CC BY
51
УДК 519.24
Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 1
А. В. Буре
ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ МОДЕЛИ ТЕНДЕРА
Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9
В работе предложена модель тендера для случая двух и трех фирм на основе рассмотрения задачи конкурентного прогнозирования случайной величины, распределение которой может быть несобственным. Величина выигрыша игроков зависит от точности сделанных ими прогнозов. Приведено экономическое обоснование изученной функции выигрыша. Сформулирована игра двух и трех лиц c ненулевой суммой. В результате замены переменных игра определена на единичном квадрате с непрерывной функцией выигрыша. Множества стратегий игроков представляют собой отрезки единичной длины. Описаны ситуации равновесия в чистых стратегиях для построенных теоретико-игровых моделей. Библиогр. 9 назв.
Ключевые слова: конкурентное прогнозирование, несобственные вероятностные распределения, равновесие в чистых стратегиях, тендер.
A. V. Bure
ONE GAME-THEORETICAL TENDER MODEL
St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
In the paper game-theoretical tender model is suggested. The model uses the idea of competitive prediction of a random variable, which could have defective distribution. The value of player's reward depends on the accuracy of predictions made by the player. The economic motivation of the considered payoff function is proposed. The tender model is considered as the non-zero sum game of two or three persons with proposed payoff function. The game is defined on the unit square with a continuous payoff function as a result of the variable change. Strategy sets of the players are segments of unit length. Equilibria in pure strategies are found for the suggested game-theoretic models. Bibliogr.9.
Keywords: competitive prediction, defective probability distribution, equilibrium in pure strategies, tender.
Введение. В работе предложена новая теоретико-игровая модель тендера на основе математических моделей конкурентного прогнозирования [1—4]. Найдены равновесия в чистых стратегиях для случая двух и трех фирм.
Близкие в идейном плане задачи были ранее рассмотрены в [5, 6]. Статистические задачи, связанные с несобственными распределениями, обсуждались в работах [7, 8].
Теоретико-игровая модель с ненулевой суммой для двух фирм. Предположим, что две фирмы участвуют в тендере. Каждая из фирм назначает свою цену xi, i = 1, 2, для выполнения некоторых работ или поставки конкретного товара. Все поданные заявки проходят экспертизу, в результате которой устанавливается минимальная пороговая цена т. По мнению экспертов, она является пороговой, заявки с меньшей ценой отклоняются, как не удовлетворяющие требованиям, предъявляемым к потенциальным контрагентам.
Буре Артем Владимирович — аспирант; e-mail: bure.artem@gmail.com
Bure Artem Vlo,d,imirovich — post-graduate student; e-mail: bure.artem@gmail.com
Цена т формируется в зависимости от текущих экономических условий и благодаря компромиссу между экспертами, в связи с чем цену т можно считать случайной величиной с известным законом распределения.
Кроме того, возможна ситуация, когда в силу особых форс-мажорных обстоятельств после экспертизы тендер может быть отменен, тогда будем считать, что произошло событие т = ж.
Вероятность осуществления такого события предполагается отличной от нуля и известной, пусть
P {т = ж} = 1 — q.
Предположим, что случайная величина т подчиняется распределению с непрерывной функцией распределения F(z), причем на некотором интервале (a,ß), —ж ^ а < ß ^ ж, функция распределения F(z) строго монотонна и может быть несобственной функцией распределения [9]
lim F(z) = q < 1,
z—
при этом F(а) = 0, F(ß) = q.
Если распределение случайной величины т является несобственным, то будем предполагать, что P{т = ж} =1 — q.
Кроме того, для каждой из фирм имеется свой минимально допустимый уровень цены ai, i = 1, 2, ниже которого фирма назначить цену не может по экономическим причинам.
Без ограничения общности будем предполагать, что xi G (a,ß), ai G (а, ß), i =
1, 2.
