ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ БЕСПИЛОТНЫМ ЛЕТАТЕЛЬНЫМ АППАРАТОМ САМОЛЕТНОГО ТИПА С ЗАДАННЫМИ ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ РАЗНЫХ ЧАСТЕЙ КООРДИНАТ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N. 2, 2023 Электронный журнал, рег. Эл № ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172

http://diffjournal. spbu. ru/ e-mail: _ [email protected]

Общая теория управления

Об одной задаче управления беспилотным летательным аппаратом самолетного типа с заданными промежуточными значениями разных частей координат

1 2 * 2 * В. Р. Барсегян ' ' , А. Г. Матевосян ' ,

1Институт механики НАН Армении,

2Ереванский государственный университет

*

[email protected];

**

[email protected]

Аннотация. Рассмотрена математическая модель пространственного полета беспилотного летательного аппарата самолетного типа. Для линеаризованной математической модели беспилотного летательного аппарата решена задача синтеза законов управления с заданными начальными, конечными значениями фазового вектора и промежуточными значениями разных частей координат в разные моменты времени. Сформулировано необходимое и достаточное условие существования программного управления и соответствующего движения. Построены функции управления и соответствующие фазовые траектории движения. В качестве приложения предложенного подхода для конкретных численных значений построены явные выражения функции программного управления и программного движения.

Ключевые слова: беспилотный летательный аппарат, управление полетом, промежуточные условия, фазовые траектории.

Введение

В настоящее время все большее распространение получают беспилотные летательные аппараты (БПЛА), что является весьма актуальным. Изначально БПЛА создавались предпочтительно для военных целей, но с развитием технологий БПЛА нашли свое применение в гражданских сферах. БПЛА предназначены для выполнения миссий, представляющих

существенную опасность для людей, а также миссий, имеющих неоправданный большой расход ресурсов на выполнение примитивных действий. Поэтому многие страны начинают развивать отрасль производства БПЛА различного класса и назначения. Многообразие сфер применения предполагает использование разных типов БПЛА. БПЛА делятся на самолётные, с несущими плоскостями-крыльями, и вертолётные — квадрокоптеры, с вертикальными роторными приводами. Оба типа БПЛА обладают своими особенностями и преимуществами, а сферы их применения заметно различаются. Ключевые особенности БПЛА самолётного типа — большая высота, дальность и продолжительность полёта. Полет БПЛА может функционировать с различной степенью автономии: с помощью устройства дистанционного управления; с помощью системы автоматического пилотирования. В БПЛА может быть установлено соответствующее программное обеспечение на выполнение различных задач в автономном режиме, то есть без участия человека. БПЛА как динамический объект управления представляет собой сложную динамическую систему. Для управления движением БПЛА необходимо воздействовать на силы и моменты, действующие на летательный аппарат [1-5].

При проектировании движением различных механических систем, а также летательных аппаратов возникают задачи управления с многоточечными промежуточными условиями. Вообще, важное прикладное и теоретическое значение имеют задачи управления, в которых наряду с классическими краевыми (начальное и конечное) условиями заданы также многоточечные промежуточные условия [6-11].

В настоящей работе рассматривается пространственное движение БПЛА самолетного типа. Управляющие воздействия формируются с помощью органов управления тягой двигателя и аэродинамическими рулями - элеронами. В математической модели движения БПЛА учитываются особенности динамики управляемой БПЛА. Используя методы теории управления конечномерными системами с многоточечными промежуточными условиями для систем линеаризированных дифференциальных уравнений рассмотрена задача управления движением БПЛА самолетного типа с заданными промежуточными значениями разных частей координат в разные моменты времени. Построены функции управления и соответствующие фазовые траектории движения. Для конкретных числовых значений построены явные выражения функции программного управления и программного движения, а также соответствующие графики функции.

1.Математическая модель динамики БПЛА самолетного типа и постановка задачи.

В качестве объекта управления будем рассматривать БПЛА самолетного типа как тела с жестко фиксированной внешней оболочкой, т.е. не будут учитываться упругие деформации конструкции,

которые могут иметь место при внешних нагрузках (рис.1)

Движение БПЛА в задачах управления полетом рассматривается как сложное - движение центра масс и движение вокруг центра масс. Для описания динамики БПЛА используются

Рис. 1. БПЛА самолетного типа.

следующие системы координат: траекторная система координат; связанная система координат; земная система координат; скоростная система координат [1-5]. Проекции этих систем координат используются для описания уравнения движения БПЛА.

