CC BY
9
Том 28, № 141
НАУЧНАЯ СТАТЬЯ © Фомин В.И., 2023
DOI 10.20310/2686-9667-2023-28-141-68-89 УДК 517.983.6
2023
»3
OPEN /71 ACCESS
Об операторных функциях операторного переменного
Василий Ильич ФОМИН
ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33
Аннотация. Рассмотрено семейство операторных функций, для которых область определения и область значений включены в вещественную банахову алгебру ограниченных линейных операторов, действующих в вещественном банаховом пространстве. Такие функции находят применение при изучении линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Изучены известные операторные функции: экспонента, синус, косинус, гиперболический синус, гиперболический косинус, определяемые суммами соответствующих операторных степенных рядов. Для функций синус, косинус, гиперболический синус, гиперболический косинус указаны формулы сложения, из которых следуют формулы преобразования произведения операторных тригонометрических функций и операторных гиперболических функций в сумму, формулы преобразования суммы и разности одноименных операторных тригонометрических функций и одноименных операторных гиперболических функций в произведение. Доказано основное операторное гиперболическое тождество. Введены понятия следующих операторных функций: тангенс, котангенс, секанс, косеканс, гиперболический тангенс, гиперболический котангенс, гиперболический секанс, гиперболический косеканс. Доказаны периодичность операторных тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс и формулы приведения для них. Найдены взаимосвязи между операторными функциями тангенс и котангенс, гиперболический тангенс и гиперболический котангенс. Указано одно полезное применение полученных операторных тригонометрических формул: доказано, что операторные функции Yi(t) = sin Bt, Y2 (t) = cos Bt бесконечно дифференцируемы на R; найдены формулы для производных любого порядка этих функций.
Ключевые слова: операторная показательная функция, операторные тригонометрические функции, периодичность операторных тригонометрических функций, формула приведения, операторный секанс, операторный косеканс, операторные гиперболические функции, основное операторное гиперболическое тождество, операторный гиперболический секанс, операторный гиперболический косеканс
Для цитирования: Фомин В.И. Об операторных функциях операторного переменного // Вестник российских университетов. Математика. 2023. Т. 28. № 141. С. 68-89. DOI 10.20310/2686-9667-2023-28-141-68-89.
SCIENTIFIC ARTICLES © V. I. Fomin, 2023
DOI 10.20310/2686-9667-2023-28-141-68-89
About operator functions of an operator variable
Vasiliy I. FOMIN
Derzhavin Tambov State University 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation
Abstract. A family of operator functions for which the domain and the range of values are included in the real Banach algebra of bounded linear operators acting in a real Banach space is considered. Such functions find application in the study of linear differential equations in a Banach space. Known operator functions are studied: exponential, sine, cosine, hyperbolic sine, hyperbolic cosine determined by the sums of the corresponding operator power series. For the functions of sine, cosine, hyperbolic sine, hyperbolic cosine, addition formulas are indicated, from which there follow the formulas for transforming the product of operator trigonometric functions and operator hyperbolic functions into a sum as well as those for transforming the sum and difference of operator trigonometric functions of the same name and operator hyperbolic functions of the same name into a product. The basic operator hyperbolic identity is proved. The concepts of the following operator functions are introduced: tangent, cotangent, secant, cosecant, hyperbolic tangent, hyperbolic cotangent, hyperbolic secant, hyperbolic cosecant. The periodicity of operator trigonometric functions of sine, cosine, tangent, cotangent, and the reduction formulas for them are proved. Relationships between operator functions of tangent and cotangent, hyperbolic tangent and hyperbolic cotangent are found. One useful application of the obtained operator trigonometric formulas is pointed out: it is proved that the operator functions Yi(t) = sinBt, Y2(t) = cosBt are infinitely differentiable on R; formulas for the derivatives of any order of these functions are found.
Keywords: operator exponential function, operator trigonometric functions, periodicity of operator trigonometric functions, reduction formula, operator secant, operator cosecant, operator hyperbolic functions, basic operator hyperbolic identity, operator hyperbolic secant, operator hyperbolic cosecant
Mathematics Subject Classification: 47A60
For citation: Fomin V.I. About operator functions of an operator variable. Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika = Russian Universities Reports. Mathematics, 2023, vol. 28, no. 141, pp. 68-89. DOI 10.20310/2686-9667-2023-28-141-68-89. (In Russian, Abstr. in Engl.)
Введение
Пусть Е — вещественное банахово пространство; /, О — тождественный и, соответственно, нулевой операторы в пространстве Е; ¿(Е) — вещественная банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих из Е в Е;
СДЕ) = {А € Ь(Е) : ЗА-1 € Ь(Е)}.
В данной статье рассматриваются операторные функции со значениями в алгебре Ь(Е). Такие функции широко используются при изучении линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (см., например, [1-4]).
Рассмотрим следующие семейства операторных функций:
5(К, Ь(Е)) = {/ : К Э Д/) АЯ(/) С Ь(Е)}, (0.1)
5(Ь(Е), Ь(Е)) = {/ : Ь(Е) Э Я(/) АД(/) С Ь(Е)}. (0.2)
Примерами операторных функций из семейства (0.1) являются следующие функции, определенные на К:
операторная экспонента (см. [2, с. 41])
= ^ -ГА;
6 ^ к! ; к=0
операторные тригонометрические функции (см. [5,6])
те -2к+1в2к+1 те -2к в2к
- в-=е<-1>к то-; со* В-=^(-1)к-щт
к—0 к—0
(здесь А, В — фиксированные операторы из алгебры Ь(Е)).
Простейшими примерами операторных функций из семейства (0.2) являются следующие функции, определенные на Ь(Е): операторная степенная функция Хп, п € N операторная рациональная функция
Р„(Х) = Ао Хп + А-ХП-1 + ... + А„--Х + А„,
где п € N А^ е Ь(Е) для всех г = 0,п, А0 = О; в частности, при А^ = а^/, а^ е К для всех г = 0,п, а0 = 0 получаем операторную рациональную функцию с вещественными коэффициентами
Рп (X) = а0Хп + а^-1 + ... + а^Х + а„/.
