Об оценках Хуа Ло-Кэна тригонометрических сумм в полях алгебраических чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 25. Выпуск 2.

УДК 511 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-181-207

Об оценках Хуа Jlo-Кэна тригонометрических сумм в полях

алгебраических чисел

X. Аль-Ассад

Хафез Аль-Ассад — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва).

e-mail: [email protected]

Аннотация

В настоящей работе дано обобщение метода Хуа Ло-Кена оценки рациональных тригонометрических сумм с многочленом в экспоненте в алгебраических числовых полях, которые являются расширением поля рациональных чисел. В кольце целых этого алгебраического поля были рассмотрены целые и дробные идеалы. Для полной системы вычетов по любому целому идеалу Хуа Ло-Кен доказал аналог формулы Эйлера - Фурье, которая позволяет с помощью утверждения о кратности корней полиномиального сравнения по простому идеалу ("деревьев Хуа Лоо-Кена") свести к задаче р-адического подъема решений. Последнее обстоятельство позволяет привести оценку суммы к получению оценок числа решений полиномиальных сравнений по модулю степени простого идеала. Далее, следуя оценкам Чень Джин-Руна в поле рациональных чисел, в работе найдены более точные константы для подобных оценок в алгебраических числовых полях.

Ключевые слова: Оценка Хуа Ло-Кена, деревья Хуа Ло-Кена, тригонометрические суммы, поля алгебраических чисел.

Библиография: 15 названий. Для цитирования:

X. Аль-Ассад. Об оценках Хуа Ло-Кэна тригонометрических сумм в полях алгебраических чисел // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 2, с. 181-207.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 2.

UDC 511 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-181-207

On Hua Loo-Keng's Estimates of Exponential Sums in Algebraic

Number Fields

H. Al-Assad

Hafez Al-Assad — Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: [email protected]

Abstract

This paper provides a generalization of the Hua Loo-Keng estimation method of rational trigonometric sums with a polynomial in exponent in algebraic number fields, which are extensions of the field of rational numbers. In the ring of integers of this algebraic number field we consider integer and fractional ideals. For a complete system of residues for any integer ideal, Hua Loo-Keng proved an analogue of the Euler-Fourier formula, which, using results regarding the multiplicity of roots of a polynomial congruence modulo a prime ideal ("Hua Loo-Keng trees"), allows the problem to be reduced to the p-adic lifting of solutions, and this allows us to reduce the problem of estimating the sum to estimating the number of solutions of polynomial congruences modulo a power of a prime ideal. Furthermore, building upon Chen Jingrun's estimates in the field of rational numbers, we obtain improved constants for similar estimates in algebraic numeric fields.

Keywords: Hua Loo-Keng's Estimate, Hua Loo-Keng Trees, Exponential sums, Algebraic number fields.

Bibliography: 15 titles. For citation:

H. Al-Assad, 2024, "On Hua Loo-Keng's estimates of exponential sums in algebraic number fields" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 2, pp. 181-207.

I. Введение

Рациональные тригонометрические суммы многочленов представляют собой суммы вида

5 (/,«) = Е ^,

xmodq

где q > 1 — рациональное целое число, и

f (х) = атхт + ■ ■ ■ + а1х

многочлен с целыми коэффициентами, такой что (ат,..., а\, q) = 1.

Эти суммы уже давно представляют интерес из-за их глубокой связи с модулярной арифметикой в кольце вычетов по модулю q.

В частности, они возникают в методе круга Харди-Литтлвуда-Виноградова для оценки числа решений диофантовых уравнений. В частности, рассматривается разрешимость данного уравнения во-первых в действительных числах, а во-вторых, по модулю любого рационального целого q. Последняя часть обычно бывает более глубокой и трудной, и существенную роль в ней играют рациональные тригонометрические суммы; они эффективно отвечают за разрешимость по модулю q.

В 1940 г. Хуа Ло-Кен [4] нашел оптимальную оценку

S(f,q) = Om^(q1-^+е),

где е> 0 произвольное. Последующие работы Ченя Чжун-руна [11],[12] и Василия Нечаева [13] убрали е из оценки. В 1984 г. Ци Мингао и Дин Пин [14] получили оценку

IS(f,q)l< е2т ql~ ^.

В 1949 г. Хуа Ло-Кен [2] обобщил этот результат на случай поля алгебраических чисел степени d, получив оценку

^(¡,0) = Е = От^(М(О)1-£ +),

хшоё<3

где Т и N обозначают след и норму соответственно, Q — целый идеал, а идеал А(/) = (ат,..., а,\) удовлетворяет А(/) = , где 5 — дифферента, а 5 - целый идеал с(В,д) = 1.

В данной работе мы получим более сильный результат в случае Q = Р1, где Р — простой идеал, в виде

и,Р1 )|< Сл(т)Н(Р)1 (1-£),

где Са(ш) — константа, зависящая только от с! и т.

Кроме того, мы будем использовать наш усиленный результат, чтобы убрать е и вычислить константу в символе О, когда данное числовое поле имеет число классов равно 1 (т.е. кольцо целых является кольцом главных идеалов), а идеал А(/) удовлетворяет уеловию А(/) = для некоторых целых идеалов Л и где ^ такой, что ^, 5) = 1.

В частности, для таких идеалов мы получаем

т,Я)1 < е§^+^3.442™^(Я)1-± .

В другом направлении Хуа Ло-Кен в [3] (см. также [10]) использовал метод «дерева» для построения решений полиномиальных сравнений по модулю рационального простого числа, что позволило ему решить проблему сходимость особого ряда в проблеме Пруэ-Тэрри-Эскотта. Для этого он рассмотрел элемент х по модулю р1, где р — рациональное простое число, в виде

X = х1 + х2р + ■ ■ ■ + х3ря,

где 0 < Ху < р для 1 < ] < 8, и использовал это представление для построения решений полиномиальных сравнений по модулю р1.

Это позволило ему получить новую оценку вида

и,р1 )| < тр'

l—h

где h — положительное целое число, зависящее от делимости коэффициентов f на р. В данной работе мы обобщим этот метод на кольцо целых полей алгебраических чисел и впоследствии получим аналогичную оценку

IS(f,Pl)| < (т - 1)N(РУ-h

Наконец, мы объединим наши оценки, чтобы получить новую оценку в теореме 8.1. Данная статья расширяет работу В.Н. Чубарикова в [1], опираясь преимущественно на идеи Xva Ло-Кена в [2], В.Н. Чубариков, A.A. Карацуба и Г.И. Архипов в [5], и Ван Юань в

И-

2. Определения и терминология

Обозначим через К поле алгебраических чисел с дифферентой 5 и степенью ±

Обозначим К кольцо целых К.

Обозначим функции следа и нормы К через

а а

Т(и) = Е Ъ(и), ^(и) = П Ъ(и). 3=1 3=1

Определении

Е (и) = е2ж1Т (и).

Для любого многочлена /(х) = атхт + ■ ■ ■ + а\Х с коэффициентами из К обозначим А(/) = (ат,..., а\) дробный идем, порожденный коэффициентами /. На протяжении всей работы Р всегда будет обозначать простой идеал. Для любого идеала ф мы определим Ур(() как наибольшее рациональное целое такое, что ( е РУр^ (см., например, [8], с.438), и полагаем

е = УР (5),

так что е + 1 — индекс ветвления Р.

Обозначим через ц рациональное простое число в Z такое, что N(Р) = дс, для некоторого с> 1 (см., например, [7], с.276-277).

