CC BY
34
ОБ ОПИСАНИИ ПЛАЗМЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ ПРОЗРАЧНЫХ ОПТИЧЕСКИХ СРЕД В ПОЛЕ ФЕМТОСЕКУНДНЫХ
ИМПУЛЬСОВ С.А. Козлов, А.А. Королев, С.А. Штумпф
Получены уравнения поляризационной динамики диэлектрических сред в поле интенсивных фемтосекундных импульсов, описывающие различные механизмы электронной нелинейности, включая генерацию свободных электронов. Выведено новое волновое уравнение, которое описывает нелинейную динамику поля излучения с континуумным спектром и учитывает индуцированную светом плазменную нелинейность вещества.
1. Введение
При изучении распространения фемтосекундных лазерных импульсов высокой интенсивности в прозрачных диэлектрических средах необходимо учитывать генерацию плазмы как в газах [1], так и в конденсированных средах [2].
Модели, которые описывают взаимодействие высокоинтенсивного электромагнитного поля с веществом, приводящее к генерации плазмы, хорошо известны из литературы. Например, туннельная и многофотонная ионизация описаны в [3, 4], лавинная ионизация - в [5], ударная ионизация - в [6]). Однако такие теоретические модели обычно разрабатывались для квазимонохроматического излучения "длинных" световых импульсов, и при анализе самовоздействия "коротких" фемтосекундных импульсов, важнейшим эффектом для которых является генерация спектрального суперконтинуума [1, 2], требуют переосмысления.
В настоящей работе приведены уравнения поляризационной динамики вещества, описывающие генерацию свободных электронов в поле фемтосекундных импульсов с широким спектром. Получено новое волновое уравнение, которое описывает динамику поля излучения с континуумным спектром и учитывает индуцированную светом плазменную нелинейность вещества.
2. Уравнения динамики поляризации вещества
2.1. Энергетическая модель "уровень + зона".
Рассмотрим вначале простейшую энергетическую модель вещества, которая позволяет описывать генерацию свободных электронов. Вещество будем считать состоящим из структурных единиц, обладающих одним дискретным (основным) уровнем энергии и зоной квазисвободного движения, в которой оптический электрон обладает спектром значений энергии, близким к сплошному. Модель иллюстрирована на рис. 1. Несмотря на внешнюю простоту такой модели среды, описание ее поляризационной динамики во внешнем поле не является тривиальной задачей. Поэтому при дальнейшем описании зоны квазисвободного движения электрона ограничимся самым простым учетом возможности изменения электроном своего энергетического состояния в зоне и ее квазинепрерывности: энергетическую зону будем рассматривать в виде двух близко расположенных дискретных уровней (см. рис. 1, на котором энергетический зазор между уровнями зоны НО является величиной, много меньшей энергетического расстояния между основным и возбужденным состояниями Йш1). Будем полагать, что между этими близко расположенными возбужденными состояниями переходы разрешены. Также разрешен переход на один из них (для определенности, на нижний) из основного состояния, тогда как на другой в силу определенной четности он запрещен.
Рис. 1. Простейшая энергетическая модель структурной единицы вещества, учитывающая возможность генерации в среде квазисвободных электронов
под воздействием светового поля
Материальные уравнения для получившейся трехуровневой системы с двумя разрешенными и одним запрещенным переходами даны, например, в работе [7]. Описывая среду трехуровневой моделью, приведенной на рис. 1, и полагая, что все спектральные компоненты излучения |©г.} лежат в диапазоне прозрачности среды,
причем ©1 >> ©г-, уравнения из [7] для поляризации Р = Р1 + Р2 можно привести к виду
I» + ©2Р1 = а1 Е + р1ЯЕ - 5Р1Е2 - ^ЕЕ - ^ЙЕ Р2 = а2 Ы2 Е + р2 ЙЕ + 5Р1Е2 + ^Е Е + СЙЕ Й + ©2 Я = уР1Е - п^Е - Ш12 Е2 N = -д^Е
(1)
_ N2 = ^Е
Здесь Е = Е(г, I) - электрическое поле световой волны, Й - эффективный осциллятор, не взаимодействующий непосредственно с полем, Ы12 = Ы1 - N-2^, N1 -населенность основного состояния, N - возбужденного состояния, переход в которое
разрешен в основное состояние,
©1 + 20
в2 =•
п
|2| |2 2|Р1^ |Р 23 |
п2
2ю, + 0, |2
У= -1- Р 23 =
а1 = 2©1
8 = -
Рг
п
а 2 = 20-
п
_ = 2©1 +0 Рг ='
|Р 23 |
п2 ©г( ©г+0)
п 1
п(©г + О)
п =
Р2
1
Р-
дипольный момент перехода между I и у
Й©; Й©;
состояниями, ©1 и О - частоты, соответствующие разрешенным переходам в системе (см. рис. 1). Изменение населенности третьего уровня, переходы на который из основного состояния запрещены, определяет нелинейность поляризационного отклика среды пятого порядка по полю. Если ограничиваться в данной модели учетом только кубичной по полю нелинейности, то можно положить N = 0, и, следовательно, N^0, так как в начальный момент времени населенность возбужденных состояний пренебрежимо мала по сравнению с населенностью основного.