Приведем примеры операторных функций из семейства (0.2), определяемых суммами сходящихся операторных степенных рядов.
те
Пусть степенной ряд ^ Ск-к с вещественными коэффициентами сходится при любом
к=0
те
- е К. Тогда при любом X € Ь(Е) ряд ^ СкXк сходится и его сумма принадлежит
к=0
алгебре Ь(Е) (см. [7, с. 48]). Ряды Маклорена
те -к те -2к+1 те -2к те -2к+1 те -2к Х^к!, (-1) (2к + 1)!, (-1) (2к)!, (2к + 1)!,
к!' ^ у (2к + 1)!' ^ М2к)!' ^(2к + 1)!' ^(2к)!
к=0 к=0 ' к=0 ' к=0 ^ ' к=0 ^ '
соответственно функций eb, sin t, cos t, sht, ch t сходятся при любом t G R. Следовательно, ряды
^ vk ^ v2k+1 ^ v2k ^ v2k+1 ^ v2k
V — Vr i^k X x^tukA_ V—_ y X (03)
^ k! , ^r ) (2k + 1)!, ^ ) (2k)!, ^ (2k + 1)!, ^ (2k)! K J
k=0 k=0 ' k=0 ' k=0 ' k=0 ^ '
сходятся и их суммы принадлежат алгебре L(E). Это позволяет определить на L(E) следующие операторные функции, принадлежащие семейству (0.2): экспоненциальная функция (см. [8, с. 127])
vk
ех = у- X_.
e ^ k! . k=0
тригонометрические функции (см. [8, с. 132])
X 2k+! ^ X 2k
sinX = TV-i)k,„, , ,ч,; cosх = Y>i)k •
-=O 'r2k+ir t; ' w
гиперболические функции (см. [8, с. 132])
sh х = V -X-гг; ch X = V X
Z—' (2k + 1)!' Z—'
Заметим, что
k=o (2k + 1)!' -=0 (2k)!
eO = I; (0.4)
sin O = O, cos O = I; (0.5)
sin(-X) = - sinX, cos(-X) = cos X; (0.6)
sh O = O, ch O = I; (0.7)
sh (-X) = -sh X, ch (-X) = ch X. (0.8)
Каждый из рядов (0.3) сходится абсолютно (это утверждение доказывается с помощью первого признака сравнения и признака Даламбера сходимости знакоположительных рядов, при этом используется неравенство ||Xn|| <||X||n, n G N).
Известно (см. [8, с. 126]), что из абсолютной сходимости ряда с членами из алгебры L(E) следует его сходимость. В силу этого сходимость рядов (0.3) следует из их абсолютной сходимости (напомним, что сходимость рядов (0.3) была уже доказана выше).
В силу теоремы о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда (см. [9, с. 130]) справедливо соотношение (см. [8, с. 132])
eX = sh X + ch X. (0.9)
В силу (0.8), (0.9)
e-X = -sh X + ch X. (0.10)
Из (0.9), (0.10) следуют равенства
eX _ e-X pX + p—X
sh X = e-—, ch X = e + e . (0.11)
Укажем, как операторы из алгебры Ь(Е), определяемые суммами сходящихся рядов, действуют в пространстве Е. Пусть ряд
£ Fk (0.12)
к=1
с членами из алгебры Ь(Е) сходится и его сумма Б принадлежит Ь(Е). По определению,
п
это означает, что последовательность частичных сумм Бп = ^ Ек, п Е М, ряда (0.12)
к=1
сходится к Б (речь идет о сходимости по норме алгебры Ь(Е)). Известно (см. [8, с. 127]), что из сходимости последовательности с членами из алгебры Ь(Е) следует ее поточечная сходимость (в иной терминологии сильная сходимость). В силу этого для любого х Е Е
Snx ^ Sx. (0.13)
Заметим, что
n
БпХ = (^ Ек) х = ^ Екх к=1 к=1
является п -й частичной суммой ряда
те
£ Екх. (0.14)
к=1
Следовательно, в силу (0.13) ряд (0.14) сходится и его сумма равна Бх :
те
Бх = ^^ х.
к=1
Например, операторы
те Л к те о2к+1 те д2к
= £ Ж• -В = £("Чк(#2+^■ «евв = £(-1)к
к=0 к=0 ' к=0 ^ '
(здесь А, В Е Ь(Е); А, В фиксированы) действуют в пространстве Е соответственно по правилу: для любого х Е Е
Ак х те В2к+1х те В2 к х
А ^ ^ А х , . V ^ Л , .. к в х , V ^ Л , .. к в х
Е-кГ. B)x = £(-1%TIjí. (C0SB)x = B-1>' (2k)!
k=0 k=0 4 ' k=0 4 '
1. Основные понятия
Операторные функции tgX, ctgX операторного переменного X Е L(E) определяются равенствами
tg X = sin X cos-1 X, ctg X = cos X sin-1 X,
где cos-1 X = (cos X)-1, sin-1 X = (sinX)-1 — обратные операторы соответственно для операторов cos X, sin X.
Области определения этих функций имеют вид
D(tgX) = {X Е L(E) : cosX Е GL(E)},
D(ctgX) = {X G ) : sinX G GL(E)}.
Заметим, что
D(tgX) П D(ctgX) = {X G L(E) : sinX, cos X е GL(E)}. Покажем, что
D(tgX) = 0, D(ctgX) = 0, D(tgX) П D(ctgX) = 0. (1.1)
Пусть
п
Mi = {a G R : a = 2 + nm, m G Z}, M2 = {a G R : a = nm, m G Z}. Заметим, что Mi, M2 являются областями определения скалярных функций tg a, ctg a.
п
Определим множество M = Mi П M2 = {a G R : a = — k, k G Z}.
