Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЫВОДЫ

Проведенный анализ современных инженерно-конструкторских систем автоматизированного проектирования показывает, что на сегодняшний день одним из эффективных способов построения специализированной САПР является модернизация универсальной системы. С целью упрощения задачи, снижения стоимости и сроков выполнения работ целесообразно применять семантическую модель, построенную в соответствии со стандартом ШЕР1Х.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Альперович Т.А., Барабанов В.В., Давыдов А.Н, Сергеев С.Н., Судов Е. В., Черпаков Б. И. Компьютеризированные интегрированные производства и САЬЭ-технологии в машиностроении. М.: ВИМИ, 1999. 512с.

2. Ракович А.Г. САПР станочных приспособлений. М.: Маши-

ностроение, 1986. 212 с.

3. Бойко В.В., Савинков В.М. Проектирование баз данных информационных систем. М.: Финансы и статистика, 1989. 352 с.

4. Вендров A.M. Один из подходов к выбору средств проектирования баз данных и приложений. "СУБД", 1995,№ 3.

Надшшла 23.03.04

Автоматизащя проектування технологичного оснащения дозволяв суттево скоротити эатрати часу та Koiumie на технолог1чну тдготовку виробництва. В cmammi розгля-нуто семантичну модель шформацшного забезпечення САПР оснащения, яка може бути використана в процеЫ програмног реа/пзацп алгоритму проектування технологгч-ного пристосування.

Automation of designing of technological equipment allows essentially reducing time and explicit costs to technological preparation of manufacture. In the article it is considered semantic model of information support of computer-aided design of equipment that may be used during program realization of designing algorithm of production device.

УДК 519.65

H.A. Нечипоренко, H.И. Белая

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВЫЧИСЛЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ ОТ БЫСТРООСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ

На основе приближения функций интерполяционным параболическим сплайном строятся алгоритмы вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций для двух классов функций. Для приведенных алгоритмов получены оценки погрешности и доказано, что они являются оптимальными по порядку.

ВВЕДЕНИЕ

При решении многих классов задач таких, как статистическая обработка экспериментальных данных, решение краевых задач для уравнений в частных производных, задач цифровой фильтрации и других, возникает необходимость в вычислении интегралов вида

и

I^co) = |f(x)sin (ûxdx,

I

U

,(ю) = Jf(x)

cos coxdx,

(1)

(2)

которые имеют непрерывные первые и ограниченные по модулю константой L вторые производные и удовлетворяют условию f(xj) = уj, i = 1, N, где Xj - узлы произвольной сетки Д={а=х1<х2<...<х[4; =Ь}, и yj - заданные действительные числа;

- V^l.n " класс функций f(x)eC2 l,n> Для которых заданы области выпуклости, то есть для каждого отрезка [х,, xi+1 ] известен вид функции: выпуклая вверх, выпуклая вниз или содержит точку перегиба.

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ

Предлагаемые алгоритмы вычисления интегралов (1), (2) основаны на замене подынтегральной функции f(x) интерполяционным параболическим сплайном, который является решением задачи (3)

inf sup lf"(x)l.

feFxe[a,b]

(3)

где Кх) принадлежит некоторому классу К, (й - произвольное вещественное число.

Оптимальные по точности алгоритмы решения задач (1), (2) для некоторых классов функций приводятся в работах [1], [2].

В настоящей работе построены оптимальные по порядку точности алгоритмы решения задач (1), (2) для следующих классов функций:

" ьы " класс определенных на [а, Ь] функций Кх),

В случае Р=С2решением задачи (3) является интерполяционный параболический сплайн 8*(х) У[ + У;(х - X;) +

S*(x) =

д(1) 2

У i+1 +yi+i(x-xi+1) + (2)

если Xj < х < Xj,

А} ,

+ (x-xi+1), если Xj < x < xi+1,

a

H.A. Нечипоренко, Н.И. Белая: ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВЫЧИСЛЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ ОТ БЫСТЮОСЦИЛЛИРУЮЦИХ ФУНКЦИЙ

Ax¡ t¡

где Ар>=^-(Ду;+^), Ax¡ 1 -1¡

Ax¡ = x¡+1 - x¡ Ay¡ = yM - y|

Ay¡

Ay¡ = yi+i + У i ~ 2

AX;

Ayi+1 - У1.

