Научная статья на тему 'Об одной задаче расчета газовых сетей и единственности ее решения'

Об одной задаче расчета газовых сетей и единственности ее решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
141
34
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Божинский Иван Андреевич, Евдокимов Анатолий Гаврилович, Седак Владимир Степанович

Математически формулируется прямая задача анализа газораспределения в региональных газовых сетях, доказывается единственность ее решения и дается оценка скорости сходимости этого решения для метода Ньютона и покоординатного спуска.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The task of gas distribution systems calculation and its unique solving

The gas distribution problem in gas networks is analysed, the uniqueness of its solving is prooved, the estimation of convergence of methods for its solution is described.

Текст научной работы на тему «Об одной задаче расчета газовых сетей и единственности ее решения»

УДК 681.32:519.713

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ РАСЧЕТА ГАЗОВЫХ СЕТЕЙ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ЕЕ РЕШЕНИЯ

БОЖИНСКИЙ ИА, ЕВДОКИМОВА.Г., СЕДАКB.C.

Математически формулируется прямая задача анализа газораспределения в региональных газовых сетях, доказывается единственность ее решения и дается оценка скорости сходимости этого решения для метода Ньютона и покоординатного спуска.

Для решения задач расчета газовых сетей на ЭВМ на этапах эксплуатации и проектирования применяется модель установившегося потокораспределения, базирующаяся на следующих предпосылках [ 1]:

— сеть представляет собой систему взаимодействия большого количества двухполюсных элементов двух типов- регулирующих элементов (регуляторов) и линий связи;

— входами являются все узловые вершины, через которые газ поступает в сеть, а ее выходами- все узловые вершины, через которые производится отбор газа из сети;

— к регулирующим элементам (регуляторам) отнесем: газораспределительные станции, промежуточные регуляторные пункты, газорегуляторные пункты (ГРП), газорегуляторные устройства, шкафные регуляторные пункты (ШРП). Этими регуляторами, представляющими собой набор промышленных регуляторов, соединенных по той или иной схеме, оснащена сеть газоснабжения;

— линии связи, представляющие собой участки трубопровода, являются пассивными элементами. К ним также отнесем различные регулируемые и нерегулируемые задвижки и другую арматуру;

— общий поток газа, подаваемый в сеть, равен суммарному потоку, отбираемому из сети;

— в газораспределительных сетях имеют место законы Кирхгофа (постулаты сетей);

— для представления структуры сети в виде линейного связного графа реальная сеть дополняется нулевой вершиной и фиктивными участками, соединяющими эту вершину со всеми входами и выходами.

Следует отметить, что для k-го уровня региональной газовой сети входами являются выходы регуляторов, соединяющих эту сеть с сетью (k -1) -го уровня, а выходами — нагрузки и входы регуляторов, связывающих k-й и (k +1) -й уровень газовых сетей.

Поскольку в нормальном режиме функционирования модели отдельных уровней развязаны через регуляторы давления, то расчеты сетей на этапе проектирования и реконструкции сводятся к расчетам отдельных уровней.

Предположим, что весь газ для отдельного уровня находится в хранилище с давлением Р0 = 0.

Покажем это хранилище на расчетной схеме в виде нулевого узла и соединим узел фиктивными ветвями с выходами и входами соответствующего уровня исходной сети. Ветви с фиктивными источниками, заменившими входные регуляторы давления, считаем направленными от нулевого узла, а остальные фиктивные ветви (стоки), эквивалентные выходным регуляторам давления уровня или потребителям, от узлов сети к нулевому.

Таким образом, наша расчетная сеть содержит участки трех типов: реальные, фиктивные с источниками и фиктивные с нагрузками или выходными регуляторами. Последние иногда называют стоками. Множество реальных участков сети обозначим через М, стоков через N, а фиктивных источников через L. Такую сеть можно рассматривать как транспортную. Для нее справедливо следующее:

алгебраическая сумма расходов по любому узлу равна нулю;

алгебраическая сумма потерь напора по любому замкнутому циклу равна нулю.

Рассмотрим подробнее модели газовых сетей низкого, среднего и высокого давления. Начнем с сетей низкого давления.

Сети низкого давления питаются через ГРП или ШРП, снижающий давление до 3 кПа. Считаем, что местоположение пунктов, играющих роль активных источников, заранее известно, определены геометрическая структура сети низкого давления, диаметры ее участков, а также нагрузки потребителей, отнесенные к узлам (узловые расходы).

Для реальных участков этой сети, включая участки трубопроводов, к которым подключены выходы ГРП, характерно

115400

qjijг у

4

d

, если Re. < 1185;

(1)

h. =

J

q. q. l.Y v0,25

46,72 ' --------,если 1185 < Re. < Rej4);(2)

64-

qklhy

dj(2lg—+1,74)2 0,02

, если Re. > Re.

