Об определении перемещений в анизотропной кольцевой пластине при равномерном растяжении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В АНИЗОТРОПНОЙ КОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНЕ ПРИ РАВНОМЕРНОМ РАСТЯЖЕНИИ

ON DETERMINING DISPLACEMENT IN ANISOTROPIC RING PLATE AT UNIFORM STRETCH

А. П. Кержаев

A. P. Kerzhaev

ФГБОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары

Аннотация. Рассматривается равномерное растяжение тонкой кольцевой пластины, ограниченной двумя окружностями радиусов a и b. Материал предполагается упругоидеальнопластическим, в пластической области имеет место трансляционная анизотропия. В нулевом и первом приближениях определено перемещение в упругой и пластической областях.

Abstract. The article considers the uniform stretch of thin circular plate limited to two circles of radiuses a and b. The material is supposed to be elastic and perfectly plastic, translational anisotropy takes place in plastic area. The displacement in elastic and plastic areas in zeroth and first approximations is determined.

Ключевые слова: перемещение, упругость, пластичность, трансляционная анизотропия, равномерное растяжение, кольцевая пластина.

Keywords: displacement, elasticity, plasticity, translational anisotropy, uniform stretch, circle plate.

Актуальность исследуемой проблемы. Задачи определения упругопластического напряженно-деформированного состояния тел вблизи отверстий, полостей и других концентраторов напряжений с учетом трансляционной анизотропии принадлежат к числу актуальных в машиностроении, строительной механике, горном деле, при расчете элементов конструкций, работающих в условиях предельных нагрузок.

Материал и методика исследований. В работе используется фундаментальный материал по теории идеальной пластичности и метод малого параметра.

Результаты исследований и их обсуждение. Рассмотрим деформированное состояние анизотропной кольцевой пластины под действием равномерных растягивающих усилий. Напряженное состояние рассмотрено в работе [2].

Определим перемещение в пластической и упругой областях. Характер изменения деформированного состояния в процессе нагружения представляется следующим образом: вначале возрастают упругие деформации; затем, когда граница упругопластического состояния материала достигает некоторой области тела, процесс изменения упругих деформаций в ней переходит при дальнейшем возрастании нагрузок в пластическую деформацию.

Ранее в работе [3] был рассмотрен вариант анизотропии по Мизесу-Хиллу. В настоящей работе предложен вариант трансляционной анизотропии.

Для определения перемещений и и V предполагаем для нулевого приближения одной из компонент значение V(0 ) = 0 .

Согласно [1] и [2] определим перемещение в упругой зоне. Будем считать материал

несжимаемым, коэффициент Пуассона /л = —,

,(0)е - .

1

ІР2 - 1)е

2'

,(0)е -

- 0,

р) V р) р где Е - безразмерный модуль упругости, отнесенный к пределу текучести 2k. В пластической зоне согласно [2] из ассоциированного закона имеем

еРр = Х-^— = 0, р = Х-^— = X.

дстй

р --'в Для упругих деформаций имеют место соотношения

е _ — ( — 1 е _ — ( — 1 е _Трв

ер Е [СТр 2СТв/ вв Е [СТв 2 ар) ерв 20 ' На основе общей теории [2] из соотношений (3) находим

— 2а ^

е(0)е -________

р 2Е

—------

V р )

Из общей теории деформации [—] имеем

а и(п)

е{0)е --

1 (

1 + —

2Е

V

Р

еР =-

ев =-

1 д V(п) и(п)

- +---------

1

Єрв 2

д V(п) V(п) 1 д и(п)

др р дв р

Тогда из (5) в нулевом приближении получаем

+

др Р Р дв

еР)--

р

д и(0)

,(0) - ^ е(0) -(

е - 0 Єрв ~ У)-

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

др р

Далее соотношения (2), (4), (6) позволяют найти компоненты перемещения в пластической области

и(0)р =-!.[р_2«1пр] + С, V(0)р = 0.

2Е1 ^

Условия сопряжения на упругопластической границе имеют вид

ир а N N

Р I Р і р-1 р-1

(7)

(8)

Следовательно, в пластической области с учетом условий сопряжения (8), из (—) и (7) получаем

и(0)Р = 2—Ер“«р1+ 2(621_ — Е ^ + 3аР2 + «_4Р2], V(0)Р = 0.

Из (2), (4), (6) определяем X0):

(9)

Іо)- — 2Е

2а 1п р а Р Р.

+

2(32- іЕр +Зар1 + а - 3} •

(10)

Рассмотрим первое приближение в упругой и пластической областях.

