CC BY
28
УДК 681.3
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЛИЧЕСТВА КАНОНИЧЕСКИХ МАТРИЦ СВЕРТКИ
С.А. Баркалов, Е.А. Власова
Матричные системы комплексного оценивания накладывают ряд условий на используемые матрицы свертки, называемых каноническими. Определение множества допустимых матриц путем перебора всевозможных матриц заданного размера с последующей проверкой соответствия каноническим условиям неэффективно и затруднено быстрым ростом количества матриц с их размером. В работе представлена процедура перечисления канонических матриц, а с ее помощью в рекурсивной форме получено выражение для их количества, позволившее определить размер множества канонических матриц для ряда их размеров
Ключевые слова: метод, оценка, система
Введение
В последнее время при решении задач комплексного оценивания все большее распространение получает использование матричных процедур комплексного оценивания [1], комбинирующих бинарную древовидную структуру свертки с использованием матричного способа задания функции свертки в узлах критериальной структуры. В литературе сложился ряд свойств, ожидаемых от процедуры комплексного оценивания [2], которые можно сформулировать следующим образом:
Agg(x) = x (1)
^(0,-, 0) = 0 и ^(1,..., 1) = 1 ^(Х1г..., хп) < ^(У1,Уп) при (Х1,..., Хп) < (У1,..., Уп)
где Agg(x) - соответствующий процедуре оценивания оператор свертки. Выполнение условий (1) в случае матричной процедуры комплексного оценивания приводит к эквивалентным условиям на значения элементов используемых матриц свертки:
Aggм (х) = Шхх = Х (2)
Aggм (1, 1) = тп = 1 и Aggм N N = тш = N
Aggм(xl, Уп) < Aggм(x2, У2) » тХ1у1 < тХ2у2 при
(Х1, У1) < (Х2, У2)
где Aggм (х) - оператор свертки для дискретных аргументов, соответствующий использованию матрицы м = (т^) размером N х N. Зачастую условия (2) дополняются различными вариантами условия непрерывности оператора свертки, выражающегося в ограничении на разницу значений между соседними элементами матрицы (приводящем к ограничению в различии значений получаемого оператора
Баркалов Сергей Алексеевич - ВГАСУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 76-40-07 Власова Екатерина Анатольевна - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07
при единичном изменении аргумента), как например, в [3]. Простейшим случаем такого условия является тот, при котором ограничение на разницу значений составляет единицу:
Шу - шы < 1
при к-1 < 1, г < к и I <], 1-] < 1 (3)
Совокупность условий (2) и (3) называется каноническими условиями, а удовлетворяющая им матрица свертки - канонической [3].
При построении матричных процедур комплексного оценивания, удовлетворяющих каноническим условиям, возникает задача выбора матриц свертки, удовлетворяющим условиям (2) и (3), а, соответственно, и задача перечисления таких матриц. Полный перебор возможных вариантов с последующей проверкой на удовлетворение условиям (2) и (3) не может рассматриваться в качестве сколь-нибудь доступного с практической точки зрения в случае уже сравнительно небольших размеров матриц, поскольку их полное число без учета
N 2
указанных условий составляет N • В работе [4] автором вручную построены и подсчитаны канонические матрицы для размеров 3 х 3 и 4 х 4. В данной работе предлагается процедура перечисления канонических матриц произвольного размера, позволяющая в рекурсивной форме получить выражение для полного числа канонических матриц и определить соответствующие численные значения для их размеров, имеющих практическую ценность.
Количество возможных матриц свертки
Как указано выше, в случае произвольных значений элементов матриц их количество растет весьма быстро с размерами матрицы. Наложение условий (2) и (3) существенно сокращает число допустимых матриц, а также позволяет построить эффективную процедуру построения всевозможных канонических матриц произвольного размера. Так, в силу первого пункта условий (2) вехнетреуголь-ная и нижнетреугольная части матрицы могут быть заданы независимо друг от друга. Это связано с двумя причинами. Во первых, первый пункт условий (2) требует вполне конкретных значений от содержимого диагональных элементов матрицы, а
именно совпадение значения элемента и номера колонки/строки которым он принадлежит. Во-вторых, для выполнения условий монотонности (2) и непрерывности (3) необходимо и достаточно их выполнения для элементов, являющихся непосредственными соседями (локального выполнения), что в комбинации с первой причиной приводит к полной независимости элементов, разделенных диагональю. Данное наблюдение позволяет рассматривать (и задавать) верхнетреугольную часть матрицы независим от нижнетреугольной что приводит к тому выводу, что количество возможных вариантов рассматриваемых матриц является полным квадратом количества вариантов нижнетреугольной части.
Для определения количества таких вариантов рассмотрим к-й столбец нижнетреугольной части матрицы, включающий диагональный элемент (и, таким образом, содержащий к элементов), в котором первый элемент (соответствующий первой строке снизу) принимает значение ш. Заметим, что в силу условия (3) 1 < ш < к. Рассматриваемый
к
столбец можно описать как вектор {}, г е [0..к-
к - ш к
ш], где 2 ¡к = к , где значения I. задают длины
г=0
участков, состоящих из последовательных элементов рассматриваемого столбца, имеющих одинаковые значения.
Возможные варианты соседнего, к+1-го
столбца, можно разбить на две группы по возможному значению первого элемента. В силу третьего условия (2) и (3) допустимыми значениями являются либо ш, либо Ш+1.