(3)

где

Rej =

q.

vd.

d. (

Re. гр = 18,6—— •|гр 0,02

1,74 + 2lg

d. ^

V

0,02

(4)

(5)

Выражение (1) соответствует случаю ламинарного движения газа, (2) — области гидравлической гладкости труб, а (3) — области гидравлической шероховатости. Здесь Re — число Рейнольдса; h. — потеря давления на j-м участке, Па; d. — диаметр j-го участка газопровода, м; q. — расход газа по j-му участку, м3/ч; 1. — длина j-го участка газопро-

РИ, 2001, № 2

149

вода, м; g — плотность газа, кг/м3; n — кинематическая вязкость газа, м2/с.

Очевидно, что узловые расходы совпадают с расходами по стокам. Для k-го узла соответствующий сток можно характеризовать дугой (k, 0) с узловым расходом qk,o и падением давления hk0, равным давлению в k-м узле сети, поскольку давление Po=0, т.е.

hk0 = Pk - P0 = Pk • (6)

Разность давления на фиктивном источнике, заме -нившем ГРП или ШРП,

h(a) = h(a) = P0 - P.=-P. , (7)

где j —узел, являющийся выходом j-го ГРП или ШРП.

Сформулируем математическую модель установившегося потокораспределения в газовой сети низкого давления, позволяющую однозначно отобразить взаимосвязь между параметрами, переменными и геометрической структурой сети [1]:

выражения (1)-(5):

fr = hr + 2 binhi = 0 (r є M2); (8)

lCMi ' '

fr = -К + hf + ХМ, = 0 (r 6 L2);

(9)

ieM.

fr = KHI -h'f1 + XM = 0 (r6N2); (10)

q, = Ebiriq. +Qi = 0 (l є Mi ^ M (1l)

reM2 UL2 ? V /

где Qi =Z bir,qr Iі є Mi u LJ . (12)

Здесь b щ—элемент цикл оматической матрицы для ветвей дерева В1. Дерево графа сети выбрано таким образом, чтобы в его ветви вошли реальные участки и одна фиктивная с активным источником. Индекс 1 — признак ветви дерева, 2 — признак хорды. Очевидно, множество дуг M , N и L соответственно разбивается на подмножества M = Mi u M2, L = Li и L2, N = N2, т.е. N =0 . Ветвь дерева с активным источником обозначена номером 1, т.е. L = {i} .

Отличие математической модели газовых сетей высокого и среднего давления от сетей низкого сводится к следующему:

в качестве параллельной переменной принимается не разность давления, а разность квадратов давлений;

необходимо учитывать сжимаемость газа и зависимость его аэродинамического сопротивления от температуры.

Для i-го участка трубопровода [1]

hi = PiH - Plk = ri|qi|qi. (13)

где _ ^ll Ti ср Zi ср r. ~ а2ф2 (i,64 •!0~6)2d15’2E12 ' (14)

Здесь PlH — давление в начале i-го участка; Plk — давление в конце i-го участка; Д — относительная плотность газа по воздуху; і, — длина i-го расчетного участка; T, ср и Z, ср — средние температура транспортируемого газа и коэффициент сжимаемости по длине i-го участка; а, — поправочный коэффициент, учитывающий отклонение режима течения газа от квадратичного режима на і-м участке; ф, — коэффициент, фиксирующий влияние подкладочных колец; d, — внутренний диаметр газопровода на i-м участке; E, — коэффициент эффективности i-го участка; q, — коммерческий расход на i-м участке.

Движение газа в региональных системах газоснабжения принято считать изотермическим, т.е. его температура приравнивается к температуре грунта на глубине залегания труб. Однако в случае, когда газ в сеть поступает из различных источников (местное месторождение, магистральный газопровод), можно наблюдать резкий контраст температур, что оказывает определенное влияние на газораспределение в сети. В этих случаях при расчетах необходимо учитывать показатели температуры.

Среднее значение температуры T, ср на i-м расчетном участке вычисляют по формуле В. Г. Шухова:

T.

і cp

273 +1 + (1|н 1 ср Xі e—)

41 ОД, :

(15)

где 1 ср — среднегодовая (или средняя за сезон, месяц) температура грунта на глубине заложения газопровода; 1ін — температура газа в начале участка; ©, = 62,6KTdlh /i06q. ДСр; KT — коэффициент теплопередачи от газа к грунту; dlh — наружный диаметр участка газопровода; CP — теплоемкость газа.

Математическая модель газовой сети высокого и среднего давления в установившемся режиме описывается уравнениями (8)-(15).

Если в уравнениях (8)-(12) задать давления на входах сети и расходы на её выходах, а в магистральных участках вычислить аэродинамические сопротивления согласно выражению (13) (для сетей высокого или среднего давления) и согласно выражениям (1)-(3) (для сетей низкого давления), то уравнения (8)-(12) будут разрешимы относительно остальных расходов и потерь напора в этой сети и, как будет показано далее, иметь единственное решение. Назовём эту задачу прямой задачей анализа, а её решение на ЭВМ — имитационным моделированием газораспределения в сети.

Уметь решать такую задачу исключительно важно при проектировании и эксплуатации региональной сети газоснабжения, поскольку это позволит предвидеть (заранее проанализировать), что произойдет в сложной сети при изменении ее параметров или структуры.