Для составления математической модели БПЛА приняты следующие допущения [1-3]:

• процессы, происходящие внутри оболочки БПЛА, считаются стационарными;

• конфигурация БПЛА имеет плоскость симметрии, массы распределены симметрично по отношению к этой плоскости;

• внешняя среда, в которой происходит движение БПЛА, считается неизменной, а характеристики этой среды однозначно известны;

• вращением Земли и кривизной ее поверхности можно пренебречь.

Движение управляемого БПЛА основано на создании изменяемых по величине и направлению сил и моментов, влияющих на БПЛА. Предполагается, что рассматриваемый БПЛА оснащен органами управления тягой двигателя и аэродинамическими рулями - элеронами. При изменении положений элеронов изменяются и направления воздушных потоков, из-за которых возникают дополнительные аэродинамические силы. В качестве регулирующих факторов, позволяющих воздействовать на летательный аппарат для управления его движением, используются тяга двигателя, углы отклонения руля высоты, руля направления, элеронов.

Вывод уравнения движения БПЛА основан на теоремах о движении центра масс тела, об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии. С учетом всех действующих сил и моментов уравнения пространственного движения БПЛА имеют весьма сложный вид. В принятых допущениях достаточно полную систему уравнений движения БПЛА записать в виде [1-3]:

V =1 {Рхк — £ Хрк - %к + Qxk), v® =1 (Рук — £^рк — ^к + Qyk),

vcos0¥ = —1(Pzk—£ Zpk - Zzk), ]хшх + (JZ — Jy)toytoz = Mx + Mpx,

]уШу + (Jx -Jz)toxtoz = My + Mpy, Jzüz + (Jy -Jx)MxMy = MZ+ Mpz,

д = шу sin у + cos y, ф = ^^ (My cos Y — шг sin v),Y = шх — tgd(^y cos Y — sin Y),

xg = v eos 0 cos W, yg = v sin 0, zg = —v eos 0 sin W,

где m- масса БПЛА, v - скорость БПЛА, g - ускорение, создаваемое силой тяжести, Jx, Jy, Jz- основные моменты инерции БПЛА, Мх, Му, Mz- проекции моментов сил, действующих на БПЛА, шх, Шу, ш2- угловые скорости БПЛА в проекциях на оси связанной системы координат, а- угол атаки, fi- угол скольжения между вектором скорости и его проекций на вертикальную плоскость симметрии БПЛА, Ye - угол крена в скоростной системе координат, 0- угол наклона траектории, W- угол поворота траектории БПЛА, угол рыскания, в-угол тангажа, у- угол крена.

Так как уравнения движения центра масс БПЛА записаны в траекторных системах, уравнения движения относительно центра масс и кинематические уравнения - в связанной системе, а аэродинамические силы и моменты зависят от углов атаки и скольжения между скоростными и связанными осями, то к приведенным уравнениям добавляются следующие геометрические соотношения между этими углами:

sin $ = sin в cos a cos fi + cos в (sin a cos yc + cos a sin fi sin yc),

sin -ф cos y = sin W cos fí cos yc + cos W (sin fi cos в + sin Yc sin в cos fi) — cos -ф sin d sin y, cos d sin y = sin Yc cos fi cos в — sin fi sin в,

Приведенная система уравнений движения БПЛА является нелинейной системой дифференциальных уравнений. Для исследования конкретных задач управления и аналитического представления решения целесообразно иметь линейное приближение системы дифференциальных уравнений. Для линеаризации системы относительно малых отклонений параметров движения разложим правую часть системы уравнений в ряд Тейлора и после некоторого упрощения получим систему линеаризированных уравнений в форме Коши, описывающих динамику БПЛА:

• • • , Х8 ^ # и^ , и5 — Х4, %2 = ЧУ*, = ХдУ*, Х4 —---^, — —, — —,

т т }х }у (1.1)

• и^ , и-? , и? . . .

V ----/у ----/%/• ----/%/• - «у V --/у —

х7 — , , х8 — , , х9 — , 3 х10 — Х11 — х12 — х5,

'Пи*

где обозначения Х1, / — 1,. ..,12 соответствуют следующим переменным Х1 — х, х2 — У, х3 — х4 — х5 — ^х, х6 — ^у,

х7 — ш2, х8 — в, х9 — V, х10 — х11 — д, х12 — у,

а управляющие воздействия, связанные с силами и моментами действующими на БПЛА, обозначены следующим образом:

Рхк — Е Хрк — — иЪ Рук — Е Урк u2, ?гк — Е %рк — %гк — u3,

Мх + МрХ — и4, Му + М-ру — и5, М2 + Мр2 — и6.

Отметим, что непосредственной проверкой можно убедиться, что система (1.1) является вполне управляемой [10, 12].