Лемма 1.1. Справедливы включения
aI G D(tgX), Va G Mi; (1.2)
aI G D(ctgX), Va G M2; (1.3)
aI G D(tgX) П D(ctgX), Va G M. (1.4)
Доказательство. Используя определения функций sin X, cos X и равенство In = I, n G N, получаем
sin(aI) = I sin a, Va G R; (1.5)
cos(aI) = I cos a, Va G R. (1.6)
Из равенства (1.6) следует, что существует
cos-i(aI) = 1, Va G Mi, (1.7)
cos a
значит, определен tg(aI) = sin(aI)cos-i(aI). Включение (1.2) доказано. Далее, из равенства (1.5) видно, что существует
sin-i(aI) = 1, Va G M2, (1.8)
sin a
следовательно, определен ctg(aI) = cos(aI) sin-i(aI). Включение (1.3) доказано. Включение (1.4) следует из (1.2), (1.3). □
В силу леммы 1.1 справедливы соотношения (1.1). В силу (1.5)-(1.8)
tg(aI) = I tg a, Va G Mi; ctg(aI) = I ctg a, Va G M2.
В силу (0.5), (0.6)
tg O = O, O GD(ctg X), tg(-X) = - tg X, ctg(-X) = - ctg X.
Пусть X Е Ь(Е), г > 0. Обозначим через Ог(X) = (Я Е Ь(Е) : ||Я - X|| < г} открытый шар в пространстве Ь(Е) с центром X Е Ь(Е) радиуса г.
Известно (см. [10, с. 229]), что множество СЬ(Е) открыто: если Р0 Е СЬ(Е), то
O||Fo-i||-i(Fo) С GL(E). Пусть a G Mi, а фиксировано. В силу (1.7) Aa = cos(a/) G GL(E). Следовательно,
O||A-i||-i(A„) С GL(E).
Из (1.7) следует, что
HA-1!!"1 = | cos a|. (1.9)
Учитывая равенства (1.6), (1.9), имеем
O| cosa|(1 cos a) С GL(E). (1.10)
Положим
Pa = {F G L(E) : H cos F — I cos aH < | cos a|},
т. е.
Pa = {F G L(E) : cos F G O| cosa|(1 cos a)}. В силу включения (1.10)
cos F G GL(E), VF G Pa.
Таким образом,
Pa С D(tgX), Va G Ml. (1.11)
В частности, множество Po = {F G L(E) : || cos F — 11| < 1} включено в D(tgX). Аналогично для множества
Qa = {F G L(E) : || sin F — 1 sina|| < | sina|}
показывается, что
Qa С D(ctgX), Va G M2. (1.12)
В частности, множество Qп = {F G L(E) : || sin F — 11| < 1} включено в D(ctgX). Операторные функции sec X, cosec X определяются равенствами
sec X = cos-1 X; cosec X = sin-1 X.
Заметим, что
D(sec X ) = D(tg X), D(cosec X ) = D(ctg X), (1.13)
следовательно, в силу (1.2)-(1.4)
al G D(sec X), Va G M1;
al G D(cosecX), Va G M2; al G D(sec X) П D(cosecX), Va G M.
В силу (1.7), (1.8)
sec(aI) = I sec a, Va G Mi; cosec (aI) = I cosec a, Va G M2.
В силу (0.5), (0.6)
sec O = I, O G D(cosec X), sec(-X) = sec X, cosec(-X) = —cosec X. Заметим, что
cos X sec X = I, sin X cosec X = I, tg X = sin X sec X, ctg X = cos X cosec X.
В силу (1.11)-(1.13)
Pa С D(secX), Va G Mi; Qa С D(cosec X), Va G M2. Операторные гиперболические функции th X, cth X определяются равенствами
th X = sh X ch-i X; cth X = ch X sh-i X,
где ch-i X = (chX)-i, sh-i X = (shX)-i — обратные операторы соответственно для операторов ch X, sh X. Для этих функций
D(thX) = {X G L(E) : chX G GL(E)},
D(cthX) = {X G L(E) : shX G GL(E)}.
Заметим, что
D(thX) П D(cthX) = {X G L(E) : shX, chX G GL(E)}.
Приведем утверждение, из которого следует, что
D(thX) = 0, D(cthX) = 0, D(thX) П D(cthX) = 0. (1.14)
Лемма 1.2. Справедливы включения
aI G D(thX), Va G R; (1.15)
aI G D(cthX), Va G R, a = 0; (1.16)
aI G D(thX) П D(cthX), Va G R, a = 0. (1.17)
Доказательство. В силу (0.11)
sh (aI) = 2-i(ea1 — e-a/), Va G R; (1.18)
ch (aI) = 2-i(ea1 + e-a/), Va G R. (1.19)
Используя определение функции eX, получаем
ea1 = eaI, e-a1 = e-aI, Va G R. (1.20)
В силу (1.18)-(1.20)
sh(a/) = / sh а, Va G R; (1.21)
ch(a/) = / ch а, Va G R. (1.22)
Заметим, что
sh а = 0, Va G R, а = 0; (1.23)
ch а = 0, Va G R. (1.24)
Из (1.22), (1.24) видно, что существует
ch-1 (а/) = -1-/, Va G R, (1.25)
ch а
следовательно, определен th (а/) = sh (а/)ch-1(a/). Включение (1.15) доказано. Далее, в силу (1.21), (1.23) существует
sh-1(a/) = -^-/, Va G R, а = 0, (1.26) sh а
значит, определен cth(a/) = ch (а/)sh-1(a/). Включение (1.16) доказано. Включение
(1.17) следует из (1.15), (1.16). □
В силу леммы 1.2 справедливы соотношения (1.14). В силу (1.21), (1.22), (1.25), (1.26)
th (а/) = / th а, Va G R;
cth(a/) = / cthа, Va G R, а = 0.
В силу (0.7), (0.8)
th O = O, O G D(cthX), th(—X) = -th X, cth(-X) = - cthX.
При любом a G R определим множество Ua = {F G L(E) : ||chF — /cha| < |cha|}. По аналогии с включением (1.11) получаем
Ua С D(thX), Va G R. (1.27)
В частности, множество Uo = {F G L(E) : ||chF — /1| < 1} включено в D(thX).
