CC BY
20
Здесь У1 — У2 — V . Возможны следующие случаи.
1°. Если 0 < V < —, то Л' = ЗS<^ '= 6, откуда в силу теоремы следует, что поверхность К 4
при неоднородном условии (7), (8) (а также при условии (7'), (8')) допускает нетривиальное б.м. изгибание класса Н0.
2°. Если — < V < 1, то Л' = Л' ^ " = 2. откуда следует, что поверхность К жестка в классе
Н° при условии (7), (8), но допускает нетривиальное б.м. изгибание класса Н ^ ,б'2 при том же условии.
Пример 2 (см [5], гл. 17). Купол К с тремя вертикальными и одним горизонтальным краями. Здесь—< V, < 1 {=1,...,6 . 2
В этом случае Л' = '= 6, откуда в силу теоремы 6 следует, что поверхность К при неоднородном условии (7), (8), а также при смещенном условии (7'), (8'), допускает нетривиальное б.м.
изгибание класса Н0 .
Рис. 2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Векуа И.Н. Системы дифференциальных уравнений 1-го порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением теории оболочек // Математический сб. 1952. Т. 31. № 2. С. 217-314.
2. Тюриков Е.В. Краевые задачи теории б.м. изгибаний поверхностей // Математический сборник. 1977. № 3 (7). С. 445-462.
3. Тюриков Е.В. Об одном расширенном классе б.м. изгибаний регулярных выпуклых поверхностей // Владикавказский математический журнал. 2005. Т. 7. № 1. С. 61-66.
4. Тюриков Е.В. Об одной граничной задаче теории б.м. изгибаний поверхнос // Владикавказский математический журнал. 2007. Т. 9. № 1. С. 62-68.
5. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Физматгиз, 1976.
6. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции М.: Физматгиз, 1959.
7. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1968.
М. А. Фридман
ОБ ОПЕРАЦИЯХ НАД ГРУППАМИ И НАД ПОЛУГРУППАМИ
В теории групп хорошо известны операции прямого и свободного умножения групп, позволяющие во многих случаях существенно упростить исследование групп, сводя его к исследованию свойств групп сомножителей. Так, например, прямые умножения групп позволили полностью описать класс абелевых групп с конечным числом образующих. Известная теорема Бэра и Леви утверждает, что никакая группа не может быть одновременно разложимой в свободные и в прямое произведение подгрупп, отличных от единичных. С другой стороны, несмотря на это существенное различие, эти операции обладают некоторыми общими свойствами, важными для использования при исследовании свойств групп. Так, они коммутативны и ассоциативны, заданные групп
А, ОС <Е I. изоморфно вложены в их свободные и прямое произведение, причем, что крайне
важно, порождает последние. Кроме этого, эти операции правильны в том смысле, что если
Пх А , - прямое произведение групп А ОС е /, а множество индексов / разбито на два непе-
ае/
ае/ " / изоморфны прямому про-
п
ресекающие подмножества / и /2, то фактор-группа
изведению П*Аа , ОС е /2 . Аналогично и для свободного произведения: если А^ = -
нормальный делитель группы П А , порояеденный подгруппой \\(У- е /, , то фактор-группа
ае/
п М
изоморфна группе п * А ■ Это так называемый усиленный постулат правильности,
в частном случае, когда множество / состоит из двух элементов, - постулат правильности).
Позднее были обнаружены и многие другие общие свойства прямых и свободных умножений групп.
Крупнейший советский алгебраист А.Г. Курош (1908-1971) в связи с той важной ролью в теории групп операций прямого и свободного умножений в 1937 году сформулировал задачу отыскания аналогичных теоретико-групповых конструкций и в случае существования последних -указать все такие операции и провести их классификацию [1], [2, 424-425].
Задачу о существовании таких умножений групп впервые решил О.Н. Головин, указавший и исследовавший счетную серию операций на классе групп, названных автором нильпотентными [3]-[6]. Вскоре известный ленинградский алгебраист Е.С. Ляпин указал еще одну операцию, отличающуюся от нильпотентных умножений [11], а автор этих строк построил и исследовал обширный класс новых таких операций [12]-[21], английский математик З. Моран ввел в рассмотрение и исследовал так называемые вербальные операции на классе групп, существенно обобщающие нильпотентные умножения [22]-[24]. Со временем стали появляться и многие другие операции. Сам О.Н. Головин определил и исследовал весьма обширный класс поливербальных операций над группами ([8]-[10]) включающий в себя многие известные операции.
Естественно возникла необходимость исследования методов построения таких операций. Было сформулировано само понятие точной операции на классе групп и с целью обозрения накопившихся к этому времени умножений групп был сформулирован ряд постулатов, которым удовлетворяют или не удовлетворяют исследуемые операции [6]. В частности, помимо упоминавшихся выше постулатов усиленной правильности, ассоциативности и коммутативности, рассматривались, наряду с другими, постулаты Мальцева и Маклейна, а также постулат о единичных сомножителях.
