CC BY
13
УДК 512.815.6
ОБ ОСЦИЛЛЯТОРНО-ФЕРМИОННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ПРОСТЫХ АЛГЕБР ЛИ СЕРИИ Вп
О. В. Ильин
(.кафедра математики)
В статье описываются фермионные представления алгебры Ли серии Вп. Вычислены коммутационные соотношения для образующих осцилляторно-фермионной алгебры.
1. Осцилляторно-фермионная реализация Вп
В статье описываются фермионные представления алгебры Ли серии Вп. Пусть
А = [+£,;
^3'
— корневая система, соответствующая алгебре Ли Вп. Существуют п+1 операторов таких, что элементы базиса Картана-Вейля задаются следующими соотношениями:
н, = С^Сг -С^Сг+1 (1 г ^ п-1) - ^ С: , Е.
Я ■)(■ С — 1'
1±п — ^П !
— (4 Сч;
■31
— Ч)1^ ! -Е" —— С0 Щ.
з "г 3 Е| ■ - С0С^ ,
В данной статье будет рассматриваться только базис Шевалле. Генераторы алгебры Вп в этом базисе записываются следующим образом:
Щ = с1с1-с?+1С1+1 (1 < г < п-1),
1±п — ^П !
Е= ас]
■%+и
Е+г — Сг+1; Е-\-п = СоСп >
Коммутационные соотношения между элемента-
Е—П - Сд Сп.
ми Шевалле и Картана таковы:
IHi, Е±Д = I [Е-1, Е^} = г);.;//;.
[НиЩ = О,
(1)
где Ку — матрица Картана для алгебры Вп.
Укажем антикоммутационные соотношения для введенных выше операторов ([,]+ означает антикоммутатор). Рассмотрим сначала случай п ^ I, т ^ 1:
[а, Ст}+ = [сг+, с+]+ = 0, [а, с+]+ = б1,т. (2)
Оператор со обладает следующими свойствами: [с0,ск]+ = [4,с+]+ = [с0,с+]+ = 0, п^к^ 1, (3)
[со,с+]=0. (4)
Соотношение [со, с^] =0 следует из того факта, что с|}"со = сосд" = 1. Соотношения (2)-(4) легко проверяются прямым вычислением с помощью (1). В заключение следует отметить еще одно важное свойство: с§ = с^2 = —1 (см. [2]).
2. Переход к другому представлению
Операторы ц, с+, г > 0, образуют оециллятор-но-фермионную алгебру, но добавление операторов со, Сд" приводит к тому, что полученные выше коммутационные соотношения не дают требуемую алгебру, так как [со,Сд~]+ ф 1. Положение можно поправить переходом к иному представлению алгебры Ли Вп. Элементы алгебры Вп могут быть также выражены через другие 2п + 1 фермионные операторы Ь±^, п ^ 3 ^ 1 и Ьо. Пусть между операторами Ъ и с имеются соотношения
с, = + Ь+•), 4 = (1/ч/2 )(Ъ+ + ЬЧ),
з Ф 0;
со = г(Ьо + Ьо), 4 = + ьо )•
Пусть операторы bj, ] = —п, ...,п, — фермионные, т. е.
[Ьк,Ь^]+ = 5кл, к,] = -п,... ,п,
тогда легко проверить, что соотношения (1)-(4) и со = 42 = —1 выполняются.
В новом представлении элементы базиса Шевалле записываются следующим образом:
Щ = Ьрз - Ь^Ь-з - Ь++1ЬН1 + Ь+ п-
Нп = 2(Ъ+Ъп^Ъ±пЬ-пУ,
ЕЧ = - Ь+ЧЬЧ-1, п - 1 ^ з > 1;
Еп = ^2- Ь+Ьо), Е.п = ^2(Ъ+Ъп - Ь±пЬо).
Заметим, что в последних двух равенствах опущены комплексные единицы, а именно ¿и-|, соответственно, так как они не влияют на коммутационные соотношения.
Укажем одно интересное свойство. Рассмотрим алгебру Вч, базис Шевалле которой выражен через фермионные операторы Ь{, и рассмотрим следующие операторы:
X = Е£1 = ^2(6+6-1 - Ъ+Ьо), ¥ = Е+.