(1 + А,- - -Jl + A2j signA¡)

P 00 =

если x¡ < x < x¡,

y¡ + y¡(x -x¡) + B(D

y¡+i +yi+i(x-xi+i) +

B(2>

+ —'— (x-x¡+1) , если x¡ < x < xi+1,

где

В

(2)

(Ay¡)2

2Ax.(y;_^L) AX:

B;^ = 0, если Ду. Ф О,

(4)

В<° = В<2)

ч+1, D¡ - u¡ - 0, если Ду¡ = 0;

в) если функция f(x) не является выпуклой на [x¡, xi+1], то

в(1)=Ар>,

вР>=АР,

(6)

если Ду,- = 0, если Ау1 Ф 0, Ау\ = О,

,если Ау1 Ф О, Ау\ Ф О,

Д^-^-, х[ = (1-^)х1+1ГХ;+, \ = 1, N - 1. АУ1

Значения производных у!, 1 = 1, N. в узлах сетки А определяются согласно алгоритму, приведенному в [3]. В случае Р = 1^2 ь N решением задачи (3) является

интерполяционный параболический сплайн Р*(х) [4]

где А-'\ Ар\ X; определяются по приведенным выше формулам (4).

Значения производных у 1, ¡ = 1, N. определяются согласно алгоритму, приведенному в [4]. Пусть

\|/(х)

если x¡ < х < x¡,

yi + у[(х - X;) + 2

Уи-1 + - х1+1> +

Са) 2 —

+ если х;<х<х1+1,

Х£[Х;,Х; + 1], 1 = 1, N.

где х, - узлы сетки А, у; = Кх;).

Тогда, учитывая аналитический вид сплайнов 5*(х) и Р*(х), получим 8*(х) = \|/(х), хе[х;,х(+1], 1 < 1 < N -1,

если С[° = А[°, С}2) = а[2) и параметры х^ у\, А^', А[ вычисляются по формулам (4) для случая Б =

Р*(х) = \|/(х), хе [х;,х1+1], 1 < 1 <N-1, если Ср^ = в[°

(2) (2) - ' (1) (2)

С; = В-1 и параметры у 1, В; , В; вычисляются

(1) А (2)

а) если функция «х) на [хр хн1] выпуклая вниз и по формулам (5)-(7) для случая Б = Ь2ЦН;.

уj + y¡+1 < 2^-Ц или функция f(x) на [x¡, xi+1] выпук-АХ:

„ Ay¡

лая вверх и y¡ + y¡+1 > 2—L, то

Ax¡

(5)

x¡ =-^[2ду;+1 -xi+1 - 2Ay¡ -Х1(ду; + ду;+1)],

Ay¡

o

Таким образом, вычислив J* f(x) sin coxdx и

a

b

Jf(x) eos OJxdx получим формулы Rj и R2 приближен-

a T T

ного вычисления интегралов и 12 соответственно для f G C2 LiN ИЛИ f G V2>L N

b,(l) =

(Ayi)2

2Дх((у;+1-^> Ах i

, B<2) = 0,

N-l

R^co) = J\|/(x)sin coxdx = У Ru, (7)

a i=l

если Ду- Ф 0, X; = Xj, В[° = в[2) = 0;, если Ду| = 0; б) если функция f(x) на [xj, xi+1] выпуклая вниз и

У1 + у |-I-12 , или функция f(x) на [Xj, xi+1] выпук-Дх j

Ду.

лая вверх и у. + у < 2-^- . то ' 1+ Дх j

Xj = —-!-г[2у; - Xj -2Ду; -xi+1(y| + у-+1)],

АУ;

- d1} у-

Rj j = (cos C0X¡ - COS C0X¡ ) • (—г;--—) +

со со

- Ö2) y- , + (cos ШХ;+1 - COS C0X¡ ) • (—4--+

+ COS СОХ: -[^Чх: — Xj.1 )--— (x: - X: )

Ю CO

CO CO

yi

C?2)

(x; - x¡)2 + —!—(x¡ - Xi+1r ] + 2со 2co

,(1)

с,(2)

+ SintOXif—- X¡) + —1-Xi+1)] +

or cr

у. — v. —

+ -¿-у (sin cox¡ - sin cox¡) + (sin 0)xi+1 - sin tox¡);

N-l

y max |f(x) - S* (x)| • Дх.

