Об ограничении переменных состояния в основной и дуальной задачах линейного программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

ну 1-й условной функции предпочтения; Уы - величина, определяющая асимметричность ¿-й функции предпочтения.

С увеличением £ крутизна зависимости условной функции предпочтения увеличивается. При £ =1 и Уы =0,5 У( Х1) превращается в линейную функцию, а при £¡=0 - в скачкообразную. Таким образом, крутизна зависимости легко регулируется изменением величины £ .

Наиболее сложной задачей, возникающей при многокритериальной оптимизации, является определение неаддитивной функции предпочтения, учитывающей разброс нормированных значений показателей.

Так как показатели качества являются однородными, то их значениям соответствуют множество точек этой шкалы. С учетом значений высоких коэффициентов М1 определим средневзвешенное внутримножественное расстояние в виде: М. ^ _ _ / __ __

й(Х,Мь) =

X ^

-М^

X м (х - х)

(3)

Средневзвешенное расстояние позволяет учесть важность каждого показателя при оценке нежелательности их разброса. Пронормируем величину средневзвешенного расстояния й. С этой целью введем максимальное внутримножествен-ное расстояние для п показателей. При этом максимальному значению соответствует случай, когда все показатели принимают граничные значения, а весовые коэффициенты М1 равны между собой.

С учетом вышесказанного неаддитивную функцию предпочтения можно представить в виде:

й(Х,М)

У = X М,У(Х,)-л-

(4)

где йшах - максимальное внутримножественное

расстояние; Л - коэффициент, характеризующий нежелательность разброса нормированных значений показателей.

На основе выражений неаддитивной и условной функции предпочтения (2) и (4) и внутримно-жественного расстояния (3) может быть осуществлен выбор оптимальных решений в многокритериальных задачах оптимизации.

I=1

ОБ ОГРАНИЧЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ В ОСНОВНОЙ И ДУАЛЬНОЙ ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

С.И. Лебедев (Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций)

Концептуальные положения дуальности (двойственности) в линейном программировании (ЛП) отражает одно из важных его особых свойств, значительно расширяющих область решаемых прикладных задач и их физическую интерпретацию. Дуальность означает, что с любой задачей ЛП, имеющей решение, связана другая задача, ей дуальная, формализуемая по определенным правилам, приводящим к одинаковым (по модулю) результатам в оценке критерия качества. Обычно переход от основной задачи ЛП, представленной в стандартной либо в канонической формах, к дуальной, а также ее решение по существующим правилам не представляют труда. Идентичность результатов оценки максимума критерия качества основной и минимума дуальной задач (либо наоборот) является контрольным показателем, свидетельствующим о корректности выполненных преобразований. Однако если часть переменных основной задачи ограничена условием уе Яг, то в дуальной задаче требуется найти ограничения части переменных уе Я1, эквивалентные (в критериальном выражении) ограничениям основной задачи.

Оценку верхней и нижней границ составляющей V вектора переменных состояния дуальной

задачи предлагается производить по значениям функции цели основного варианта расчета, полученным по верхней и нижней границам вектора переменных основной задачи, с учетом у.

В векторно-матричной форме основную задачу при наличии упомянутых выше ограничений можно представить в виде вектора переменных х

состояния: Х=

у

Функция цели: штХ = сх-йу =[с,-й]-X . Ограничения: А-х+В-у < Ь1, В-х+¥ - у = Ь2, - О - х - Н - у <-Ь3 ,х > 0 ,уе Яг.

Дуальная задача имеет математическую интерпретацию в виде вектора переменных состоя-

ния:

=У

Функция цели:

ш¡п-ХЛ = [й1й2-Ь3 ] - Уй = Ь1 - и+Ь2 -у-Ь3 - ^ .

Ограничения: -А-и-Б-у<с ,В-и+¥-у-Н^=й, и > 0,^ > 0,уе Я1.

Приведенные выше уравнения представлены в форме, пригодной для выполнения расчетов ЛП с

помощью функции linprog пакета Optimization Toolbox среды MatLAB.

Для определенности рассмотрим решение основной и дуальной задач с характерными ограничениями на конкретном примере и установим верхнюю и нижнюю границы переменных состояния.