В качестве математической модели тендера будем рассматривать игру двух лиц, в которой побеждает фирма i, если выполнено условие
{т < ж} П {тах{т, ai} ^ xi} П {ßk = i : т ^ xk ^ xi};
в игре отсутствует победитель, если обе фирмы назначают одинаковую цену или осуществляется событие {т = ж}.
Для более адекватного выбора функции выигрыша необходимо учесть важные экономические особенности рассматриваемой задачи. Цель фирмы i заключается в том, чтобы выбрать наименьшую цену, но так, чтобы исполнялось следующее условие:
тах{т, ai} ^ xi.
Кроме того желательно, чтобы цена значимо отличалась от цены другой фирмы, так как при условии их совпадения или, если цены практически одинаковы, победа фирмы в тендере не гарантирована.
Действительно, из экономического смысла теоретико-игровой модели тендера следует, что, если наименьшая цена отличается от другой цены не существенно, то, с экономической точки зрения, речь идет о ситуации, когда цены практически совпадают, в этом случае победителем тендера не обязательно будет выбрана фирма, назначившая наименьшую цену.
Например, цена некоторой фирмы 100 у.е., а второй - 99 у.е. С формальной математической точки зрения, победителем является вторая фирма, но с точки зрения потребителя (организатора тендера), разница между этими ценами несущественна, условно говоря, организатор тендера может посчитать, что цены практически
равны, и дальнейший выбор осуществлять по каким-то дополнительным показателям.
Необходимо приблизить теоретико-игровую модель к реальной экономической практике. Поэтому для лучшего соответствия экономической природе задачи функция выигрыша должна зависеть от величины разности цен, выбираемых игроками, так как наличие значительной разницы в выбранных ценах повышает уровень гарантий победы в тендере для фирмы, назначившей меньшую цену, что делает теоретико-игровую модель более адекватной.
Функция распределения Г (г) известна, потому, считая выполненным событие {т < то}, проделаем следующие преобразования:
6 = (Г(т))/д, у, = (Г(х,))/д, Ьг = (Г(а,))/д, г = 1, 2. (1)
Они являются взаимно однозначными, причем 6, уг, Ьг € [0,1], г = 1, 2.
Найдем функцию распределения ^ (Ь) случайной величины 6 при Ь € [0,1):
Г (Ь) = Р {6 <Ь} = Р {Г (т) < дЬ} = Р {т < Г-1(дЬ)} = Г (Г-1(дЬ)) = дЬ,
функция распределения (Ь) = Р{6 < Ь} должна быть непрерывна слева в каждой точке, следовательно, Г (1) = д, при Ь > 1 полагаем Г (Ь) = д.
При этом с вероятностью 1 — д происходит событие {т = то}, другими словами, случайная величина 6 не определена. Ее распределение также является несобственным вероятностным распределением.
Рассчитаем ожидаемый выигрыш (математическое ожидание выигрыша) фирмы г в теоретико-игровой модели с ненулевой суммой:
Нг(у1, У2) = 1{уг < уз-г}(уз-г — Уг)Р{{тах{6, Ьг} < уг} П{6 < yi < у—}} +
+ 1{уз-г < уг}(уг — уз— )Р{{тах{6, Ьг} < уг} П {уз— <6 < у,}}, г = 1, 2.
Получим более удобные выражения для функций выигрыша игроков, с этой целью найдем вероятности, входящие в формулы для ожидаемых выигрышей:
если Ьг > уi, то
Р{{тах{6, Ьг} < уг}&{6 < Уi < уз-г}} = 0,
если Ьг ^ уг, то
Р{{тах{6, Ьг} < у,} П{6 < у, < уз-} = (Р{6 < Ьг} +
+ Р{Ьг < 6 < уг})1 {у, < уз-г} = Г(уг)1{уг < уз-г} = дуг1 {уг < уз-г}. Аналогично, если Ьг > уг, то
Р{{тах{6, Ьг} < уг} П {уз-г <6 < у,}} = 0,
если Ьг ^ уг, то
Р{{тах{6, Ьг} < уг} П {уз-г <6 < у,}} =
= I{уз-г < уг}(1 {уз-г < Ь,}(Р{уз-г <6 < Ьг} + Р{Ьг <6 < у,}) + + I{уз-г > Ьг}Р{уз-г <6 < у,}) = 1{уз-г < уг}Р{уз-г <6 < уг} =
= 1{уз-г < уг}д(уг - Уз-г).
