CC BY
9
подходящими дробями числа а, если п достаточно велико. Поэтому \а2 + h2 < 2л(1 ¡q + 2/q') для всех достаточно больших и 6N. С учетом того, что а0 eM\Q, и следовательно, а0 имеет подходящие дроби со сколь
угодно большими знаменателями, это означает, что \[а2 + Ь2 —> 0 при п —> оо. Тем самым доказательство леммы 1 завершено. □
Теперь утверждение теоремы 1 следует из теоремы Каратеодори о сходимости областей и из того, что функции последовательности ф„ образуют нормальное семейство в круге И).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. МшнорДж. Голоморфная динамика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.
2. Горяйнов В. В. Функция Кёнигса и дробное итерирование вероятностных производящих функций // Мат. сб. 2002. Т. 193, № 7. С. 69 - 86.
3. Голузин Г. А/. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.
УДК 517.984
А. П. Гуревич
ОБ ОДНОЙ СЛАБО НЕРЕГУЛЯРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ*
Рассмотрим оператор дифференцирования Ьу=у\х), х е [0,1]
с интегральным условием следующего вида:
i
\tmy{t)di = 0, (1)
о
где т - произвольное натуральное число.
В статье найден класс функций /(х), для которых обобщенные
средние Рисса вида —' - \g(X,r)R} f dk сходятся к /(х) в пространстве
2nÍ\M=г
С[0,1]. Здесь Rx = (L - А,£)"', Е - единичный оператор, к - спектральный параметр, а функция gCk,r) удовлетворяет следующим условиям:
1) g(A,r) непрерывна по X в круге |Х|<г и аналитична по X в круге | X |<г при любом г > 0;
' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003),
2) при произвольном фиксированном X lim g(Ä,r) = 1;
г—»00
3) существует такая константа С > 0, что | g(X,r) [< С при всех г > О
и |А,|<г;
4) существует у>0 такое, что g(rexp(i'(p),r) = o[jф±
причем
оценка равномерна по г . Отметим, что функция Грина (7(х,гД) оператора Ь как функция А. имеет степенной рост порядка т, к следовательно, указанная краевая задача является слабо нерегулярной. Случай т = 1 рассмотрен в [1 ]. Обозначим через Г,. окружность | А. |= г . ТЕОРЕМА 1 [2]. Справедлива следующая формула:
/(*) + ~ /0к = /(*)( 1 - g(0,r)) + 8(0,г)(/(х) - /0(х)) + JXr +
2пг
г г
где f(x) е С[0,1], /0(х)еСи[0,1] и удовлетворяет (1),
Jw =
1 rgCKr)
! ^Ч/'оdk, J2r=i~. \g(Kr)Rx(f -fü)dk. 1 2m,
2 ni rJ А
1 r
В дальнейшем при выборе функции /0(х) важную роль играют три леммы.
ЛЕММА 1. Для любого т е N и произвольного /г е (0,1) существует система функций {у а(*>«)}"^ , обладающая следующими свойствами:
1) Vt(x,«)eCm[0,l];
2) y[s)(X,n) = 0
1
\п
при п —> х;
3) у(/_1)(1-/г,и) = 1; — й,и) = 0 при ¿#£-1, 5=0,.., т;
к = 1 ,...,т + 1.
ЛЕММА 2. Для любого и» е N найдутся натуральные числа {я* («! < «2 < •■■ < «т+1) такие, что определитель
\tm(l-t)"4t Jim(l -t)"*dt
0 о
1 1
¡tm~\\-t)"4t \tm~\\-t)nidt
\tmQ.-t)n»+ldt о
i
\tm~\\-t)n^dt
J(1 -t)n,dt }(1 -t)"2dt
J(1 - dt
отличен от нуля.
ЛЕММА 3. Предположим, что /(х) удовлетворяет условиям:
а) /(х) е С[0,1] П С"[\ - h,\] (0 < h < 1) ; 1
б) jtmf(t)dt- 0; о
в) m-m\tmAf(t)dt = 0-
о
m-s-*-1 1
г) I am_p+1fm-s+l-r\l)-sas¡ts-lf(t)dt = 0, j = 0,...,«-1;
P=1 о
m
д) Iots/(S)(1)-/(1) + /(0) = 0.
5 = 1
Тогда существует последовательность {/„(х)}"=, с: С""[0,1], удовлетворяющая условиям б) - г), а также
т / \
О Xas/n 0) _ /п0)+ /«(0) = о„(1), где ои(1)->0 припас»;
5 = 1
2) /„(х) б Cm+I[0,l - h] П Cm+' [1 - /г,1] ;
3)/„(x)->/(*) в С[0,1] ;
4) /n(p)W->/(p)W в С[1-й,1], р =
Используя явное представление / и леммы 1-3, можно доказать, что справедлива
ТЕОРЕМА 2. Предположим, что функция /(х) удовлетворяет условиям а) - д) леммы 3, тогда при у >т обобщенные средние Рисса ряда по собственным и присоединенным функциям оператора L сходятся к /(х) в пространстве С[0,1].
При доказательстве этой теоремы используется асимптотика резольвенты оператора L, полученная А. С. Ягубовым.
Замечание. Легко видеть, что если обобщенные средние Рисса функции /(х) сходятся к ней в С[0,1], то /(х) удовлетворяет условиям б), в) из леммы 3.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гуревич A.IJ., Хромов А.П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений оператора дифференцирования с интегральным условием // Вопросы прикладной физики: Межвузов, сб. науч. тр. 2004. № 11, вып. 11. С. 146- 152.
2. Гуревич А. П., Хромов А. П. Суммируемость по Риссу разложений по собственным функциям интегральных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 2003. №2(489). С. 24 -35.
