CC BY
38
УДК 681.32:519.713
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ РАСЧЕТА ГАЗОВЫХ СЕТЕЙ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ЕЕ РЕШЕНИЯ
БОЖИНСКИЙ ИА, ЕВДОКИМОВА.Г., СЕДАКB.C.
Математически формулируется прямая задача анализа газораспределения в региональных газовых сетях, доказывается единственность ее решения и дается оценка скорости сходимости этого решения для метода Ньютона и покоординатного спуска.
Для решения задач расчета газовых сетей на ЭВМ на этапах эксплуатации и проектирования применяется модель установившегося потокораспределения, базирующаяся на следующих предпосылках [ 1]:
— сеть представляет собой систему взаимодействия большого количества двухполюсных элементов двух типов- регулирующих элементов (регуляторов) и линий связи;
— входами являются все узловые вершины, через которые газ поступает в сеть, а ее выходами- все узловые вершины, через которые производится отбор газа из сети;
— к регулирующим элементам (регуляторам) отнесем: газораспределительные станции, промежуточные регуляторные пункты, газорегуляторные пункты (ГРП), газорегуляторные устройства, шкафные регуляторные пункты (ШРП). Этими регуляторами, представляющими собой набор промышленных регуляторов, соединенных по той или иной схеме, оснащена сеть газоснабжения;
— линии связи, представляющие собой участки трубопровода, являются пассивными элементами. К ним также отнесем различные регулируемые и нерегулируемые задвижки и другую арматуру;
— общий поток газа, подаваемый в сеть, равен суммарному потоку, отбираемому из сети;
— в газораспределительных сетях имеют место законы Кирхгофа (постулаты сетей);
— для представления структуры сети в виде линейного связного графа реальная сеть дополняется нулевой вершиной и фиктивными участками, соединяющими эту вершину со всеми входами и выходами.
Следует отметить, что для k-го уровня региональной газовой сети входами являются выходы регуляторов, соединяющих эту сеть с сетью (k -1) -го уровня, а выходами — нагрузки и входы регуляторов, связывающих k-й и (k +1) -й уровень газовых сетей.
Поскольку в нормальном режиме функционирования модели отдельных уровней развязаны через регуляторы давления, то расчеты сетей на этапе проектирования и реконструкции сводятся к расчетам отдельных уровней.
Предположим, что весь газ для отдельного уровня находится в хранилище с давлением Р0 = 0.
Покажем это хранилище на расчетной схеме в виде нулевого узла и соединим узел фиктивными ветвями с выходами и входами соответствующего уровня исходной сети. Ветви с фиктивными источниками, заменившими входные регуляторы давления, считаем направленными от нулевого узла, а остальные фиктивные ветви (стоки), эквивалентные выходным регуляторам давления уровня или потребителям, от узлов сети к нулевому.
Таким образом, наша расчетная сеть содержит участки трех типов: реальные, фиктивные с источниками и фиктивные с нагрузками или выходными регуляторами. Последние иногда называют стоками. Множество реальных участков сети обозначим через М, стоков через N, а фиктивных источников через L. Такую сеть можно рассматривать как транспортную. Для нее справедливо следующее:
алгебраическая сумма расходов по любому узлу равна нулю;
алгебраическая сумма потерь напора по любому замкнутому циклу равна нулю.
Рассмотрим подробнее модели газовых сетей низкого, среднего и высокого давления. Начнем с сетей низкого давления.
Сети низкого давления питаются через ГРП или ШРП, снижающий давление до 3 кПа. Считаем, что местоположение пунктов, играющих роль активных источников, заранее известно, определены геометрическая структура сети низкого давления, диаметры ее участков, а также нагрузки потребителей, отнесенные к узлам (узловые расходы).
Для реальных участков этой сети, включая участки трубопроводов, к которым подключены выходы ГРП, характерно
115400
qjijг у
4
d
, если Re. < 1185;
(1)
h. =
J
q. q. l.Y v0,25
46,72 ' --------,если 1185 < Re. < Rej4);(2)
64-
qklhy
dj(2lg—+1,74)2 0,02
, если Re. > Re.
(3)
где
Rej =
q.
vd.
d. (
Re. гр = 18,6—— •|гр 0,02
1,74 + 2lg
d. ^
V
0,02
(4)
(5)
Выражение (1) соответствует случаю ламинарного движения газа, (2) — области гидравлической гладкости труб, а (3) — области гидравлической шероховатости. Здесь Re — число Рейнольдса; h. — потеря давления на j-м участке, Па; d. — диаметр j-го участка газопровода, м; q. — расход газа по j-му участку, м3/ч; 1. — длина j-го участка газопро-
РИ, 2001, № 2
149
вода, м; g — плотность газа, кг/м3; n — кинематическая вязкость газа, м2/с.