3. Полиномиальные сравнения по модулю простого идеала

В этом разделе мы приводим результаты о числе решений полиномиальных сравнений по модулю простого идеала, аналогичны подобным результатам в случае сравнений по рациональному простому модулю.

Лемма 1. ([6], с. 15). Пусть А = (ат,... ,а0) — целый идеал К, и пусть Р — простой идеал такой, что Р \ А.

Тогда число решений сравнения

¡(х) = атхт + ■ ■ ■ + а\х + а0 = ОшоёР, учитывая их кратность, не превосходит, т.

Доказательство. В этом доказательстве под корнем многочлена понимается корень дан-

Р

т

Базовый случай т = 1 выполняется из-за условия Р \ А и поскольку Р — простой идеал. Предположим, что лемма справедлива для т — 1.

Предположим, что / имеет к несравнимые корни г\,..., г^, так что

Г31 ф гп Р Чп = 32.

Предположим, что г/ имеет кратность Х^ и что ^ > т.

1

Х1 > 1

/(х) — /(п) = ат(хт — г™) +-----+ а1(х — п) = (х — п)д(х),

где д - многочлен степени т — 1 со старшим коэффициентом ат. Поскольку для всех 2 < ] < к имеем

¡(г^) ф ¡(г{) ф Ошоё Р, г^ ф г1шоё Р,

Р

д(г^) ф Ошоё Р.

Сначала мы покажем, что Г1 является корнем д с кратностью А1 — 1, причем некорень считается имеющим кратность 0.

Действительно, из определения д имеем

/ (к)(х) = (х — п)д(к)(х) + (к — 1)д(к-1)(х).

Если А1 = 1, то Г1 не является корнем /' и, следовательно, не является корнем д. В противном случае мы увидим, что для всех к < X1, п является кор нем /( к) и, следовательно, является корнем д(к-1). Для к = Л1 + 1 мы знаем, что Г1 не является корнем /(Л1+1) и поэтому не может быть корнем д(Х1\

Таким образом, мы показали, что Г1 является кор нем д кратности А1 — 1. Аналогичное рассуждение показывает, что гу является кор нем д кратности Ху для 2 < ] < к.

Отсюда следует, что корни п,..., г^ группы д имеют общую кратность

(Е -1 >т -1

3=1

но поскольку deg(g) = m, — 1, то это противоречит предположению индукции. □ В качестве простого, но полезного следствия из предыдущей леммы получаем следующее предложение.

Proposition 1. ([6], с.15). Пусть А = (ат,..., ai) — дробный идеал такой, что А5 = -pt, где R — целый идеал, Р — простой идеал такой, что (R, Р) = 1 и I > 1 — рациональное целое число. Пусть

f (х) = атхт + ■ ■ ■ + а1х. Тогда число решений сравнения

f (х) = OmodP-+1, учитывая их кратность, не превосходит, т.

Л emma 2. ([6], с.15). Пусть Р — простой идеал, a f — многочлен с целым,и коэффициентам,и. Пусть а — корень кратности X сравнения f (х) = OmodP.

Пусть ж Е R — целое, которое делится на Р, но не делится на Р2; и пусть v — наибольшее рациональное целое число такое, что

Pu\f (жх + а) — f (а).

Пусть

д(х) = ж-и(/(жх + а) — f (а)). Тогда, и < \, и число решений сравнения

g(x) = OmodP, учитывая их кратность, не превосходит, X.

Доказательство. Сначала мы покажем, что, поскольку а является корнем кратности А сравнения f (х) = OmodP, то мы можем записать f как

f (х) = (х — a)xh(x) + г(х),

(1)

для некоторого 71 е Р, такого, что Р { к(а) ж deg(r) < Х. Действительно, по формуле Тейлора имеем

А ^)(а)

¡(х) = ^ "^^(х — аУ = (х — а)хк(х) + п(х), (2)

з=о 2'

где

к(х) = ^Г — аУ-Х, п(х) = £ — а), deg(п) < Х.

з=а 3 ! з=о 3 '

Легко видеть, что Р \ к(а), поскольку

к(а) = ф 0шо(Р.

Х!

Более того, поскольку а имеет кратность Х, мы знаем, что существует к такой, что

¡(х) ф (х — а)хЫ(х)шо(Р. (3)

Р

(х — а)хк(х) + г^х) ф (х — а)хИ1(х)шо(Р,

что, поскольку deg(г{) < Х, означает, что Г1(х) ф 0шо(Р, и поэтому Г1 можно записать как г1 = 71 ■г для 71 е Р, где deg(r) < Х, что и это доказывает (1). Следовательно, имеем

■к-и(/(тгх + а) — ¡(а)) = (-кх)хк(-кх + а) +п1(г(пх + а) — г(а))^ =

= 7х-иххк(пх + а) + (7г1^-и)(г(тгх + а) — г (а)).

Отсюда ясно, что V < Х, что и доказывает первое утверждение леммы. Более того, это показывает, что ((е^(Ь) < Х, и поэтому второе утверждение леммы следует из применения леммы 3.1 к к □

4. Свойства ортогональности и мультипликативности тригонометрических сумм

В этом разделе мы приводим результаты, касающиеся свойств ортогональности и мультипликативности тригонометрических сумм, аналогичны подобным результатам в рациональном случае. Последнее позволит нам ограничить наше внимание тригонометрическими суммами над идеалами, равными степени простого идеала.

Лемма 3. ([6], с. 16). Пусть ф — целый идеал, а а е К — целое число. Пусть г] пробегает

( ( ) - 1 - 1

Е(сщ) = ^е V

2тТ(аг,) ÍN(() еСЛи

1 0 если ф \ а.

Доказательство. Если то а^ е 5 \ что дает Е(ац) = 1, и тогда

Е Е №) = ^ (я).

V

Предположим, что Я \ а. Сначала мы покажем, что существует некоторый ц е (Я^)-1? скажем такой, что 'ца е 5-1-

Если ца е для всех ц е (Я$)-1, то ¿-1|а;(ф5)-1, и поэтому Я1а> что является противоречием.

По определению £-1 существует целое число 7 такое, что Е(^^оа) = 1. Поскольку е (Яд)-1, имеем

Е Е(~Па) = Е Е(^^оа + г}а) = Е(^ща) Е Е(~Па),

V V V

которые, поскольку Е(^оа) = 1, дает

Е Е (Ча) = 0.

V

□

Лемма 4. ([6], р.16). Пусть А = (ат,..., а]), Я, Я1, Я2, В — целые идеалы, т,а,ки,е, что

Вд-1

Я = Я1Я2, (Я1 ,Я2) = 1, А = -у-, (в,Я) = 1,

и пусть

/ (х) = атхт + ■ ■ ■ + а1х. Тогда, существуют многочлены

!) (х) = хт +-----+ ал )Х,

для ] = 1, 2, с идеалами А) = (а)>т, ■■■ ,ал), такими, что существуют целые идеалы, В1 ,В2с

¿1 = ^^ ,А2 = ^1, (В1,Я1) = (в2,Я2) = 1,

41 42

и так, что

^ а,я) = ^ (¡1,я1)з (¡2,Я2).

Доказательство. Поскольку (Я1,Я2) = 1, то существуют целые числа к1,к2 такие, что

(к1,Я)= Я1, (к2,Я) = Я2.

