Об оценках функций Шеннона длины единичных тестов относительно транспозиций переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Константа С4 = ^(i/^a + iMs) не зависит от е. Кроме того, ißA ^ (-yßAи ißB ^ (7I^b)1^', следовательно, мы можем считать С4 = С4 (а, -y^Ai -у (¿в)-Используя соотношение (22), получим

Т(е) Т(е)

г d,s у г d,s у т (г) 1 1

J \{ga,A}(s) - {ga,B}(s)\ —J — iC log <C log-, (25)

17(e) 17(e)

где C5 = C5 (cG, а, a).

Итак, осталось применить неравенство Золотарева (теорема 1.5.2 в [4]), в соответствии с которым для любого Т > О

т

L([Ga,A],[Ga,B])<:- [\{да, A} (s) - {да, В} (s) | - + 5,66Ь§ (1 + Т). (26)

7Г J S Т

о

Подставляя Т = Т (е) в (26), используя оценки (24) и (25), получим L ([Ga, А], [Ga, В]) <С С'4 + С5£Ч^тш log I + 5,66 flog 2 + 7 ) £Ч^тгтт iog I =

7Г £ V 7 (а + 1) + 1 / £

■У 1

= С\£ t(o + i) + i log -.

£

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. X и н ч и н А. Я. Предельные законы для сумм независимых случайных величин. М.; Д.: ОНТИ, 1938.

2. Bening V.E., Korolev V.Yu., Sukhorukova Т.A., Kolokoltsov V.N. Limit theorems for continuous-time random walks in the double array limit scheme // The Nottingham Trent University Mathematics and Statistics Research Report Series. 2003. N 25/03. P. 1-28.

3. Gnedenko B.V., Korolev V.Yu. Random summation: limit theorems and applications. Boca Raton: CRC Press, 1996.

4. Zolotarev V.M. Modern theory of summation of random variables. Utrecht: VSP, 1997.

Поступила в редакцию 20.11.06

УДК 519.718

Д. С. Романов

ОБ ОЦЕНКАХ ФУНКЦИЙ ШЕННОНА ДЛИНЫ ЕДИНИЧНЫХ ТЕСТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ТРАНСПОЗИЦИЙ ПЕРЕМЕННЫХ1

(кафедра математической кибернетики факультета ВМиК, e-mail: romanov@cs.msu.su)

Пусть /(ж 1, ,..., хп) — булева функция, формально зависящая от переменных х\, Х2,..., хп (это будет записываться так: /(ж") £ Р"), a /(¿j) {х\, Ж2, • • •, хп) — функция, полученная из f{x\, Ж2, • • •, хп) транспозицией переменных Х{ и xj (i,j £ {1, 2,..., га}), т.е. при i < j

f{i,j) (^1 7 7 • • • ; Х{ — i, Х^ X, . . . , Xj — l , Xj, Xj-(-l ,..., —

— f 1 ? • • • ? X{ — 4 , Xj, . . . , Xj — i, X^ ..., xn").

1 Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 06-01-00745 и 04-01-00359.

12 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 2

Транспозицию переменных Xi и х^ будем обозначать через (ж^, ж.,-). Из формальных соображений будут допускаться и транспозиции вида Обозначим через Wf множество функций:

Множество Т наборов значений переменных х\, Х2, ■ ■ ■, ж«, • • •, х^,..., хп называется единичным проверяющим тестом относительно транспозиций переменных функции / тогда и только тогда, когда для любой функции £ Wf такой, что (ж™) ф /(ж"), найдется набор а из Т, для которого выполнено неравенство /(а) ф (й). Множество Т наборов значений переменных х\, Х2, ■ ■ ■, хп называется единичным диагностическим тестом относительно транспозиций переменных функции / тогда и только тогда, когда для любой пары (д, к) неравных функций из Wf найдется набор а из Г такой, что д(а) ф к{а). Количество различных наборов в тесте Т называется его длиной и обозначается через Ь(Т) или через \Т\. Тест минимальной длины называется минимальным. Обозначим через £п(/(ж™)) (через £д(/(ж™))) длину минимального единичного проверяющего (соответственно диагностического) теста относительно транспозиций переменных для /(®1, Х2, ■ ■ ■, хп). Через Ьп(п) (через ЬЛ(п)) обозначим функцию Шеннона длины единичного проверяющего (соответственно диагностического) теста относительно транспозиций переменных, т.е. функцию

Ьп(п) = тах Ьп(((хп)) (соответственно функцию ЬЛ (п) = тах ЬД(((хп))).