Очевидно, что узловые расходы совпадают с расходами по стокам. Для k-го узла соответствующий сток можно характеризовать дугой (k, 0) с узловым расходом qk,o и падением давления hk0, равным давлению в k-м узле сети, поскольку давление Po=0, т.е.
hk0 = Pk - P0 = Pk • (6)
Разность давления на фиктивном источнике, заме -нившем ГРП или ШРП,
h(a) = h(a) = P0 - P.=-P. , (7)
где j —узел, являющийся выходом j-го ГРП или ШРП.
Сформулируем математическую модель установившегося потокораспределения в газовой сети низкого давления, позволяющую однозначно отобразить взаимосвязь между параметрами, переменными и геометрической структурой сети [1]:
выражения (1)-(5):
fr = hr + 2 binhi = 0 (r є M2); (8)
lCMi ' '
fr = -К + hf + ХМ, = 0 (r 6 L2);
(9)
ieM.
fr = KHI -h'f1 + XM = 0 (r6N2); (10)
q, = Ebiriq. +Qi = 0 (l є Mi ^ M (1l)
reM2 UL2 ? V /
где Qi =Z bir,qr Iі є Mi u LJ . (12)
Здесь b щ—элемент цикл оматической матрицы для ветвей дерева В1. Дерево графа сети выбрано таким образом, чтобы в его ветви вошли реальные участки и одна фиктивная с активным источником. Индекс 1 — признак ветви дерева, 2 — признак хорды. Очевидно, множество дуг M , N и L соответственно разбивается на подмножества M = Mi u M2, L = Li и L2, N = N2, т.е. N =0 . Ветвь дерева с активным источником обозначена номером 1, т.е. L = {i} .
Отличие математической модели газовых сетей высокого и среднего давления от сетей низкого сводится к следующему:
в качестве параллельной переменной принимается не разность давления, а разность квадратов давлений;
необходимо учитывать сжимаемость газа и зависимость его аэродинамического сопротивления от температуры.
Для i-го участка трубопровода [1]
hi = PiH - Plk = ri|qi|qi. (13)
где _ ^ll Ti ср Zi ср r. ~ а2ф2 (i,64 •!0~6)2d15’2E12 ' (14)
Здесь PlH — давление в начале i-го участка; Plk — давление в конце i-го участка; Д — относительная плотность газа по воздуху; і, — длина i-го расчетного участка; T, ср и Z, ср — средние температура транспортируемого газа и коэффициент сжимаемости по длине i-го участка; а, — поправочный коэффициент, учитывающий отклонение режима течения газа от квадратичного режима на і-м участке; ф, — коэффициент, фиксирующий влияние подкладочных колец; d, — внутренний диаметр газопровода на i-м участке; E, — коэффициент эффективности i-го участка; q, — коммерческий расход на i-м участке.
Движение газа в региональных системах газоснабжения принято считать изотермическим, т.е. его температура приравнивается к температуре грунта на глубине залегания труб. Однако в случае, когда газ в сеть поступает из различных источников (местное месторождение, магистральный газопровод), можно наблюдать резкий контраст температур, что оказывает определенное влияние на газораспределение в сети. В этих случаях при расчетах необходимо учитывать показатели температуры.
Среднее значение температуры T, ср на i-м расчетном участке вычисляют по формуле В. Г. Шухова:
T.
і cp
273 +1 + (1|н 1 ср Xі e—)
41 ОД, :
(15)
где 1 ср — среднегодовая (или средняя за сезон, месяц) температура грунта на глубине заложения газопровода; 1ін — температура газа в начале участка; ©, = 62,6KTdlh /i06q. ДСр; KT — коэффициент теплопередачи от газа к грунту; dlh — наружный диаметр участка газопровода; CP — теплоемкость газа.
Математическая модель газовой сети высокого и среднего давления в установившемся режиме описывается уравнениями (8)-(15).
Если в уравнениях (8)-(12) задать давления на входах сети и расходы на её выходах, а в магистральных участках вычислить аэродинамические сопротивления согласно выражению (13) (для сетей высокого или среднего давления) и согласно выражениям (1)-(3) (для сетей низкого давления), то уравнения (8)-(12) будут разрешимы относительно остальных расходов и потерь напора в этой сети и, как будет показано далее, иметь единственное решение. Назовём эту задачу прямой задачей анализа, а её решение на ЭВМ — имитационным моделированием газораспределения в сети.
Уметь решать такую задачу исключительно важно при проектировании и эксплуатации региональной сети газоснабжения, поскольку это позволит предвидеть (заранее проанализировать), что произойдет в сложной сети при изменении ее параметров или структуры.