Определение точной операции на классе групп можно, согласно А.Г. Курошу, сформулировать следующим образом: рассматривается класс абстрактных групп, (т. е. изоморфные группы
отождествлены) операция ° сопоставляет каждому семейству групп Са (не обязательно различных), ае/, вполне определенную группу С — П Оа.
ае1
Отметим, что в случае конечного множества индексов , п пишут так же
О = о (72 о.. ,(7Л . Операция ° называется точной, если для всех ОС £ / заданы мономорфизмы
(ра : (] и —» (} . причем группа О порождается всеми подгруппами Оа(ра, ОС ^ 1. Постулат Мальцева (А.И. Мальцев (1911-1967) - выдающийся советский математик, автор фундаментальных работ во многих областях современной алгебры, математической логики): пусть Аа, ОС е /,
произвольно выбранные группы, Аа, ОС I. их подгруппы, соответственно, ° - точная операция
на классе групп. Тогда подгруппа е , а е / , порожденная подгруппами Аа, а е / , в группе
П Аа , является о - произведением подгрупп Аа,а е / , т. е. \Á, 6¡r е / ^ П Аи.
ае/ ael
Операцию °, удовлетворяющую постулату Мальцева, называют мальцевской. А.И. Мальцев высказал предложение о том, что единственными ассоциативными мальцев-скими точными операциями на классе групп являются классические операции прямого и свободного умножений. Эта гипотеза А.И. Мальцева подтвержденная для обширных классов точных операций, тем не менее оказалась ошибочной. Совсем недавно в очень глубокой и содержательной работе «Строго вербальные произведения групп и проблема А.И. Мальцева об операциях над группами», опубликованной в Трудах Московского математического общества (т. 54), построил пример точной ассоциативной мальцевской операции, отличающейся от прямого и свободного умножений. Отметим, что семействам мальцевских операций посвящена работа [30].
Постулат Маклейна (С. Маклейн (р. 1909 году) - американский математик, один из создателей гомологической алгебры и теории категорий) утверждает: если Н - нормальный делитель
группы Аа, Ct GI, Н - нормальный делитель, порожденный в группе П ° А подгруппами На,
йе/ а
т Ч°А"/ А. ТТ°А /
а е 1, то aeI Áj изоморфна П %j .
/ И ав1 / На
Операции удовлетворяющие постулату Маклейна, называют маклейновскими. Постулат о единичных сомножителях заключается в том, что удаление единичных множителей не влияет на точное произведение групп. Известно что операции прямого и свободного умножения групп являются не только коммутативными, ассоциативными, но также удовлетворяющими постулатам, отмеченным выше.
Отметим, что если группы А — IIх А и /•' = П А - прямое и свободное произведения
i/-- / а '/-i
групп Аа ,ае/, и через 4^(7) обозначена совокупность всех соотношений в каждой группе G и через D - декартова группа свободного произведения П Аа, т. е. подгруппа, порожденная
сге/
всеми коммутаторами üj а^ ar/a^(Х^ ft е /, а Ф ¡3, то группу А можно задать системой образующих U Аа и системой соотношений (J Т (Аа )<j4/ , где - совокупность всех СООТНОСИ/ a^I
шений ааРр - араа , ОС,/3 е / , ОС Ф [Í. а группу F относительно той же системы образующих систем отношений U х¥(Аа ) .
ае.1
Согласно определению точной операции °, в группе G — И А должны выполняться все
сге/
соотношения из и • Это означает, что 4-4(7) = и ^(А^ иФ, где Ф - некоторое множе-
ае/ '/■ /
ство отношений между образующими.
Непосредственный анализ показывает, что правильность точной операции означает включение Ф с , и при этом, разный выбор подмножеств Ф множества Ч' определяет разнообразные правильные точные операции, обязательно коммутативные и удовлетворяющие постулату о единичных сомножителях. Что же касается выполнимости других постулатов, то это определяется самим выбором множества отношений Ф .
Понятия операции и точной операции на классе групп естественным образом переносится на класс полугрупп: стоит только в соответствующих определениях термин «группа» заменить термином «полугруппа». Столь же естественно формулируются постулаты Мальцева, Маклейна усиленной правильности и правильности. Напомним их формулировки для точных операций.
Пусть на классе полугрупп задана операция °, сопоставляющая каждому семейству полугрупп Аа, а е /, полугруппу п ч . Говорят, что операция о , удовлетворяет:
ае!
а) усиленному постулату правильности - если для всякого семейства полугрупп А, ОС € I и разбиения множества индексов на два подмножества /, и /2, полугруппы \А\(У. £ /, и \рс е /2 не имеют общих элементов.