Пусть а = («1,«2,...,«„) — набор значений переменных х\, Х2, ■ ■ ■, хп. Весом набора а называется число единиц в наборе а (обозначение: ||а||). Будем говорить, что набор а обнаруживает транспозицию переменных функции /(ж") тогда и только тогда, когда /(¿^)(й) ф /(«). Че-

рез будем обозначать набор, полученный из а транспозицией его ¿-го и ^'-го элементов. Будем

говорить, что пара наборов (а,/3) выделяет транспозицию переменных функции /(ж") тогда

и только тогда, когда = /3 и при этом /(а) ф /(/3). Очевидно, что если пара наборов (а,/3)

выделяет транспозицию (ж^, ж^) переменных функции /(ж"), то каждый из наборов этой пары обнаруживает транспозицию Будем говорить, что транспозиция переменных функции /(ж") необнаруживаема, если /(¿^)(ж") = /(ж").

Рассмотрим на множестве переменных функции /(ж") бинарное отношение

хп\ ч определяемое

следующим образом: ж¿9í^(г.n)жj тогда и только тогда, когда транспозиция переменных функ-

ции /(ж") необнаруживаема.

Лемма 1. Бинарное отношение

х,п \ сстпь отпноию-сив же ив йлснтпностпи.

Доказательство. Легко видеть, что отношение Лд^п) рефлексивно (так как ж¿;>K^(г,n)Ж¿) и симметрично (так как из ж¿9í^(г.n)жj следует Xj^Яf^¡.n)xг)■ Транзитивность, не ограничивая общности, продемонстрируем для случая переменных х\, Ж2, жз. Пусть Xl^Яf^¡.n)x2 и x2^f(xn)xз, тогда /(1,2) (ж") = /(ж"), /(2,з) (ж") = /(жп). Требуется показать, что ж^д-^жз или /(1,3) (ж™) = /(ж"). Зафиксируем произвольные значения «4, ..., ап переменных Ж4, Ж5,..., ж„ соответственно. Набор («4, «5,..., ап) будем обозначать через а'. Пусть /(0, 0, 0, а') = ао, /(0, 0,1, а') = а\, /(0,1,1, а') = <22, /(1,1,1,«') = аз (такое определение непротиворечиво, ибо никакой из перечисленных четырех наборов не переходит в другой из перечисленных при транспозициях переменных, — веса этих наборов различны). Тогда, учитывая, что /(1,2) = /(2,з) = /> получим

/(1, 0, 0, а') = /(1,2) (0,1, 0, а') = /(0,1, 0, а') = /(2,з) (0, 0,1, а') = /(0, 0,1, а') = аь /(1,1, 0, а') = /(2,з) (1, 0,1, а') = /(1, 0,1, а') = /(1,2) (0,1,1, а') = /(0,1,1, а') = а2,

а значит

/(1,з) (О, О, 0, а!) = /(О, О, 0, а') = ао,

/(1,з) (О, 0,1, а') = /(1, О, 0, а') = <ц = /(О, 0,1, а') /(1,з) (0,1, 0, а') = /(О,1, 0, а') = а4,

/(1,з) (0,1,1, а') = /(1,1, 0, а') = а2= /(О,1,1, а')

/(1,з) (1, О, 0, а') = /(О, 0,1, а') = <ц = /(1, О, 0, а') /(1,з) (1,0,1, а') =/(1,0,1, а') = а2,

/(1,3) (1,1, 0, а') = /(0,1,1, а') = а2 = /(1,1, 0, а') /(1,з) (1,1,1, а') =/(1,1,1, а') = а3.