Отметим также, что при выбранном кодировании сети решение прямой задачи анализа сводится к решению только двух систем нелинейных уравне -ний (8), (9) относительно переменных qr(r є M2 u L2) при линейных связях (11), по-
150
РИ, 2001, № 2
скольку после их решения hr(H) (г є N2), совпадающее с давлением на нагрузках, согласно (10) вычисляется по формулам
hr(H) = h(a) blnh,(q1) (г Є N2). (16)
Покажем, что для региональных газовых сетей эта задача имеет единственное решение, а скорость сходимости из любой начальной точки сверхлинейна для метода Ньютона и линейна для наискорей -шего спуска.
Рассмотрим следующую функцию:
У = X Ej hj(qi)dqi + Е (-hra) + h?^ (17)
2 jeM гєЬ2
при условии (11).
Взяв производные этой функции по составляющим вектора q2 при условии (11) и учитывая, что из
Mi - b
этого условия _ ь1п ,
5qr
получим систему уравне-
ний (8), (9) при условии (11). Таким образом, стационарные точки функции (17) при условии (11) совпадают с корнями системы уравнений (8) -(11), а матрица Гесса H для функции (17) при условии (11) совпадает с матрицей Якоби W системы уравнений (8), (9), (11). Элементы этой матрицы вычисляются по формулам:
W
5hr(qJ +
Sqr
Z(biJ
ieMi
dhifai)
Sqi
(ГєM2 ul2), (18)
(W*L
уь b
Z-iu1riu1ki ~
ieMi cq
(r,k Є M2 Ulj, (19)
где hj(qJ 0є M) — задаются выражениями (1)-(3) для сетей низкого давления и (13) — для сетей среднего и высокого давления.
Вычислим квадратичную дифференциальную форму функции (17) при условии (11), учитывая, что
здесь у > 0 — произвольно малая постоянная [2].
Если у(х) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, то условие сильной выпуклости (23) эквивалентно условию:
ДхТн(х)Дх < ш||лх|Г, (24)
здесь ш > 0, а х и Дх — произвольные векторы из Rn .
Матрица H(q) — положительно определена для всех q, удовлетворяющих условию (11), её собственные числа положительны и, следовательно, в качестве m можно выбрать наименьшее число X min среди собственных чисел всех матриц H(q), где q удовлетворяет первому постулату сетей. Действительно,
AqTH(q)Aq2 = Е^гAqr2 min Е Aq2 (25)
ГЄМ2 reM2
для всех q, удовлетворяющих уравнениям (11).
Сильная выпуклость функции (17) при условии (11) значительно упрощает решение прямой задачи анализа, поскольку большинство итерационных методов будет приводить к цели при любых начальных приближениях. Кроме того, согласно [2] решение системы уравнений (8), (9), (11) методом наискорейшего спуска сходится с линейной скоростью, а методом Ньютона — со сверхлинейной.
Прямая задача анализа является одной из важнейших для ЛПР (лицо, принимающее решение) при решении задач рациональной эксплуатации (включая оперативное управление) и развития газовой сети, поскольку ее решение позволяет промоделировать любую ситуацию и получить при этом не только ожидаемое газораспределение, но и значения многих важных для ЛПР критериев, таких как энергетические или эксплуатационные затраты, стоимость проектирования системы, суммарные избыточные давления и многие другие.
i,b“Aqr =Aqi- (20)
1
2
AqTWAq;
3hj(qj) 2
= / —-——Aq2 > 0,
jcM
(21)
поскольку для функций (20) (высокое и среднее давление) и для функций (1)-(3) (низкое давление)
УГ > 0 (j є M).
aqj
(22)
Следовательно, функция (17) при условии (11) выпукла и имеет одну стационарную точку-минимум, а система (8)-( 11) имеет единственное решение.
Докажем, что эта функция не только выпукла, но и сильно выпукла.
Напомним, что функция у(х) называется сильно выпуклой, если для любых хі, х2 є Rn выполняется условие:
У
Х1 + Х2 2
^д[у(хі)+Их0]-Y^i + HI2, (23)
Литература: 1. ЕвдокимовА.Г., ТевяшевА.Д., Дубровский В.В. Моделирование потокораспределением в инженерных сетях. М.: Стройиздат. 1990. 368 с. 2. Пшеничный Б.И., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. 319 с.
Поступила в редколлегию 31.01.2001
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Шабанов- Кушнаренко Ю.П.
Божинский Иван Андреевич, председатель управления ОАО “Харьковгаз”. Научные интересы: рациональное управление региональными системами газоснабжения. Адрес: Украина, 61022, Харьков, Госпром.
Евдокимов Анатолий Гаврилович, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики Харьковской государственной академии городского хозяйства. Научные интересы: моделирование и оптимизация потокораспределения в инженерных сетях, математическое программирование. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Революции, 12.
Седак Владимир Степанович, канд. техн. наук, зам. председателя управления, главный инженер ОАО “Харьковгаз”. Научные интересы: рациональное управление региональными системами газоснабжения. Адрес: Украина, 61022, Харьков, Госпром.
РИ, 2001, № 2
151