Следовательно,
Нг(у1,У2) = I {Уг < У3-г}((У3-г - У г) ЧУ г) + 1 {У3-г < Уг }(Уг - У3-г)ч(Уг - У3-г) = = I{Уг < У3—г}ч((У3—г - Уг)Уг) +
+ 1{У3-г <Уг}ч(Уг - У3-г)2, г = 1, 2.
Множество чистых стратегий Уг для игрока г имеет вид
Уг = [Ъг, 1].
Таким образом, определена игра двух лиц Г =< У1,У2,Н1,Н2 > с ненулевой суммой.
Теорема 1. Справедливы утверждения:
1) если 0 ^ Ъ\ ^ 0 ^ &2 ^ то в игре Г имеются две ситуации равновесия в чистых стратегиях (1/2,1) и (1,1/2);
2) если г; < Ъ\ < 1, ^ < Ъ-2 < 1, то в игре Г имеются две ситуации равновесия в чистых стратегиях (Ъ1,1) и (1,Ъ2);
3) если 0 ^ Ъ\ ^ ^ < &2 < 1, то в игре Г имеются две ситуации равновесия в чистых стратегиях (1/2,1) и (1,Ъ2);
4) если т; < Ъ\ < 1, 0 ^ &2 ^ то в игре Г имеются две ситуации равновесия в чистых стратегиях (Ъ1,1) и (1,1/2).
Доказательство. Докажем утверждение 1. Если игрок 2 выбирает У2 = 1, то максимум функции у1 (1 - У1) достигается при у1 = 1/2. Наоборот, если игрок 1 выбирает у1 = 1/2, то из анализа функции выигрыша игрока 2 вытекает, что игроку 2 следует выбрать у2 = 1. Аналогичное рассмотрение можно провести в остальных случаях.
Замечание! Для того чтобы найти оптимальное поведение фирм 1 и 2 в тендере, достаточно проделать обратное преобразование к преобразованиям (1).
Теоретико-игровая модель с ненулевой суммой для трех фирм. Предположим теперь, что в тендере на тех же условиях что и раньше, участвуют три фирмы. Каждая из фирм назначает свою цену хг, г = 1, 2, 3, для выполнения некоторых работ или поставки конкретного товара.
Все заявки проходят экспертизу, в результате которой определяется минимальная пороговая цена т. Как и в случае двух фирм, цену т можно считать случайной величиной с известным несобственным [9] законом распределения вероятностей ^(г) = Р{т < г}, ^(а) = 0, ^(в)= д.
Для каждой из фирм имеется свой минимально допустимый уровень цены аг,г = 1, 2, 3, ниже которого фирма назначить цену не может по экономическим причинам. Без ограничения общности будем предполагать, что хг € (а, в), аг € (а, в), г = 1, 2, 3.
В качестве математической модели тендера будем рассматривать игру трех лиц, в которой побеждает фирма г, если выполнено условие
{т < то} П {тах{т, аг} ^ хг} П {^к = г : т ^ хь ^ хг};
если осуществляется событие {т = то} или хотя бы две фирмы назначили одинаковые цены, причем их цены меньше, чем цена третьей фирмы, но не меньше, чем пороговая, то в игре отсутствует победитель.
Считая выполненным событие {т < то}, проделаем следующие преобразования:
6 =(Г(т))/д, у, = (Г(хг))/д, Ьг = (Г(сц))/д, г = 1, 2, 3. (2)
В (2) 6,уг,Ьг € [0,1], г = 1, 2, 3. Функция распределения Г^, (Ь) случайной величины 6 была найдена выше.