Для упругой области согласно общей теории [—] и [2] перемещения и(1 )е, v(/)е в первом приближении будут

и (/)е = (— _ а)(^' + к2)

и = 2(В 2 - —Е

+ 2(— + »)сг [р _ 4лС (Вр^) + 4С~4 В

Р

+В

Е

_ 2(— + л)С— р +

(— _ 3а + 2а 2 )р' cos 2(в + л) +

+В

Е

2 (— + л С— р + 2 (— + Л )С 2 [р _ 4лС3^Вр^) +4С4 р(а2 _ — )р'^2(в + л), (——)

,(/)е = —

Е

2(— + лС р + 2(— + л)С2[р) +(6 + 2лСэ(р\ +(_ 2 + 2л С ^

(1 _ 3а + 2а2)р'sin 2(в + л) + В

Р

2(1 + л)С— р + 2(1 + л)С2 [р| +(6 + 2л)С3 [р| +

Р

Р

+ (_ 2 + 2л)С4 — (а2 _ 1)р'sin 2(в + л),

где

С = _1 +2 —2 _В _4, с2

1 2 N

_ 3 + 2В2 + В 4 4

6 N ’

= _3 + 2р-2 + 4 В2, = _1 + 2 — -2 _ — 4 — 2.

3 6 N 4 2 N

4 _ 4 В 2 ^ _ 4 В 2 _ 4 В 4 д_ 4

С1

, с 2

4 N

_2 _4

12 N

С3 = 3 _ 4г + В_ В2, С4 = _1 + В В -2.

12 N

2 N

В пластической зоне на основании [2] и ассоциированного закона имеют место следующие соотношения:

ер = ерр = 1[(Гв _ А + Р'с082(в + л)],

ев = ев =

е = еР =

срв срв

л[<7р _ А_Р'со82(в + л)], Ар' вт 2(в + л) _ ? в ].

(12)

Подставляя в соотношения (12) выражения разложений по малому безразмерному параметру 3 величин X, о, т, получаем компоненты деформации в первом приближении

ер)р = Х0^^ ^ + Р' оо82(в + л)), е(/)р = Х(0)(^ррр^ _Р'оо82(в + л))+ Х(/_ 1), ер) Р = х(0)(р' 8щ 2(в + лУ^в).

X

3

3

X

На основании общей теории [1] из (5) с учетом (3) и (13) получаем дифференциальные уравнения для определения перемещения в пластической области в первом приближении

5 и(/) 1

др 2 Е

1 |(к; + к2) + 2

р

[3 3а 2а2Л

2 р р2

Р' cos 2(9 + л)-

к[ + к 2

| - 2^- а ) 1 / 2 + 3а^2 + а - 4/)| % + к.

2Е { р р) 2/ - і)Ер И ’) 2

(14)

д Vі1) V(1} 1 д и(1}

(і ( „.2 Л (

др р р д9

G

а

р

-1

1 ( 2а 1п р а ,

ЕЕ I-“¡Г- - р' +

+ (/ -11)Ер ^ + 3/ + а - 4/))(2 - а

Из уравнений (14) определяются компоненты перемещения в пластической области в первом приближении.

і(і)р = с1 (9)+ —(р - 3а 1пр - а 1п2 р + 2С 1пр)(к1' + к2) + 4 Е

2

1

н—

Е

2а

—р - За 1п р - -2 р

Р'008 2(9 + л),

/

V(1)р = С2 (9)р - Р 8іп2(9 + л)(- 3Ор1п р - 10Оа 1п р + ЕО

(15)

2Оа2 Еа2

20а Еа 2 -а 5 -а 2 о

- 12 Оа - + ^_ + Ер 1п р +^г Оа31п р + —г Оа3 + 40ЕС - —V ОЕС а2

р 2 р Зр2 9р2 Зр2

Л

где

С = 2(в2 - 1)е ^2 + 3а^ 2 + а _ 4^2 ^.

Из (11), (15) и условий сопряжения (8) определяются коэффициенты С1 (0) и С2 (0) . Таким образом, деформированное состояние полностью определено.

Резюме. Решена задача о деформированном состоянии анизотропной кольцевой пластины под действием равномерных растягивающих усилий.

+

2

+

ЛИТЕРАТУРА

1. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. -М. : Наука, 1978. - 208 с.

2. Кержаев, А. П. Упругопластическое состояние тонкой кольцевой пластины при наличии трансляционной анизотропии при равномерном растяжении / А. П. Кержаев // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2012. - № 2 (12). -С. 95-101.

3. Павлова, Т. Н. Упругопластическое состояние тонкой пластины из анизотропного материала, ослабленной отверстием под действием растягивающих усилий / Т. Н. Павлова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева.- 2010. - № 2 (66). - С. 112-122.