Окончательно с учетом произвольности выбора а' получаем: /(1,3) (жп) = /(ж"). Отношение ^Кд^п) рефлексивно, симметрично и транзитивно, а значит, это отношение эквивалентности. Лемма доказана.

Отношение эквивалентности '^¿(¡.п) разбивает множество переменных {х\, ж2, ■ ■ ■, ж„} на классы эквивалентности (переменные ж¿ и х^ лежат в одном классе эквивалентности тогда и только тогда, когда транспозиция переменных функции /(ж") необнаруживаема). Каждый из этих классов

эквивалентности будем называть множеством симметричности функции /(ж"). Для фиксированного Ь Е N будем называть множество симметричности X' функции /(ж") Ь-мелким (соответственно Ь-круп-ным), если |Х'| ^ £ (соответственно |Х'| >

Лемма 2. Если пара наборов (а,/3) выделяет транспозицию переменных функции /(ж"),

то для любой переменной ж& (к £ {1,2,... ,га} \ на каком-то одном наборе этой пары будет

обнаруживаться ровно одна из двух транспозиций или (ж-^ж^).

Доказательство, не ограничивая общности, проведем для случая I = 1, ] = 2, к = 3, а = (0,1, 0, а4, а5,..., а„), [3 = (1, 0, 0, а4, а5,..., а„). Обозначим 7 = (0, 0,1, а4, а5,..., а„). Пусть /(а) = ао (тогда /(/3) = ао), /(7) = «1- Если ао = «1, то набор /3 обнаруживает транспозицию (ж1,жз), но не обнаруживает транспозицию (ж2, Ж3), а набор а не обнаруживает обе эти транспозиции. Если же ао ф ах-, то набор а обнаруживает транспозицию (ж2,жз), но не обнаруживает транспозицию (ж1,жз), а набор /3 не обнаруживает обе эти транспозиции. Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Следствие 1. Пусть переменная ж¿ лежит в множестве симметричности X' функции /(ж"), а переменная ж^ не лежит в множестве X'. Если пара наборов (а,/3) выделяет транспозицию переменных функции /(ж"), то для любой переменной ж& (ж& £ X') на одном из наборов пары (а,/3) обнаруживается транспозиция (ж&,ж.,) переменных функции /(ж").

Доказательство непосредственно выводится из леммы 2 и из того, что транспозиция переменных функции /(ж") необнаруживаема.

В работе [1] было показано, что для некоторой положительной константы с имеет место оценка ЬП(п) ^ с • га га.

Нетривиальную верхнюю оценку функции Шеннона Ьп(п) дает следующая

Теорема 1. При га ^ 4 имеет место неравенство

Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию /(ж") £ Р". Будем, не ограничивая общности, считать, что переменные х±, ж2,..., ж„ функции / упорядочены таким образом, что между любыми двумя переменными из одного множества симметричности не встречаются переменные из других множеств симметричности, и при этом переменная из множества симметричности меньшей мощности не может иметь индекс больший, чем переменная из множества симметричности большей мощности. Для некоторого натурального t определим множества переменных Yo,Y\,... ,Yt-1 следующим образом: переменная лежит в множестве У| (I £ {0,1,.. .,t — 1}) тогда и только тогда, когда k = I (mod t). Положим р = j]. Понятно, что \Yi \ ^ р для любого I (/ £ {0,1,..., t — 1}).

Построим множество наборов Г'. Для каждого У| и каждой пары ж¿, жj £ У; такой, что транспозиция (ж¿,жj) не является необнаруживаемой, найдем пару наборов (й,/3), выделяющую транспозицию (xi, хj) переменных функции /(ж"), и включим каждый из наборов а, ¡3 в множество Г'. Очевидно, что

13 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 2

\Т'\ ^ tp(p-l). По множеству Т' вычислим матрицу А(Т') обнаруживаемости транспозиций переменных функции /. Матрица А(Т') является квадратной порядка п и определяется так: А(Т') = [а^-]пХп, где

если транспозиция (Xi,Xj) является необнаруживаемой, если транспозиция (Xi,Xj) обнаруживается на множестве Г', если транспозиция (Xi,Xj) не является необнаруживаемой, но не обнаруживается на множестве Г'.

