Об управляемой дифференциальной системе с запаздыванием, имеющей фазовые ограничения по управлению Текст научной статьи по специальности «Математика»

Key words: controllable impulsive system with phase constrains by control and with delay; a-priori boundedness; differential inclusion with impulses.

Булгаков Александр Иванович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]

Малютина Елена Валерьевна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, аспирант кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]

Филиппова Ольга Викторовна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, ассистент кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]

УДК 517.911, 517.968

ОБ УПРАВЛЯЕМОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ИМЕЮЩЕЙ ФАЗОВЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ ПО

УПРАВЛЕНИЮ

(с) А.И. Булгаков, Е.А. Панасенко, А.О. Сергеева

Ключевые слова: управляемая система с фазовыми ограничениями по управлению, дифференциальное включение.

Для управляемой системы с запаздыванием получены оценки допустимых траекторий, аналогичные оценкам В.И. Благодатских, А.Ф. Филиппова. Сформулировано определение допустимой квазитраектории. Получены достаточные условия выполнения принципа плотности для рассматриваемой системы.

Данная статья является продолжением исследований, проведенных в работе [1].

Пусть Rn — п -мерное пространство с нормой | |, comp[Rn] — множество всех непустых компактов пространства Rn, р[-, •] — расстояние между точкой и множеством, /г[-, •] — расстояние по Хаусдорфу между множеством в пространстве Rn; Сп[а,Ь\ — пространство непрерывных функций х : [a,b\ —> R71 с нормой ||я||с[а ь] = max{|x(í)| : t G [а, 6]; Ь^[а, Ь] — пространство измеримых по Лебегу ограниченных в существенном функций х : [a, b] -* Rn с нормой II^Hloo[а,б] = vraisup{I : t G [a, b]} ; Dn[a, b] — пространство абсолютно непре-

ь

рывных функций х : [a, b] —> Rn с нормой ||ж||оп[а,ь] = 1х(а)1 + /l^(s)l ds'■> С+[а, 6] —

а

конус неотрицательных функций пространства С1 [а, 6]. Пусть А С comp[Rn]. Обозначим \А\ = max{|a| : а G А} , со А — выпуклая замкнутая оболочка множества А.

Пусть заданы непрерывная функция / : [а, 6] х Rn х R" ч R" и непрерывное по Хаусдорфу многозначное отображение U : [a, b] х Шп —у comp[Rm]. Рассмотрим управляемую систему с запаздыванием

х = f{t,x\p{t)\,u(t)), x(t)=ip(t), если p(t)<a, te[a,b], u(t) G [/(£, x[g(t)]), x(t) =ip(t), если g(t) < a,

x{a) = x0 (x0 G Rn), (2)

где непрерывные функции ip : (-сю, a) —>• Rn , ф : (—оо, а) —>• Rn ограничены, а непрерывные функции р : [а, 6] —► R, д : [a, b] -¥ R для любого t G [а, Ь] удовлетворяют неравенствам p(t) ^ t, g(t) ^ t.

Для удобства приведем некоторые определения и обозначения работы [1]. Пусть т € [а, 6]. Определим непрерывные операторы “Рт : Сп[а, т] —> Ь^[а, г], Ят : Сп[а, т] -» ЦЦа, г] равенствами

Под допустимым управлением на отрезке [а, т] (т 6 (а, &]) системы (1) будем понимать такую измеримую по Лебегу функцию и : [а, т] —» Ет , для которой существует абсолютно непрерывная функция х : [а, т] —У Мп , что при почти всех £ Е [а, т] выполняется включение

и начальному условию (2). Пару (и, х) будем называть допустимой на отрезке [а, т]. Систему (1) будем называть управляемой системой с фазовыми ограничениями по управлению, поскольку выбор управления зависит от состояния управляемого объекта.

Как отмечалось в работе [1], управляемая система (1) с начальным состоянием (2) эквивалентна задаче Коши с начальным условием (2) для дифференциального включения

Включение (7) будем называть дифференциальным включением, порожденным управляемой системой (1). Оно описывает все множество фазовых траекторий управляемой системы (1).

Пусть Н(хо,т) — множество всех допустимых пар управляемой системы (1) с начальным состоянием (2) на отрезке [а, т](т Е (а, Ь]).

