CC BY
16
Об определении перемещения точек границы упругого полупространства при равномерном нагружении прямоугольной области
Казей И. С.
Казей Игорь Сергеевич /Kazei Igor Sergeevich - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики, факультет фундаментальных наук,
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего профессионального образования
Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, г. Москва
Аннотация: в статье предложен способ вычисления перемещений точек равномерно нагруженной прямоугольной области, лежащей на границе упругого полупространства. Получены точные формулы для перемещения внутренних точек прямоугольника и построена функция влияния.
Abstract: this paper proposes a method of calculating the displacements of points uniformly loaded rectangular area, which lies on the boundary of an elastic half-space. Also considered a special case of the displacements for the internal points of the rectangle under the action of a single force, on the basis of which the constructed function of influence.
Ключевые слова: прямоугольная область, упругое полупространство, равномерное нагружение, функция влияния.
Keywords: rectangular area, elastic half-space, uniform load, functions of influence.
Опираясь на работу А. И. Лурье [1, стр. 102], рассмотрим алгоритм вычисления вертикального перемещения W точек равномерно загруженной прямоугольной области. Подобный способ применим и для точек вне загруженного прямоугольника. Для внутренних точек прямоугольника получим формулу для определения осадки плоскости основания в произвольной его точке. Пусть равномерное нагружение прямоугольной области имеет интенсивность p. Расположим начало координат в центре прямоугольника и направим оси x и y параллельно его сторонам, как это показано на Рис.1.
Для того чтобы найти перемещение W в точке С(X, у), поместим её, например, в первый квадрант системы координат с осями параллельными сторонам прямоугольника (d = 2a = L / m, b0 = 2b) и
началом в его центре. Соединим С(X, у) с углами прямоугольника и опустим из точки С (х, у)
перпендикуляры на каждую из его сторон. В результате, рассматриваемая прямоугольная область разделится на восемь прямоугольных треугольников пронумерованных так, как показано на Рис. 1.
В каждом треугольнике естественным образом острые углы и высоты при вершине C (X, у) получают наименования Я, и h (i - 1....,8):
К = z acb2 , к = zbca , К = z Асвз, К = zBCA; h = h = cb4 , h = h = cb1 , к = h = cb2 , к = к = cb3 .
Перемещение точек основания в перпендикулярном к плоскости рисунка направлении (Рис. 1) определяется формулой:
m — 1 8
w( x у) = -—- p • Z hi Л(К,) , c1)
2n mG ,=i
д/,ч 1, 1 + sin К ..
Л(К) = - ln
2 1 — sin К
i
где m - число Пуассона, G - модуль сдвига,
По Рис. 1 и с учетом принятых обозначений находим
h = h = a — x = a(1 — f) = ay, h2 = h = b — y = b(1 — ц) = bsx, h4 = h = a + x = a(1 + f ) = ay, h6 = h7 = b + y = b(1 + ц) = bs2, где yx = 1 — f, y2= 1 + f, s1 = 1 — ц, r2 = 1 + ц, f = x / a, Ц = y / b. Снова обращаясь к Рис. 1, найдем при (X = b / a, что
sin К
К
bs,
as,
л1К + К JaW+Щ У+aGf
■JYi + a2 Sj2 +as,
.... 1,1 + sin К1 1,
л(К) = -h----г-p = ~ln 1-22 1 — sin К 2 Л y2 +
22 a s
1 = In
as,
■yjy2 + a2 Sj2 + asx
Yi
Обозначив aik = -Jy? + a2s2k (i = 1,2, к = 1,2), h •ЛК) = ay In
получим
an + asx
Yi
Совершенно аналогично найдем, что
*
aii + Yi
h2 •Л(К2) = bS1ln h4 •Л(К4) = ay2 ln
as,
a21 + asx
, h • Л(К) = bsx ln 2 a21 +Y2
asx
h •ЛК) = ay ln
a22 + as 2
Y 2 Y 2
К6 •Л(К6) = bs2ln a22 +Y2 , к • Л(К) = b^ ln ai2 + Yi
as2 as2
h8 •Л(К8) = aYi ln
ai2 + as 2
Yi
Прежде чем подставить эти величины в определяющую формулу (1), преобразуем ее к удобному виду. Очевидно, что
r=m—L=1—м=4—^=ZZ, p=2bdp,
2nmG 2nG
f E л
n
1 + By
nE
где po - равнодействующая давления. Тогда формула (1) примет вид
w( x, у) = R ЩУР. •Z к Л(К) = Rp h, Л(К).
2bd i=i d i=i 2b
Полагая po = 1, получим прогиб, вызванный единичной силой:
R 8 1
w = - £—Hi Л(Л) =
d i=i 2b
_R_
2d
71 ln a
a u +asy
7i
+ ln
an + 7
as,
+ s ln
a21 +Г2
as
+ ^ln a
a 21 + as
Г2
+
+ ^ln
a
a22 + aS 2
72
+ s, ln
a22 + 72
as
+ s ln
ai2 + 7l
as
+7l in
a
ai2 +aS2
7l
Далее удобно положить Ь = 7 la, тогда
aik = ayl(7,la)2 + sl = aylt- + s\ = aa*, где aik =y[t2+
В этом случае
2 2 2 ■ s2k.
w =
—
2d
7 ln
an + Sj
+ s ln
an + 7
+ s ln
a21 + t2
+ t2ln
a21 + S1
+
+ 7 ln
a22 + S2 + S2 ln a22 + t2 + S ln a12 + t1 + 7 ln a12 + S2
7 S2 S2 t1
Для точек, расположенных на оси х имеем:
7 = 0, г/ = 0, si = S2 =1 alk =ylt2 +1
Следовательно,
R
a .
1
w =
2d
7 ln
a+1
t
+ln a + 7 + ln a2 + 7 + 7 ln
a2 +1
+
+12ln
a2 + 1
7
+ln a + 7 + ln a + 7 + 7 ln
a +1
t
Приведя подобные и используя свойства логарифмов, получим:
R
w = — d
a +1 a +1
7 ln + t2ln + ln(a1 + t1)(a2 + t2)
t1 12
. (2)
С учетом того, что a + 7 > 0 и a + 7 > 0 имеем формулу для перемещений для точек, расположенных на оси х внутри прямоугольной области:
w=—F=— d d
a +1 a +1
7 ln +12ln + ln( a, + t,)(a2 + 12)
7 t2
(3)
В формуле (3) обозначено:
F = t ln
a +1
+12ln
a2 + 1
7
+ ln(a! + t1)(a2 + 12 ) .
Функция F - функция влияния, на основе которой в [2, стр. 6] строится матрица влияния. Вопрос о построении матрицы влияния требует отдельного рассмотрения и в данной статье не затрагивается.
Литература
t
t
S
S
1
1
2
t
2
1. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТТЛ, 1955. 492 с.
2. Казей И. С. Применение матрицы влияния при расчете балки на упругом основании. // Вестник науки и образования. 2015. № 4 (6). С. 6-8.