Ожидаемый выигрыш (математическое ожидание выигрыша) фирмы г в теоретико-игровой модели с ненулевой суммой для трех фирм г^,1 определяется выражением
Нг(у1,у2,уз) = I{уг < тт{у-,у1}}(тт{у^,уг} —уг) х
х Р{{тах{6, Ьг} < уг} П{6 < уг < тт{у-,уг}} +
+ I{тах{у-, у1} < уг}(уг — тах{у-,уг })Р{{тах{6,Ь,} < уг}П{тах{у-,уг } <6 < у,}} +
+ ^Уг <уг < У-}(уз — уг)Р{{тах{6, Ьг} < уг} П{у1 <6 < у,}} +
+ I{уз <уг < уг}(уг — уг)Р{{тах{6, Ьг} < уг} П {у- <6 < у,}}, г = 1, 2, 3.
Найдем вероятности, входящие в формулы для ожидаемых выигрышей. Если Ьг > уг, то
Р{{тах{6, Ьг} < уг} П{6 < уг < тт{у-, уг}}} = 0, если Ьг ^ уг, то
Р{{тах{6, Ьг} < уг} П{6 < уг < тт{у-, уг}}} = = (Р{6 < Ьг} + Р{Ьг < 6 < у,{у, < тт{у-, уг}} = = Г^у^^уг < тт{уз, уг}} = дуг^уг < тт{у-, уг}}. Если Ьг > у г, то
Р{{тах{6, Ьг} < уг} П {тах{у-,уг} <6 < у,}} = 0,
если Ьг ^ уг, то
Р{{тах{6, Ьг} < уг} П {тах{у-, уг} <6 < у,}} =
= I {тах{у-, у г} < у^Ц^ах^- ,уг} < Ь,}(Р {тах{у- ,уг} <6 < Ьг} + + Р{Ьг <6 < Уi}) + I{тах{у-,уг} > Ь,}Р{тах{у-,уг} <6 < у,}} = = I {тах{у-, у г} < уг}Р {тах{у- ,уг} <6 < уг} = = I {тах{у-, у г} < уг}д(уг — тах{у- ,уг}).
Если Ьг > у г, то
Р{{тах{6, Ьг} < у,} П{уг <6 < у,}} = 0,
если Ьг ^ уг, то
Р {{тах{6, Ьг} < у,} П{уг <6 < у,}} = I {уг < уг}Р {уг <6 <уг} = = {Уг < Уг}д(Уг — У г).
Если Ъг > у г, то
Р{{тах{6, Ъг} < уг} П {у^ <6 < уг}} = 0,
если Ъг ^ уг, то
Р{{тах{6, Ъг} < уг} П {уз <6 < уг}} = I{уз < уг}Р{уз < 6 < уг} = = 1{Уз < Уг}Ч(Уг - Уз).
Следовательно,
Нг(у1,у2, Уз) = I{уг < тт{уз,уг}}(т1п{уз,у1} - уг)дуг + + I{тах{уз,уг} < уг}(уг - тах{узу})д(уг - тах{уз,у} + + {У1 < У г < Уз }(Уз - Уг)Ч(Уг - У1) + + ^Уз < У г < Уг}(Уг - Уг)Ч(Уг - Уз) = = I{уг < тт{уз,уг}}дуг(т1п{уз,уг} - уг) + + I{тах{уз,у1} < уг}ч(уг - тах{узу })2 + + I {У1 < У г < Уз }Ч(Уз - Уг)(Уг - У<) + + {Уз < У г < У1 }Ч(У1 - Уг)(Уг - Уз), г = 11, 2 3.
Множество чистых стратегий Уг для игрока г имеет вид
Уг = [Ъг, 1].
Таким образом, определена игра трех лиц Г = < У1,У2,У3,Н1,Н2,Н3 > с ненулевой суммой. Найдем равновесия в чистых стратегиях в игре Г.
Теорема 2. Если выполнены неравенства Ъ1 ^ 1/3, Ъ2 ^ 1/3, Ъ3 ^ 1/3, то любая перестановка компонент вектора (1/3, 2/3, 1) представляет собой точку равновесия в игре Г.