Полагая к = \1к1 + \2к2, мы видим по китайской теореме об остатках, что при пробегании Х1, Х2 по полным системам вычетов п о модулю Я1, Я2 соответствен но, к пробегает полную систему вычетов по модулю Я-Следовательно, имеем

su,q) = Е E(f(к)) = Е Е E(f+ х2к2]) =

fcmodQ AimodQi \2madQ2

= Е Е(!'(Х1к1)) Е Е (ПХ2к2))=в (¡1,(1)3 (¡2,(2),

Ацто й<^1 \2modQ2

гДе ¡з(к) = ¡(kkj). Утверждение об идеалах В1 и В2 очевидно. □

5. Метод деревьев Хуа Ло-Кена для тригонометрических сумм по идеалам, равным степени простого идеала

В этом разделе мы представляем обобщение метода деревьев Хуа Ло-Кена, на основе [1], и получаем соответствующую оценку тригонометрических сумм по идеалам, равным степени простого идеала. Мы также представим результаты по тригонометрическим суммам, которые будут использоваться в последующих разделах.

Благодаря теореме об уникальной факторизации идеалов в полях алгебраических чисел, лемма 4.2 позволяет нам ограничить наши рассмотрения идеалами, равными степени простого идеала, поскольку любой целый идеал может быть однозначно выражен как произведение таких идеалов.

Таким образом, в остальной части работы, пусть А(^) = (ат,..., а{) — дробный идеал такой, что

В - 1

А = в^- ;(В,Р) = 1 (4)

В Р > 1

Более того, 7 всегда обозначает элемент К такой, что 7 е Р,7 е Р2 (см., например, [8], с.441).

Пусть

¡(х) = атхт + ■ ■ ■ + а1х.

Будем рассматривать полные тригонометрические суммы

3(¡,Р1 )= Е Е(¡(х)).

жтос1Р1

Пусть £ — наибольшее рациональное целое число такое, что Рг1А(¡')Аа)-1. Поскольку А(Л1Аа'), имеем £ > 0.

Очевидно, что каждый хшо(Рг однозначно выражается как х = у + 71-г-1г для ушо(Р1-1-1, гшо(Рь+1, и поэтому имеем

3(¡,Р1)= Е Е Е(Ку + 7Шг))= Е 3,, (5)

уто(1Р 1-<^-1 гтойР г+1 утобР

где

3^ = ^ ^ е2ШТ(/(у+ж1-*--1х)).

ушойР1-1-1 гтайР 4+1 у=ьтойР

Лемма 5. ([1], с.9). Если I > 2(1 + 1) и V не является решением сравнения 71-ь¡'(у) ф ф 0шо( Р. то

3„ =0.

Доказательство. Используя формулу Тейлора, получаем

}(у + тг1 --1г) = Е -г-1гУ = }(у) + тг1 --1 гГ(у)шо<1Р1 -,

)=о

что, поскольку I > 2(Ь + 1), дает

э2ж1Т (/(у)+п1-ь-1гГ(у)) =

е

2тггТ (TTl-tf '(v)tt-1z)

* = £ £

■утойР1-1-1 гтайР г+1 у=ьтойР

= ^ е2тТи(у)) ^ е.

ушойР1-1-1 гшойР1+1

у=ьтойР

Применение леммы 4.1 к внутренней сумме дает

Е е2тТ^П^-1^ =о ^ = 0.

гтойР '+1

□

Для каждого решения V сравнения тт1 -ь/'(у) = ОшоёР положим

т

fi(y) = f (У + v) - f (v) = Е оцлУ3.

3 = 1

Тогда имеем тождества

т-3 ( ' + А

4,1 = Т.аз+> \ + г^ j ^т. (6)

1=0

Определим теперь

¡1(У) = ИМ = алуЭ = ^2аз,^^ (7)

=1 =1

и определим индекс и = и(и) как наибольшее рациональное целое число такое, что Ри1А( Ь)А(/)-1.

Из (6) ясно, что А(/) | А(/1), и поэтому и > 0. Более того, из определения и следует, что

мь) = ^; (в1,р) = 1

для какого-то целого идеала В1.

Лемма 6. ([1], с.9). Если I > 2(Ь + 1) тогда,

/

я( ¡,Р1 ) = (ри-1)Е (№))Б (-и),

V

где апостроф означает,, что суммирование ведется по решениям сравнения п1 -ь/'(у) = = Ошоё Р в полной системы вычетов по модулю Р.

Доказательство. Если V является решением сравнения ж 1 /'(у) ф ОшоёР, тогда

= Е Е Еи)) =

ушойР1-1-1 гтайР1+1 у=ьтойР

= Е Е (/ (у)) Е Е (¡(у + ж1_'_1 г) - ¡(у)) =

утойР1-1-1 гто(1Рг+1

у=ьтойР

Е Е (¡(у)) Е Е (ж ШГШ =

утайР1-1-1 .гтодР^1

у=ьтойР

= М(РЫ) Е Еа(у)) = М(РЫ)Е(/(у)) Е Е(¡(жу + у) -}(ь)) =

утойР1-1-1 утойР1-1-2

у=ьтойР

= N (Р г+1)Е(/(у)) Е Е (Ш) = N (Р и-1)Е (¡(у))3 (¡г,Р1-и).

ушойР1-1-12

Если V не является решением сравнения ж1-*/'(и) ф ОшоёР, то лемма 5.1 дает 3-€ = 0, и тогда утверждение леммы следует от (5). □

Определим ш как наибольшее рациональное целое число такой, что Рш 1к для некоторого 1 < к < т. В лемме 6.2 мы покажем, что

ш = (е + 1)

1п т

\nn.q

Следующая конструкция является обобщением метода Хуа Ло-Кена.

Полагая Д = / и и,1(ио) = и,(и), мы индуктивно определяем функции Д и индексы ик = и,к(ук-1) аналогично построению Д и и(у) перед леммой 5.2. Предположим, что для к > 1

В ¿—1

/к-1(у) = ат,к—1 Ут + ••• + а1,к—1 у; А(Д—1) = Р 1_1^1__1.._ик-1 (8)

уже определена, где Вк_1 — целый идеал такой, что (Вк_1,Р) = 1, и пусть Ьк_1 — наибольшее рациональное целое число такое, что РЬк-1 |А(f'k_ 1)А(Д_1)_1. Поскольку А(¡к_1)1А(/'к_ имеем 1к_1 > 0. Для каждого решения Ук_1 сравнения

ж1_и1_-_ик-1_1к-1 ¡'к_1(х) = 0шо<1Р,

положим

т

,3

¡к (у) = /к_1(у + Ук_1) - !к_1(ук_1) = £ ®з,кУ'

3 = 1

Тогда имеем тождества

т_з , . + ^

®3,к =^^3+1,к_1\ ■ К _1.

Х3,к = 2_^Щ+1,к_1\

1=0 ^ ■

Определим теперь

т т

¡к{у) = Д{ъУ) = XXЩ^У3 = ^2аз,кУ3, (10)

3=1 3=1

и определим индекс ик = ик(Ук-{) как наибольшее рациональное целое число такое, что 1А{ /к )А{ /к-1 )-1.

От (9) следует, что А{/к-{)1А{/к), и поэтому ик > 0. Более того, го определения ик следует,

что

ж л) = Р1 Buf.Lk. (п)

Для удобства положим

к

ик = ^2/ик• ^к = I — Uк• h = I.