Отметим также, что при выбранном кодировании сети решение прямой задачи анализа сводится к решению только двух систем нелинейных уравне -ний (8), (9) относительно переменных qr(r є M2 u L2) при линейных связях (11), по-

150

РИ, 2001, № 2

скольку после их решения hr(H) (г є N2), совпадающее с давлением на нагрузках, согласно (10) вычисляется по формулам

hr(H) = h(a) blnh,(q1) (г Є N2). (16)

Покажем, что для региональных газовых сетей эта задача имеет единственное решение, а скорость сходимости из любой начальной точки сверхлинейна для метода Ньютона и линейна для наискорей -шего спуска.

Рассмотрим следующую функцию:

У = X Ej hj(qi)dqi + Е (-hra) + h?^ (17)

2 jeM гєЬ2

при условии (11).

Взяв производные этой функции по составляющим вектора q2 при условии (11) и учитывая, что из

Mi - b

этого условия _ ь1п ,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5qr

получим систему уравне-

ний (8), (9) при условии (11). Таким образом, стационарные точки функции (17) при условии (11) совпадают с корнями системы уравнений (8) -(11), а матрица Гесса H для функции (17) при условии (11) совпадает с матрицей Якоби W системы уравнений (8), (9), (11). Элементы этой матрицы вычисляются по формулам:

W

5hr(qJ +

Sqr

Z(biJ

ieMi

dhifai)

Sqi

(ГєM2 ul2), (18)

(W*L

уь b

Z-iu1riu1ki ~

ieMi cq

(r,k Є M2 Ulj, (19)

где hj(qJ 0є M) — задаются выражениями (1)-(3) для сетей низкого давления и (13) — для сетей среднего и высокого давления.

Вычислим квадратичную дифференциальную форму функции (17) при условии (11), учитывая, что

здесь у > 0 — произвольно малая постоянная [2].

Если у(х) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, то условие сильной выпуклости (23) эквивалентно условию:

ДхТн(х)Дх < ш||лх|Г, (24)

здесь ш > 0, а х и Дх — произвольные векторы из Rn .

Матрица H(q) — положительно определена для всех q, удовлетворяющих условию (11), её собственные числа положительны и, следовательно, в качестве m можно выбрать наименьшее число X min среди собственных чисел всех матриц H(q), где q удовлетворяет первому постулату сетей. Действительно,

AqTH(q)Aq2 = Е^гAqr2 min Е Aq2 (25)

ГЄМ2 reM2

для всех q, удовлетворяющих уравнениям (11).

Сильная выпуклость функции (17) при условии (11) значительно упрощает решение прямой задачи анализа, поскольку большинство итерационных методов будет приводить к цели при любых начальных приближениях. Кроме того, согласно [2] решение системы уравнений (8), (9), (11) методом наискорейшего спуска сходится с линейной скоростью, а методом Ньютона — со сверхлинейной.

Прямая задача анализа является одной из важнейших для ЛПР (лицо, принимающее решение) при решении задач рациональной эксплуатации (включая оперативное управление) и развития газовой сети, поскольку ее решение позволяет промоделировать любую ситуацию и получить при этом не только ожидаемое газораспределение, но и значения многих важных для ЛПР критериев, таких как энергетические или эксплуатационные затраты, стоимость проектирования системы, суммарные избыточные давления и многие другие.

i,b“Aqr =Aqi- (20)

1

2

AqTWAq;

3hj(qj) 2

= / —-——Aq2 > 0,

jcM

(21)

поскольку для функций (20) (высокое и среднее давление) и для функций (1)-(3) (низкое давление)

УГ > 0 (j є M).

aqj

(22)

Следовательно, функция (17) при условии (11) выпукла и имеет одну стационарную точку-минимум, а система (8)-( 11) имеет единственное решение.

Докажем, что эта функция не только выпукла, но и сильно выпукла.

Напомним, что функция у(х) называется сильно выпуклой, если для любых хі, х2 є Rn выполняется условие:

У

Х1 + Х2 2

^д[у(хі)+Их0]-Y^i + HI2, (23)

Литература: 1. ЕвдокимовА.Г., ТевяшевА.Д., Дубровский В.В. Моделирование потокораспределением в инженерных сетях. М.: Стройиздат. 1990. 368 с. 2. Пшеничный Б.И., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. 319 с.

Поступила в редколлегию 31.01.2001

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Шабанов- Кушнаренко Ю.П.

Божинский Иван Андреевич, председатель управления ОАО “Харьковгаз”. Научные интересы: рациональное управление региональными системами газоснабжения. Адрес: Украина, 61022, Харьков, Госпром.

Евдокимов Анатолий Гаврилович, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики Харьковской государственной академии городского хозяйства. Научные интересы: моделирование и оптимизация потокораспределения в инженерных сетях, математическое программирование. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Революции, 12.

Седак Владимир Степанович, канд. техн. наук, зам. председателя управления, главный инженер ОАО “Харьковгаз”. Научные интересы: рациональное управление региональными системами газоснабжения. Адрес: Украина, 61022, Харьков, Госпром.

РИ, 2001, № 2

151

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.