При редукции динамических уравнений для поляризации, выведенных в [7], к системе (1) дополнительно к вышеупомянутым предположениям мы полагали, что световые импульсы очень короткие и/или взаимодействие нерезонансное, поэтому
2
2
Р
23
2
Р
23
2
п
2
возможно пренебречь релаксационными слагаемыми в системе материальных уравнений.
Отметим, что второе уравнение системы (1) является нелинейным обобщением уравнения классической теории свободного движения электрона [8]
Р = — Ж, (2)
т
где N - количество свободных электронов, е и т - их заряд и масса. Уравнения (1) учитывают, в отличие от (2), наличие связанного состояния.
2.2. Энергетическая модель "три уровня + зона".
На рис. 2. представлена более сложная, но более адекватная энергетическая модель вещества. Уровни 1-3 позволяют правильно описывать нерезонансную дисперсию кубичной электронной нелинейности поляризационного отклика диэлектрической среды [7, 9, 10]. Для учета плазменной нелинейности такую трехуровневую модель естественно дополнить рассмотренной выше зоной квазисвободного движения. Уравнения динамики поляризации среды Р = Р1 + Р2 + Р3 + Р4 с рассматриваемой энергетической структурой принимают вид
Р + и21Р1 = аД12Е + р1ЯЕ - 5Р1Е2 - ^рЕЕ - <;ЯЕ
Р2 + ю22Р2 = а2 N 23Е + р2 ЯЕ + 5Р1Е2 + ^рЕ Е + С^Е
Рз +®2п Рз =аз N 2а Е = eN а Е
Я + ш21Я = уР1Е — ПРР11Е -^12 Е2 ,
(3)
N = -д^Е
N2 = Д1рЕ -д 3Р3Е N3 = 0
= ^3рЕ
где Nij - разность населенностей г и ] состояний, ах = 2ю
Р
12
21
Й
р1 =
«21 + Ю31 Й
2 |
в = «31 + «32 у =
3 = -
2 Р12 Р
23
Й2
п =
Р
й |2
«21 + «31 Й
Р
23
5 =
Р
23
а2 = 2ю32 -
Й2
Й ю21ю32
с =
й 1
Йю,
23
Йю
Д1 =
21
Йю
д 3 =
21
Йю-,
Р-
дипольный момент перехода
между г и ] состояниями, ю21, ю31, ю32 - частоты, соответствующие переходам в
системе (см. рис. 2). Изменением населенности N3, описывающим электронную
нелинейность пятого порядка, которая не обусловлена генерацией свободных электронов, в (3) мы пренебрегли.
Система (3) представляет собой уравнения динамики поляризации трехуровневой среды [8, 10], расширенные системой (1), которая учитывает переход электронов в поле высокоинтенсивного излучения в квазисвободное состояние. При формулировке расширенной модели поляризационного отклика (3) мы полагали, что для анализа кубичных по полю ионизационных компонент поляризационного отклика вещества в уравнениях (1) достаточно сохранить лишь линейные члены (это вытекает из того, что населенность первого возбужденного состояния в модифицированной трехуровневой модели квадратична по полю). В силу этого рассмотрение эффективного осциллятора
2
2
2
Р
23
2
2
2
Р
23
1
1
й становится ненужным, и его можно исключить из системы. Очевидно, что индекс "1" в (1) заменяется на "2", т.к. именно состояние "2" является основным для ионизационной подсистемы, а обозначению N0 соответствует населенность Ы2 из (1) (соответствие разностей заселенностей аналогично).
Рис. 2. Трехуровневая модель оптической среды, дополненной зоной квазисвободного движения электронов
3. Уравнения динамики поля излучения
В работе [11] показано, что в изотропном диэлектрике с дисперсией показателя
преломления вида
п(ю) = п0 + саю2 + са1ю4 + к - сЬю 2 - сЬхю 4 -
(4)
где ю - частота излучения, с - скорость света в вакууме, п0, а, а¡, Ь, Ь] -феноменологические параметры среды, с помощью которых дисперсия адекватно задается практически во всем диапазоне прозрачности диэлектрика, динамику поля линейно поляризованного излучения с широким спектром, попадающим в область прозрачности среды, возможно описать уравнением
дЕ_ дz
- а д-ЕЕ- + а1 - к + Ь Г Е<т'-Ь1 Г <т' Г <т" Г Е<т"Ч... + = о, (5)
дт Яг
д5 Е дт5
2п дР
сп0 дт
п0
где 2 - направление распространения волны, т = t--2 - время в сопровождающей
с
световой импульс системе координат,
Рщ -
нелинейная часть поляризационного
отклика среды.