б) постулату Мальцева - если для любого семейства Аа, ОС е /, и любых их полугрупп соответственно полугруппа Д^ ,ае/ , полугруппы П совпадает с полугруппой П Аа ;
сге/ оге/
в) постулату Маклейна - если для любого семейства полугрупп Аа, ОС € I, конгруэнция р , порожденная в полугруппе П Аа, конгруэнциями ра, в полугруппах Аа, ОС € /, всегда
оге/
совпадает с конгруэнцией.
Как и в случае правильных точных операций над группами, полугруппа П Аа, ЯВЛЯЮ-
оге/
щаяся правильным точным произведением полугрупп Аа, ОС €Е I, может быть задана относительно системы образующих и Аа системой отношений и Ц/(Аа ) и Ф. где Ф - некоторое мно-
йге/ ае/
жество соотношений вида осаос» = ос»¡5а , ос,/3 е I, а Ф Р.
Определим, используя идеи задания Т -умножений и вербальных умножений групп, два класса точных операций над полугруппами.
Будем считать, что на классе полугрупп задан закон Т, выделяющий в каждой полугруппе А два подмножества Т (А) и Т2 (А), каждое из которых является характеристической, т. е. вы-
держивающей все автоморфизмы подполугруппой или пустым множеством. Пусть, далее, р = ("^у., ), V е М - некоторое множество пар слов свободной полугруппы 1¥х над счетным
алфавитом X— ,Л*2,... . Слова УРу и иу назовем уравновешенными, если количества вхож-
дений одних и тех же букв алфавита в каждое из них одинаково.
Для свободного произведения Р — П Аа семейства полугрупп обозначим через р ми-
ае/
нимальную конгруэнцию, порожденную в полугруппе Р бинарным отношением, состоящим из
всех пар значений слов м> , , V е М . получаемых подстановкой в них вместо одной и той же буквы алфавита любых элементов из 1\ (Аа ), СС £ / . и вместо остальных - любых элементов из
Т1(Ар)-,Ре1-4\,и] = 1,2;
Определение: Фактор-полугуппа Р/ называется Тр - произведением полугрупп А ,
/ Р
-I—г тр
ОС е I и обозначается через П Аа, а сама операция, сопоставляющая каждому семейству по-
аеI
лугрупп их Тр -произведение - Тр -умножением (Тр -операцией) полугрупп.
В работах [26] и [27] приводится ряд свойств Тр -умножений. В частности, устанавливает-
ся, что:
1) Тр -умножение является точной операцией на классе полугрупп;
2) Тр -умножение полугрупп удовлетворяет усиленному постулату правильности;
3) Тр -умножение полугрупп удовлетворяет постулату о склеиваенности автоморфизмов, утверждающему, что каждая система автоморфизмов (ра '. Аа —» Аа , ОС е /, продолжается до
автоморфизма Тр -произведения полугрупп Аа, ОС & Р Однако, соответствующее утверждение
для эндоморфизмов полугрупп неверно, о чем свидетельствует построенный пример.
Тем не менее, были найдены условия склеиваемости системы эндоморфизмов
(ри : Аа —» А(/_. а <Е 1. ъ эндоморфизм (р Тр -произведения полугрупп Аа, (X <Е 1\ для этого необходимо и достаточно, чтобы Тр -произведение полугрупп Аа было задано с помощью определяющих соотношений ^ Ч/(Аа ) ^ Ч^ . где ^Р - совокупность следствий системы из 1Р при
ае/
эндоморфизмах <ра. В частности, если для каждой полугруппы А и любого эндоморфизма
(р : А —> А справедливо включение 1] (А)(р а 1\(А). / = 1. 2, то Тр -умножение полугрупп удовлетворяет постулату о склеиваемости эндоморфизмов. Определим еще один класс операций над полугруппами (См. [8]). Пусть, как и ранее, Х= ,Л*2 ...,Л*л,... счетный алфавит,
хп(а) е М - некоторое множество слов в этом алфавите, А - полугруппа. Определение. Вербальной полугруппой У(А) полугруппы А называется полугруппа полугруппы А , порожденная «всеми значениями» У>а С^,- -, ап(а) всех слов Уа С] х„(а) ■ п0~ лучаемых при замене букв Хп(а^ произвольными элементами полугруппы А.
Непосредственно ясно, что вербальная подполугруппа характеристична (т. е. допускает все автоморфизмы полугруппы А).
В работе [28] установлено, что:
1) вербальное V -умножение является точной операцией на классе полугруппы;
2) вербальное V -умножение удовлетворяет усиленному постулату правильности;
3) вербальное V -умножение подчиняется постулату о склеиваемости автоморфизмов;
4) вербальное V -умножение удовлетворяет постулату Маклейна;
5) вербальное V -умножение тогда и только тогда удовлетворяет постулату Мальцева, когда она совпадает с операцией прямого или свободного умножения полугрупп.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Курош А.Г. Пути развития и некоторые очередные проблемы теории бесконечных групп. 1937. С. 5-15.
