Об одной слабо нерегулярной краевой задаче Текст научной статьи по специальности «Математика»

подходящими дробями числа а, если п достаточно велико. Поэтому \а2 + h2 < 2л(1 ¡q + 2/q') для всех достаточно больших и 6N. С учетом того, что а0 eM\Q, и следовательно, а0 имеет подходящие дроби со сколь

угодно большими знаменателями, это означает, что \[а2 + Ь2 —> 0 при п —> оо. Тем самым доказательство леммы 1 завершено. □

Теперь утверждение теоремы 1 следует из теоремы Каратеодори о сходимости областей и из того, что функции последовательности ф„ образуют нормальное семейство в круге И).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. МшнорДж. Голоморфная динамика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

2. Горяйнов В. В. Функция Кёнигса и дробное итерирование вероятностных производящих функций // Мат. сб. 2002. Т. 193, № 7. С. 69 - 86.

3. Голузин Г. А/. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

УДК 517.984

А. П. Гуревич

ОБ ОДНОЙ СЛАБО НЕРЕГУЛЯРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ*

Рассмотрим оператор дифференцирования Ьу=у\х), х е [0,1]

с интегральным условием следующего вида:

i

\tmy{t)di = 0, (1)

о

где т - произвольное натуральное число.

В статье найден класс функций /(х), для которых обобщенные

средние Рисса вида —' - \g(X,r)R} f dk сходятся к /(х) в пространстве

2nÍ\M=г

С[0,1]. Здесь Rx = (L - А,£)"', Е - единичный оператор, к - спектральный параметр, а функция gCk,r) удовлетворяет следующим условиям:

1) g(A,r) непрерывна по X в круге |Х|<г и аналитична по X в круге | X |<г при любом г > 0;

' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003),

2) при произвольном фиксированном X lim g(Ä,r) = 1;

г—»00

3) существует такая константа С > 0, что | g(X,r) [< С при всех г > О

и |А,|<г;

4) существует у>0 такое, что g(rexp(i'(p),r) = o[jф±

причем

оценка равномерна по г . Отметим, что функция Грина (7(х,гД) оператора Ь как функция А. имеет степенной рост порядка т, к следовательно, указанная краевая задача является слабо нерегулярной. Случай т = 1 рассмотрен в [1 ]. Обозначим через Г,. окружность | А. |= г . ТЕОРЕМА 1 [2]. Справедлива следующая формула:

/(*) + ~ /0к = /(*)( 1 - g(0,r)) + 8(0,г)(/(х) - /0(х)) + JXr +

2пг

г г

где f(x) е С[0,1], /0(х)еСи[0,1] и удовлетворяет (1),

Jw =

1 rgCKr)

! ^Ч/'оdk, J2r=i~. \g(Kr)Rx(f -fü)dk. 1 2m,

2 ni rJ А

1 r

В дальнейшем при выборе функции /0(х) важную роль играют три леммы.

ЛЕММА 1. Для любого т е N и произвольного /г е (0,1) существует система функций {у а(*>«)}"^ , обладающая следующими свойствами:

1) Vt(x,«)eCm[0,l];

2) y[s)(X,n) = 0

1

\п

при п —> х;

3) у(/_1)(1-/г,и) = 1; — й,и) = 0 при ¿#£-1, 5=0,.., т;

к = 1 ,...,т + 1.

ЛЕММА 2. Для любого и» е N найдутся натуральные числа {я* («! < «2 < •■■ < «т+1) такие, что определитель

\tm(l-t)"4t Jim(l -t)"*dt

0 о

1 1

¡tm~\\-t)"4t \tm~\\-t)nidt

\tmQ.-t)n»+ldt о

i

\tm~\\-t)n^dt

J(1 -t)n,dt }(1 -t)"2dt

J(1 - dt

отличен от нуля.

ЛЕММА 3. Предположим, что /(х) удовлетворяет условиям:

а) /(х) е С[0,1] П С"[\ - h,\] (0 < h < 1) ; 1

б) jtmf(t)dt- 0; о

в) m-m\tmAf(t)dt = 0-

о

m-s-*-1 1

г) I am_p+1fm-s+l-r\l)-sas¡ts-lf(t)dt = 0, j = 0,...,«-1;

P=1 о

m

д) Iots/(S)(1)-/(1) + /(0) = 0.

5 = 1

Тогда существует последовательность {/„(х)}"=, с: С""[0,1], удовлетворяющая условиям б) - г), а также

т / \

О Xas/n 0) _ /п0)+ /«(0) = о„(1), где ои(1)->0 припас»;

5 = 1

2) /„(х) б Cm+I[0,l - h] П Cm+' [1 - /г,1] ;

3)/„(x)->/(*) в С[0,1] ;

4) /n(p)W->/(p)W в С[1-й,1], р =

Используя явное представление / и леммы 1-3, можно доказать, что справедлива

ТЕОРЕМА 2. Предположим, что функция /(х) удовлетворяет условиям а) - д) леммы 3, тогда при у >т обобщенные средние Рисса ряда по собственным и присоединенным функциям оператора L сходятся к /(х) в пространстве С[0,1].

При доказательстве этой теоремы используется асимптотика резольвенты оператора L, полученная А. С. Ягубовым.

Замечание. Легко видеть, что если обобщенные средние Рисса функции /(х) сходятся к ней в С[0,1], то /(х) удовлетворяет условиям б), в) из леммы 3.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гуревич A.IJ., Хромов А.П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений оператора дифференцирования с интегральным условием // Вопросы прикладной физики: Межвузов, сб. науч. тр. 2004. № 11, вып. 11. С. 146- 152.

2. Гуревич А. П., Хромов А. П. Суммируемость по Риссу разложений по собственным функциям интегральных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 2003. №2(489). С. 24 -35.