12 ВМУ, физика, астрономия, №3
Эти операторы задают вложение алгебры Ли Ах в В2 ■
Переход от представления е операторами с к операторам Ъ понадобится также для получения старших весовых состояний. Подробно этот вопрос будет рассмотрен в п. 4.
3. Коммутационные соотношения
Представив образующие Шевалле через ферми-онные операторы, прямым вычислением получим коммутационные соотношения между образующими Шевалле и ([, ] означает коммутатор):
[Е-п,Ьг] = у/2(6г-пЬо-6г,оЬп), I = -П, . . . , Щ (5) Ъ+) = у/2(6{,пЬ+ „), i = -n,...,щ (6)
[Еч,Ь+] = 6^Ь}+1-*,-;-!^.
г = -п,...,п, з = 1, ...,п-1;
[Е^, Ьг] = ^- ¿¿¿+167,
(о)
г = -п,...,п, 3 = 1, ...,п-1;
Осталось получить коммутационные соотношения для Ег. Заметим, что имеет место соотношение Е^ = . Легко показать, что
[Еи Ьк] = Ъ+)+, [Еи Ъ+) = Ьк}+.
Таким образом, все необходимые коммутаторы можно получить, используя формулы (5)-(8).
4. Старшие весовые состояния
Пусть \, п ^ г ^ 1, — фундаментальные веса алгебры Вп. Как известно, они выражаются через элементы матрицы сЦ^, обратной матрице Картана, по следующему правилу: (Х{,Х^) = причем для серии Вп получается следующее:
А; ^ ет, если / / п. Х„ ^ ^ ?„,.
Соответствующие фундаментальным весам старшие весовые состояния |А«) определяются соотношениями
Н^Х1) = 5^\Х1), Е+1 |А«> = 0, (9)
Еч|АО = 0, если зф1, и Е^|А^0. (10)
Операторы в полной аналогии с квантовой механикой действуют как повышающие, т. е. переводят ¿-частичную волновую функцию (весовое состояние) в (г+1)-частичную, а именно
|А,) = Ьг+Ь+1...Ь^|0)! (А,| = (0М2..Л, 1 ^ г ^ п — 1.
Операторы bj действуют как понижающие: = Ьг+11 Аг+1>.
Выражения (11) проверяются прямой подстановкой в выражения (9)—(10), теперь осталось найти последнее весовое состояние. Сразу заметим, что |А„) ф b+|An_i). Это связано с тем, что выражения Е±п, 11„ через фермионные операторы не схожи с выражениями для Е±{, //;. гфп.
Можно получить весовые состояния с отрицательными индексами следующего вида:
Однако для этих весовых состояний А_р = Хр, т.е. их нельзя назвать новыми. Таким образом, переход от |А_Р) к |АР) эквивалентен замене bj на б! •. В итоге получаем следующий набор правил:
Ь+|Лр> = 0, 0
bj\Xp} = 0, j>pUj'<-l;
b_i|A_p> = 0, 0
6±^|А_Р> = 0, j>pUj^-l.
Рассмотрим выражения ... Ь^\0) и 1> , 1>п , ... ... &i"|0). Отметим, что
,п "b —
2)b+...bf\0),
Hib\bt_ г...Ъ+\0) =
= (Si,i + k,n-í - ái,n-2)bíibí_i • • • bf |0).
Таким образом, получается следующее: Ь+...Ь+|0) = |2АП + А„_2),
Л, , ... b+\0) = I - Al + A„_i - A„_2).
Этими двумя выражениями завершается перечисление всех возможных старших весовых состояний. В заключение заметим, что представления, генерируемые последними двумя состояниями, являются неприводимыми, но, очевидно, не фундаментальными.
Автор благодарен А. В. Овчинникову за полезные замечания и внимание к работе.
Литература
1. Gervais /., Saveliev M. // W-geometry of the Toda systems associated with non-exceptional simple Lie algebras. Preprint LPTENS93/47.
2. Bourbaki N. Elements de Mathématiques, Groups et Algebres de Lie. Paris, 1968.
3. Гото M., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли. Новокузнецк, 1998.
4. Dictionary on Lie Algebras and Superalgebras. Academic Press, 2000.
Поступила в редакцию 16.12.03
