Об одной задаче оптимизации для управляемых дифференциальных включений с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.97 © С. О. Отакулов

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ1

Введение

Проблемы управления с учетом факторов неопределенности [1] и последействия приводят к необходимости исследования управляемых дифференциальных включений вида

х € Г(£,ж(£),ж(£ — Л,),и), (1)

где X = ^ж/^£, ж — п -вектор состояния, и — т -вектор управления, Л > 0, Г(£,ж,у,и) С Кп, В?1 — п-мерное евклидово пространство векторов Ж = (Ж1,...,Жга) с нормой ||ж|| = л/ (ж, ж) . В работах [2-4] для управляемых дифференциальных включений с запаздыванием изучены некоторые свойства совокупности траекторий, найдены необходимые и достаточные условия управляемости ансамбля траекторий линейной модели объекта управления (1). Здесь для одного класса дифференциальных включений (1) рассматривается задача оптимизации по минимаксному критерию. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности, которые позволяют, в частности, провести построение оптимального управляющего воздействия для системы с неточным параметром возмущения.

§ 1. Постановка минимаксной задачи

Пусть в (1) Г(^ ж,у,и) = А(£)ж + А(£)у + &(£,и), где А(£), А^) — п х п-матрицы, Ь(£, и) С Кп — непустой компакт из Кп. Тогда получим следующую модель

ж € А(£)ж + А^^ж^ — Л) + Ь(£, и), £ € Т = [£о, ^1 ], и € V. (2)

Предполагается, что: а) элементы матриц А(£), А(£) суммируемы на Т; многозначное отображение (£, и) ^ Ь(£, и) измеримо по £ и непрерывно по и € V, причем

вир ||вII ^ в1 (^),^(£, и) € Т х У,в1 (■) € ^(Т).

в&Ъ(Ь,и)

Определение 1. Измеримые ограниченные т -вектор-функции и = и(£),£ € Т такие, что и(£) € V почти всюду на Т, назовем допустимыми управлениями системы (2). Множество всех допустимых управлений системы (2) обозначим через и.

Определение 2. Допустимой траекторией, соответствующей управлению и(') € и и начальной функции ^о(-) € Сп(То), называется непрерывная на Т1 = [£о — Л, ^1] и абсолютно непрерывная на Т п -вектор-функция ж = ж(£), удовлетворяющая дифференциальному включению (2) и начальному условию ж(£) = ^о(^), ^ € То = [£о — Л,£о]•

Пусть Н(и, ^о) — множество всех допустимых траекторий системы (2), соответствующих управлению и(-) € V и начальной функции ^о(') € Сп(То), X(£, и, <^о) = (С € Кп : £ = ж(£), ж(-) € Н(и, ^о)}, £ € Т — ансамбль траекторий системы (2). Пусть на траекториях ж(-) € Н(и, <^о) определен терминальный функционал 7(ж(-)) = д(ж(£1)), где д(ж) = шш(г,ж),

2 — непустой компакт из Кп. Рассмотрим задачу минимизации функционала

С (и) = вир 7 (ж(-)), (3)

ж(-)еЯ (и,^о)

то есть минимаксную задачу

вир д(£) ^ ш1п, и € V. (4)

5еХ(*1 ,и,^о)

хРабота выполнена при финансовой поддержке Фонда фундаментальных исследований ЦНИТ РУз (грант №1Ф.1.1.16)

§2. Условия оптимальности

Пусть F(t, т) — n х n -матричная функция такая, что

= ~~ т + h)Ai(r + h), т ^t,

F(t, t — 0) = E, F(t, т) = 0, т ^ t + 0, где E — единичная n х n -матрица. Положим

г to+h

S (^o) = F(ti,to)^o (to) + / F(ti,t)Ai (t)^o(t — h)dt.

■Jto

Теорема 1. Для функционала (3) справедлива формула

z£coZ

tl

G(u) = min (S(^o ),z)+ / C (F (tl, t)b(t, u(t)), z)dt

to

где со2 — выпуклая оболочка множества 2, С^,г) = 8ир(д, г) — опорная функция ком-

деЯ

пакта Q С Кп .

Приведем необходимые и достаточные условия оптимальности для задачи (4).

Теорема 2. Для того, чтобы управление и*(£),£ € Т было оптимальным в задаче (4), необходимо и достаточно существование вектора г* € со2, являющегося точкой глобального минимума функции

^(г) = (£(^>о ),г)+ [ С (Г (£ь £)Ь(£, V), г)^£ (5)

Ло

для почти всех £ € Т.

Пусть в (2) Ь(£,и) = В(£)и + ^(£), где В(£) — п х т-матрица, элементы которой суммируемы на Т, ^(£) С Кп — непустой компакт из Кп, многозначное отображение £ ^ ^(£)

измеримо на Т, причем вир ||ш|| ^ ^о(£), ^о(-) € ^(Т). Тогда модель (2) описывает повешен (*)

дение системы управления

ж = А(£)ж(£) + А1 (£)ж(£ — Л) + В(£)и + ш(£), £ ^ £о, (6)

где ш(£) — параметр неизвестных внешних воздействий, ш(£) € ^(£), ш(-) € ^1 (£). Условие минимума (5) в минимаксной задаче (4) для системы (6) упрощается и принимает вид

(Г(£1,£)В(£)и*(£),г*) = шт(Е(£1 , £)В(£)-и,г*), £ € Т.

-иеУ

Список литературы

1. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

2. Исраилов И., Отакулов С. Об одном свойстве ансамбля траекторий дифференциального включения с запаздыванием //Труды международной научной конференции «Современные проблемы математической физики и информационной технологии». Ташкент. 2003. Т. 2. С. 213-215.

3. Otakulov S. On the minimization problem of reachable set eshimation of control system//Proc. IFAC Workshop on Generalized Solutions in Control Problems (GSCP-2004). Pereslavl-Zalessky. 2004. P. 212-217.

4. Отакулов С. Холиярова Ф.Х. К теории управляемых дифференциальных включений с запаздывающим аргументом//Докл.АН РУз. 2005. № 3. C. 14-17.

Отакулов Салим Отакулович Самаркандский государственный ун-т, Узбекистан, Самарканд e-mail: otakulov@mail.ru