Для произвольного a G R, a = 0, положим Va = {F G L(E) : ||sh F — /sha| < |sha|}. По аналогии с включением (1.12) имеем
Va С D(cthX), Va G R, a = 0. (1.28)
В частности, множество Varsh1 = {F G L(E) : ||shF — /1| < 1} включено в D(cthX). Операторные гиперболические секанс и косеканс определяются равенствами
sech X = ch-1 X; cosech X = sh-1 X.
Заметим, что
D(sech X) = D(th X), D(cosech X) = D(cth X), (1.29)
следовательно, в силу (1.15)-(1.17)
a/GD(sech X), Va G R;
a/GD(cosechX), Va gR, a = 0; a/ G D(sechX) П D(cosechX), Va G R, a = 0. В силу (1.25), (1.26)
sech (a/) = / sech a, Va G R; cosech (a/) = / cosech a, Va G R, a = 0.
В силу (0.7), (0.8)
sech O = /, O G D(cosech X), sech (—X) = sech X, cosech(-X) = —cosech X. Заметим, что
В силу (1.27)-(1.29)
ch X sech X = /, sh X cosech X = /.
Ua С D(sech X), VaG R; Va С D(cosechX), Va G R, a = 0.
2. Основные результаты
Справедливо основное свойство экспоненциальной функции (см. [2, с. 41])
еХ1+Х2 = еХ1 еХ2, (2.1)
длю любых Х^Х2 С ), удовлетворяющих условию
Х1Х2 = Х2Х1. (2.2)
Используя равенства (0.4), (2.1), приходим к выводу: при любом фиксированном X G L(E) существует (eX) = e X, т. е. eX G GL(E). Таким образом, область значений R(eX) функции eX является подмножеством множества GL(E) С L(E), следовательно, R(eX) = L(E), т. е. функция eX не является сюръективной. Заметим, что любой оператор F G L(E) \ GL(E) не принадлежит множеству R(eX). Например, O G R(eX), т. е. функция eX не имеет нулей: eX = O для любого X G L(E).
Рассмотрим в алгебре L(E) подалгебру S = {a/ : a G R} скалярных операторов. Заметим, что подалгебра S коммутативна. Выделим в S множество S+ = {в/ : в > 0} положительных скалярных операторов. Справедливо включение S+ С R(eX), ибо для любого в1 G S+, используя (1.20), получаем
e1 ln e = eln e / = в/.
Попутно показано, что натуральный логарифм положительного скалярного оператора в/ имеет вид 1п(в/) = / ln в.
Используя теорему 61 из [9, с. 138] при B : L(E) х L(E) ^ L(E), B(FbF2) = fif2, получаем
Следствие 2.1. Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с членами из алгебры L(E) является абсолютно сходящимся рядом и его сумма равна произведению сумм перемножаемых рядов.
С помощью следствия 2.1 доказываются некоторые формулы операторной тригонометрии (см. [11]). Например, основное операторное тригонометрическое тождество
sin2X + cos2X = 1, VX G L(E);
формулы сложения
sin(X1 + X2) = sin X1 cos X2 + cos X1 sin X2, (2.3)
cos(X1 + X2) = cos X1 cos X2 — sin X1 sin X2 (2.4)
для любых X1 ,X2 G L(E), удовлетворяющих условию (2.2).
В силу (2.3), (2.4) справедливы формулы для операторных тригонометрических функций двойного аргумента: для любого X G L(E)
sin 2X = 2 sin X cos X, cos 2X = cos2 X — sin2 X.
В силу (0.6), (2.3), (2.4)
sin(X1 — X2) = sin X1 cos X2 — cos X1 sin X2, (2.5)
cos(X1 — X2) = cos X1 cos X2 + sin X1 sin X2. (2.6)
Из (2.3)-(2.6) следуют формулы преобразования произведения операторных тригонометрических функций в сумму:
sin X1 cos X2 = 1 [sin(X1 + X2) + sin(X1 — X2)], (2.7)
cos X1 cos X2 = 1 [cos(X1 + X2) + cos(X1 — X2)], (2.8)
sin X1 sin X2 = 1 [cos(X1 — X2) — cos(X1 + X2)]. (2.9)
Из (2.7)-(2.9) следуют формулы преобразования суммы и разности одноименных операторных тригонометрических функций в произведение:
X1 + X2 X1 — X2 sin X1 + sin X2 = 2 sin---cos---, (2.10)
X1 — X2 X1 + X2
sin X1 — sin X2 = 2 sin-cos-, (2.11)
1 — 2 2 2
X1 + X2 X1 — X2 cos X1 + cos X2 = 2 cos---cos---, (2.12)
X1 — X2 X1 + X2 cos X1 — cos X2 = —2 sin---sin---. (2.13)
Напомним, что формулы (2.3)-(2.13) справедливы при выполнении условия (2.2). Покажем периодичность операторных тригонометрических функций.
Теорема 2.1. Для любого m Е Z, m = 0, справедливы равенства
sin(X + 2nm1) = sinX, VX Е L(E); (2.14)
cos(X + 2nm1) = cos X, VX Е L(E); (2.15)
tg(X + nml)=tgX, VX Е D(tgX); (2.16)
ctg(X + nml) = ctgX, VX Е D(ctgX). (2.17)
Доказательство. Операторы X, 2nm1 коммутируют между собой, следовательно, в силу (2.3), (2.4)
sin(X + 2nm1) = sin X cos(2nm/) + cos X sin(2nm/), (2.18)
cos(X + 2nm1) = cos X cos(2nm/) — sin X sin(2nm/). (2.19)
В силу (1.5), (1.6)
sin(2nm/) = O, cos(2nm/) = I. (2.20)
Из соотношений (2.18)-(2.20) следуют равенства (2.14), (2.15).