Пусть заданы начальное и конечное

х&о)—хо, х(Т)—хТ (1.2)

состояния системы (1.1) и в некоторые промежуточные моменты времени I — и I — 12, 0 < t0 < 11 < 12 < Т, следующие значения части координат фазового вектора

Х3(Ч) и Х1^2), х2(^2). (1.3)

Рассматривается следующая задача: требуется определить оптимальную программу управления, переводящую систему (1.1) из любого заданного начального состояния в заданное конечное состояние (в частности, в начало фазовых координат) за минимальный отрезок времени. Требуется найти условия, при которых существует программное управляющее воздействие t Е [*;0, Т] и программное движение х — х(0, удовлетворяющие системе (1.1) и условиям (1.2) и (1.3), а также построить их.

2. Решение задачи.

Напишем решение уравнения (1.1) следующим образом [8-10, 12]:

х(0 — х[г,10]х(г0) + £ н[г,т]и(т)йт, (2.1)

где через Х^,т] обозначена нормированная фундаментальная матрица решения однородной части уравнения (1.1), Н^,т] импульсно-переходная матрица, которая имеет вид:

HT[t,r] =

\ 0

T-т 1

0 0 — 0 0 0 00

m m

Q(T-T)2 т-Т 0 т-Т Q(T-T) 0 0 0 1

- 0 m V 1

2m2V m m2 V

0 0 0 0 1 0 0 0 - m V

m

0 0 0 0 hc 0 1 0 00

0 0 0 0 0 — 0 00

Jy 0 0

1

h

— 00

0 0 0 0

Т-т 0

0 0 0 0 0

Т-т

1Г

0 0 0 0

Т-т

17

0 I

Здесь и далее буква «Т» в верхнем индексе означает операцию транспонирования. Для определения законов управления, учитывая промежуточные (1.3) и конечные (1.2) условия, применяем подходы, приведенные в работах [8-10], тогда получим, что управляющее воздействие должно удовлетворять следующим интегральным соотношениям:

T f(T-t)u1(t) , Q(T-t)2u2(,t)

а

m 2m2 V

T (ui(t) , Q(T-t)u2(t)

T(t-T)U2(t)

rT (t-T)u3(t)

^'mv2")dt = ci, = c2, i0(L^dt=сз,

m2V J 4 Jto Jx 5 Jto Jy

fT (um + Q(T-)u2(t)) dt = c £ um dt = cs, fTu5Südt = c6, fTu6^dt = c7,

Jto\ m m2V J 4 Jto Jx 5 Jto Jy 6 Jto Jz 7

rTu2(t) _ rTu3(t) _ rT(t-T)us(t) f to mV 8 f ~ 9 f

f

T (t-T)u+(t) r rti(t-ti)u3(t) r rt2 f(t2-t)ui(t) , Q(t2-t)2u2(t)>

f

o x t2 (t-t2)u2(t)

o m V

d = C12, f o

dt = c15,

o y

dt=ci3' t0 (

fT (t-T)u6(t) ^

dt = cw, f ---dt = cn,

lo Jz

2 m2 V

) dt = c14,

где

ci = %i(T) - Xi(t0) -(Т- t0)X4(t0)

Q(T-to)2x8(to) 2m ,

c2 = X2(T) - X2(to) + V(T - to)x8(to),

Q(T-to)xs(to)

cs = X3(T) - x3(to) + V(T - to)x9(to), c4 = X4(T) - X4(to)

m

c = Xj(T) - Xj(to), j = 5,6.....9,

cio = Xi0(T) -(T - to)X6(to) - Xio(to), cii = Xii(T) - (T - to)X7(to) - Xii(to), ci2 = Xi2(T) -(T - to)X5(to) - Xi2(to), = Xs(ti) - X3(to) + V(ti - to)X9(to),

ci4 = Xi(t2) - Xi(to) - (t2 - to)X4(to)

Q(t2-to)2X8(to)

2 m

ci5 = X2(t2) - X2(to) + V(t2 - to)X8(to).