Заметим, что матрица А(Т') симметрическая и что на ее главной диагонали стоят двойки. Обозначим через в(Т') число нулей в матрице А(Т'). Найдем верхнюю оценку для в(Т').

Заметим, что если переменная х& лежит в i-крупном множестве симметричности X", то в матрице А(Т') в строке и в столбце, соответствующих не может быть нулей. Действительно, пусть Xj (xj G У/, I G {0,1,.. .,t — 1}) лежит в том же множестве симметричности X". Тогда a^j = ajk = 2. Пусть теперь xj лежит в другом множестве симметричности, тогда в силу i-крупности множества X" в нем найдется переменная Х{ (возможно, это и есть лежащая в У/. По построению множества Т' в нем есть пара наборов (й, /3), выделяющая транспозицию (xi, xj). Но тогда на этой паре по следствию 1 обнаруживается и транспозиция (xk,xj), и следовательно, aij = aji = a^j = ajk = 1.

Рассмотрим случай, когда переменная х& лежит в i-мелком множестве симметричности X". Пусть хк £ Уи (m G {0,1,.. .,t — 1}). Тогда ясно, что в Ут нет других переменных из X" в силу i-мелкости множества симметричности X". Покажем, что в столбце (а следовательно, и в строке) матрицы А(Т'), соответствующем переменной число нулей не превосходит t— 1. Для начала заметим, что для любой переменной Хк> G Ут, отличной от хь, а^к' = 1 по построению множества Г'. Пусть различные переменные Х{ и xj лежат в некотором множестве У; (/ ф тп) и при этом ац~ = ajk = 0. Тогда по доказанному в предыдущем абзаце переменные Х{ и xj лежат в разных i-мелких множествах симметричности. Значит, в множестве наборов Т' есть пара наборов (й,/3), выделяющая транспозицию (xi, Xj), и по лемме 2 предположение о том, что ац~ = ajk = 0, оказывается ложным. Имеем: в столбце матрицы А(Т'), соответствующем рассматриваемой переменной х& G Ут) из i-мелкого множества симметричности функции /, в строках переменных из Ут нет нулей, а среди всех строк каждого из остальных множеств У; (I ф тп) нуль может встречаться не более чем в одной строке.

Таким образом, в(Т') ^ n(t — 1). Далее, в силу симметричности матрицы А(Т') и отсутствия нулей на ее главной диагонали получаем, что к множеству наборов Т' требуется добавить не более в(Т')/2 наборов, чтобы получить множество наборов Т, являющееся единичным проверяющим тестом относительно транспозиций переменных функции /. Получаем верхние оценки:

Ln(/(i")) ^ \т\ <: \T'\ + U{T')^tp{p-i) + ^n{t-i).

Выбирая t = |_л/2га] + 1 и замечая, что л/2~п ^ ^ ^ л/2~п + 1, р = [у] ^ произвольности выбора функции / заключаем:

л/2п

^ л/Ч + 1, в силу

Теорема доказана.

Перейдем к изучению поведения функции Шеннона длины единичного диагностического теста относительно транспозиций переменных. В работах [2] и [3] рассматривались классы неисправностей, содержащие класс единичных транспозиций, и было доказано, что для почти всех булевых функций существует стандартный диагностический тест логарифмической длины [2] и что при случайном выборе множества наборов некоторой логарифмической мощности это множество почти всегда образует диагностический тест [3].

Целью этой части настоящей работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема 2. При п ^ 11 имеют место оценки

2 \ п) ^ ич 2 \ п

Перед доказательством теоремы 2 мы в лемме 3 построим специальное дихотомическое множество наборов среднего слоя и изучим некоторые его свойства. В дальнейшем будем для записи булевых

наборов использовать символику записи слов в алфавите {0,1}, считая, что набор («1, «2,..., ап) может быть записан как слово о.\о.2 ... а„. При этом через будет записываться слово аз. .. в (если

£ раз

слово в есть 0 или 1, квадратные скобки будут опускаться). Будем называть подслово в! = 1а0ь слова 5 (1, 0)-максимальным, если в в не существует отличного от в! подслова вида 1а 0Ь , содержащего Обозначим

г? =

га

Через p(ä,ß) будем обозначать расстояние Хэмминга между наборами (вес набора покоординатной суммы et, /3 по mod 2).