^x¡<x<xi+1 l l

со

СО

N-l

R2(cú) = |\|/(x) coscoxdx => R?¡>

i=l

(8)

(O

— y- C> R2,¡ = (sinCOXj -sincox¡)-(—1---+

ÍO or

(2)

"Л + 1 Ci

+ (sina)xi+1 - SintOXj) • (-

+ sincox¡ •[—(x¡ -xi+1) +

co со

со coJ

yi+1 t—

-)+

-(1)

+ -x¡)2 (x¡ -xi+1)2] +

2co 2co

(1)

-i(2)

-l-COSCOXi -[-^-(Xj -x¡)--+

CO

у. Y • 1

+ —^-(coscox¡ — eoscox¡) + (coscoxi+1 -coscoxj); со2 со2

где параметры x¡, y¡, L.¡ , определяются указанным

со

y¡+i

Учитывая оценку [3] |f(x) - S*(x)| < ^-(Axj)2,

x e [xi;xi+1], получим требуемое неравенство.

Такая же оценка, очевидно, справедлива и для формулы R2(co).

Теорема 3. Пусть f(x)e V2iL_N. Тогда |Rk(co) - Ik(co)| <

, N-l

<-2>(Дх;)3, k = 1,2, i—1

где Dj = 2L, если функция f(x) имеет на [х,, xi+1] точку перегиба, и D, = L, если f(x) выпуклая на [Xj, xi+i].

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2 с учетом оценки [4]: |f(x)-P*(x)| <

< ^-DiiAxj)2, х е [xj,xi+1].

о

В ряде случаев могут оказаться полезными следующие оценки погрешности формул (8), (9) для случая

N « Itol ———, что соответствует сильной осцилляции тс

подынтегральной функции.

выше способом для каждого из классов С2,цы или Теорема 4. Пусть Кх)е С2 Ь М. Тогда при N «|ос|

Ь-а

Отличительной особенностью приведенных алгоритмов вычисления интегралов и 12 является тот факт, что они не используют значение априорной константы Ь, которая, как правило, точно не известна и может быть весьма завышенной.

Теорема 1. Квадратурные формулы (1), (2) являются оптимальными по порядку точности на рассматриваемых классах функций. Погрешность каждой из формул может превосходить минимально возможную на классе не более, чем в два раза (даже в случае точно заданной константы V).

Доказательство этой теоремы непосредственно следует из того, что 5*(х)еС2 ^ [3] и Р*(х)е У2 [4].

ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Теорема 2. Пусть Кх)еС2 Ь К. Тогда Кк(со)-1к(ш)| <

справедливо соотношение Ir (ш) - (со>1 < ^-Isincobl +

1 1 со2

D,

+ —y pin coa + м ico

, N-l

где V; = (Ь + |аР|) • |со5сох1+] - соэсох^ , если на [х;, хн1] нет нулей функции втсох;

Ар^)• (|со5Юхп -соэсох^+ |со8сохн1 -со5соха|)> Х(, х,+| ] имеется только один нуль функции

V¡ = (L + если на sincox;

V; = 2kjL + 2|А - Assign sin со (L+|A,(1)|)-(|C

(1)

-tZ(Ax¡)3' k = 1'2'

N-l

+

+ Icos COX

i+1

■ COS COX

ik¡+l|)>

4 ¿

Доказательство. Для формулы Rj (со) имеем ь

J (f (х) - S* (х)) sin coxdx <

N-l

< S|f(x) - s*(x)| ■ |sincox|dx < i=l

N-l x¡+i

max |f (x) - S* (x)| ■ J |sin cox|d:

если на [х,, х,+1 ] имеется +1 нуль функции псох;

= тах ( |у'+(хр-у^,|у'-(хр-у^), ] = 1, N.

у ±(х1), у~(хм) - наибольшее и наименьшее значения производных функций класса С2 ^ N [3] в крайних точках сетки А; у;, А^ - параметры сплайна 5*(х), х¡к,

к = 1, k¡ +1, нули функции sincox, принадлежащие отрезку [х(, xi+1].

Аналогично может быть доказана теорема 5.

ь

а

H.A. Нечипоренко, Н.И. Белая: ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВЫЧИСЛЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ ОТ БЫСТГООСЦИЛЛИРУКЩИХ ФУНКЦИЙ

Теорема 5. Пусть f(x)eC2>L,N. Тогда при N «Н^р H¡ = ■ L ■ (sign sin coxi+1 + справедливо соотношение

+ (-1)*) _ IziL. (Sign sin coxi+1 - (-l)s); DN , 2

R2(co)-I2(co)| < —y-|cosa)b| + cd

N-l '

D11 I

+ —r cos coa +

to2 ' ' A¡ = max |p*"(x)|;

(0

2

-Vlv,

|co| ¡=i S=0, если функция f(x) выпуклая вверх; S=l, если

функция Кх) выпуклая вниз; [г] - целая часть числа г; б) если на [Х|, х,+1] функци ба, то Wi =У(, V; определяются согласно теореме 4;