Доказательство. Из вида функций выигрыша Нг, г = 1, 2, 3, следует, что при выполнении условия у1 < У2 < Уз для того, чтобы вектор (у1,У2,Уз) представлял собой точку равновесия, необходимо и достаточно выполнение условий уз = 1, у1 = У2/2, у2 = (у1 + 1)/2. Есть единственное решение данной системы уравнений: уз = 1, У1 = 1/3, у2 =2/3.
З а м е ч а н и е 2. Если какие-то из условий теоремы 2 нарушены, то некоторые равновесия могут сохраниться. Например, если Ъ3 > 1/3, то сохранятся равновесия из теоремы 2 со значениями третьей компоненты 2/3 и 1.
Теорема 3. Если выполнены неравенства 1 > Ъ1 > 1/2, 1 > Ъ2 > 1/2, 1 > Ъ3 > 1/2, то в игре Г существуют следующие ситуации равновесия в чистых стратегиях:
1) если Ъ2 ^ (Ъ1 + 1)/2, то в игре Г имеется ситуация равновесия в чистых стратегиях (Ъ1, (Ъ1 + 1)/2,1), если Ъ2 > (Ъ1 + 1)/2, то в игре Г имеется ситуация равновесия в чистых стратегиях (Ъ1,Ъ2,1);
2) если Ъ1 ^ (Ъ2 + 1)/2, то в игре Г имеется ситуация равновесия в чистых стратегиях ((Ъ2 + 1)/2,Ъ2,1), если Ъ1 > (Ъ2 + 1)/2, то в игре Г имеется ситуация равновесия в чистых стратегиях (Ъ1,Ъ2,1);
3) если Ьз ^ (Ь1 + 1)/2, то в игре Г имеется ситуация равновесия в чистых стратегиях (Ь1,1, (Ь1 + 1)/2), если Ьз > (Ь1 + 1)/2, то в игре Г имеется ситуация равновесия в чистых стратегиях (Ь1,1,Ьз);
4) если Ь1 ^ (Ьз + 1)/2, то в игре Г имеется ситуация равновесия в чистых стратегиях ((Ьз + 1)/2,1,Ьз), если Ь1 > (Ьз + 1)/2, то в игре Г имеется ситуация равновесия в чистых стратегиях (Ь1,1,Ьз);
5) если Ьз ^ (Ь2 + 1)/2, то в игре Г имеется ситуация равновесия в чистых стратегиях (1,Ь2, (Ь2 + 1)/2), если Ьз > (Ь2 + 1)/2, то в игре Г имеется ситуация равновесия в чистых стратегиях (1,Ь2,Ьз);
6) если Ь2 ^ (Ьз + 1)/2, то в игре Г имеется ситуация равновесия в чистых стратегиях (1, (Ьз + 1)/2,Ьз), если Ь2 > (Ьз + 1)/2, то в игре Г имеется ситуация равновесия в чистых стратегиях (1,Ь2,Ьз).
Доказательство. Рассмотрим ситуацию, когда у1 < У2 < Уз. Очевидно, что уз = 1 представляет собой оптимальный выбор игрока 3. Оптимальный выбор игрока 1 таков:
у2
У 1 = у,
но Ъ\ > поэтому оптимальной стратегией игрока 1 будет выбор
у1 = Ь1 ,
оптимальное решение для игрока 2 заключается в выборе
(ь 61+ 1' у2 = тах 62,
2
Аналогично исследуются все остальные варианты.
Замечание 3. При конкретном наборе значений bi, i = 1, 2, 3, всегда можно найти равновесия в чистых стратегиях, если они существуют для имеющегося набора параметров bi, i = 1, 2, 3. Проделывая преобразования, обратные к преобразованиям (2), находим оптимальное поведение фирм в тендере.
Заключение. В работе сформулирована теоретико-игровая модель тендера для двух и трех фирм, установлены ситуации равновесия в чистых стратегиях.
