Об одной задаче преследования, описываемой уравнениями в частных производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Маматов М.Ш. ©

Доктор физико-математических наук,

Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, Ташкент, Узбекистан

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ, ОПИСЫВАЕМОЙ УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ

ПРОИЗВОДНЫХ

Аннотация

Работа посвящена изучению одного класса дифференциальных игр, которое описывается уравнениями параболического типа. Решается игровая задача со смешанными и начальными условиями.

Ключевые слова: преследование, преследующий, убегающий, управление преследования,

управление убегания.

Keywords: pursuit, pursuer, evader, pursuit control, evasion control.

1. Рассматривается игровая задача, описываемая уравнением

дz д 2 z ... .

-—— =- и (X,t) + V (X,t), (1)

о t о X

(х, t) £ D = {(x, t) : 0 < x < 1, 0 < t < T};

z(х,0) = f (x), 0 < x < 1, (2)

z(x,0) = z(1, t) = 0, 0 < t < T, (3)

где u ,V - управляющие параметры, и £ P - управление преследования, V £ Q - управление

убегание P и Q -непустые компакты в R1 . Далее в R1 выделено непустое терминальное

множество eJ + M1, здесь e > 0 число, I = (- 1;1)- отрезок, M1 подмножество R1 . Игра (1)-(3) считается завершенным, если z(х0, t0)£ el + Mx для некоторого х0, 0 < х0 < 1 и t0 , 0 < t0 < T.

Предположим, что существует и притом единственное достаточно гладкое решение z( X, t) задача (1)-(3) при любых допустимых значений управляющих параметров и = и(х, t) и V = V (х, t).

2. В области D выберем сеть узловых точек (х{, tk) на пересечения координатных линий

1 T

х = х{, х{ = in, h = —; t = tk, tk = kl, l = —. В качестве аппроксимации задачи (1)-(3) примем n k

сеточную задачу

zi,k + 1 - zi,k zi- 1,k _ 2zi,k + zi+ 1,k . „ f Л\

—------------------h----------=‘ Ui* • (4)

i = 1,2,...,n- 1; k = 0,1,...,r- 1;

zi,0 = f (ihX i = 1•2•...•n - 1 (5)

z0,k = z„,k = 0 k = Г (6)

где ui,k = u(ih, kl) £ P, V ik = V (ih, kl) £ Q - управляющие параметры.

Уравнение (4) являются простейшим из всех известных разностных уравнений,

соответствующих (1). Решение дискретной задачи (4)-(6) осуществляется следующим образом. По известным начальным значением zi 0 и ui 0, V i,0 (i = 0,1,...,n) вычисляются по той же формуле (4) значения, zu(i = 1,2,..., n - 1) а z01 = zn,

1 = 0 по (6). Далее, по найденным значениям zi,1(i" = 0,1,..., n)

, uu и V u вычисляются по той же формуле (4) значения, zi 2(i' = 1,2,...,n- 1) а z0 2 = zn 2 = 0 по (6) и так далее. Определение значений искомой функции по формуле (4) на (к+1)-м слое ((к+1)-м слоем мы будем называть совокупность узлов х = ih (i = 1,2,...,n), t = (k + 1)l) по ее значениям на k-м слое

и граничным значениям z0k и znk есть процесс решения «по шагам».

© Маматов М.Ш., 2013 г.

-k +1

Czk- luk +lu k, k - 0,1v5 r -1; z0- f,

где zk - искомые матрицы столбцы zk - (z1>k,z2,к ’•••, zn-и X ик и V к - управляющие параметры

ик - (и\,к,и2,к>•••>ип- 1,кX и к - (и 1,к,и 2,к, . п- 1,кX / - начальный вектор

/ - (/(Ь), /(2^), •••, /((п - 1)^)), С - (п - 1) мерная квадратная Якобиева (трехдиагональная) матрица вида

( 21 1

0

C-

l 2 l

" h2 h2

l 1 - * h2 l

h h7

0 l h7

2l h 2

Пусть теперь в Rn~1 выделено терминальное множество М.

4.Предложим, что в игре (7) M = M0 + M1, где M0-линейное пространство Rn~1, M1 -подмножество подпространство L - ортогонального дополнения M0 в Rn~1. Через П - обозначим матрицу ортогонального проектирования из Rn~1 на L, через A + 5 и A -B соответственно алгебраическую сумму и геометрическую разность множеств A, B ,

P = Р хРх ...хР б = QxQx...xQ M1 = М. х Mjx...x M/1

n-1 n-1 7

f = dim L.,

Пусть Ж(0) ={0}, W(m) =Х'[П CklP-П Ck/Ql, для m = 1,2,...,r - 1; W1(m) = M1 + W(m) для

k = 0

всех m = 0,1,...,r - 1.

Теорема 1. Предположим, что N - наименьшее из тех чисел m , для каждого из которых имеет место включение П Cmz0 е W1(m) . Тогда из точки z0 возможно завершение преследования за N шагов.

5. В этом пункте и в дальнейшем рассматривается дифференциальная игра описываемая уравнениями

3 z 3 2 z ... .

------- =- u(x, t) + V (x, t), (8)

31 3 x

(x, t) е D = {(x, t) : - m< x <+¥ ,0 < t < T};

z (x,0) = f (x), - ¥ < x < + ¥ , (9)

где u ,V - управляющие параметры, uе P - управление преследования, V е Q -

управление убегания. Далее в R1 выделено непустое терминальное множество el + M1, здесь 8 > 0 число, l = (- 1;1)- отрезок, M1 подмножество R1 . Игра (8)-(9) считается завершенным, если z(x0,10)е el + M1 для некоторого x0, - м < x0 < + м и 10 , 0 < t0 < T.