3 = 1

Повторяем эту конструкцию до шага с номером h, который определяется условиями

I - Uh-1 > 2(w + 1), l-Uh < 2(w + 1). Proposition 2. Для 1 < к < h — 1, имеем, неравенство

tк < w.

Доказательство. По построению мы знаем, что

* л ) = ^ •

для некоторого целого идеала Вк с (Вк, Р) = 1, и поэтому Vp(А( Д)) = — 1к — е. w

VP(А( Д)) < w + Vp(А(fк)) = w — h — е =* w > h + Vp(A( Д)) = 1к.

□

Теорема 1. Если h> 0, то

Я{I, Р) = X М(Рик-Н)Е(+ • • + Ь-1^н-1))8{Д, Р~и»).

где апостроф означает, что суммирование ведется по решениям сравнений ъЬ-Д{Ук) = 0то&Р, для 0 < к < Н — I, в полной системы вычетов по модулю Р.

Доказательство. Докажем утверждение теоремы повторным применением леммы 5.2.

Поскольку Н > 0, имеем I > 2{и! + 1), и поэтому для 1 < к < Н — 1 имеем и> > Ьк по предложению 5.1, что по определение Н показывает, что 1к > 2(Ьк + 1).

Следовательно, индуктивно, для 1 < к < Н — 1 предположим, что имеем

S(f, Р) = X N(Рик-к)Е(foЫ + • • + ¡к-1(Ук-1 ))S( fк, Р—Uk)

;■ — к\ т?( $ („, \ | | $ („, w с/ -С ttI—U

N( Р

vo,...,Vk-i

Поскольку Iк > 2(Ьк + 1), то можем применить лемму 5.2 и получить

^ (fk ,pl) = Y.N (pUk+1 -1)E (л (v * ))s (-Uk+1 )■

Vk

□

Лемма 7. Количество наборов индексов {и\,... ,Uh} не превосходит, т — 1.

Доказательство. Пусть {vo,j0}jJ°=l — множество несравнимых решений сравнения к1 -tf0(x) ф OmodP, где Vo,j0 имеет кратность Xo,j0- По предложению 3.1 мы знаем, что

Jo

£ Xo,jo <т — 1

30 = 1

Теперь для каждого vo,j0 пусть, {vi,j0,j1 — множество несравнимых решений сравне-

ния К1 —1 fl(x) ф OmodP, где Vi,j0,j1 имеет кратность Xi,j0j1. Индуктивно предположим, что

Jo Jk-1(30 ,...,3k-2)

£ Xk-l,jo,..., jk — 1 <т — 1 (12)

30 = l 3k — 1 = l

По лемме 3.2 мы знаем, что

Jk (jo,..., jk—1)

£ Xk,jo,...,jk < Xk-l,jo,...,jk—1. (13)

jk=l

Следовательно, no (12) и (13) имеем

J0 Jk(jo,...,jk — 1) J0 Jk — 1(jo,...,jk—2)

£ Xk,jo,...,jk Xk-l,jo,...,jk—1 <т — 1.

jo = l jk = l jo=l jk — 1 = l

По индукции мы видим, что

Jo J1U0) Jh — 1(jo,...,3h — 2)

££ ••• £ Xh-l,jo,..,jh—1 <т — 1

o=l 1=l h—1=l

а поскольку \h-l,j0,..,jh_ 1 > 1 количество множеств {v0,j0,..., Vh-l,j0,..,jh_ 1} = {vo,..., Vh-1} не превосходит т — 1, что эквивалентно утверждению леммы, по определению Uk- □

Proposition 3. Имеем

{j; VP(кlk—1+eUj,k) = 0} = t, {j; Vp(Кх+ajtk) = 0} = t Доказательство. Имеем

a3,k е А(fk) =* А(fk)\ajtk =* Vp(ajtk) > Vp(A(fk)) = -k — e. (14)

Поскольку Vp(A(fk-l)) = — lk-l — e) т0 не может быть, что Vp(a.j,k-l) > — lk-l — e для всех 1 < j < т.

Поэтому, по (14) (для к — 1), можем положить s' = max {j; Vp(aj,k-l) = — lk-l — z}, и тогда (9) дает

Ур{аз',к) = Ур{а3>,к-1) = — 1к-1 —е =Ф УР{Т к-1+еа3>,к) = 0,

что показывает, что первое множество в утверждение теоремы непусто. Аналогично, поскольку Ур{А{/к)) = — 1к — е, то не может быть, что Ур{«¿кк) > — 1к — е Для всех 1 < ] < т.

Применяя (14) видим, что мы можем положить г' = тах Ур {«¿к) = — 1к — е}> и тогда

Ур {Тк +е«г,к ) = 0,

что показывает, что второе множество в утверждение теоремы непусто. □ Лемма 8. Имеем цепочку неравенств

т >и1 > • • • >и^ > 2.

Доказательство. Сначала мы докажем, что т > ик > ик+1 для 1 < к < Н — 1. По предложению 5.2, пусть

8 = тах {э; Ур{Тк-1+еаьк) = 0},

т >

Т{тг1к-1+ес\к) = т1к-1+еа3,к. (15)

5 = Ур (Т {Т к-1+еаф)) = Ур {Т к-1+еа3,к) = 1к-1 + е + Ур {аф) = = I к-1 +е — 1к — е = ик,

что дает

т > 8 >ик. (16)

Теперь, снова по предложению 5.2, пусть

г = тах {]; Ур{Тк+еа^к) = 0},

и тогда (10) дает

{Тк+еаг,к) = Тк +еаг,к. (17)

Кроме того, согласно (9) имеем

а,,к е А{/к-1) =Ф А{¡к-1)1«,,к =Ф Ур{а^к) > Ур{А{/к-1)) = — к-1 — е. (18) По определению г и (17), применяя (18) с ] = г дает

0 = Ур {Тк+еаг,к) = Ур {Тк+е+г«г,к) = к + е + г + Ур {аГгк) >

> 1к + е + г — Iк-1 — е = г — ик =Ф ик > г. (19)

По (9) имеем тождество

т-] .

<г+1 ,к I

'' (т + А 1=0 ^ '

итак, по определению г (в частности, его максимальность) это показывает, что Vp(Тк +earkk+i) = 0, что согласно (17) дает

г = Vp (Т(Т k+eär,k+i)) = Vp(Т к+еаг,к+1) = 1к + е + Vp(аг,к+1) >

> h + е — lk+i -е = Uk+i =Ф r>Uk-i. (20)

В силу (16), (19) и (20) имеем цепочку неравенств

m > s >uk > г > ик+1. (21)

Теперь мы покажем, что Uk > 2. Мы знаем из (10) и (11), что

Uk = г' + Vp (ötr',k) + lk-i + е,

где

г' + Vp(&r',k) = min {j + Vp(äj,k); 1 <j< m}. Из (9) и 14 (при к — 1) сразу видно, что

Vp(äjtk) > Vp(А(fk-i)) = — k-i — e,

так что если г' > 2, то будем иметь

Uk = г' + Vp(är',k) + lk-i + е > г' > 2. (22)

Если г' = 1, тогда знаем, что

ai,k = fk-i(vk-i) Vp(äi,k) > 1 — k-i,

что дает

Uk = 1 + Vp(äiyk) + lk-i +e > 2 + e > 2. (23)

Uk > 2

ство леммы. □

Теорема 2. Справедлива оценка

\S( f,Pl)| < (m — 1)N(Pl-h).