Лемма 3. Для любого натурального га, га ^ 2, существует такое множество Мп = {«i, а2,... ... , оц,..., ат} булевых п-разрядных наборов, что

1) т = [log2 га];

2) вес каждого набора из Мп равен [у] ;

3) для любого (1,0)-максимального подслова 1а0ь набора оц (1 ^ г ^ [log2 га] — 1) выполнено: a,b Е Z", а b Е

4) если в наборе оц (1, 0) -максимальное подслово 1а0ь занимает разряды j, j 1,..., j a-\-b — 1, то в наборе c^+i эти же разряды занимают два (1,0)-максимальных подслова lai 0bl 1а20Ь2 и при этом а\ + й2 = а, Ь\ + 62 = Ь (1 ^ i ^ flog2 га] — 2);

5) число классов эквивалентности столбцов в матрице, строками которой служат первые i (1 ^ г ^ [log2 га]) наборов множества Мп, равно min (2г,га) ;

6) min

ä,ßeMn äjtß

Доказательство. Пусть га = 2t(2k — 1), t £ Nq, k £ N, n ^ 2. Построим множество Mn индукцией по t, проверяя условия 2-5. При t ^ 1 первые t наборов множества Мп имеют вид

=

^24_'(2A:-1)q24-'(2A:-1)

2'

(l=l,t).

Пусть k ^ 2, тогда так как для любого целого г справедливо [г/2] + [г/2] = г, то 1 имеет

2* —1

вид [lL(2fc-1)/2Jor(2fc-1)/2l ir(2fc-1)/2loL(2fc~1)/2J] . Свойства 2-5 для построенных наборов проверяются непосредственно. Пусть далее при некотором i (t + 1 ^ i ^ [log2 га] — 1) наборы oti, ct2, • • • ,оц построены. Построим набор «¿+i- Выделим в oi{ некоторое (1,0)-максимальное подслово 1а0ь (по предположению индукции a, b £ Z", а b £ Z"_Заметим, что [га/2®] = [ra/2'J + 1, следовательно, [га/2г+1] = [га/2г+1] + 1. Пусть рассматриваемое подслово 1а0ь занимает в наборе оц разряды j,j + l,..., j + a + b— 1. В зависимости от вида Z"_t, a, b и а + Ь построим ту часть набора «¿+i, которая лежит в разрядах j, j + 1,..., j-\-a-\-b— 1 так, чтобы она имела вид lai 0bl la20b2 и при этом выполнялись бы условия 2-5 леммы. Все возможные случаи для значений а\, b 1, <22, 62 приведены в таблице (/ — произвольное целое неотрицательное). В последнем столбце таблицы + <22 = р (la0b, lai0bl la20b2).

[п/2-4 г п/2-1! [п/Т] Г»/2г1 а + Ь а, Ъ a1,b1,a2,b2 bi + а-2

41 4Z + 1 21 21 + 1 41 21, 21 1,1,1,1 21

41 или 41 + 1 4Z + 1 21 21 + 1 41 + 1 21, 21 + 1 1,1,1,1 + 1 21

41 или 41 + 1 4Z + 1 21 2Z + 1 41 + 1 21 + 1, 21 1 + 1,1,1,1 21

41 + 1 4Z + 2 21 2Z + 1 41 + 1 21, 21 + 1 1,1,1,1 + 1 21

41 + 1 4Z + 2 21 21 + 1 41 + 1 21 + 1, 21 1 + 1,1,1,1 21

41 + 1 4Z + 2 21 2Z + 1 41 + 2 21 + 1,21 + 1 1,1 + 1,1 + 1,1 21 + 2

4Z + 2 4Z + 3 21 + 1 2Z + 2 41 + 2 21 + 1,21 + 1 1,1 + 1,1 + 1,1 21 + 2

4Z + 2 или 4Z + 3 4Z + 3 21 + 1 2Z + 2 41 + 3 21 + 1,21 + 2 1,1 + 1,1 + 1,1 + 1 21 + 2