Будем говорить, что множество допустимых пар управляемой системы (1) с начальным состоянием (2) априорно ограничено, если найдется такое число г > 0, что для всякого т (а, Ь] не существует допустимой пары (и, х) 6= Н(хо,т), для которой выполняется неравенство ||я||сп[а,т] > т •

Определим отображение .Р : [а, 6] х М" х М" сотр[Кп] равенством

Определение 1. Будем говорить, что отображение Р : [а, 6] х 1п х Е" -> сотр[Еп], определенное равенством (8), обладает свойством Л, если найдется непрерывное отображение I : [а, Ь] х [0, оо) -> [0, оо), не убывающее по второму аргументу, что для любых Ь е [а, 6], х.у Е Еп выполняется неравенство

если р{ї) Є [а, г], если р{і) < а,

(3)

если <?(£) Є [а, т], если д{І) < а.

(4)

(5)

(6)

х Є /(і, (Тьх)(І),и(і,(дьх)(1))), і Є [а, 6].

(7)

(8)

и множество всех локальных решений задачи

у(0 = *(*>г/№+ 7), у{а) = Ы

априорно ограничено, где 7 = тах{ вир вир |^(^)|}-

*Є(—оо,а) ІЄ(—оо,а)

Определение 2. Будем говорить, что множество фазовых траекторий, порожденных управляемой системой (1) с начальным состоянием (2) почти реализует расстояние от любой суммируемой функции до значений решений включения (7), если для любого v 6 Ln[o, b] и любого € > 0 существует решение х : [а, 6] —> Rn включения (7) с начальным условием (2), что при почти всех t G [а, 6] выполняется неравенство

\x(t) -v(i)| ^ p[v{t)J{t,{Vbx){t),U{t,{Qbx)(t)))] +е. (9)

Если равенство (9) выполняется при е = 0, то будем говорить, что множество решений, порожденное управляемой системой (1), реализует расстояние.

Теорема 1. Пусть множество всех допустимых пар управляемой системы (1) с начальным состоянием (2) априорно ограничено. Тогда множество решений, порожденных управляемой системой (1) с начальным состоянием (2), почти реализует расстояние от любой суммируемой функции до значений решений включения (7).

Если отображение F : [а, 6] х Кп х К" —у comp[Rn], определенное равенством (8), выпуклозначно, то неравенство (9) выполняется при е = 0.

Следствие 1. Пусть отображение F : [а, 6] х Rn х Мп —» comp[Rn], определенное равенством (8), обладает свойством Л. Тогда множество решений, порожденных управляемой системой (1) с начальным состоянием (2), почти реализует расстояние от любой суммируемой функции до значений решений включения (7).

Если отображение F : [а, Ь] х R" х 1" —> comp[IRn], определенное равенством (8), выпуклозначно, то неравенство (9) выполняется при е = 0 .

Замечание 1. Из того, что управляемая система (1) эквивалентна включению (7), вытекает, что если множество всех допустимых пар управляемой системы (1) с начальным состоянием (2) априорно ограничено, то для любой функции v 6 Ln[a, b] и любого е > 0 существует допустимая пара [и,х) Е Н(хо,Ь), для которой при почти всех t Е [а, Ь] выполняется неравенство

И*) - f{t,{Vbx)(t),u{t))\ < p[v(t)J(t, (Vbx){t),U{t, {Gbx){t)))] +£ (10)

и включение

u(t)eU(t,(Qbx)(t)), (11)

где непрерывные отображения Vb : О1 [а, Ь] —>■ ¿Jo[а, 6], Gb С™ [а, 6] —> 2^,[а, Ь] определены равенствами (3), (4) при т = b.

Если отображение F : [а, Ь] х Кп х Г —> comp[Kn], определенное равенством (8), выпуклозначно, то неравенство (10) выполняется при £ = 0, при этом управление и : [а, 6] —> Мт удовлетворяет включению (11).

Определение 3. Пусть заданы £,q ^ 0, v Е L^_ [а, 6]. Будем говорить, что отображения / : [а, &] х I" х IRm -» Rn , U : [а, 6] х Rn -> conv[Rm] обладают свойством П"’6'4 , если найдутся непрерывные функции : [а, Ь] х [0, оо) х [0, оо) -> [0, оо), : [а, b] х

х [0, оо) —> [0, оо), неубывающие по последним аргументам при каждом фиксированном t Е [а, 6], что для любых t £ [а, Ь], G Мп, Щ,и2 £ 1^т выполняются неравенства

\/{Ь,хищ) - /Ц,Х2,и2)\ ^ шх{г,\х1 -х2\,\щ ~и2\), (12)