В первом случае к+1-й столбец можно опи-
к+1 к+1-ш
сать набором {/. }, г е [0..к+1-ш], 2 /к+1= к+1. В
г=0
силу третьего условия (2) и (3):
1 < 1к+1 < 1к 1 - 10 - 10
к к +1 к +1 к +1 к к +1
10 10 < 11 < 11 +10 10
Е1 !кр - Е1 !кр+1 < 1к+1 < 1к+1 + Е* !кр - Е* !кр+1
р=0 ^ р=0 р р=0 ^ р=0 р
р-1 .к р- .к+1
2 1г < 2 1г и 1р +1 вариантов при
к-Ш , к-т к+1
к +1
20 1р - 20 1р + 1 = 1к+1-И р=0 р=0
(4)
к+1
Из соотношений (4) следует, что для 10
к к+1
существует 1 0 возможных вариантов, для 11 су-
к к+1 к к ществует /1 вариантов при 10 < 10 и/1 +1 ва-
риантов при 10+1 = 1к . Несложно убедиться, что
для 1
к +1
существует 1 р вариантов при
г=0
г=0
р-1 к р к+1
2 = 2 . Заметим также, что количество
г=0 г=0
р-1 к р-1 к+1 вариантов, в которых 2 1г = 2 1 г , равно 1 при
г=0 г=0
к
р < 2 и 1р - 2 при 2< р. Данное наблюдение позволяет построить следующую последовательность:
к+1 1 к
Для вектора {10 } существует N0 = 10 ва-
риантов;
к +1 к +1
Для вектора { 1 0 , 11 } существует
1 1 к 1 .
N1 = N0 10 + N0 -1 вариантов;
(5)
к +1
Для вектора {}, г е [0..к+1-ш] существует
1/1 к ,,1
N = (Nk-Ш-1 1к - Ш +1)-Nk-Ш - 2 вариантов.
Аналогично для второго варианта, при котором к+1-й столбец содержит ш+1 в качестве значе-
к +1
ния первого элемента, и вектора {}, г е [0..к-т], описывающего этот столбец, можно построить следующую последовательность:
к +1 2 к Для вектора {10 } существует N 0 = 11 ва-
риантов;
к +1 к +1
Для вектора { 1 0 , 11 } существует
2 2 к 2 ,
N1 = N0 12 + N0 -1 вариантов;
к +1
(6)
Для вектора {}, г е [0..к-т] существует
2.2 к 2 N = (Nk-Ш-2 1к - Ш +1)- N к-Ш-3 вариантов.
Полное количество вариантов к+1 -го столб-
2 1
ца равно N + N - Выражения (5) и (6) в рекурсивной форме определяют количество возможных вариантов столбцов нижнетреугольной части матрицы и формализуют последовательность вычислений, приведенную в начале главы. Будучи реализованной, такая последовательность позволяет перебрать все возможные варианты нижнетреугольной части матрицы. Кроме того, поскольку соотношения (5) и (6) позволяют напрямую получить количество вариантов последнего столбца по виду предпоследнего, полное количество перебираемых вариантов может быть сокращено за счет исключения из рассмотрения вариантов последнего столбца. В результате реализации указанного подхода было получено количество матриц, удовлетворяющих условиям (2) и (3), для ряда их размеров (см. таблицу).
Размер Количество
3 x 3 36
4 x 4 784
5 x 5 40804
6 x 6 5071504
7 x 7 1502027536
8 x 8 1058766913296
9 x 9 1774688678718916
10 x 10 7069269148436956176
Как правило, дискретные шкалы с числом значений, превышающим 10, в комплексном оценивании не используются и рассмотрение матриц свертки соответствующих размеров, как и определение их количества, не обладает большой практической ценностью.
Заключение
Определение числа возможных матриц способом ручного перебора вариантов с учетом наложенных условий возможно лишь для небольших их размеров. Полученное в данной работе в рекурсивной форме выражение для количества возможных вариантов столбцов матриц формализует способ определения количества удовлетворяющих условиям (2) и (3) матриц. Данный результат позволил определить количество матриц для размеров, не допускающих ручной перебор вариантов. Кроме того,
представленная процедура перебора матриц позволяет не только определить количество, но и построить всевозможные матрицы, удовлетворяющие условиям (2) и (3) для заданного их размера. Такой подход более эффективен с точки зрения требуемого на это времени, чем перебор всевозможных матриц заданного размера и отбрасывание тех, которые не удовлетворяют условиям (2) и (3).
Литература
1. Новиков Д.А. Нечеткие сетевые системы комплексного оценивания / Д.А. Новиков, А.Л. Суханов // Проблемы информационной экономики, 2006. № 6.
2. Mesiar R. Aggregation operators / R. Mesiar, M. Komomikova // XI Conference on applied Mathematics PRIM’96, Herceg D., Surla K.(eds.), pages 193-211, 1997.
3. Камалетдинов М.Р. Система поддержки принятия решений для повышения эффективности управления региональными интеграционными процессами на основе механизмов комплексного оценивания / М.Р. Камалетдинов // Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук, Тюмень, 2006
4. Власова Е.А. Об определении числа матриц свертки при условиях тождественности, ограниченности изменений и монотонности комплексной оценки / Е.А. Власова // Инновации в сфере науки, образования и высоких технологий: 64-я всероссийская науч.-практ. конф. профессорско-преподавательского состава, научных работников и аспирантов, Воронеж, 2009.
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
ABOUT DEFINITION OF QUANTITY OF INITIAL MATRIXES OF CONVOLUTION S.A. Barkalov, E.A. Vlasova
Matrix systems complex оценивания impose a number of conditions on used matrixes of the convolution, named initial. Definition of set of admissible matrixes by search of every possible matrixes of the set size with the subsequent check of conformity to initial conditions is inefficient and is complicated by fast growth of quantity of matrixes with their size. In work procedure of transfer of initial matrixes is presented, and with its help in the recursive form expression for their quantity, allowed to define the size of set of initial matrixes for of some their sizes is received
Key words: a method, an estimation, system