41 + 2 или 4Z + 3 4Z + 3 21 + 1 2Z + 2 41 + 3 21 + 2,21 + 1 1 + 1,1 + 1,1 + 1,1 21 + 2

4Z + 3 41 + 4 21 + 1 21 + 2 41 + 3 21 + 1,21 + 2 1,1 + 1,1 + 1,1 + 1 21 + 2

41 + 3 41 + 4 21 + 1 21 + 2 41 + 3 21 + 2,21 + 1 1 + 1,1 + 1,1 + 1,1 21 + 2

4Z + 3 41 + 4 21 + 1 21 + 2 41 + 4 21 + 2,21 + 2 1 + 1,1 + 1,1 + 1,1 + 1 21 + 2

Проводя указанную процедуру для всех (1,0)-максимальных подслов набора оц, завершаем построение набора «¿+1- Легко проверить, что условия 2-5 для набора «¿+1 выполнены ((1,0)-максимальность

каждого из иодслов 1а10Ь1, 1а20Ь2 при г ^ га] — 2 следует из того, что элементы Z"+l не меньше 1). Теперь множество Мп построено полностью. Оценим снизу р («¿, «¿+1) (1 ^ г ^ [1о§2 га] — 2):

р («¿, «¿+1) > + аг) > . Ьг + а2

га ^ ХХа + ^ а + Ь '

где суммы и минимум берутся по всем (1,0)-максимальным полсловам набора оц. Перейдем к равномерной нижней оценке для всех указанных г, воспользовавшись таблицей:

. ,21 21 21 + 2 21 + 2 21 + 2} . 21 2 > тш тт < —, —-, —-, —-, —- > = тт

\ 4/' 4/ + 1' 4/ + 2' 4/ + 3 ' 4/ + 4 J 4/ + 1 5'

откуда получаем: р («¿, c^+i) ^ ^р. Из таблицы следует, что р (öfiog2 п\ -1 > «fiog2 п\) ^ §■• Из доказанного свойства 4 имеем, что р («¿, оц+и) = р («¿, «¿+i) (и G iV), а значит, справедливо и свойство 6. Лемма доказана.

Следствие 2. В матрице, строками которой являются все наборы множества Мп, нет двух одинаковых столбцов.

Обозначим через р{х\, ж2,..., хп) такую функцию из Р", что p(ai, а2, ■ ■ ■, ап) = 1 тогда и только тогда, когда (ai,a2,.. .,ап) £ М„. Обозначим множество наборов, не лежащих в Мп, но получаемых из наборов Мп всевозможными единичными транспозициями переменных, через Qn.

Замечание. Транспозиции переменных функции р(хп) обнаруживаются либо на наборах из Мп, либо на наборах из Qn.

Имеют место следующие утверждения.

Лемма 4. Пусть ß £ Qn и га ^ 11. Тогда найдется единственный набор а £ Мп такой, что p(ä,i3) = 2. При этом для всякого у £ Мп, у ф й, выполнено: р(y,ß) > 2.

Доказательство. Существование искомого набора а £ Мп следует из определения множества Qn. Единственность вытекает из того, что при га ^ 11 по условию 6 леммы 3 расстояние между любыми двумя различными наборами множества Мп больше 4, и значит, набор ß не может переводиться различными транспозициями в различные наборы из Мп.

Следствие 3. Для любого ß £ Qn найдется единственная функция р'(хп) (р'(хп) £ И7^»)) такая, что р'(ß) ф p(ß).

Лемма 5. Все функции из пРи п ^ 11 попарно не равны друг другу. Число различных

функций в равно 1.