доказате льство. Если l < 2(w + 1), то h = 0 и утверждение теоремы тривиально. Предположим, что I > 2(w + 1^, и тогда h > 0. Применяя теорему 5.1, видим, что

S (f, P) = £ N (Pu*-h )Е( fo(v о) + ••• + fh-i(vh-i))S (fh, P-Uh)-

N (Р , А .Л,. ЛАС/А т>1_1

По лемме 5.3 мы знаем, что количество наборов {и,1,... ,ик} не превосходит т — 1, что вместе с тривиальными оценками ^(Д, Р1 _ик)| < N(Р1 _ик) и 1Е(х)| = 1 дает

|3( Р)| < (т — 1)N(РUh_h)N(Р_и*) = (т — 1)N(Р_к).

6. Усиленная форма оценки Хуа Jlo-Кена в случае идеала, равного степени простого идеала

В этом разделе мы представляем более сильную форму оценки Хуа Ло-Кена [2] в случае идеала, равного степени простого идеала, основываясь на [5], глава 2 (оригинальная работа в [11]). Начнем с представления некоторых вспомогательных результатов.

Proposition 4. ([5], с.56). Пусть N > I - вещественное число, а к,г, Х1,... , Хг — рациональные целые числа, т,акие, что 1 < г < к и Х\,..., Хг > 0. Тогда,

max V NA < max (kN, Nk). 3 = 1

Доказательство. Для Х' > Х > 1, поскольkv N > 1, имеем

(Na - N)(NA-1 - 1) > 0 Na+a-1 + N >Na + Na. Следовательно, имеем

E NAj < NAl+A2-1 + E NAj + N,

3=1 3=3

и повторное применение этого рассуждения дает

< NAl+-+Ar-r+1 + (r - 1)N,

=1

что дает оценку

Е NA < Nk-r+1 + (r - 1)N = h(r). '3=1

Так как N > 1, то h''(r) = Nk-r+1(lnN)2 > 0, и поэтому в отрезке [1, к] v нас есть

max

Ах+-+Аг=к

3 = 1

max VNA < max(h(l),h(k)) = max(kN,Nk).

Ai+-----|-Ar=k f—f

3=1

□

Лемма 9. Если q > m, mo t = 0.

хз) = -рч^^ вз

В ■

доказате льство. Предположим, ((Xj) = Bj, где Bj — дробный идеал такой, что Vp(Bj) = 0. Тогда у нас есть

т я

МЛ = £ В. (24)

3 = 1

По дистрибутивному свойству сложения идеалов мы можем сгруппировать равные степени

-

т В

= £ В = £ Вк'

3=1 к;Ур (ак) = -Гэ

где рациональные целые числа Г1 > • • • > гт/ — разные элементы набора индексов {Sj }™=1-Покажим, что Ур(В^) = 0.

Если Ур(Вз) = V = 0, то для каждого 1 < к < т пишем Вк = где Ск,Ок — целые идеалы с ( Ск,Ик) = 1. Теперь, поскольку Vp(Вк) = 0, имеем Vp(Ик) = 0. Определим целый идеал

Ясно, что

и поэтому

вк = П Vp(!)к) = 0.

к';Ур (ау )Ок, =_г , ,к'=к

В, П = £ Скьк,

к;Ур (ак )=_ г, к;Ур (ак )=_г,

Vp В) = V =* Vp В П ) = v =

к;Ур (ак )=_ г,

Vp( £ СкЬк) = V V> 0

к'Ур (ак) = _ г,

поскольку Т,кур(ак)=_г- СкОк — целый идеал. Кроме того, имеем

Vp( £ Скьк) = v £ Скьк с Р

к'Ур (ак)=_ г, к'Ур (ак )=_г,

Ск£)к с ру vp (СкЬк) > V,

что является противоречием тому, что Vp(Ск) = Vp(1)к) = 0. Следовательно, имеем Vp(В^) = 0 и тогда

Vp (А(Л) = —г 1. (25)

Мы знаем, что

У

■ В3

т

А(1 ') = Ер,, =1

и аналогично (24) запишем

т В3

А(Л = Е В- = £ кВк.

1=1 кУр (ак )=_г,

Так как д > т и д — рациональное простое число в Z, то (к, д) = 1 для всех 1 < к < т, откуда следует, что ( к,Р) = 1, и поэтому (кВк,Р) = 1.

Аналогично видим, что Vp(В^) = 0 и, следовательно, что

Vp (А(П) = —г 1. (26)

Vp (А(/)) = Vp (А(/')) 1 = 0.

Лемма 10. Справедливо тождество

ш = (е + 1)

1п т 1пд

Доказательство. Мы знаем (см., например, [8], с.427), что

Р П Z = (д),

д что

д = Ре(Я,Р) = 1

е Р е+1,д^Ре+2,

д е р 1 ,д

для некоторого целого идеала ^ и тогда Ур (д) = е + 1.

Рассмотрим рациональное целое число к с 1 < к < т. Запишем к = ( к , ) = 1

и тогда имеем

Ур (к) = Ур (дг(к)) + Ур (к') = Ур (дг(к)) = г(к)Ур (д) = г(к)(е + 1). Легко видеть, что

1п т

(27)

тах {г(к);1 < к <т} =

1п

откуда, вместе с (27), непосредственно следует утверждение леммы. □

Теорема 3. Пусть N(Р) = дс, где с > 1 рациональное целое число. Справедлива общая оценка

где

(¡,Р1 )\<СЛ(т^ (Р )1 (1-^)

/ т т

та если д > т, N(Р) > (т — 1)т-2,

т--3-

СЛ(т) = <

3 т

т™ если д > т, N(Р) < (т — 1)т-2,

т

Л(2Л+1) т

т ™ если д<т^(Р) > (т — 1)т-2,

¿(2<1+1) т

к (т — 1)т ™ если д < т, N(Р) < (т — 1)т-2.

Более того, справедлива конкретная оценка

\Б (/,Р1 )\<СЛ(т,Р ^ (Р)1(1-^),

где

/ , т

та если д > т, N(Р) > (т — 1)т-2,

1 3 т

т-1т™ если д > т, N(Р) < (т — 1)т-2,

Са(т, Р) = с(2е+3) т

т ™ если д < т, N(Р) > (т — 1)т-2,

с(2е+3) т

^ (т — 1)т ™ если д < т, N(Р) < (т — 1)т-2.

Доказательство. Сначала мы докажем конкретную оценку, а затем из нее выведем общую оценку.

Для удобства положим N = N(Р). Мы рассматриваем несколько случаев. Во всех случаях Случай 1. д > т:

По лемме 6.2 имеем £ = 0. Если I < 2(Ь + 1), то I = 1, и лемма следует из оценки Морделла ([6], с. 17, а оригинальная работа в [15]).

(/,Р)1<таИ1-™. (28)

Предположим, что I > 2. Пусть VI,..., пг — несравнимые решения сравнения Ж ¡'(и) = = ОшоёР такие, что г>з- имеет кратность Хз, и пусть Хз = п- Далее, обозначим через

аз = и(Ьз) индексы в конструкции после леммы 5.1. Используя разложение в ряд Тейлора

к к

9з(у) = к*у + ) - м) = £ ¡(к)(уз),

к=1 '

лемму 3.2 и (11), видим, что

/ +1 , , \ Ур{ (^Т^у. ж+7 + (уз)) <Хз + 1 аз < Хз + 1. (29)

По лемме 3.1 мы знаем, что

п < т — 1. (30)

Применение неравенства треугольника к (5) дает

|5(/,Р1 )|< £ ^I. (31)

=1

Если I > аз, то в доказательстве леммы 5.2 было показано, что

I = №>-1|^ (9з^ )|. (32)

Случай 1а. N > (т — 1)т-2:

По (28) и предположению индукции в (32), имеем

| <т^а>-а>)(1-™), (33)

аз >

тривиальной оценки ^^ | < N-1.