2. Курош А.Г. Теории групп. 3-е изд. М., 1967.
3. Головин О.Н. Об ассоциативных операциях на множестве групп: Докл. АН СССР, 1947, 58. № 7. C. 1257-1260.
4. Головин О.Н. Нильпотентные произведения групп // Математический сборник. 1950. 27(69) № 3. С. 427-454.
5. Головин О.Н. Метабелевы произведения групп // Математический сборник. 1951. 28(70) № 2. С. 431-444.
6. Головин О.Н. К вопросу об изоморфизме нильпотентных разложений группы // Математический сборник. 1951. 28(70) № 2. С. 445-452.
7. Головин О.Н. Политождественные соотношения в группах: Докл. АН СССР, 1962, 145. № 5. С. 967970.
8. Головин О.Н. Политождественные соотношения в группах и определяемые ими операции на классе всех групп: Тр. Моск. матем. общества, 1963. Вып. 12. С. 413-435.
9. Головин О.Н. Функторные операции на классе всех групп: Докл. АН СССР, 1963, 149. № 4. С. 42-45.
10. Головин О.Н. Структура поливербальных операций: Докл. АН СССР, 1963, 153. № 6. С. 12381241.
11. Ляпин Е.С. Полные действия в классах ассоциативных систем и групп // Уч. зап. Ленинград. пед. ин-та им. А.И. Герцена, 1949, 86. С. 93-106.
12. Фридман М.А. О полукоммутативных умножениях: Докл. АН СССР, 1956, 190. № 4. С. 740-712.
13. Фридман М.А. Полукоммутативные умножения групп и некоторые их свойства // Уч. зап. Глазов-ского пед. ин-та, 1956. Вып. 3. С. 112-142.
14. Фридман М.А. Условие ассоциативности полукоммутативного умножения любого множества групп // Уч. зап. Глазовского пед. ин-та, 1956. Вып. 3. С. 143-148.
15. Фридман М.А. Элементы конечного прядка, центр полукоммутативного произведения. Решение проблемы тождества для полукоммутатиивных произведений групп // Уч. зап. Глазовского пед. ин-та, 1956. Вып. 3. С. 155-167.
16. Фридман М.А. Конкретные ассоциативные коммуникативные умножения групп // Уч. зап. Гла-зовского пед. ин-та, 1956. Вып. 3. С. 168-183.
17. Фридман М.А. К одному вопросу о вполне правильных операциях на классе групп // Усп. матем. наук. 1959, 14. № 3. С. 181-183.
18. Фридман М.А. О коммутанте полукоммутативного произведения групп // Уч. зап. Глазовского пед. ин-та, 1959. Вып. 6. С. 53-56.
19. Фридман М.А. Распространение одной теоремы Бэра и Леви на полукоммутативные умножения групп // Уч. зап. Глазовского пед. ин-та, 1956. Вып. 6. С. 67-71.
20. Фридман М.А. Несколько новых классов конкретных ассоциативных Г-умножений групп // Усп. матем. наук. 1961, 16. № 2 (98). С. 207.
21. Фридман М.А. Два класса конкретных ассоциативных Г-умножений: Докл. и сообщения науч. конф. физ.-мат. и естественных ф-тов Удмурдского пед. ин-та. Ижевск, 1965. С. 36-41.
22. Moran S. Associative operations on groups. Proc. London Mat. Soc. I - (3), 1956. (6) № 24. S. 581-596. II - (3), 1958. 8, № 32. S. 548-568. III. - (3), 1959. 9, № 34. S. 287-317.
23. Moran S. Note on a guestion of Malcew. - Bull. Acad. Polonaise Sciences, Ser. Sciences math., astr. et phijs., 1961. 9, № 12. S. 853-855.
24. Moran S. Properties of ^-multiplications u N -multiplications. J. London, math. Soc., 1961. S. 36, 193210.
25. Головин О.Н., Бронштейн М.А. Аксиоматическая классификация точных операций / Избр. вопросы алгебры и логики. Новосибирск, 1973. С. 40-96.
26. Широков А.С. Об операциях на классе полугрупп // Математические модели физических процессов и их свойства: Сб. науч. тр. Таганрог, 1999. С. 59-60.
27. Широков А.С. О некоторых точных операциях на классе полугрупп // Сборник научных работ преподавателей и аспирантов математических кафедр ТГПИ. Таганрог, 1999. С. 71-77.
28. Фридман М.А. О вербальных операциях над полугруппами / Математические модели физических процессов: Сб. науч. тр. Таганрог, 2003. С. 121-127.
29. Генов Г.К. Новые семейства мальцевских операций // Мат. сб. 1968. 77 (119). № 3. С. 437-460.
