CC BY
14
УДК 517.95
DOI: 10.14529/mmph170204
ОБ одной скалярной форме двумерной ЗАДАЧИ ШВАРЦА
И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯХ
В.Г. Николаев
Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого, Великий Новгород, Российская Федерация E-mail: [email protected]
Изучена задача Шварца для 2-вектор-функций, аналитических по Дуглису с матрицей J, имеющей разные собственные числа. Проведена редукция задачи Шварца к равносильной граничной задаче для скалярного функционального уравнения. Эта редукция применена для доказательства трех теорем существования и единственности решений задачи Шварца в областях, ограниченных контуром Ляпунова.
Ключевые слова: матрица; жорданова форма; собственное число; собственный вектор; голоморфная функция; контур Ляпунова.
1. Основные определения и постановка задачи
Определение 1. [1-3] Пусть n X n-матрица J не имеет вещественных собственных чисел. Аналитической по Дуглису или J -аналитической с матрицей J называется комплексная n -вектор-функция f = f (z) е С1 (D), для которой в области D с R2 выполнено уравнение
f-Jf = 0. (1)
dy dx
Замечание 1. Из (1) вытекает, что J -аналитические функции определены с точностью до вектор-постоянной.
Определение 2. В скалярном случае при J = 1, Im 1 Ф 0 функцию f = f¿ (z) е С1 (D), для которой в области D с R2 выполнено уравнение
f = 0,
y x
будем называть 1 -голоморфной в области D.
В [1] показано, что система уравнений в частных производных первого порядка (1) является эллиптической. Рассмотрим для нее при n = 2 следующую граничную задачу Шварца [1-3].
Пусть конечная односвязная область D с R2 ограничена контуром Г. Требуется найти J-аналитическую с матрицей J в области D 2 -вектор-функцию f(z) е С(D), которая удовлетворяет граничному условию
Re f(z)|r =(У,У2), (2)
где вещественная 2 -вектор-функция y = (y,y2) е С (Г) задана.
Как известно [1], свойства 1 -голоморфных функций тождественны свойствам обычных голоморфных (1 = i) функций. В частности, однородная (y ° 0) задача (2) для них имеет только постоянные решения. Но при n >1 это уже не так: можно построить [3] при произвольном n решения однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм. Один из таких примеров для n = 2 приведен в конце статьи. Поэтому вопрос существования и единственности решений задачи (2) является нетривиальным.
В теореме 1 задача Шварца для 2 X 2 -матриц, имеющих разные собственные числа, преобразована к равносильному скалярному функциональному уравнению. Затем это уравнение применено к изучению неоднородной задачи Шварца - теоремы 3-5.
2. Редукция задачи Шварца к скалярному уравнению при n = 2
Ниже будем обозначать через f¿ и g^ соответственно 1 - и m -голоморфные функции (см.
определение 2). Символами x,y обозначаем векторы из C2. Соответственно, x,y - комплексное
сопряжение векторов x, y. Обозначим через Q = (x,y) жорданов базис матрицы J. Имеет место
Николаев В.Г. Об одной скалярной форме двумерной задачи Шварца
и ее применениях
Теорема 1. Пусть 2 X 2 -матрица J имеет собственный вектор y не кратный вещественному и разные собственные числа l Ф ¡1- Тогда разрешимость задачи Шварца для произвольной граничной 2 -вектор-функции ye C(Г) равносильна разрешимости скалярной задачи
gm+fi+l • fl |г = j(t), fx, gm e C(D), l = e C (3)
для произвольной скалярной комплексной функции j(t) e C(Г).
Замечание 2. Решения задачи Шварца (однородной или неоднородной) существуют одновременно для всех матриц J из условия теоремы 1 с одинаковым по модулю числом l в (3).
> Действительно, пусть известно, что (3) выполнено при некотором Ге C, и пусть l e C -другое число, причем 111=| Г |. Умножим обе части левого уравнения (3) на такое число a e C, чтобы l = al'/a. Тогда первое уравнение в (3) примет следующий вид:
— — a
a jlr = a gm+a fx+al' fx = a g„ + a f ! + -• l'• a fx. (4)
a
Переобозначим в (4):
gm = a gm fi = a l l = al' , j = aj. (5)
a
Из (4) и (5) вытекает, что (3) выполняется одновременно для l и l', где 111=| Г |, если граничная функция j - произвольная. <1
Доказательство теоремы 1. Пусть J1=diag(1,m) - жорданова форма матрицы J. По условию Q = (x, y) - жорданов базис матрицы J. Разложим вектор y по базису x, y:
y = l1x+1 y, l1, l e C, l = det(x,y). (6)
det (x, y)
В (6) использованы формулы Крамера. Поскольку J x = ix, J y = ¡y, то
J y = J(l1 x +1 y) = 1l1 x + ml y+ 1l y-ll y = 1(l1 x +1 y) + (m - 1)l y = l y+ (¡-1)l y.