Следовательно, по (31) и (33), получаем

_ _ -^К1-1) =1

= тлN(1-^)Y,N-1+ ™ . (34)

=1

Поскольку по (29) и лемма 3.1 имеем аз < Хз + 1 < т, то предложение 6.1 дает

Г а Г А

-1+ < N-1+ ™ ™ < N-1+™ шах((т — 1)N £ ^1-£). (35)

=1 =1

Легко видеть, что

т 1 -I 1 -I 1

N > (т — 1)™-2 шах((т — 1)N™ . (36)

Подстановка (35) и (36) в (34) дает

г

™ < 1 =Ф |№(!,Р1 )| <тл^(1-£),

=1

что и доказывает утверждение теоремы в данном случае. Случай 16. N < (т — 1)т-2: Сначала докажим оценку

( /, Р1 )| < пN-1+(1-™). (37)

По определению сразу видно, что г < п, поэтому базовый случай I = 2 следует из тривиальной оценки

(!,Р 2)|< Е ^ К ^ <пN 1+^. =1

Предполагая, что (37) справедлива для всех 2 < I < Ь, мы докажем, что она справедлива для I = Ь + 1.

аз аз < Хз + 1

9з(У) = £ ^ТТ!(к)(Уз)шоАР,

!

к=1

ж У

-) 4

1—ал „/ /„Л —

и значит, по лемме 3.1 число решений сравнения ж д'з(у) = ОшоёР не превосходит Хз. аз < Ь

| -1|№(дз,Рь+1-э)| < -2+™ +(ь+1-°э)(1-£) <

Х^-^^3^^1-3). (38)

Если аз > Ь, используем тривиальную оценку |SVj | < NL.

Ь > аз 1 < < Хз < т — 1

лемме 3.1, то подстановка (38) в (31) дает

г г \ +1 |№( ¡,РЬ+1 )| < ^ ^ |<N-2+3N (ь+1)(1-3) ^ХзN < =1 =1

< N-1+■3N(ь+1)(1-3^Хз =пN-1+3N(ь+1)(1-3),

=1

Ь > аз 1 < <

Предположим теперь, не ограничивая общности, что а1 > ■ ■ ■ > аГ1 > Ь > аГ1+1 > ■ ■ ■ > аг Положим Хф=1 Хз = п1 и ^^п+а. Хз = п2, а тогда п1 +п2 = п. 1 < < 1

Хз + 1 >аз > Ь =Ф па + п > пЬ =Ф — + 1 >Ь,

1

что дает

Ь = (Ь + 1)(1 — 1) — 1 + - + — < (Ь + 1)(1 — 1) —1 + -+ П1

т т т т т 1 т

Положим к1(у) = у N угп . Тогда имеем

и - /

К(У) = N^ (1 —

и поэтому Щ (у) > 0, что дает

п11п^)'

т

(у) = N у™

п1( 1п^ ))2 у3т2

r1N г-т < тах^ ™ ™)

Теперь мы покажем, что пlNт > N т .

-Ш-— — У

Положим Ъ,2(у) = у N ™ — N Тогда имеем

(39)

1

1

К(у) = N™ — -^ытШ™ Щ(у) = -1(1пШ))2Nш,

2 т 2 т2

и поэтому Н'2(у) < 0,к2(1) = 0.

т

Более того, поскольку (т — 1)т-2 > N > т, то Ы2(1) > 0 и к2(т — 1) > 0. Следовательно, имеем Ъ,2(у) > 0 для 1 < у < т — 1, и поскольку по (30) и определению щ п1 < п < т — 1

—

п^™ > N ™

(40)

Поэтому, подставив (40) в (39), учитывая (31), (38) и тривиальную оценку ^^\ < N

получим

ь

п

Г- Г Г х

\Б (¡,Рь+1)\ < £\ + £ ^ \< г^ь + ^2+%^ь+1)(1-^) £ <

3 = 1 3=Г1 + 1 3=Г1 + 1

2 irj.lV! 1 \ / . Х3 + 1

<N-1+^^(ь+1)(1-1-)(r1N + ^ XjN^—1+^ <

3=г\ + 1

< N-1+™N(ь+1)(1-£)(п^™ +п^™) < пN-1+ ™N(ь+1)(1-^)

что завершает доказательство (37) если а1 > • • • > ап > Ь > аГ1+1 > • • • > аг.

Так как д > т, то N > т, а так как — 1 + т < 0, учитывая (30), то в силу (37) имеем

^( },Р1 )\<пN-1+^(1-^) < т^(1-^),

что и доказывает утверждение теоремы в данном случае. Случай 2. д <т:

Предположим сначала, что I < 2(Ь + 1). В этом случае воспользуемся тривиальной оценкой

(/, Р1 )\ < N = N(1-™) < N(1-™), что в силу предложения 5.1, леммы 6.2 и того факта, что д < т, дает

2(е+1)1п(т) + Мт) -

^ ( !,Р1 )\ < N т Мч)№ (1-™ ) =

2(е+-) . ^(М) - с(2е+3) 11л 1 ^ / ^

= т т ы(я) +га ьад N(1-™) —N(1-™). (41)

Для I > 2(Ь + 1) доказываем индукцией по I.

т

Случай 2а. N > (т — 1)™-2:

Этот случай аналогичен случаю 1а. По предположению индукции (41) получаем

| = т-11Б(д3,Р1 )| < -1Ы(-а)(1-3), (42)

причем эта оценка верна и в том случае, если аз > I, так как в этом случае она следует из тривиальной оценки |SVj | < N -1. Подстановка (42) в (31) дает

(¡,Р1 )| < т-1Ы(1 )(1-3) =

3 = 1

= т(1-3) 3. (43)

=1

Поскольку аз < + 1 < т в силу (29) и леммы 3.1, то предложение 6.1 дает

Г а Г Л

-1+3 < N-1+3 3 < N-1+3 тах((т - 1)Ы31-3). (44)

=1 =1 Мы знаем, что

N > (т - 1) тах((т - 1)Ы™ ,Ы1-™)=Ы1-™ , (45)

и поэтому подстановка (44) и (45) в (43) дает

г

а < 1 |5(¡,Р1 )1<т3),

=1

что и доказывает утверждение теоремы в данном случае. Случай 26. N < (т - 1) :

По предположению индукции (41), если I > получим

I = -1|5(дз, Р1 )| < т^^ХуЖЧ-1Ы(1 -а>)(1-3), (46)

и эта оценка справедлива и в том случае, если аз > I, так как в этом случае она следует из тривиальной оценки |SVj | < N-1.