В нерезонансном приближении, используя итерационную процедуру, примененную, например, в работе [10], из материальных уравнений (3) для нелинейной поляризации можно получить выражение
Рщ = 8е 3 + (£п + £12) •Е \дЕ I + £2 •Е
д2 Е
- +
I 1
£3 • Г <т| Е 5(т ')<т ',
(6)
) 02 д12
где второе и третье слагаемое описывают дисперсию кубичной нелинейности поляризационного отклика среды, а четвертое - нелинейность плазменной природы;
|4 |2| |2 ,.1 |4 Л
£ =
22 4 Р12 Р2
'23
4|Р12 | - 2|Р12 | |Р
'20
4| Р 2о|'
(ЙШ21) (ЙШ-1) (ЙШ21) (ЙЮ21)(ЙЮ20) (^Ю21)(ЙЮ20)
2
N0;
т
т
т
т
2
2IPl2 Ы (_L_ + 1 )N0 g _ Jp^L + 2P12IIP23I (
3 2 3 3 3 1 12 4 3
h ®21®31 ®32®31 ®21®31®32 (h®21) (h®21) (йю32)
>1 Iе Л 141 I2 I I2 I |2
& ^^Е^___4Р"1 |Р2з| & = 3JP1^ |Р2а| 0ЛО.
2 (ЙЮ^)" (ЙЮ21)3(ЙЮ32) 1 3 8 (ЙЮ2!)2 (ЙЮ2П)2 1
прочие обозначения совпадают с введенными для системы (3).
Волновое уравнение (5) с учетом (6) принимает окончательный вид
§ " - д*+х(3) *2 ©3 + х23) * +
+ Х33)E2 Ц- + Х(5) JE 0
(7)
где х(3) _ бп§' х(3) _ 2п(g11 + g12) х(3) _ 4п(gll + gl2 + g2) х(3) _ 2ng2 х(5) _ 2ng3 1ДС /, — , Al — , Л2 — , Хз " i Л — •
cn0 cn0 cn0 cn0 cn0
В выведенном уравнении (7) второе слагаемое описывает дисперсию линейного показателя преломления среды (для простоты ограничиваемся учетом только двух слагаемых из дисперсионного соотношения (4)), третье - безынерционную часть кубичной нелинейности; четвертое, пятое и шестое характеризуют дисперсию кубичной нелинейности; последнее, седьмое слагаемое описывает индуцированную в поле высокоинтенсивного излучения плазменную нелинейность вещества.
Заключение
Построенная в настоящей статье расширенная система уравнений для поляризационного отклика диэлектрической среды включает, наряду с развернутым описанием дисперсии нелинейного показателя преломления, обусловленного нерезонансным взаимодействием световых импульсов со структурным элементом среды, также и описание нелинейности ионизационной природы, связанной с появлением свободных носителей заряда. В процессе построения модели удалось избежать использования приближения медленно меняющейся огибающей, что позволяет применять полученные выражения и для анализа импульсов, состоящих всего из нескольких колебаний светового поля. Полученное в работе новое волновое уравнение учитывает дисперсию как линейного, так и нелинейного поляризационного отклика, в том числе плазменную нелинейность среды.
Работа поддержана Американским фондом поддержки гражданских исследований CRDF (грант RP-2249), Российским фондом фундаментальных исследований (грант 01-02-17S41).
Литература
1. Chin S.L., Brodeur A., Petit S., Kosareva O.G., Kandidov V.P. Filamentation and supercontinuum generation during the propagation of powerful ultrashort laser pulses in optical media (white light laser) // J. Nonl. Opt. Phys. And Mater. 1999. V. S. №1. Р. 121-14б.
2. Brodeur A., Chin S.L. Ultrafast white-light continuum generation and self-focusing in transparent condensed media // J. Opt. Soc. Am. B. 1999. V. 1б. №4. Р. б37-б50.
3. Келдыш Л.В. Ионизация в поле сильной электромагнитной волны // ЖЭТФ. 19б4. Т. 47. С. 1945-1957.
4. Делоне Н.Б., Келдыш Л.В. Многофотонная ионизация атомов. М., 1970.
5. Аскарьян Г.А., Рабинович М.С. Лавинная ионизация среды под действием вспышки интенсивного света. ЖЭТФ. 19б5. Т. 4S. С. 290-294.
6. Келдыш Л.В. К теории ударной ионизации в полупроводниках // ЖЭТФ. 1965. Т. 48. С.1693-1707.
7. Азаренков А.Н., Альтшулер Г.Б., Козлов С.А. Нерезонансный нелинейный поляризационный отклик среды в поле предельно коротких световых импульсов // Оптика и спектроскопия. 1991. Т. 71. №2. С. 334-339.
8. Бутиков Е.И. Оптика. М.: Высш. шк., 1986. 512 с.
9. Азаренков А.Н., Альтшулер Г.Б., Белашенков Н.Р., Козлов С.А. Нелинейность показателя преломления лазерных твердотельных диэлектрических сред // Квантовая электроника. 1993. Т. 20. № 8.
10. Козлов С.А., Сазонов С.В. Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах // ЖЭТФ. 1997. Т. 111. С. 404-418.
11. Беспалов В.Г., Козлов С. А., Шполянский Ю.А. Метод анализа динамики распространения фемтосекундных импульсов с континуумным спектром в прозрачных оптических средах // Оптический журнал. 2000. Т. 67. №4. С. 5-11.
