Неаддитивные функции предпочтения в задачах многокритериальной оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вариабельная АИС - АИС, конструктивные элементы которой могут меняться в пределах типовых ограничений, допуская варьирование множеством классов подсистем при постоянстве заданных типов отношений. Целевая задача логического проектирования вариабельной системы -получение системы, оптимальной по множеству критериев компоновки и изменения типов классов моделей представления и элементов при условии постоянства типов отношений путем манипулирования множественно-иерархическими исходными конструктивными элементами архитектуры.

Рассмотрим идею информационной оптимальности с точки зрения вариабельных систем с древовидной структурой. Именно с древовидной структурой связаны основные алгоритмы представления обработки данных в компьютерах и ме-

тоды их оценки (аппарат сбалансированных деревьев, ЛУЬ-деревья, В (В+, К, КВ)-деревья, СТ -деревья и пр.).

С древовидными структурами напрямую связаны два классических критерия оценки:

• критерий компактности дерева данных показывает, на сколько (во сколько раз) сокращаются затраты компьютерной памяти при описании семантики данных системы за счет иерархического структурирования этого описания;

• критерий быстродействия поиска данных показывает выигрыш от иерархического структурирования при поиске объекта.

Аппарат критериев компактности и быстродействия достаточно развит и может послужить эффективным инструментарием оценки информационной оптимальности вариабельных структур.

НЕАДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ В ЗАДАЧАХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

И.А. Русинов, к.т.н. (Государственная морская академия им. Адмирала Макарова, г. С.-Петербург); А.М. Тюкавин (Мурманский транспортный филиал ОАО ГМК «Норильский никель», г. Мурманск)

Для решения задачи многокритериальной оптимизации в настоящее время все более широкое распространение находят методы, основанные на принципе «гибкого приоритета».

Принцип «гибкого приоритета» в общем случае сводится к дополнительному нормированию показателей качества, что позволяет в разумных приделах учесть степень предпочтения одного показателя перед другим. При этом предполагается, что влияние каждого /-го единичного показателя на величину функции предпочтения зависит не только от нормированного значения этого показателя, но и от некоторого весового коэффициента М/, характеризующего степень важности показателя. Тогда функция предпочтения может быть представлена в виде функции от нормированных значений единичных показателей Х1 и весовых коэффициентов М1.

В настоящее время известен ряд самых различных функций предпочтения, учитывающих принцип гибкого приоритета, среди которых более широкое распространение получили линейные аддитивные функции предпочтения. В работе предлагаются нелинейные неаддитивные функции предпочтения, обладающие большой потенциальной адекватностью, что позволяет учесть нелинейность зависимости функций предпочтения от нормированных значений показателей и разброс этих значений.

Рассмотрим определение аддитивных, но нелинейных функций предпочтения. Учитывая ко-

эффициенты важности отдельных показателей, выражение для полиномиальной функции предпочтения примет вид:

Y = £ М?(Х,),

(1)

где У - значение полиномиальной функции предпочтения; У( Х/) - условные функции предпочтения.

При этом предполагается, что весовые коэффициенты также пронормированы, то есть

£ Mt = i.

Под условными функциями предпочтения понимается функция предпочтения по /-му показателю, полученному при условии, что значения остальных показателей соответствуют середине диапазона их изменения.

Будем считать, что все нормированные показатели качества являются однородными, то есть имеют одну общую интервальную шкалу, пределы которой меняются от 0 до +1. Тогда в работе для определения условных нелинейных функций предпочтения предлагается использовать преобразованную психофизическую шкалу Фехнера, которую можно представить в виде:

Уы(1 - УЫ)(2Х/ - 1)Е/, при X/ > 0.5

У(Х1) = • 0.5, при Х1 = 0.5 , (2)

Уы - УЫ(2Х/ - 1)Е/, при Х, < 0.5

где Е1 - коэффициент, характеризующий крутиз-

i=1

i = 1

ну 1-й условной функции предпочтения; Уы - величина, определяющая асимметричность ¿-й функции предпочтения.

