > 0 значение сингулярной функции ) меньше 1 при каждом х € Е, причем Е
компактно и /(Е) = Е, то некоторая степень / является (а, в)-сжимающим отображением на Е. Это сразу следует из классической оценки в доказательстве теоремы Дуади — Остерле (см. [2]).
Литература
1. Hausdorff F. Dimension und äußere Maß // Mathematische Annalen. 1919. Vol. 79. P. 157-179.
2. Boichenko V. A., Leonov G. A., Reitmann V. Dimension Theory for Ordinary Differential Equations. Wiesbaden: Teubner, 2005.
3. Leonov G. A. On Estimation of the Hausdorff Dimension of Attractors // Vestnik St. Petersburg University, Mathematics. 1991. Vol.24, No. 3. P. 41.
4. Blincherskaya M.A., Ilyashenko Y.S. Estimate for the entropy dimension if the maximal at-tractor for k-contracting systems in an infinity dimensional space // Russian Journal of Math. Phys. 1999. Vol.6, No. 1. P. 20-26.
5. Barreira L., Gelfert K. Dimension estimates in smooth dynamics: a survey of recent results // Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2011. Vol.31, No. 03. P. 641-671.
6. Kuznetsov N. V. The Lyapunov dimension and its estimation via the Leonov method // Physics Letters A. 2016. Vol.380, No. 25-26. P. 2142-2149.
7. Leonov G.A., Kuznetsov N. V., Korzhemanova N.A., Kusakin D. V. Lyapunov dimension formula for the global attractor of the Lorenz system // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2016. Vol.41. P. 84-103.
8. Kuznetsov N. V., Alexeeva T. A., Leonov G. A. Invariance of Lyapunov exponents and Lyapunov dimension for regular and irregular linearizations // Nonlinear Dynamics. 2016. Vol. 85, No. 1. P. 195-201.
9. Leonov G. A. Lyapunov functions in the attractors dimension theory // Appl. Math. and Mech. 2012. Vol.76. P. 129-141.
10. Leonov G. A. Strange Attractors and Classical Stability Theory. St. Petersburg: St. Petersburg Univ. Press, 2008.
11. Leonov G.A. Formulas for the Lyapunov dimension of attractors of the generalized Lorenz system // Doklady mathematics. 2013. Vol.450, No. 1. P. 13-18.
12. Leonov G.A. Hausdorff—Lebesgue Dimension of Attractors // International Journal of Bifurcations and Chaos. 2017. Vol.27, No. 10. Art. no. 1750164.
13. Besicovitch A. S. On existence of subsets of finite measure of sets of infinite measure // Indagat. muth. 1952. Vol. 14. P. 339-344.
14. Rogers C. A. Hausdorff measures. Cambridge University Press, 1998.
15. Humke P. D., Petruska G. The packing dimension of a typical continuous function is 2 // Real Analysis Exchange. 1988. Vol. 14. P. 345-357.
16. Hunt B. Maximum local Lyapunov dimension bounds the box dimensions of a chaotic attractors // Nonlinearity. 1996. Vol.9. P. 845-852.
17. Douady A., Oesterle I. Dimension de Hausdorff des Attractors // C. R. Acad. Sei. Paris. Ser. A. 1980. Vol.290, No. 24. P. 1135-1138.
Статья поступила в редакцию 11 января 2018 г.;
после доработки 12 июня 2019 г.; рекомендована в печать 13 июня 2019 г.
Контактная информация:
Флоринский Александр Алексеевич — канд. физ.-мат. наук, доц.; florinskiy.a@gmail.com
On estimationes of generalized Hausdorff dimension
G.A. Leonov , A. A. Florynskii
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
For citation: Leonov G. A., Florynskii A. A. On estimationes of generalized Hausdorff dimension. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2019, vol. 6 (64), issue 4, pp. 534-543. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.401 (In Russian)
The definition of an abstract homogeneous dimensional space with finite index of compactness is given, as well as the definition of Hausdorff—Besicovitch dimensional spectrum of such a space. The possible values of the last one are studied. Also some abstract version of Duady — Oesterle theorem is given.
Keywords: Hausdorff — Lebesgue measure-like functional, homogeneous dimensional space with finite index of compactnes, Hausdorff — Besicovitch dimensional spectrum.
References
1. Hausdorff F., "Dimension und äußere Maß", Mathematische Annalen 79, 157—179 (1919).
2. Boichenko V. A., Leonov G. A., Reitmann V., Dimension Theory for Ordinary Differential Equations, (Teubner, Wiesbaden, 2005).
3. Leonov G. A., "On Estimation of the Hausdorff Dimension of Attractors", Vestnik St. Petersburg University, Mathematics 24(3), 41 (1991).
4. Blincherskaya M.A., Ilyashenko Y. S., "Estimate for the entropy dimension if the maximal at-tractor for k-contracting systems in an infinity dimensional space", Russian Journal of Math. Phys. 6(1), 20-26 (1999).
5. Barreira L., Gelfert K., "Dimension estimates in smooth dynamics: a survey of recent results", Ergodic Theory and Dynamical Systems 31(03), 641-671 (2011).
6. Kuznetsov N. V., "The Lyapunov dimension and its estimation via the Leonov method", Physics Letters A 380(25-26), 2142-2149 (2016).
7. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Korzhemanova N. A., Kusakin D. V., "Lyapunov dimension formula for the global attractor of the Lorenz system", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 41, 84-103 (2016).
8. Kuznetsov N. V., Alexeeva T. A., Leonov G. A., "Invariance of Lyapunov exponents and Lyapunov dimension for regular and irregular linearizations", Nonlinear Dynamics 85 (1), 195-201 (2016).
9. Leonov G. A., "Lyapunov functions in the attractors dimension theory", Appl. Math. and Mech. 76, 129-141 (2012).
10. Leonov G.A., Strange Attractors and Classical Stability Theory (St. Petersburg Univ. Press, St. Petersburg, 2008).
11. Leonov G. A., "Formulas for the Lyapunov dimension of attractors of the generalized Lorenz system", Doklady mathematics 450(1), 13-18 (2013).
12. Leonov G. A., "Hausdorff—Lebesgue Dimension of Attractors", International Journal of Bifurcations and Chaos 27(10), 1750164 (2017).
13. Besicovitch A. S., "On existence of subsets of finite measure of sets of infinite measure", Indagat. muth. 14, 339-344 (1952).
14. Rogers C.A., Hausdorff measures (Cambridge University Press, 1998).
15. Humke P. D., Petruska G., "The packing dimension of a typical continuous function is 2", Real Analysis Exchange 14, 345-357 (1988).
16. Hunt B., "Maximum local Lyapunov dimension bounds the box dimensions of a chaotic attrac-tors", Nonlinearity 9, 845-852 (1996).
17. Douady A., Oesterle I., "Dimension de Hausdorff des Attractors", C. R. Acad. Sei. Paris. Ser. A 290 (24), 1135-1138 (1980).
Received: January 11, 2018 Revised: June 12, 2019 Accepted: June 13, 2019
Author's information:
Aleksandr A. Florynskii — florinskiy.a@gmail.com