Следовательно, поскольку аз < Х3 + 1 < т в силу (29) и леммы 3.1, то подстановка (46) в (31) дает

|5(¡,Р1 )| <т(1-3)Ы-1 <птN(1-3)

=1

п < т - 1

, с(2е+3) и, 1 \

(/, Р1 )| < (т - 1)тЛ2+з1Ж1 (1-3),

что и доказывает утверждение теоремы в данном случае. Этим завершается доказательство конкретной оценки во всех случаях. Общая оценка непосредственно следует из неравенств с < й и е < й - 1, оба из которых легко следуют из применения теоремы об уникальной факторизации идеалов в полях алгебраических чисел к (д):

„А _ ______ _

'-3( с 3

(^ПР; ^ = 1\ж(Р;з+1) = ^=1 с^+1) й = £ сз (вз + 1), =1 =1 =1

где ез + 1 — индекс ветвления простого идеала Рз. □

7. Усиленная форма оценки Хуа Ло-Кена для определенного класса многочленов, когда число классов равен 1

В этом разделе мы получим более сильную форму теоремы 6.1 в частном случае, когда К имеет число классов равен 1, а идеал А имеет вид

В

А = р1; (В,Р) = 1,

для некоторого целого идеала В, что позволит получить более сильную форму оценки Хуа Ло-Кена в [2] для идеалов (удовлетворяющих ((, 5) = 1.

Начнем со вспомогательной леммы, которая будет играть роль, аналогичную лемме 4.1.

Лемма 11. Пусть Р — простой идеал такой, что Р \ 5, а а £ Я — целое число. Пусть г] пробегает полную систему вычетов Р-с по модулю Я, где с > 1 — некоторое рациональное целое число.

Тогда

УЕ(аЛ) = У г™*™ = {*(Р)«"»Р°\а,

^ ^ 0 если Рс \ а.

V V \ I

Доказательство. Если Рс|а, то ац £ Я, что дает Е(аг]) = 1, и тогда

£ Е (т] а) = N (Рс).

V

Мы покажем, что существует т] £ Р-с, скажем т]о, такая, что г]а £

Если ца £ для всех т] £ Р-с, то 5-11аР-с, и тогда Рс 1а5-1.

Поскольку Р — простой идеал и Рс \ а, то Рс'15-1 для некоторого с' > 1, что является противоречием.

По определению £-1 существует целое число 7 такое, что Е(7ща) = 1. Поскольку 7^0 £ Р-с, имеем

£ Е(т] а) = £ Е(7 т]0а + т]а) = Е (7 т]0а)У^ Е (т] а) £ Е (т] а) = 0,

V V V V

поскольку Е(7Г0а) = 1. □

Теорема 4. Пусть N(Р) = дс, где с > 1 — целое рациональное число. Тогда, мы имеем общую оценку

№ (/,Р1 )1<Сл(т^ (Р )(1

- ±) т '

где

2т

1 если д > т, N(Р) > (т — 1)т-2,

2 2т т

(т — 1)тесли д > т, (т — 1)т-2 > N(Р) > (т — 1)т-2

Са(т) = <

1 3 т

тт если д>т^(Р) < (т — 1)т—,

<1(2<1+1) т

т т если д < т, N(Р) > (т — 1)т-2,

¿(2<1+1) т

(т — 1)т т если д < т, N(Р) < (т — 1)т-2.

Доказательство. Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы 6.1, за исключением случая 1а, где вместо использования оценки Морделла ([6], с. 17) мы теперь можем использовать оценку Вейля для экспоненциальных сумм над конечными полями [9].

Действительно, поскольку Р простой идеал, то R/P — конечное поле. Более того, поскольку число классов K равен 1, мы знаем, что Р — главный идеал, скажем, с Р = (к). Поскольку А = р, то каждое aj можно выразить как

bj

aj = —, к

и имеем

h • —t— 'К h •

е 2TriT (-Л±-Хз) = e2*iT ()

для любого г £ R, откуда следует, что х(у) = &27ггТ(К) — аддитивный характер конечного R/ Р

Следовательно, сумма действительно является экспоненциальной суммой по конечному полю, и оценка Вейля [9] в этом случае дает

IS(f, Р)| < (т - 1)N1 ^ IS(f, Р)| < min (N£, (т - 1)N—+rn)N1-£,

где эквивалентность следует из тривиальной оценки |S(f, Р)| < N. Как и в случае 1а теоремы 6.1, получаем

IS( f,Р1 )| < max (1, min(N 3, (т - 1)N -r+rn ))N (1-£). (47)

N < ( т - 1) 2

1 ч -1j_ 1.1 1 , ч 2 _

min(N £, (m - 1)N —+rn) = N £ 1 < N £ < (m - 1) £, (48)

и поэтому подстановка (48) в (47) дает

IS(f, Р1 )| < (т - 1) ™Nl(1-£).

г. 2т

Если N > (т - 1)2 и N < (т - 1)m-2, то

min(N£, (т - 1)N—+£) = (т - 1)N—+£, 1 < (т - 1)N—+£ < (т - 1)£, (49) и поэтому в этом случае также подстановка (49) в (47) дает

IS(f,Р1 )| < (т - 1)™n1 (1-rnrn). Наконец, если N > (т - 1)™-^oN > (т - 1)2, и поэтому

min (N3, (m - 1)N—+3 ) = (m - 1)N-т+3 < 1, (50)

и подстановка (50) в (47) дает

IS(f,Pl)| < Nl(1-3).

□

Proposition 5. Пусть q — рациональное простое число. Тогда, число простых идеалов Pj в R, у которых N (Pj ) = q'ci для некоторого Cj > 1, не превосходит d

Доказательство. По теореме об уникальной факторизации идеалов в полях алгебраических чисел, имеем

(я) = П +1 ^ = П N (РV+1) ( = £ ^ (ъ + 1) >

3=1 3 = 1 3 = 1

где — индекс ветвления простого идеала Р3. □

Теперь сформулируем и докажим следующую усиленную форму теоремы Хуа Ло-Кена, в нашем частном случае.

Теорема 5. Пусть Я — целый идеал с (Я, 5) = 1. Тогда, справедлива оценка,

|£(¡,Я)1 < е2а2(2(1+1)е3Л42тс1М(Я)1-

1 т

Доказательство. По теореме об уникальной факторизации идеалов в полях алгебраических чисел мы знаем, что Я однозначно выражается как

Я = ЦР?, г3 > 0, (51)

=1

где Рз — различные простые идеалы, а Г3 € Ъ. Следовательно, по (51) и лемме 4.2 имеем

^ (¡,Я) = Ц8 (¡3 ,Р?),

=1

для некоторых многочленов Д степени ш (а не многочленов из построения деревьев Хуа Ло-Кена в разделе 5, хоть обозначения совпадают), и поэтому, поскольку (Р3,5) = 1 для 1 < <

|5(/, Я)1< П Са,з(ш)М (Рг/ )1-т = N (Я)1-т П Скз(ш), (52)

=1 =1

где Са з(ш) — константа из теоремы 7.1, соответствующая Р3.

Для любого натурального числа х € Ъ, обозначаем через ■к(х) обычную рациональную

Ъ

■к(х) = 1{к € Ъ;к < х, к является простым в Ъ}1, и обозначаем через ж(х) функция распределения простых идеалов в К,

я(х) = |{Р Q К; N(Р) < х, Р является простым идеалом в К}1. Мы знаем, что N(Р) = дс, где д — простое число в Ъ, и поэтому предложение 7.1 дает

N(Р) <х д < х ж(х) < (ж(х). (53)

2т т

Положим А = (ш — 1)т-2 и В = (ш — 1)т-2.