С увеличением £ крутизна зависимости условной функции предпочтения увеличивается. При £ =1 и Уы =0,5 У( Х1) превращается в линейную функцию, а при £¡=0 - в скачкообразную. Таким образом, крутизна зависимости легко регулируется изменением величины £ .

Наиболее сложной задачей, возникающей при многокритериальной оптимизации, является определение неаддитивной функции предпочтения, учитывающей разброс нормированных значений показателей.

Так как показатели качества являются однородными, то их значениям соответствуют множество точек этой шкалы. С учетом значений высоких коэффициентов М1 определим средневзвешенное внутримножественное расстояние в виде: М. ^ _ _ / __ __

й(Х,Мь) =

X ^

-М^

X м (х - х)

(3)

Средневзвешенное расстояние позволяет учесть важность каждого показателя при оценке нежелательности их разброса. Пронормируем величину средневзвешенного расстояния й. С этой целью введем максимальное внутримножествен-ное расстояние для п показателей. При этом максимальному значению соответствует случай, когда все показатели принимают граничные значения, а весовые коэффициенты М1 равны между собой.

С учетом вышесказанного неаддитивную функцию предпочтения можно представить в виде:

й(Х,М)

У = X М,У(Х,)-л-

(4)

где йшах - максимальное внутримножественное

расстояние; Л - коэффициент, характеризующий нежелательность разброса нормированных значений показателей.

На основе выражений неаддитивной и условной функции предпочтения (2) и (4) и внутримно-жественного расстояния (3) может быть осуществлен выбор оптимальных решений в многокритериальных задачах оптимизации.

I=1

ОБ ОГРАНИЧЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ В ОСНОВНОЙ И ДУАЛЬНОЙ ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

С.И. Лебедев (Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций)

Концептуальные положения дуальности (двойственности) в линейном программировании (ЛП) отражает одно из важных его особых свойств, значительно расширяющих область решаемых прикладных задач и их физическую интерпретацию. Дуальность означает, что с любой задачей ЛП, имеющей решение, связана другая задача, ей дуальная, формализуемая по определенным правилам, приводящим к одинаковым (по модулю) результатам в оценке критерия качества. Обычно переход от основной задачи ЛП, представленной в стандартной либо в канонической формах, к дуальной, а также ее решение по существующим правилам не представляют труда. Идентичность результатов оценки максимума критерия качества основной и минимума дуальной задач (либо наоборот) является контрольным показателем, свидетельствующим о корректности выполненных преобразований. Однако если часть переменных основной задачи ограничена условием уе Яг, то в дуальной задаче требуется найти ограничения части переменных уе Я1, эквивалентные (в критериальном выражении) ограничениям основной задачи.

Оценку верхней и нижней границ составляющей V вектора переменных состояния дуальной

задачи предлагается производить по значениям функции цели основного варианта расчета, полученным по верхней и нижней границам вектора переменных основной задачи, с учетом у.

В векторно-матричной форме основную задачу при наличии упомянутых выше ограничений можно представить в виде вектора переменных х

состояния: Х=

у

Функция цели: штХ = сх-йу =[с,-й]-X . Ограничения: А-х+В-у < Ь1, В-х+¥ - у = Ь2, - О - х - Н - у <-Ь3 ,х > 0 ,уе Яг.

Дуальная задача имеет математическую интерпретацию в виде вектора переменных состоя-

ния:

=У

Функция цели:

ш¡п-ХЛ = [й1й2-Ь3 ] - Уй = Ь1 - и+Ь2 -у-Ь3 - ^ .

Ограничения: -А-и-Б-у<с ,В-и+¥-у-Н^=й, и > 0,^ > 0,уе Я1.

Приведенные выше уравнения представлены в форме, пригодной для выполнения расчетов ЛП с