Литература
1. Буре В. М, Смолянская Е. А. Конкурентное прогнозирование // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2000. Вып. 1. С. 16—20.
2. Мазалов В. В., Сакагучи М. Равновесие в бескоалиционной игре n лиц с выбором момента времени // Математическая теория игр и ее приложения. 2009. Т. 1, вып. 1. С. 67—86.
3. Sakaguchi M., Szajowski K. Competitive prediction of a random variable // Math. Japónica. 1996. Vol. 43, N 3. P. 461-472.
4. Буре А. В. Конкурентное прогнозирование в случае несобственного распределения вероятностей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2014. Вып. 2. С. 19-26.
5. Mazalov V. V., Nosalskaya T. E., Tokareva J. S. Stochastic Cake Division Protocol // Intern. Game Theory Review. 2014. Vol. 16, N 2. P. 1440009.
6. Мазалов В. В., Токарева Ю. С. Теоретико-игровые модели проведения конкурсов // Математическая теория игр и ее приложения. 2010. Т. 2, вып. 2. С. 66-78.
7. Буре А. В. Оценка момента времени появления события // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2014. Вып. 1. С. 24-30.
8. Буре В. М., Парилина Е. М., Рубша А. И., Свиркина Л. А. Анализ выживаемости по медицинской базе данных больных раком предстательной железы // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2014. Вып. 2. С. 27-35.
9. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2 т. / пер. с англ. Ю. В. Прохорова; под ред. Б. Б. Дынкина. М.: Мир, 1984. Т. 2. 752 с. (Feller W. An introduction to probability theory and its applications.)
References
1. Bure V. М., Smolyanskaya Е. А. Konkurentnoe prognozirovanie (Competitive prediction). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 1: Mathematica, mechanica, astronomy, 2000, issue 1, pp. 16—20.
2. Mazalov V. V., Sakaguchi M. Ravnovesie v beskoalicionnoy igre n lits s vyborom momenta vremeni (Equilibrium in n-Player Competitive Game of Timing). Matematicheskaya Teoriya Igr i Ee Prilozheniya, 2009, vol. 1, no. 1, pp. 67-86.
3. Sakaguchi M., Szajowski K. Competitive prediction of a random variable. Math. Japonica, 1996, vol. 43, no. 3, pp. 461-472.
4. Bure A. V. Konkurentnoe prognozirovanie v sluchae nesobstvennogo raspredeleniya veroyatnostey (Competitive prediction in case defective probability distribution). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2014, issue 2, pp. 19-26.
5. Mazalov V. V., Nosalskaya T. E., Tokareva J. S. Stochastic Cake Division Protocol. Intern. Game Theory Review, 2014, vol. 16, no. 2, pp. 1440009.
6. Mazalov V. V., Tokareva J. S. Teoretiko-igrovye modeli provedeniya konkursov (Game-theoretic models conduction of tenders). Matematicheskaya Teoriya Igr i Ee Prilozheniya, 2010, vol. 2, no. 2, pp. 66-78.
7. Bure V. A. Onsenka momenta vremeni poyavleniya sobytiya (Estimation of the moment of time of event occurrence). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2014, issue 1, pp. 24-30.
8. Bure V. M., Parilina Е. М., Rubsha А. I., Svirkina L. А. Analiz vyzhivaemosti po meditsinskoy baze dannyh bol'nyh rakom predstatel'noy ghelezy (Survival analysis of medical database of patients with prostate cancer). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2014, issue 2, pp. 27-35.
9. Feller W. Vvedenie v teoriu veroyatnostei i ee prilozeniya: v 2 t. (An introduction to probability theory and Its applications: in 2 vol.). Per. s angl. Y. V. Prohorova; pod red. B. B. Dinkina. Moscow: Mir, 1984, vol. 2, 752 p.
Статья рекомендована к печати проф. С. В. Чистяковым. Статья поступила в редакцию 13 ноября 2014 г.
