Об одной трехзначной параполнои логике Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.М.Попов

ОБ ОДНОЙ ТРЕХЗНАЧНОЙ ПАРАПОЛНОИ ЛОГИКЕ*

Abstract. A propositional logic LAP with semantics of descriptions ofstate is constructed. For LAP a three valued characteristic matrix and Gentzen-type sequent calculus are presented. A theorem that LAP is paracomplete logic is formulated and a translation from the calculus ClP (which is a formalization of the classical propositional logic) to the LAP is described.

Строится пропозициональная логика LAP, наделенная модифицированной семантикой обобщенных по Е.К.Войшвилло [1] опианий состояния. Конструируется трехзначная характеристическая матрица для LAP, формулируется теорема о паранеполноте LAP, описывается секвенциальное исчисление, аксиоматизирующее эту логику, определяются операции, погружающие классическую пропозициональную логику в LAP.

Язык L логики LAP есть стандартно определяемый пропозициональный язык над алфавитом < S, &, v, з, —, ), ( >, где S есть множество { s1, s2,...,sn,... } всех пропозициональных переменных языка L. Термин «формула» используется здесь как сокращение термина «формула в языке L», принимаются обычные соглашения об опускании скобок в формулах. Квазиэлементарной формулой называется формула, которая не имеет вхождений ни одной из логических связок &, л, з. Логика LAP есть наименьшее множество формул, которое замкнуто относительно правила подстановки и правила modus ponens и которому принадлежат все классические тавтологии в языке L, не содержащие вхождений — , и следующие формулы:

— (s 1 з s 1) з s2, (s2 з(— s2 3 — (si 3 si)), ((s 1 з s2) з s2) з(— s2 з si),

— — s 1 з s 1 , s 1 з — — s 1 ,

все формулы вида

(A з — (s1 з s1)) з — A, где А не является квазиэлементарной формулой, и все формулы вида

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 00-06-80037, и РГНФ, грант № 02-03-18196.

(A з s1) з ((s1 з — A) з — A), где А не является квазиэлементарной формулой.

Описанием состояния называется отображение множества всех квазиэлементарных формул во множество {0,1}. Описание состояния v такое, что v(x) = v(— —x) для всякой квазиэлементарной формулы x, называется регулярным описанием состояния. Последнее определение корректно, так как x есть квазиэлементарная формула, т.т.т. — x есть квазиэлементарная формула.

Описание состояния v такое, что v(x) = 0 или v(—x) = 0 для всякой квазиэлементарной формулы x, называется непротиворечивым описанием состояния.

Для всякого описания состояния v определяем отображение | | v множества всех формул в {0,1 }следующим образом:

а) для всякой квазиэлементарной формулы x верно, что | x | v = v(x),

б) для всякой формулы А, не являющейся квазиэлементарной формулой, верно что | — A |v = 1 т.т.т. | A | v = 0,

в) для всяких формул А и В верно, что

| A & B |v = 1 т.т.т. | A |v = 1 и | B | v = 1,

| A v B | v = 1 т.т.т | A | v = 1 или | B | v = 1,

| A з B |v = 1 т.т.т. | A |v = 0 или | B |v = 1.

Теорема 1. Для всякой формулы А выполняется следующее условие: А е LAP т.т.т. | A | v = 1 для всякого регулярного и непротиворечивого описания состояния v.

Теорема 2. Логическая матрица M = < {0, 1, f }, {1}, &, v, з, — >, операции которой определяются нижеследующими таблицами Т 1, Т 2, Т 3 и Т 4, является характеристической матрицей логики LАР.

& T 1 1 0 f V T 2 1 0 f T 3 1 0 f T 4 | —1

1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1

f 0 0 0 f 1 0 0 f 1 1 1 f f

LAP-теорией называется множество формул, включающее LAP и замкнутое относительно modus ponens.

Полной LAP-теорией называется такая LAP - теория T, что для всякой формулы А верно следующее: A е T или — A е T. Теорема 3 (о параполноте логики LAP). Существует такая LAP-теория T, которая не является полной, и всякая полная LAP-тео-рия, включающая T, равна множеству всех формул.

Секвенциальное исчисление ОЬЛР является секвенциальным исчислением генценовского типа. Далее буквы А и В используются как переменные по формулам, а буквы Г, А, Е, © - как переменные по конечным последовательностям формул (пустая последовательность формул является конечной последовательностью формул). Множество всех основных секвенций исчисления ОЬАР есть множество всех секвенций вида А ^ А. Множеству всех правил этого исчисления принадлежат все следующие правила Я1 -Я19 и только они.

Я1: Г, Л, В, Л ^ © Я2: Г^-Л, Л, В, © Я3: Л, Л, Г^-©

Г, В, Л, Л ^ © Г^Л, В, Л, © Л, Г^-©

Я4: Г^А, Л, Л Я5: Г ^ © Яб: Г ^ ©

Г^-А, Л Л, Г ^ © Г ^ ©, Л

Я7: Г ^ Л, Л В, Е ^ © Я8: Л, Г^©, В Я9: Л, Г

Л з В, Г, Е ^ А, © Г^©, Л з В Л & В, Г^©

Я10: Л, Г^© Я11: Г^ ©, Л Г^ ©, В Я12: Г^ ©, Л

В & Л, Г^© Г^ ©, Л & В Г^ ©, Л V В

Я13: Г^ ©, Л Я14: Л, Г В, Г Я15: Г^©, Л

Г^ ©, В V Л, Л V В, Г - Л, Г ^ ©

Я16: Л, Г^ ©

(здесь А не является квазиэлементарной формулой),

(здесь А есть квазиэлементарная формула),

Г —Л формулой)

Я17: Л, Г^©

— —Л, Г^© Я18: Г^©, Л

(здесь А есть квазиэлементарная формула),

Г^©, — — Л Я19: Г^ А, Л Л, Е ^ ©

(правило сечения).

Г, Е ^ А, ©

Определение GLAP-вывода является обычным для секвенциальных исчислений генценовского типа (см. 2, 3). Для GLAP верна теорема об устранимости сечения.

Теорема 4. Для всякой формулы А выполняется условие: А е LАР т.т.т. секвенция ^ А выводима в GLАР.

Связь логики LАР с классической пропозициональной логикой ClP, сформулированной в языке L , устанавливает теорема 5.

Теорема 5. Пусть ф - отображение множества всех пропозициональных переменных языка L во множество всех формул, удовлетворяющее условиям: 1) ф^О не есть квазиэлементарная формула ни для какой пропозициональной переменной s; языка L, 2) для всякой пропозициональной переменной s; языка L формулы s; з и ф^О з s; принадлежат логике ClP. Тогда для всякой формулы А верно, что А е ClP т.т.т. hф (A) е LAP,

где h ф есть такое отображение множества всех формул в само это множество, что для всякой пропозициональной переменной s; языка L и всяких формул В и С выполняются условия:

а) hф ( s; ) = ф ( s; ),

б) hф (B ° C) = hф (B) ° hф (C) (здесь °е { &, v, з }),

hф (— B) = — hф (В). Например, определив для всякой пропозициональной переменной s; ф^) как s; & s; (или как s; v s;), получаем операцию hф, погружающую ClP в LAP.

ЛИТЕРАТУРА

1. Войшвилло ЕК. Философско-методологические аспекты релевантной логики. М., 1988.

2. Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода.М., 1967. C. 9-74.

3. Смирнов В.А Формальный вывод и логические исчисления М., 1999. C. 16-233.