Н[и(ЬХ1),ЩЬХ2)\ ^ ^2(*,|Х1 -Я2|)- (13)

При этом множество всех локальных решений задачи

у(г) =и(г) + £ + ш(Ьу{г)), у(а) = д (14)

априорно ограничено. Здесь в равенстве (14) непрерывная функция о;: [а, 6] х [0, оо) —> [0, оо) имеет вид

u(t,x) = ui(t,x,u>2(t,x)), (15)

где функции Ш1 : [а, 6] х [0, оо) х [0, оо) -» [0, оо), ш2 : [а, Ь] х [0, оо) [0, оо) удовлетворяют оценкам (12), (13) соответственно.

Будем предполагать, что для функций у G Dn[a,6] и к G Ll+[a,b] при почти всех t G [a, b] выполняется неравенство

p[y(t),f(t,('Pbx)(t),U{t,(Gbx)(t)))] ^ х(г), (16)

где непрерывные отображения Vb : Cn[a, 6] ->• LJ^[a,b], Qb : Cn[a, 6] -> ЦЦа, 6] определены равенствами (3), (4) при т = b соответственно.

Пусть непрерывное отображение 0 : Dn[a, b] —У С^_ [о., 6] имеет вид

t

(Qz)(t) = \z(a)\ + J |i(s)|ds. (17)

a

Теорема 2. Пусть функции у G Dn[a, b] и x G Ll+[a,b\ при почти всех t G [a, 6] удовлетворяют неравенству (16). Далее, пусть отображения / : [a, b] x Mn x Rm —> Rn , U : [a, b] x Rn —> conv[Rm] обладают свойством Vtv,e,q, где e ^ 0, q = \xo — у (a) |, xo — начальное состояние (2). Тогда для любой допустимой пары (и,х) G Н(хо,Ь) управляемой системы (1) с начальным состоянием хо , для которой выполняются соотношения (10) с v = у и (11) при любом t G [a,b] имеет место оценка

Q{x-y){t) ^£(x,e,g), (18)

и при почти всех t G [a, b] справедливо соотношение

\x(t) -y{t)I ^ x(i) + £ + w{t,t{H,e,q){t)), (19)

где отображение 0: Dn[a, 6] —»• СЦа ,6] задано равенством (17), функция £(x,£,q) £ Dl[a,b\ — верхнее решение задачи (14) при и = н и q=\xo—y(a)\, функция u>:[a, 6] х [0, оо) —> [0, оо) имеет вид (15).

Теорема 3. Пусть функции у G Dn[a, b) и к G L\[a,b\ при почти всех t G G [a, 6] удовлетворяют неравенству (16). Далее, пусть отображения f : [a, 6] х En х Mm —> Шп , U : [а, 6] х Мп —> conv[]Rm] обладают свойством Q?'e'q, где е ^ 0, q = \х$ — у(а)\, xq — начальное состояние (2) и множество всех допустимых пар управляемой системы априорно ограничено. Тогда при любом е > 0 существует допустимая пара (u, х) G Н(хо, 6), для которой справедливы оценки (18), (19).

Если отобраэюение F : [а, 6] х Еп х Е" 4 comp[Mn], определенное равенством (8), выпуклозначно, то утверждение справедливо при е = 0 .

Следствие 2. Пусть отображение F : [a, b] х IRn х Шп —>• comp[Rn], определенное равенством (8), обладает свойством Л и пусть отображения / : [a, b] х R" х IRm —> Шп , U : [а, 6] х!" -4 conv[Rm] обладают свойством W’6'4, где е ^ 0, q = \хо — у(а)\, хо — начальное состояние (2). Тогда при любом е > 0 существует допустимая пара (u,i)GF(io,i)), для которой справедливы оценки (18), (19).

Если отображение F : [a, b] х IRn х IRn —> comp[Rn], определенное равенством (8), выпуклозначно, то утверждение справедливо при е = 0.

Определение 4. Будем говорить, что функция у Е Вп[а, Ь] является допустимой квазитраекторией управляемой системы (1), если найдется такая последовательность измеримых функций щ : [а, Ь] —> Мш , г = 1,2,, удовлетворяющих при каждом г = 1,2,... и при почти всех £ Е [а, 6] включению

щ{г) е и [г, (&2/)(г)),

что последовательность Х{ : [а,Ь\ —> , г = 1,2,..., для любого £ Е [а,Ь] определенная

равенством

Х{{г)=Х0 + ! }(з, {7>ьу)(а),щ(в))<18, а

сходится к у в пространстве Сп[а,Ь] при г -> оо.