Покажем справедливость равенств (2.16), (2.17). В силу (2.3), (2.4)
sin(X + nml) = sin X cos(nm/) + cos X sin(nm/), (2.21)
cos(X + nml) = cos X cos(nm/) — sin X sin(nm/). (2.22)
В силу (1.5), (1.6)
sin(nml) = O, cos(nml) = (—1)m1. (2.23)
В силу (2.21)-(2.23)
sin(X + nm1) = (—1)m sin X, (2.24)
cos(X + nml) = (—1)m cos X, (2.25)
следовательно, существуют
sin-1 (X + nm1) = (—1)-msin-1 X, VX Е D(ctgX); (2.26)
cos-1(X + nm1) = (—1)-mcos-1 X, VX Е D(tgX). (2.27)
Из (2.27) видно, что для любого X Е D(tgX) определен
tg(X + nml) = sin(X + nml) cos-1(X + nml),
т. е. X + nml Е D(tgX). Из (2.26) следует, что для любого X Е D(ctgX) определен
ctg(X + nml) = cos(X + nml) sin-1(X + nml),
т. е. X + nml Е D(ctgX). В силу (2.24), (2.27) для любого X Е D(tgX) получаем
tg(X + nml) = (—1)m sinX ■ (—1)-m cos-1 X = sinX cos-1 X = tgX;
а для любого X Е D(ctg X) в силу (2.25), (2.26) имеем
ctg(X + nml) = (—1)m cosX ■ (—1)-m sin-1 X = cos X sin-1 X = ctgX.
Равенства (2.16), (2.17) доказаны. □
В качестве основного периода берется для функций sin X, cos X оператор T1 = 2nI, для функций tg X, ctg X оператор T1 = пI.
Покажем, что для операторных тригонометрических функций справедливы стандартные формулы приведения.
Теорема 2.2. Для любого X Е L(E)
sin (X + ni) = - sinX, cos (X + ni) = - cos X, (2.28)
п п
sin (X + -I) = cos X, cos (X + -I) = - sinX. (2.29)
Для любого X Е D(tgX) П D(ctgX)
п п
tg (X + -1) = - ctg X, ctg (X + -1) = - tg X. (2.30)
Доказательство. Формулы (2.28) следуют из (2.24), (2.25) при m =1. Покажем справедливость формул (2.29). В силу (2.3), (2.4)
sin (X + ) = sin X cos () + cos X sin (), (2.31)
cos (X + ) = cos X cos () - sin X sin(). (2.32)
В силу (1.5), (1.6)
(п ) (п )
sin (-1) = I, cos (-I) = O. (2.33)
Из соотношений (2.31)-(2.33) следуют формулы (2.29).
Убедимся в справедливости формул (2.30). Пусть X Е D(tgX)ПD(ctgX). Из равенств (2.29) видно, что существуют
sin-1 (X + -1) = cos-1 X, (2.34)
,-Wv I п A
cos ~ (X + -I) = - sin-1 X. (2.35)
п 2
В силу (2.35) определен tg(X + nI) = sin(X + fI) cos-1(X + fI), т. е.
п
X + п/ G D(tgX). (2.36)
Из (2.34) видно, что определен ctg(X + п/) = cos(X + п/) sin-1(X + п/), т. е.
п
X + ^/ G D(ctgX). (2.37)
п
В силу (2.36), (2.37) X + -/ G D(tgX) П D(ctgX). Из соотношений (2.29), (2.34), (2.35) следуют формулы (2.30). □
Для любого X G D(tg X) П D(ctg X) справедливо тождество
tg X ctg X = /. (2.38)
Действительно, используя сочетательное свойство Fi(F2F3) = (FiF2)F3 алгебры L(E), получаем
tg X ctg X = (sin X cos-1 X )(cos X sin-1 X) = sin X (cos-1 X (cos X sin-1 X))
= sinX((cos-1 X cos X) sin-1 X) = sinX(1 sin-1 X) = sin X sin-1 X = 1.
Тождество (2.38) доказано.
Известно (см. [8, с. 141]), что если F1,F2 Е GL(E), то F1F2 Е GL(E) и
(F1F2 )-1 = F-1F-1. (2.39)
Используя формулу (2.39), получаем для любого X Е D(tgX) П D(ctgX)
ctg-1 X = (cos X sin-1 X )-1 = sin X cos-1 X = tg X, tg-1 X = (sin X cos-1 X )-1 = cos X sin-1 X = ctg X,
т. е.
tg X = ctg-1 X, ctg X = tg-1 X. (2.40)
В дальнейшем понадобятся следующие равенства:
eXe-X = e-XeX = 1, VX Е L(E); (2.41)
(A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 (2.42)
для любых A, B Е L(E), удовлетворяющих условию AB = BA.
Некоторые соотношения для скалярных гиперболических функций переносятся на операторные гиперболические функции.
Справедливо основное операторное гиперболическое тождество: для любого X Е L(E)
ch2X — sh2X = 1. (2.43)
Действительно, используя соотношения (0.11), (2.1), (2.41), (2.42), получаем
ch2 X = 4-1(e2X + 21 + e-2X), sh2 X = 4-1(e2X — 21 + e-2X),
откуда следует тождество (2.43).
Для любого X Е D(thX) П D(cthX)
th X cth X = 1; (2.44)
th X = cth-1 X, cth X = th-1X. (2.45)
Доказательство тождества (2.44) аналогично доказательству соотношения (2.38). Справедливость равенств (2.45) проверяется аналогично тому, как были получены соотношения (2.40).
Для любых X1 ,X2 Е L(E), удовлетворяющих условию (2.2), справедливы формулы сложения:
sh(X1 + X2) = sh X1ch X2 + ch X^h X2, (2.46)
ch(X1 + X2) = ch X1ch X2 + sh X1sh X2. (2.47)
Доказательство формул (2.46), (2.47) идентично: с помощью соотношений (0.11), (2.1) показывается, что правая часть формулы равна ее левой части.