0

0

0

m

m

m

o

Полученные интегральные соотношения в векторно-матричной записи представим в виде:

т

£ н(г)ишг — фо, ч, 12, т) , (2.2)

где

и(г) — (и1(1),и2(1),и3(1),и4(1)и5(1),и6(г))Т, Л(^о,^1,^2,Т) — (С1 С2 ... С^У. Матрица Н(1) имеет размерность (15 X 6), элементы которой имеют следующий вид

С V2, Ч — к?> V2, V — к?> [12, V — к? г] — ^ к? г] — 1,

к? С] — к<4 [г2, г] — ± к? Ч — ± к? . Ч — ±,

к? [Ь1] — к™ [12, I] — ± Л® [12, (] — к<§ [12, Й — Т-±, ИЗ [12, <] —

1 0 , при г1<г<1 ( 0 , при г2<г<т

^ __л.__л. ( — Ъ

г] — |-2^-, при <2, кЦ) ^2, пРи <о<< <<2

I 0 , при г2<г<т ( о , при г2<г<т

где нижний индекс функции к® это номер строки, а верхний индекс - номер столбца матрицы. Все остальные элементы матрицы Н(€), которые не приведены, равны нулю.

Управляющее воздействие и(1), удовлетворяющее интегральному соотношению (2.1) (или (2.2)), представим в виде [9-10, 12, 13]

и(1) — нт(1)д-1л + г(1), (2.3)

где Нт(£) - транспонированная матрица, f(t) - вектор-функция и такая, что

т т

£ Н(С) !(1)й1 — 0, Q = ft Н(тт(1)й1. (2.4)

Таким образом, решение задачи можно сформулировать в виде следующей теоремы, аналогичной теореме, доказанной в [10, 13].

Теорема. Для того чтобы существовало программное управление (2.2) и соответствующее ему решение системы (1.1), удовлетворяющее условиям (2.1) (или (2.2)), необходимо и достаточно, чтобы матрица Q (2.3) была не особой или чтобы ранги матрицы Q и расширенной матрицы Ш, л} совпадали между собой.

Отметим, что матрица Q имеет размерность (15 X 15), для которой

гп_(<1 — Ь)3а2 — <о)6(Т — 1о)15(Т — Ч)3(Т — 12~)6 Ц 15М93М05600ш22У8]^]^]44 Х

X [19200т4У4 + 160m2Q2V2[2to + 3% + 2Т2 — Ь0Т — 312(г0 + Т)] + 3Q4(t2 — 10)2(Т — 12)2}. Ясно, что йе1 Q ^ 0, матрица Q не особая.

Таким образом, имея выражение для функции управления U(t), соответствующее программное движение запишется в виде формулы Коши (2.1).

Если найденные выражения функции управления U(t) подставить в (1.1) и на каждом промежутке времени проинтегрировать эти уравнения при заданных начальном и промежуточных значениях фазового вектора, получим законы движения

3. Пример.

Для иллюстрации вышеизложенного построения предположим, что t0 = 0,t1 = 3,t2 = 7,Т = 12. Начальное и конечное состояние фазового вектора выберем следующим образом х(0) = (1,2,3,5,3,4,6,2,1,1,3,1,3,1,2)т, х(Т) = (4,5,6,5,0,0,0,0,0,0,0,4)т.

Пусть в промежуточные моменты времени t1 = 3,t2 = 7 заданы значения части координат фазового вектора в виде: Хз(t±) = 70 и Xl(t2) = 110; X2(t2) = 120.

Таким образом, вычисляя значения HT(t), Q-1, ц и подставляя значения этих матриц и вектора ^ в (2.3), (при f(t) = 0) для управляющих воздействий будем иметь следующие явные выражения:

Î 29189007 1932706Î ~ „ ( 277 , 137t _ ^ . ^ _

---, при 0 < t <7 ---\--, при 0 < t <3

1135820 397537 ^ _ ) 9 9 ^

2797233 1307186t „ „ V U3(i) {1873 667t ^ „ „

-, при 7 < t < 12 ---, при 3 < t < 12

' Г l Q1 п ЛП ' L

--, при 7 < L < 12 I---

И056500 1014125 V 81 243

г592413 5188783t 966353t2

, ПРи 0<t<7

113582 397537 397537 2( } \ 344796999 24428267t 653593t2

+ , пРи 7<t<12

2028250 1014125 1014125

7 5t 11 25t 17 13t

U4(t) =---1--, U5(t) =---1--, U6(t) =---1--.

4 8 48 5 8 144 6 8 48

Рис. 4. График функции управления щ(1). Рис. 5. График функции управления и4(1).