Теперь оценим Пу=1 С^,,з(ш). Из формулировки теоремы 7.1 непосредственно следует, что

П* „ , лтт(А)-тт(В) (ш — 1 3\*(В) , \<1тт(т) /, ^М+Ц лйъ(т) ,г.,

Сй,з(ш) < {(ш — 1)т) у 1 у Ч-шт\ (т т ] у '([ш — 1)ш т ] у ', (54)

где степень (М(т) следует из предложения 7.1. Поэтому, по (53) имеем

иСъ(т) < ер(т), (55)

3 = 1

где

Р(т) = Ы(т)^3 - 1)<1ъ(В)+ ^ +

+ 1п(т - 1)(^7(А) + (1 - 2) а7Г(В) + <Ьг(т)^. (56)

Имеем ^ - 1 < 0, и используя известную оценку 7(х) < ^Щх) ПРИ х — 3 (смч например, [5], с.61) в (56) получим

. 5 ,2. , . , , ,( 5(1А ЪйВ(т - 2) Ъйт \

Р(т) < -(I (2(1 + 1) + 1п(т - 1М -——- + „ \ + лл , . .

1 '< 2 к ! к !\2т 1п(А) 4т 1п(В) 41п(т))

(57)

Вычисляем

2т

5±А 1п(т - 1) = тй(5(т - 2)(т~ 1)тЛ < 0.792тй, (58)

2т 1п( А) \ 4т3 ) ~ ■ '

где последнее неравенство следует из элементарного математического анализа. Аналогичным образом получим

5г1 В(т - 2) 1п(т - 1) _ _г1(5(т - 2)2(т - 1)т-2 4т 1п( В)

т

/5(т - 2)2(т - 1)т-2\ \ 4 т3 )

= тМ^--^- < 14т^ (59)

4 1п( т)

Поэтому подстановка (58), (59) и (60) в (57) дает

5

Р(т) <-(12(2(1 + 1) + 3.442т(1,

что вместе с (55) завершает доказательство. □

5(1т 1п(т - 1) ^ „„ ,

1 ' < 1.25йт. (60)

и

8. Новая оценка и некоторые наблюдения

Заметим, что константу е^ (2с1+1)е3Л42т<1 в теореме 7.2 можно существенно улучшить, используя более точные оценки 7(х) и 7г(х), а также числа простых идеалов, удовлетворяющих каждому из случаев теоремы 7.1.

Заметим также, что для доказательства аналога теоремы 7.2 в общем случае нам не обязательно нужна столь сильная оценка, как у Вейля. Действительно, если бы мы имели какую-либо оценку вида

|£(¡,Р)1<С'М1-т-; е> 0,

С

пах получаем, что

N >СС Cd(m) = I.

Наконец, отметим, что объединение теоремы 5.1 и теоремы 6.1 дает следующую новую оценку.

Теорема 6. Справедлива оценка

\S(f, Pl)| < Cd(m)(m - 1)N(P)l(1-^)+^-h.

Легко видеть, что теорема 8.1 дает лучшую оценку, чем теорема 5.2, поскольку I > Uh, и также лучшую оценку, чем теорема 6.1, поскольку по лемме 5.4 mh > Uh-

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.Н. Чубариков. О кратных рациональных тригонометрических суммах над полем алгебраических чисел // Чебышевский сборник, 22:4 (2021), 306-323.

2. Hua L-K. On Exponential Sums Over an Algebraic Number Field // Canadian Journal of Mathematics. 1951;3:44-51. doi:10.4153/CJM-1951-006-4.

3. Hua L-K. On the number of solutions of Tarrv's problem // Acta Sci. Sinica. — 1952. — V.l. _ p. 1-76.

4. Hua, L. On An Exponential Sum. Journal of the London Mathematical Society, 1938, si-13: 54-61. https: //doi.org/10.1112/jlms si-13.1.5!,о

5. Архипов Г.Н., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм // М.: Наука. Физматлит. 1987.

6. Wang Yuan. Diophantine Equations and Inequalities in Algebraic Number Fields. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1991.

7. Anthony Knapp. Advanced Algebra // Birkhauser Boston, 2006.

8. Anthony Knapp, Basic Algebra // Birkhauser Boston, 2006.

9. Weil, A. (1948). On Some Exponential Sums // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 34(5), 204-207. http://www.jstor.org/stable/88420.

10. Чубариков В. H. Деревья Xva Ло-кена в теории сравнений // Математические вопросы кибернетики. Вып. 16. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - С. 73-78.

11. Chen Jingrun. On Professor Hua's Estimate of Exponential Sums // Scientia Sinica, 20 (1977), 6: 711-719.

12. Chen Jingrun. On the representation of natural number as a sum of terms of the form

x(x+i)-(:+k-i) Ц Acta Mathematica Sinica) (1959), 264-270.

13. Nechaev V.L An estimate of the complete rational trigonometric sum // Math. Notes, 17 (1975), No. 6, 504-511.

14. Qi Minggao and Ding Ping. On Estimate of complete trigonometric sums // China Ann. Math. В 6 (1985) 109-120.

15. Mordell, L. J. On a sum analogous to a Gauss's sum, Quart //J. Math., (Oxford), vol. 3 (1932), 161-167.

REFERENCES

1. Chubarikov, V. N., 2021. "On multiple rational trigonometric sums over a field of algebraic numbers", Chebyshevskii Sbornik, Vol. 22, Iss. 4, pp. 306-323.

2. Hua, L-K., 1951. "On Exponential Sums Over an Algebraic Number Field", Canadian Journal of Mathematics, 3:44-51. doi:10.4153/CJM-1951-006-4.

3. Hua, L-K., 1952. "On the number of solutions of Tarrv's problem", Acta Sci. Sinica, Vol. 1. pp. 1—76.

4. Hua, L-K., 1938. "On An Exponential Sum", Journal of the London Mathematical Society, sl-13:54-61. https://doi.org/10.1112/jlms/sl-13.L54.

5. Arkhipov, G. I., Karatsuba, A. A., Chubarikov, V. N., 1987. "Theory of multiple trigonometric sums", M.: Nauka. Fizmatlit.

6. Wang Yuan, 1991. "Diophantine Equations and Inequalities in Algebraic Number Fields", Springer Verlag, Berlin, Heidelberg.

7. Anthony Knapp, 2006. "Advanced Algebra", Birkhauser Boston.

8. Anthony Knapp, 2006. "Basic Algebra", Birkhauser Boston, 2006.

9. Weil, A., 1948. "On Some Exponential Sums", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 34(5), pp. 204-207. http://www.jstor.org/stable/88420.

10. Chubarikov, V. N., 2007. "Hua Lo-ken trees in the theory of comparisons", Mathematical issues of cybernetics, Iss. 16. - M.: FIZMATLIT, pp. 73-78.

11. Chen Jingrun, 1977. "On Professor Hua's Estimate of Exponential Sums", Scientia Sinica, 20, 6: pp. 711-719.

12. Chen Jingrun, 1959. "On the representation of natural number as a sum of terms of the form x{x+i)-(:+k-i),^ Acta Mathematica Sinica, pp. 264-270.

13. Nechaev, V. I., 1975. "An estimate of the complete rational trigonometric sum", Math. Notes, 17, № . 6, pp. 504-511.

14. Qi Minggao k, Ding Ping, 1985. "On Estimate of complete trigonometric sums", China Ann. Math. Vol. 6, pp. 109-120.

15. Mordell, L. J., 1932. "On a sum analogous to a Gauss's sum", Quart. J. Math. (Oxford), Vol. 3, pp. 161—167.

Получено: 27.03.2024 Принято в печать: 28.06.2024