В силу (0.8), (2.46), (2.47)
бЬ(Х1 - Х2) = вЬ Х1 еЬХ2 - еЬ X вЬХ2, (2.48)
еЬ(Х! - Х2) = еЬХ1 еЬХ2 - вЬХ1 вЬХ2. (2.49)
В силу (2.46), (2.47) справедливы формулы для операторных гиперболических функций двойного аргумента:
вЬ2Х = 2вЬ Х еЬ Х, еЬ2Х = еЬ2 Х + вЬ2 Х.
Из (2.46)-(2.49) следуют формулы преобразования произведения операторных гиперболических функций в сумму:
8ЬХ1еЬХ2 = 1 [вЬ (Х1 + Х2) + 8Ь (Х1 - Х2)], (2.50)
еЬ Х1еЬ Х2 = 1 [еЬ (Х1 + Х2) + еЬ (Х1 - Х2)], (2.51)
8Ь Х^Ь Х2 = 2 [еЬ (Х1 + Х2) - еЬ (Х1 - Х2)]. (2.52)
Из (2.50)-(2.52) следуют формулы преобразования суммы и разности одноименных операторных гиперболических функций в произведение:
вЬ Х1 + вЬ Х2 = 2вЬ
X1 + X2 X1 — X2 -ch-, 2 2 ' (2.53
X1 — X2 X1 + X2 -ch-, 2 2 ' (2.54
X1 + X2 X1 — X2 -ch-, 2 2 ' (2.55
X1 — X2 X1 + X2 -sh-. 2 2 (2.56
sh Xi - sh X2 = 2 sh ch X1 + ch X2 = 2ch ch X1 - ch X2 = 2sh
Напомним, что формулы (2.46)-(2.56) справедливы при выполнении условия (2.2). Укажем одно полезное применение операторных тригонометрических формул. Пусть B £ L(E), B фиксирован.
Теорема 2.3. Операторные функции Y1(t) = sin Bt, Y2(t) = cos Bt непрерывны на R.
Доказательство. Пусть t £ R, t фиксировано. Покажем непрерывность функции Y1(t) во взятой точке t, т. е. покажем, что
lim ДYi(t) = O, (2.57)
Aí^ü
где ДY1(t) = Y1(t + Дt) — Y1(t). Согласно определению предела, равенство (2.57) означает, что
IIДY1 (t) П ^ 0. (2.58)
Aí ü
Используя формулу (2.11), получаем
л , ч BAt ( BAt \
AY^t) = 2 sin cos (Bt + j. (2.59)
Следовательно,
||AY1(t)|| < 2| sin BAt II II cos (Bt + ^f) ||. (2.60) Известно (см. [8, с. 132]), что для любого X Е L(E)
11sinX|| < sh ||X||, (2.61)
| cos X| < ch | X| . (2.62)
В силу оценки (2.61)
и BAt и J|B|| |At|
11 sin ———1| < sh ^-1. (2.63)
В силу непрерывности скалярной функции sh x и равенства sh 0 = 0 справедлив предельный переход sh Hb2|Aí| 0, следовательно, в силу (2.63)
BAt
||sin-1| ^ 0. (2.64)
11 2 "AÍ^Q v '
В силу (2.4)
следовательно,
BAt BAt BAt
cos Bt +--= cos Bt cos--sin Bt sin-,
V 2 ) 2 2 '
BAt BAt BAt
У cos ^Bt +---— J у < у cos Bty у cos —-— y + y sin Bt|| ||sin —-— y. (2.65)
В силу оценки (2.62)
,, ВД£ М , ЦВМ Д
Цсов —2— II ^ сЬ ^-1 • (2-66)
Из непрерывности скалярной функции сЬ х и равенства сЬ 0 = 1 получаем
, ИВ1М 1
сЬ-——-1 ^ 1,
2 д^о
следовательно, в силу неравенства (2.66) Цсоэ || ограничена при Дt ^ 0. Значит, произведение Цсоэ Bty Цсоэ ^Д || является ограниченной величиной при Дt ^ 0. В силу соотношения (2.64) имеем
...... В Дt у
ЦэтBtI| -У ^ 0.
11 11 11 2 "д^о
Таким образом, правая часть неравенства (2.65) ограничена при Дt ^ 0. Следовательно, левая часть этого неравенства является ограниченной величиной при Дt ^ 0. Тогда, в силу (2.64) правая часть неравенства (2.60) сходится к нулю при Дt ^ 0. Следовательно, справедливо соотношение (2.58). Непрерывность функции У^) доказана.
Покажем непрерывность функции У^) во взятой точке ^ т. е. покажем, что
ЦДУ^Ц^ о0, (2.67)
где AY2(t) = Y2(t + At) — Y2(t). Используя формулу (2.13), получаем
/ ч „ . BAt . / BAt\ AYi(í) = — 2sin —sin (Bt + —).
(2.68)
Следовательно, В силу (2.3) следовательно,
, Л /м, II BAt,,,, / BAt\ и
|AY2(t)|| < 2 У sin —2—1| || sin (Bt + —) ||. (2.69)
• B At \ „ B At „ . BAt sin ^Bt +--—J = sin Bt cos —---+ cos Bt sin
22
BAt \........ BAt........ BAt,,
|sin (Bt + J|| < 11sinBt|| ||cos —2—1| + 11cosBt|| 11sin —^—1|. (2.70)
Выше было показано, что ||cos || ограничена при At ^ 0. Следовательно, произведение ||sinBt|| ||cos || является ограниченной величиной при At ^ 0. В силу (2.64)
...... BAt и
||cos Bt|| ||sin-1| ^ 0.
11 11 11 2 "aí^Ü
Таким образом, правая часть неравенства (2.70) ограничена при At ^ 0. Следовательно, левая часть этого неравенства является ограниченной величиной при At ^ 0. Тогда, в силу (2.64) правая часть неравенства (2.69) сходится к нулю при At ^ 0. Следовательно, справедлив предельный переход (2.67). Непрерывность функции Y2(t) установлена. □
Найдем производные функций Yi(t), Y2(t). Для этого потребуются следующие утверждения.