Рис. 6. График функции управления щ(1) Рис. 7. График функции управления и6(1)

Если найденные выражения функции управления подставить в (1.1) и на каждом

промежутке времени проинтегрировать эти уравнения при заданных начальном и промежуточных значениях фазового вектора, получим законы движения геометрических координат в следующем виде:

31460647t2 281479t3 5188783t4 966353t5 1 + 5t+ _____ .„ +_________________+ при 0 < t < 7

Xi(t) = <

2271640 4770444 9540888 23852220

2396832194 1821032602t 2742868119t2 + —..................+

724375 1014125 8113000

342182627t3 24428267t4 653593t5 + ___________________ +________, при 7 <t <12

12169500

24339000 60847500

X2(t) =

2-2t

592413t2 5188783t3 +

966353t4

227164 ' 2385222 4770444

246452237 686416338 344796999 2 + ................— +

, при 0 <t <7 2442826713

65359314

144875

1014125

4056500

6084750 12169500

, при 7 <t <12

3-t + -

277г2 137^

X3(t) =

-, при 0 < t < 3

18 54

2102 2156t 1873t2 667t3

+ ---тт:^- + при 3 <t <12

27

27

162

1458

v

Графики фазового вектора-функции х(£) при t Е [0,12], по геометрическим координатам х1(О, х2(^ и х3^) представлены на рис. 8-10.

Рис.8. График функции х1( Ь). Рис.9. График функции х2( Ь).

Рис.10. График функции хъ(£) . Рис.11. Траектория движения.

Таким образом, для системы (1.1) с заданными начальными, конечными значения фазового вектора и промежуточными значениями для части координат получены явные виды программного управления и программного движения.

Заключение.

Для систем линеаризированных дифференциальных уравнений пространственного движения БПЛА самолетного типа решена задача управления полетом с заданными начальными, конечными условиями и заданными промежуточными значениями разных частей координат в разные моменты времени. Сформулированы необходимое и достаточное условия существования программного управления и программного движения. В качестве приложения предложенного подхода построены явные выражения функции программного управления и программного движения с заданными значениями разных частей координат в двух разных промежуточных моментах времени, а также построены соответствующие графики функции.

Литература

[1] Лебедев, А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1973. 615 с.

[2] Дмитриевский А.А., Лысенко Л.Н. Прикладные задачи теории оптимального управления движением беспилотных летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. 328 с.

[3] Телухин С.В., Матвеев В.В. Беспилотный летательный аппарат как объект управления. Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. № 10. С. 7-10

[4] Богословский С.В., Дорофеев А.Д. Динамика полёта летательных аппаратов. СПб.: СПБГУАП, 2002. С. 34—41.

[5] Колесников А.А. Новые нелинейные методы управления полетом. М.: Физматлит, 2013.с.

[6] Ащепков Л.Т. Оптимальное управление системой с промежуточными условиями. ПММ, 1981, т. 45, вып. 2, с. 215-222.

[7] Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Принцип максимума для гладких задач оптимального импульсного управления с многоточечными фазоограничениями. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009, т. 49, № 6, с. 981-997.

[8] Барсегян В.Р. Управление линейными динамическими системами с ограничениями на значения частей координат фазового вектора в промежуточные моменты времени. Докл. НАН Армении. 2010. Т. 110. № 3. С. 251-260.

[9] Barseghyan V.R. and Barseghyan T.V. On an Approach to the Problems of Control of Dynamic System with Nonseparated Multipoint Intermediate Conditions. Automation and Remote Control, 2015, Vol. 76, № 4, pp. 549-559.

[10] Барсегян В.Р. Управление составных динамических систем и систем с многоточечными промежуточными условиями. М.: Наука, 2016. 230 с.

[11] Barseghyan, V. and Solodusha, S. On One Problem in Optimal Boundary Control for String Vibrations with a Given Velocity of Points at an Intermediate Moment of Time. Conference Paper. Publisher: IEEE. 2021 International Russian Automation Conference (RusAutoCon), pp.343-349, 2021. Doi: 10.1109/RusAutoCon52004.2021.9537514.

[12] Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

[13] Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975, 496 с.

On one problem of controlling an airplane-type unmanned aerial vehicle with given intermediate values of different parts of coordinates

12* 9 SH*

Barseghyan V. R. ' ' , Matevosyan A. G. ' ,

1 Institute of Mechanics of National Academy of Science of Armenia, Yerevan, Armenia

Yerevan State University, Yerevan, Armenia

*

[email protected]

**

[email protected]

Abstract. The mathematical model of spatial flight of an unmanned airplane-type vehicle is considered. For a linearized mathematical model of an unmanned aerial vehicle the problem of synthesis of control laws with given initial, finite values of the phase vector and intermediate values of different parts of coordinates at different moments of time is solved. A necessary and sufficient condition for the existence of program control and the corresponding motion is formulated. The control functions and corresponding phase trajectories of motion are constructed. As an application of the proposed approach, explicit expressions of the program control function and program motion are constructed for specific numerical values.

Keywords: unmanned aerial vehicle, flight control, intermediate conditions, phase trajectories.