где v¡ = (L + |а<°|) ■ |sin сох j+j - sin <ox¡|, если на [x,,xi+1] Ы - Делая часть числа z;

„ , б) если на [x¡, x¡+1] функция f(x) имеет точку перегн-

иет нулей функции coswx;

V¡ = (L + jAp^) • (|sin сохп - sin cox¡| + |sin coxi+1 -

- sin сохп|) , если на [x¡, xi+1] имеется только один нуль Dj = max ( |y +(xN) - yj|, |y ~(xj) - yjj ), j = 1,N, функции cos cox;

y'±(Xi); y-(xN) " наибольшее и наименьшее значения производных функций класса V2 ln [3] в крайних

V; = 2k;L + 2

АР -

, (0 .____„Xil + xi2 (Л ^ , ,vk. х точках сетки А;

■ A¡ sign cosco ü i2 (1 + (-l)ki) +

xik, k = 1, k¡ +1 - нули функции sin сох, принадле-+ (L + |A«|) • (|sincoxü - sincDXjl + жащие отрезку [x¡, xi+1].

■ I Аналогично можно получить оценку погрешности

+ |sin cox¡+1 - sin C0xik +1p, формулы (9) приближенного вычисления интеграла

если на [x¡, xi+1] имеется k¡ +1 нуль функции cosCOx; 1г(®)-

Теорема 7. Пусть f(x)e V^i^n- Тогда для R2(co) при

xik, k = 1, k¡ + 1 - нули функции cosCOx, принадлежащие отрезку [x¡, xi+1]; N «|со|- справедливо соотношение |r2(co)-12(со)| <

Dj, y^íxj), y,:t(xN), y¡, a(° определяются так D , D, , ,1

же, как в теореме 4. á -^|coscob| + -i-|coscoa| + — ^W¡,

Теорема 6. Пусть f(x)eL2 LN. Тогда при N«|cü|——- где

n а) в случае выпуклой на [x¡, xi+1] функции f(x):

справедливо соотношение ¡R^) - I») < ^f |sincob| + w. = E. . |sin Mx_+i _ sin мх.|, если на [x¡> Xj+l] нет

jj j N4 нулей функции coscox;

+ —¡rlsin <ва| +—- > W¡, „ i . i тт i ■ i

1 1 |co| W¡ = E¡ • pnCOX;, -sincox¡| + H¡ ■ |sincoxi+1 - sincoxn|,

где если на [x¡, xi+1] имеется только один нуль функции

а) в случае выпуклой на [x¡, x¡+1] функции f(x): coscox;

W¡ = E; -|coscüx¡+1 - eos cox¡|, если на [xj, xi+1] нет ну- .

лей функции sincox; W¡ = 2 • • L + 2|A¡| + (-1)S(L - A,)- x

W¡ = E¡ ■ |cosсохц -coscox¡| + H¡ -|coscoxi+1 - cosmx;i|, если h sincox;

2 im--- 2

x:, + x¡.

если на [х;, xi+1] имеется только один нуль функции X (sign cos СО ^ +(!)) +

+ E¡ • (|sinсохц -sincDx¡| + H¡ -|sincoxi + 1 - sincoxjk¡+1|,

k- (l-(-l)k¡) Wi =2- [—] • L + 2|A¡| - (-1) (L - A¡) - x если на x.+1 j ИМеется k, +1 нуль функции coscox;

x (sign sin соХц +X¡2 +(-l)S)+ (-1)S , (. -

2 = —-— L' (í¡gn eos сох,- + (-1) )

+ E¡ -(|созсохп -coscoXil + Hj -|coscoxi+1 -coscoxik¡+1|,

если на [x¡, xi+1] имеется k¡ +1 нуль функции sincox; 2

(-1)

(-l)5

■ А,- • (signcosco*,- - (-l)s);

E¡ = ' L • (sign sin cox¡ + (-l)s) - Hi = -^-L (signcosiaxM+(-\y)

^--Aj ■ (sign sin cox¡ -(-l)s); -• Ugncoscox,+I - (-1)*);

Aj = max Р* (х) I

Х;<Х<Х, + 1' I

yi <

yi

!0|ÄL + a-a)-Ayi

' Ax

Ot; =•

i-1 AX:

Ax,

Ax;_! + Axj

' t ДУ1

У1 =2~--У 2 '

Ах,

i = 2, N -1,

yN=2^-yN-

Ax

(9)

N-l

A^ AX:

• ДУ; ■ Ay,

Yi+1 > или У- = yi+i = *

AX: AX:

S=0, если функция f(x) выпуклая вверх; S=l, если функция f(x) выпуклая вниз;