Лемма 2.1. Пусть ряд
те
£ Fk (2.71)
k=i
с членами из алгебры L(E) сходится и его сумма равна S. Тогда при любом фиксированном H £ L(E) ряд
те
£ HFk (2.72)
k=i
сходится и его сумма равна HS:
те
£ HFk = H £ Fk (2.73)
k=i k=i
Доказательство. Сходимость ряда (2.71) означает, по определению, что последовательность {$п} его частичных сумм сходится к 5, т. е.
НЯ - 50. (2.74)
Заметим, что частичные суммы Бп ряда (2.72) имеют вид
п п
5п = £ HFfc = И £ Ffc = ИБп. к=1 к=1
Используя соотношение (2.74), получаем
||S„ - HSII = ||HS„ - HSII = ||H(S„ - S)|| < ||HII IS - SII ^ 0,
следовательно, ||Sn - HS|| ^ 0, а это означает, по определению, что ряд (2.72) сходится и его сумма равна HS, т. е. справедливо равенство (2.73). □
Рассмотрим функциональный ряд
те
E Uk (t), (2.75)
k=i
членами которого являются функции, определенные на промежутке [a,b] С R со значениями в алгебре L(E).
Теорема 2.4. Пусть все члены ряда (2.75) непрерывны на [a, b] и этот ряд сходится равномерно на [a,b]. Тогда сумма S(t) данного ряда непрерывна на [a,b].
Доказательство теоремы 2.4 аналогично доказательству теоремы о непрерывности суммы функционального ряда в скалярном случае (см. [12, с. 128]). В дальнейшем потребуются следующие три утверждения.
Замечание 2.1. Каждый оператор из алгебры L(E) замкнут (см. [13, с. 208]).
Замечание 2.2. Замкнутый оператор можно выносить за знак предела (см. [1, с. 28]).
З а м е ч а н и е 2.3. Замкнутый оператор можно выносить за знак производной (см. [1, с. 28]).
Теорема 2.5. Операторные функции Y1 (t), Y2(t) непрерывно дифференцируемы на R и справедливы формулы
Y/(t) = (sin Bt)' = В cos Bt, (2.76)
Y2'(t) = (cos Bt)' = -B sin Bt. (2.77)
Доказательство. Пусть t G R, t фиксировано. Покажем справедливость равенства (2.76), т. е. покажем, что
lim AYl(t) = B cos Bt. (2.78)
Aí^Q At
В силу (2.59) Далее,
AYi(t) ( AtW . BAt / BAt \
-¿Г=(т) sln — COs (Bí + B2")' (2.79
2
2k+1
b 2k+1(f)
или
(AtW . BAt (AtV1^, Л.к
Ы sin В" = (a-) £(-1)k (2k + 1)!
(At\-i BAt ^ , ,k B2k(At)2k
(T) sin — = E (-1>k2В0ЙТП)! • (2-80>
С помощью первого признака сравнения и признака Даламбера показывается, что ряд
£(-1)к 22к (2к + 1)! (2.81)
k=Q
сходится абсолютно, следовательно, этот ряд сходится (см. [8, с. 126]). В силу равенства (2.73) (см. лемму 2.1) из (2.80) получаем
(AГ sin BAt = Bf (-lf Bk(At ^. (2.82)
V 2 / 2 ¿j (2k + !)!
В силу (2.79), (2.82)
AYl(t) _ rDlNk B2k(At)2k 1 . BAt\
At
B£ (-1)
k=Q 22k (2k + 1)!J
В силу непрерывности функции Y2(t)
lim cos i^Bt +--^ = cos Bt.
Ai^Q V 2 /
cos (Bt + J. (2.83)
(2.84)
Нас интересует поведение суммы ряда (2.81) при Д£ ^ 0. Поэтому будем в дальнейшем рассматривать этот ряд как функциональный ряд с общим членом
„ В2к (до2к
22k (2k + 1)!'
В силу малости Д£ будем считать, что |Д£| < 1. Тогда функциональный ряд (2.81) мажорируется на промежутке [-1,1] сходящимся знакоположительным рядом
f
k=Q
\B\\2k
22k (2k + 1)!'
Известно (см. [9, с. 160]), что из мажорируемости функционального ряда, членами которого являются функции со значениями в нормированном пространстве, следует равномерная сходимость этого ряда. Значит, функциональный ряд (2.81) сходится равномерно на промежутке [-1,1]. Кроме того, члены «к(Д£) этого ряда непрерывны на [-1,1]. Следовательно, в силу теоремы 2.4 сумма 5(Д£) ряда (2.81) непрерывна на промежутке [-1,1]. Значит, для ряда (2.81) возможен почленный переход к пределу, в частности,
¿й, Е (-1)к ЖТ)Т = ¿йо +Е (-1)' 2В(2Д+Т)Т ]
= I + Е Ь^-^к^ВЙ^!)!21 = I + О = I. (2.85)
Учитывая замечания 2.1, 2.2 и равенство (2.85), получаем
В2к(Д^)2к 1 ^ к В2к(Д^)2к
Иш
¿4^0
BY (-1)k BE = B lim V (-1)k = B. (2.86)
; 22k(2k + 1)U ; 22k(2k + 1)! v ;
k=Q k=Q
Из соотношений (2.83), (2.84), (2.86) следует равенство (2.78). Формула (2.76) доказана. Покажем справедливость формулы (2.77), т. е. покажем, что
lim AY2(t) = -В sin Bt. Aí^Q At
(2.87)
В силу (2.68)
AY2(t) (At W . BAt . / BAt
—= - — sin-sin Bt +-
At V 2 2 V 2
В силу непрерывности функции Y1(t)
(2.88)
/ В At \
lim sin Bt +--= sin Bt.
At^o V 2 /
(2.89)
В силу (2.82), (2.86)
lim
Aí^Q
( At BAt i
B.