Пусть Н{хо,Ь) — множество всех допустимых квазитраекторий управляемой системы (1).

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения

х Е coF(¿, {Тьх)^), (£/г,я)(г)), * Е [а, 6], х(а) = х0, (20)

где отображение .Р : [а,Ь] х Мп х Еп —> сотр[Мп] определено равенством (8).

Пусть Нсо(хо,Ь) — множество всех решений задачи (20).

Теорема 4. Справедливо равенство %(:ео>&) = Нсо(хо,Ь).

Определение 5. Будем говорить, что отображения / : [а, 6] х Мп х М771 —>• ,

и : [а,Ь] х К" 4 сопу[Кт] обладают свойством ^, если выполняется свойство О0,0,0, причем для любого £ Е [а, Ь) имеет место равенство с<;(£, 0) = 0, где функция ш : [а, 6] х х [0, оо) —»• [0, оо) задана соотношением (15) и задача (14) при и = 0, е = 0, у(а) = 0 имеет только нулевые локальные решения.

Пусть Н(хо,Ь) — множество всех фазовых траекторий управляемой системы (1). Теорема 5. Пусть множество всех допустимых пар управляемой системы (1) априорно ограничено. Далее, пусть отображения /: [а, 6] х Еп х Кт-> Е£п, и: [а, 6] х Мп—> сопу[Кт] обладают свойством О . Тогда Н(хо,Ь) ф 0 и справедливо равенство

Н(х0,Ь) = Нсо(х0,Ь), (21)

где Н(хо,Ь) — замыкание в пространстве О1 [а, Ь] множества Н(хо,Ь).

Следствие 3. Пусть отображения /: [а, Ь] х Еп х Ет—>• Мп, и: [а, Ь] х П£п—>• сопу[Мт] обладают свойствами А и О,. Тогда Н(хо,Ь) ф 0 и справедливо равенство (21).

Замечание 2. Отметим, что если функции и)\ : [а, Ь] х [0, оо) х [0, оо) —> [0, оо), ш2 : [а, 6] х [0, оо) -4- [0, оо) в соотношениях (12), (13) линейны, то неравенства (18), (19) аналогичны оценкам А.Ф. Филиппова для дифференциальных включений (см. [2], [3], [4], [5], [6]) .

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Панасенко Е.А., Сергеева А. О. Продолжаемость допустимых пар управляемой системы с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием // Вестник ТГУ. 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1645-1647.

2. Булгаков А.И., Малютина Е.А., Филиппова О.В. Оценки обобщенных решений дифференциальных включений с импульсными воздействиями и оператором, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений. Часть I // Вестник ТГУ. 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1631-1639.

3. Булгаков А.И., Малютина Е.А., Филиппова О.В. Оценки обобщенных решений дифференциальных включений с импульсными воздействиями и оператором, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений. Часть II // Вестник ТГУ. 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1640-1644.

4. Булгаков А.И., Корчагина Е.В., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Часть IV // Вестник ТГУ. 2009. Т. 14. Вып. 6. С. 1289-1298.

5. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985.

6. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 194-252.

7. Чепцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, II. // Екатеринбург УГТУ-УПИ, 2010.

8. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты Ж№ 09-01-97503, 11-01-00626, 11-01-00645), Министерства образования и науки РФ (АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы) проект N2 2.1.1/9359; ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы госконтракты Ж№ П688, 14.740.11.0682, 14.740.11.0349; темплан 1.8.11), гранта NATO NRCLR.9837 16.

Поступила в редакцию 10 ноября 2010 г.

Bulgakov A.I., Panasenko Е.А., Sergeeva A.О. On controllable differential system with delay and with phase constrains by control. For a delayed controllable system there axe derived the admissible trajectories estimates analogous to those of V.I. Blagodatskikh and A.F. Filippov. The concept of admissible trajectory is represented. For the system under discussion there are also obtained sufficient conditions for the density principle to be held.

Key words: controllable system with phase constrains by control, differential inclusion.

Булгаков Александр Иванович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]

Панасенко Елена Александровна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, кандидат физико-математических наук, доцент, заместитель директора института математики, физики и информатики по научной работе, e-mail: [email protected]

Сергеева Алена Олеговна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, студентка 3 курса специальности 010101 "Математика" Института математики, физики и информатики, e-mail: [email protected]