Основная задача: c1=[3 1]; A1=[3 2; -4 1]; b1=[24 -8]'; A1eq=[1 -2]; b1eq=0.

Нижняя и верхняя границы переменных состояния основной задачи: lb1=[01]'; ub1=[inf 3]'.

В режиме прямых вычислений получим решение задачи ЛП: [x1,z1]=linprog(c1,A1,b1,A1eq, b1eq,lb1,ub1).

В результате минимум z1=8 при значении вектора x1=[2.28571.1429]'.

Дуальная задача: с2=[24 -8 0]; A2=[-3 4 -1]; b2=[3]; A2eq=[2 1 -2]; b2eq=[-1].

Верхнюю и нижнюю границы u(2) вектора переменных состояния дуальной задачи

и=[и( 1 )и( 2 )и( 3 )] определим путем подстановки

в условие-равенство двух ограничений равенств: Л2ед=[2 1 -2; с2], Ь2ед=[-1 с1*1Ь] и Л2ед=[2 1 -2; с2], Ь2ед=[-1 с1*х1], где х1=[2.2851 1.1429]' - оптимальное решение основной задачи.

В результате находим решение для случая, когда нижняя и верхняя границы вектора и при вариации и(2) равны:

1Ь2=[0 0.2024 0]', иЬ2=[т/ 1 т/]'.

Используем их при записи функции linprog для решения дуальной задачи: [и,г2]=1трто%(с2, Л2,Ь2,Л2ед,Ь2ед, 1Ь2, иЬ2).

Окончательно имеем: и=[011]', 22=^2=8.000.

Заметим, что Х2=-г2 принято согласно правилам перехода от основного к дуальному варианту решения.

Таким образом, элементу вектора 1<х(2)<3 в дуальной задаче соответствует и(2) с ограничениями 0.2024<и(2)< 1.

АППРОКСИМАЦИЯ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЗАМЕРОВ МОДИФИЦИРОВАННЫМ ЗАКОНОМ ЭРЛАНГА

С.А. Неклюдова (Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций)

В практике встречаются попытки решения задачи прогнозирования технического состояния изделия (ТСИ) экстраполяцией ретроспективных наблюдений (по материалам ряда дефектаций) или имитационным моделированием исследуемого процесса в предполагаемых условиях с помощью специально разработанных моделирующих алгоритмов. Проведение вычислительного эксперимента при имитационном моделировании случайного процесса, как правило, базируется на методе статистических испытаний. При этом возникает необходимость установления законов распределения случайных величин как для воспроизводства их реализаций, так и для определения закономерностей показателей, получаемых в результате моделирования.

Большинство элементов изделия эксплуатируется в однородных условиях, и их износ подчиняется нормальному закону. Однако есть элементы, перекрывающие два района (и более) с разными условиями эксплуатации. Это приводит к неравномерному износу элементов. Причем замеры на таких участках располагаются неравномерно: чем больше износ элементов, тем больше на этом участке делают замеров. Указанные особенности обусловили постановку задачи подбора закона распределения, которому следует совокупность экспериментальных данных. По существу это сводится к аппроксимации эмпирического распределения соответствующим теоретическим законом. Один

из возможных методов решения данной задачи основан на использовании в качестве аппроксимирующего закона распределения Эрланга. Это позволяет количественно и функционально учесть практически весь диапазон той неравномерности, с которой следуют события (наблюденные значения). В теории вероятностей известны два вида такого распределения - ненормированное и нормированное.

Характерной особенностью указанных распределений Эрланга является принятие порядком распределения только целочисленных значений (1=1,2,3,...). В практике математической статистики величина t может принимать любые, в том числе нецелочисленные значения от 0 до бесконечности. С учетом этого предлагается ввести понятие обобщенного нормированного распределения Эр-ланга, пригодного для любых, в том числе и нецелочисленных значений t. При этом соответствующей заменой переменных обобщенное нормированное распределение Эрланга удалось свести к частному случаю гамма-распределения. Для краткости назовем его просто законом распределения Эрланга, который описывается следующими выражениями:

• дифференциальная форма /^) - плотность вероятности:

/(t)= (т)--Г1"1 -е~тЫ . (1)

Л(т)