Предложим, что существует и притом единственное достаточно гладкое решение z( x, t) задача (8)-(9) при любых допустимых значений управляющих параметров u = u(x, t) и V = V (x, t).

6. В качестве аппроксимации задачи (8)-(9) примем сеточную задачу

i,k +1

i - 1,k

2 zi,k + 1, k

l h2

i - 0,± 1,_; k - 1,_[T/1]- 1;

zi,0 - f (ihX i - 0,± V-,

- uik + u i,k '

(10)

(11)

z

z

k

Г,, к + ! = -у Г,- и + (1 - -у)Г,,к + Г,,к + 1 - ІКг,к + Іи г,к , (12)

где иик - и(гИ, кТ) е Р, V г,к - V (гИ, кТ) е ^ - управляющие параметры^ Решение дискретной задачи

(10) осуществляется точно также как (4)

7^ Теперь для удобства запишем задачу (10), (11) в матричном виде

1 п 21,

и 2 ^- и +(- И2

г - 0, ± 1,_; к - 1,2,_, [Г//]- 1 Подставляя в этой уравнение значение г - 0, ± 1,_ получим бесконечную систему уравнений

-1- (1 21) 1_ 1 1

z- (п- 1),к +1 - , 2 z- (п- 1)-1,к + (1 , 2 )^- (п- 1),к + , 2 z- (п- 1)+ 1,к 1и- (п- 1),к + 1и -(п- 1),к ,

И ИИ

І 21 І

Г- і,к +1 = ^2 Г- 2,к + (1 - ^2)Г- 1,к + ^2 - ІК- і,к + /и - 1,к

І 2І І

Г0,к +1 - ТУ Г- 1,к + (1 - ТУ)Г0,к + ТУ Г1,к _ ІК0,к + Іи 0,к , я п п

І 21 І

Г1,к+1 = ту Г0,к + (1 - ту)Г1,к + ту Г2,к - Кк + /и 1,к , п п п

(13)

І 2І І

Гп- 1,к+ 1 - п2 Г- (п- 2)- 1,к + (1 п 2)Гп- 1,к + п2 Гп,к ІКп- 1,к + 1и п- 1,к

Теперь это уравнение запишем матричном виде

Гк+1 = Сгк - Іик +Іи к, к = 0,1,-5 [Т/1 ] -1; Г0 = У,

(14)

где Гк - искомые бесконечномерные матрицы столбцы

Гк - С-? Г-(п-1)- 1,к >•••> Г- 1,к, Г0,к, Г1,к >•••> Гп- 1,кэ—Х ик и V к - бесконечномерные управляющие

параметры

ик - (^^^, и - (п-1)- 1,к ,•••,и - 1,к , и0,к , и1,к ,•••, ип- 1,к ’•••), и к - ("ч и- (п-1)- 1,к 5•••5V- 1,к ,и 0,к ,и 1,к п- 1,к э-О, У -

начальный вектор тоже бесконечномерный

У = (•••,У(- (п- 1)h),...,У(- п),У(0),У(n),•••,У((п- 1)n)),•••), С - бесконечномерная квадратная трехдиагональная матрица вида

С =

1 2/

••• п7 п7

/

И2

2/

п2 п

0

0

1 -

п2

Рассмотрим линейное (Г ильбертово) пространство Н1 векторных функций вида

Zk - (^^^, Z- 1,к , Z0,k , г1,к ’•••), с некоторой нормой 11 2к | Норма элемента, может быть задана, например, одним из равенств

|| zk 11= sup| uik |, ||zk|| = (hI \ui,k\2)2 • i i= 0

В определении устойчивости и сходимости участвует норма, который определяется следующие образом

\zhl\H = max| zk |, k = 0,1,...,[T /1].

II iHh k

Пусть в H1 выделено терминальное множество M .

8. Предположим, что в игре (14) M = M0 + M1, где M 0 - линейное подпространство H1, M1 - подмножество подпространства L - ортогонального дополнения M0 в H1. Через П обозначим операцию ортогонального проектирования из H1 на L, а через A + B и A - B соответственно алгебраическую сумму и геометрическую разность множеств A, B ,

P = ...х Pх P х Pх ..., Q = ...х Q х Qх Qх ...,

M, = M, х M, х .х M, г

1 - 1 1 у_____1, j = dim L.

7

Пусть W(0) = {0}, W(m) = |'[гCk/P-ГCk/Q] для m = 1,2,..., [T//]- 1;

к = 0

W1 (m) = M1 + W (m) для всех m = 0,1,..., [T /1] - 1.

Теорема 2. Предположим, что N - наименьшее из тех чисел m , для каждого из которых имеет место включение П Cmz0 е W1(m) . Тогда из точки z0 можно завершить преследования за N шагов.

Литература

1. Авдонин С.А., Иванов С.В. Управляемость систем распределенными параметрами и семейства экспонент.

Учеб. пособие для Вузов. - Киев: УМКВО, 1989. - 244 с.

2. Маматов М.Ш. О применении метода конечных разностей к решению задача преследования в системах с

распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. - Москва. 2009. - № 8. - С.123-132.

3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики - М.: Наука, 1989. - 608 с.

4. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 570 с.