Доказательство. Докажем, что P(ij) (1 ^ г < j ^ га) не равна никакой другой функции из W^xи). По следствию 2, найдется набор а £ Мп такой, что в ¿-м и j-м его разрядах — различные значения. Обозначим через ß набор, полученный из а перестановкой ¿-го и j-ro разрядов. Остается заметить, что p^j^ß) = 1, p(ß) = 0, и по лемме 4 для любой функции P(v (1 ^ г' < j' ^ га, (i — i')2 + (j — j')2 ф 0) имеем p^i ji}(ß) = 0. Второе утверждение леммы очевидно.

Доказательство теоремы 2. Верхняя оценка Ln(n) ^ га(га — 1)/2 является тривиальным следствием леммы 5.

Докажем нижнюю оценку. Покажем, что ЬД(р(хп)) ^ (l — Пусть в некоторый минимальный единичный диагностический тест Т для р входит подмножество М' наборов из Мп, \М'\ = s, а остальные наборы из Т содержатся в Qn. Все функции из разбиваются по неотличимости на

множестве М' на классы эквивалентности Е\, Е2, ■ ■ ■, Ev (v ^ 2S ^ 2га). Функции из одного класса эквивалентности различаются тестом Т только на наборах из Qn. Теперь из следствия 3 вытекает, что для различения функций из некоторого класса эквивалентности Ej в тест Т должно входить (\Ej\ — 1) наборов из Qn, причем на этих наборах функции из любого другого класса эквивалентности не различаются. Имеем следующую цепочку неравенств:

LW)) = L(T)> s + jri(\Ej\-l) = s-v + ^-^ + 1 ^(l-lV

3=1 V J

Окончательно получаем

при п ^ 11, что и требовалось доказать.

Автор выражает благодарность профессору С. А. Ложкину за внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глазунов Н.И., Горяшко А. П. Об оценках длин обнаруживающих тестов для классов неконстантных неисправностей входов комбинационных схем // Изв. АН СССР. Сер. "Техническая кибернетика". 1986. № 3. С. 197-200.

2. Носков В.Н. Об универсальных тестах для диагностики одного класса неисправностей комбинационных схем // Методы дискретного анализа в решении экстремальных задач. Новосибирск: СО АН СССР, 1979. № 33. С. 41-53.

3. Нурмеев H.H. Об универсальных диагностических тестах для одного класса неисправностей комбинационных схем // Вероятностные методы и кибернетика. Вып. 18. Казань: Изд-во КазГУ, 1982. С. 73-76.

Поступила в редакцию 01.11.06

УДК 681.3

Е. А. Васин

ОПЕРАЦИИ МУТАЦИИ И СКРЕЩИВАНИЯ ДЛЯ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ АКСИОМ

(кафедра автоматизации систем вычислительных комплексов факультета ВМиК,

e-mail: vasinea@cs.msu.su)

1. Введение. В работе решается задача автоматической настройки распознавателей аномалий в поведении динамических систем по заданной обучающей выборке, содержащей образцы нормального и аномального поведения конкретной системы. Предложен способ описания аномалий, основанный на идеях алгебраического подхода.

Рассмотрим динамическую систему, информация о поведении которой поступает от набора датчиков. Все датчики работают в дискретном времени, частоты и фазы у всех датчиков совпадают, т.е. в каждый момент времени tj = to + At снимается набор показаний всех датчиков X(tj) = (xi(tj),x2(tj),...,xm(tj)). Поведение системы на временном отрезке [to,to + AT] представляется в виде то-мерного временного ряда показаний датчиков Xtr = (X(to), X(t\),..., X(tx))■ В процессе функционирования системы в ее поведении могут наблюдаться аномалии, причем существует конечное число К классов таких аномалий. Пусть множество траекторий, содержащих аномалии, не пересекается с множеством траекторий, не содержащих аномалии. Также пусть множества траекторий, содержащие аномалии разных классов, не пересекаются друг с другом.

Решение задачи распознавания аномалий в поведении системы будет означать поиск и классификацию содержащих аномалии участков предъявленного для распознавания временного ряда Xtr. Сформулируем задачу автоматического построения распознавателя для конкретной динамической системы (подробнее задача описана в [1]).

Дано:

1) множество датчиков 1,..., М;