б) если на [xj, xj+1 ] функция f(x) имеет точку перегиба, то Wj =Vj, Vj определяются согласно теореме 5;

для выпуклой вверх функции

Ду: Ау; ' Ау:

У; > Ум <-^-.или =у.+1 =-2i

АХ: АХ: АХ:

(10)

(11)

D],DN,xik, k = l,kj+1 определяются так же, как в теореме 6.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение заметим, что алгоритмы построения сплайнов S*(x) и Р*(х) существенным образом используют значение константы inf sup f (х)[, которая является глобальной характеристикой искомой функции f(x), хе [а,Ь]. Поэтому эти сплайны могут обеспечить высокую точность восстановления в тех случаях, когда вариация второй производной функций рассматриваемого класса не велика. Если эта вариация является большой, то и фактическая погрешность восстановления сплайнами S*(x) и Р*(х) может оказаться также большой.

Поэтому при восстановлении таких функций и функционалов от этих функций (по имеющейся априорной информации) необходимо каким-то образом учитывать изменение второй производной. Это в некоторой мере позволяют осуществить локальные параболические сплайны S (х) [5] и Р (х) [4].

Алгоритм построения каждого из сплайнов S (х) и Р (х) требует для своей реализации незначительных вычислительных затрат и заключается в том, что первоначально оцениваются значения производной интерполирующей функции в узлах сетки и, затем, используя эти оценки, по формулам (4) или (5)-(7) соответственно строится сплайн с наименьшей по модулю второй производной.

В случае F = C2il,n производные функции f(x) в узлах сетки А оценим по формулам

Оценим значения производных у 4, i = 1, N , по форму-

1

В случае Р = У2х,ц поступим следующим образом. Прежде всего заметим, что значение первой производной Г(хк)=ук, к = 1 + 1, любой функции Кх)еУ2цМ согласованы с исходными данными следующим образом.

Для выпуклой вниз на интервале [хп х,+|] функции должны выполняться соотношения

лам (10) при условии С^ =— ,1 = 2, N-1. Если такие

оценки производных приводят к нарушениям на некотором интервале [х^х^ц], 1<1<ГчИ, условий согласованности (11) или (12), то положим

, , Ду.

У! = У.+1 =

АХ:

Легко видеть, что такая корректировка значений производных приводит к выполнению условий согласованности на [х;, х,+1 ] и не нарушает их на соседних отрезках [хЬ], х,] или [xi+t, xi+2].

Поскольку сплайны S(x) и Р(х) имеют тот же вид, что и \|/(х), то справедливыми будут формулы (8) и (9) вычисления интегралов (1) и (2), в которые необходимо только подставить соответствующие параметры сплайнов S (х) и Р (х). При этом останутся в силе также теоремы 4-7, если в условиях этих теорем положить

Aj = max Р (х) , а вместо У| и Ар* использовать

xjixixi+i' I

соответствующие параметры сплайнов S (х) и Р (х).

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Жилейкин Я.М., Кукаркин А.Б. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций // ЖВМ и МФ. - 1978. - 18, № 2, - С.294-301.

2. Задирака В.К. Теория вычисления преобразования Фурье. - Киев: Наукова думка, 1983. - 216с.

3. Березовский А. И., Нечипоренко Н. А. К оптимальному по точности восстановлению функций и их производных // Вычислительная и прикладная математика. - 1985. - Вып. 56, - С. 57-61.

4. Белая Н.И., Нечипоренко Н.А. О восстановлении монотонной функции с линейными ограничениями на ее значения. - Комп'ютерна математика. 0птим1зац1я обчис-лень: 36. наук, праць. НАН Укра'ши. 1н-т юбернетики ¡м. В. М. Глушкова. - КиУв, 2001, т 1. - С.320-328.

5. Березовский А. И., Нечипоренко Н. А. К восстановлению функций локальными параболическими сплайнами // Оптимизация вычислений и численные методы. - Киев: ИК АН УССР. - 1987. - С. 38-41.

НадШшла 17.02.04 Шсля доробки 30.03.04

На ocuoei наближення функцш ттерполяцшним парабо-л1чним сплайном будуються алгоритмы обчислення ттегра-лiв eid швидкоосщлуючих функцш для двох клас1в функцш. Для наведених алгоритм{в отримат ощнки погрШностей i доведено, що вони е оптимальними за порядком.

Algorithms on the base of approximation functions by parabolic splines are build for calculation of integrals of functions that oscillate quickly. Estimates of errors are received for these algorithms and are proofed that algorithms are optimal by order.