(2.90)
Из соотношений (2.88)-(2.90) следует равенство (2.87). Формула (2.77) доказана. Из равенств (2.76), (2.77) видно, в силу непрерывности функций sin Bt, cos Bt на R, что производные Y/(t), Y2'(t) непрерывны на R, т. е. функции Y1(t), Y2(t) непрерывно дифференцируемы на R. □
Учитывая формулы (2.76), (2.77), включение е ), пе N и замечания 2.1, 2.3, получаем
Следствие 2.2. Функции У^), У2(£) бесконечно дифференцируемы на Е и для любого те N справедливы формулы
(sin Bt)(m) =w
(-1)1+1Bm cos Bt, m = 2/ - 1, (-l)'Bm sin Bt, m = 2/;
(cos Bt)(m) = í (-1)1 Bm sinBt, m =2/ - 1,
(cos Bt) = \ (-1)1 Bm cos Bt, m =2/. Для операторной экспоненты Y(t) = eAí (здесь A G L(E), A фиксирован) имеем
Y'(t) = AeAí (2.91)
(см. [2, с. 41]). Учитывая формулу (2.91), включение е ), пе М, и замечания 2.1, 2.3, получаем: функция У (¿) бесконечно дифференцируема на Е и для любого те N справедлива формула У(т)(£) = АтеА4.
В перспективе естественный интерес представляет исследование вопросов, связанных с дифференцированием и интегрированием операторных функций семейства (0.2), в частности, конкретных функций из этого семейства, рассмотренных в данной работе. Интеграл Римана для функций из семейства (0.2) построен в [14].
Результаты данной работы анонсированы в [15].
References
[1] С. Г. Крейн, Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Наука, М., 1967. [S. G. Kreyn, Linear Differential Equations in a Banach space, Nauka Publ., Moscow, 1967 (In Russian)].
[2] Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, Наука, М., 1970. [Y. L. Daleckiy, M. G. Kreyn, Stability of Solutions of Differential Equations in a Banach Space, Nauka Publ., Moscow, 1970 (In Russian)].
[3] Функциональный анализ, Справочная математическая библиотека, ред. С. Г. Крейн, Наука, М., 1972. [ Functional Analysis, Reference Math Library, ed. S.G. Krein, Nauka, Moscow, 1972 (In Russian)].
[4] А.Н. Талдыкин, Элементы прикладного функционального анализа, Высш. школа, М., 1982. [A. N. Taldykin, Elementy Prikladnogo Funkcionalnogo Analiza, Vyssh. shk. Publ., Moscow, 1982 (In Russian)].
[5] В.И. Фомин, "Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения в банаховом пространстве в случае комплексных характеристических операторов", Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 24:126 (2019), 211217. [V.I. Fomin, "About a general solution of a linear homogeneous differential equations in a Banach space in the case of complex characteristic operators", Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 24:126 (2019), 211-217 (In Russian)].
[6] В. И. Фомин, "О случае комплексных корней характеристического операторного полинома линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка в банаховом пространстве", Дифференциальные уравнения, 56:8 (2020), 1045-1054; англ. пер.УЛ. Fomin, "On the Case of Complex Roots of the Characteristic Operator Polynomial of a Linear n th-Order Homogeneous Differential Equation in a Banach Space", Differential Equations, 56:8 (2020), 1021-1030.
[7] В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т. С. Соболева, Задачи и упражнения по функциональному анализу, Физматлит, М., 2002. [V. A. Trenogin, B. M. Pisarevskij, T. S. Soboleva, Problems and Exercises in Functional Analysis, Fizmatlit Publ., Moscow, 2002 (In Russian)].
[8] В.А. Треногин, Функциональный анализ, Наука, М., 1980. [V. A. Trenogin, Functional Analysis, Nauka Publ., Moscow, 1980 (In Russian)].
[9] Л. Шварц, Анализ. Т. 1, Мир, М., 1972. [L. Schwartz, Analysis. V. 1, Mir Publ., Moscow, 2002 (In Russian)].
[10] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, М., 1976. [A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Nauka Publ., Moscow, 1976 (In Russian)].
[11] В.И. Фомин, "Об основном свойстве комплексной операторной экспоненциальной функции комплексного операторного аргумента", Вестник российских университетов. Математика, 24:127 (2019), 324-332. [V. I. Fomin, "About a complex operator exponential function of a complex operator argument main property", Russian Universities Reports. Mathematics, 24:127 (2019), 324-332 (In Russian)].
[12] А.И. Герасимович, Н.П. Кеда, М.Б. Сугак, Математический анализ. Часть 2, Высш. шк., Минск, 1990. [A. I. Gerasimovich, N. P. Keda, M. B. Sugak, Mathematical Analysis. Part 2, Vyssh. shk. Publ., Minsk, 1990 (In Russian)].
[13] Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972. [T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, Mir Publ., Moscow, 1972 (In Russian)].
[14] В. И. Фомин, "Об интеграле Римана операторной функции операторного переменного", Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна, Материалы международной конференции (Воронеж), Тезисы докладов, 2022, 232-234. [V. I. Fomin, "On the Riemann integral of an operator function of an operator variable", Voronezh Winter Mathematical School S. G. Krein, Materials of the International Conference (Voronezh), Abstracts, 2022, 232-234 (In Russian)].
[15] В.И. Фомин, "Об операторных функциях операторного переменного", Воронежская весенняя математическая школа, Материалы международной конференции (Воронеж), Тезисы докладов, 2022, 278-279. [V.I. Fomin, "On the operator functions of an operator variable", Voronezh Spring Mathematical School, Materials of the International Conference (Voronezh), Abstracts, 2022, 278-279 (In Russian)].
Информация об авторе
Фомин Василий Ильич, кандидат физико-математических наук, доцент. Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация. E-mail: [email protected]
ORCID: http://orcid.org/0000-0003-3846-4882
Поступила в редакцию 04.10.2022 г. Поступила после рецензирования 26.01.2023 г. Принята к публикации 10.03.2023 г.
Information about the author
Vasiliy I. Fomin, Candidate of Physics and Mathematics, Associate professor. Derzhavin Tambov State University, Tambov, Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0003-3846-4882
Received 04.10.2022 Reviewed 26.01.2023 Accepted for press 10.03.2023