Таким образом, матрица J1 = (Q')_1 JQ' оператора J в базисе Qq = (y, y) будет иметь следующий вид:
( l 0 I
Ji= ГЯ w I. (7)
y(i-m)l ¡I
После подстановки J = Q J1(Q )-1 в (1) и умножения обеих частей на (Q )-1 получим с учетом (7) следующие два равенства:
д (f I ( l 0 I д (f I T , 1
f - L w I f =0, (f,g)T = (QTf (8)
dy уg) у (1-m) l m) fx у g)
Из первого равенства в (8) вытекает, что
f = fi =u + iv, g = gm+1 • fi =P+ iq, (9)
где функции u,v,p,q - вещественные.
Допустим, что f = f (z) e C(D) во втором уравнении в (8) - решение задачи Шварца с некоторой граничной функцией ye C (Г). Тогда функции f, g в (9) известны a priori. Обозначим вектор y = (a1, a2), где a1, a2 e C. Тогда решение f(z) с учетом (8) можно записать в виде
, T T (a a11 (u + i v I
f (z) = Q • (f, g)T = (y, y) • (f, g)T = _1 1 • . . (10)
Уa2 a2) У p+1 q)
Теперь граничное условие (2) принимает следующий вид:
j Re [a~1(u+ i v) + a^p+ i q) ]|г = y, (11)
[Re [a2(u + i v) + a2(p+ i q) ] |г =y2.
Заметим, что для k = 1,2 справедливо тождество
Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика» 31
2017, том 9, № 2, С. 30-35
Математика
Яе[ак(и + 7 у) + ак (р+ 7 я)] |и=_р,у=ч=Яе [ак (-р+7 я) - ак (-р+ 7 я)] = 0. (12) Поэтому единственное решение (11) как алгебраической системы относительно и, у можно найти в виде:
и = _ р+ Г(УУ2), у = д+ МУ1У2), (13)
где г(), Ь() - линейные функции своих переменных.
> Действительно, обозначим а1 = а + Ь7, а2 = с + й7, а,Ь,с,йе Я. Тогда после подстановки (13) в (11) имеем в силу (12):
[Яе (г + 7Ь)] =Яе [(а_Ь7)(г+ 7Ь)]|г = аг+ ЬЬ = у, [Яе [а2(г + 7 Ь) ] =Яе [ (с _ й7)(г + 7 Ь) ] |г = с г + й Ь = у2. Так как по условию собственный вектор у = (ах, а2) = (а + Ь7, с + й7) матрицы J не кратен вещественному, то определитель
аЬ
Ф 0.
с й
Поэтому алгебраическая система
Г а • г+ Ь • Ь = у,
\ а,Ь,с, й е Я (14)
[с • г + й • Ь = у2,
имеет единственное решение относительно переменных г,Ь, откуда и вытекает (13). <
Далее заметим, что пара равенств вещественных функций (13) равносильна одному комплексному функциональному уравнению
и _ 7 у+ (р+ 7 я)|г = г — 7 Ь, (15)
которое имеет место на контуре Г. С учетом (9) равенство (15) можно записать в виде:
1 8Ц +1• ^|г =г(У,У2) _7Ь(у,у2) = р(0, 1 8ц е с(Б), (16)
что совпадает с первым уравнением в (3).
Число I в (16) задано формулой (6), совпадающей с (3). Таким образом, существование решения ф(2) задачи Шварца означает разрешимость (16) для некоторой граничной функции р.
Но если граничная вектор-функция у = (у,у2) в (2) при этом произвольна, то и р = (г,_Ь) в (16), т. е. и в (3), будет произвольной. Действительно, взаимосвязь между парами вещественных функций г, Ь и у,у2 определяется неособой системой (14). Напомним, что коэффициенты (14) определяются по вектору у = (а + Ь7, с + й7) - собственному вектору матрицы J.
В обратную сторону: пусть задача (16), т. е. и (3), разрешима для любой граничной функции р. Найдем по заданной функции у = (у, у2) с помощью (14) функцию р = г_7Ь. Пусть -
решение (16) с этой функцией р. Тогда в силу (8) и (9) решение задачи Шварца дается формулой
ф(г) = &• (^ = (у, у) • (1 8^+1 • ^. (17)
Теорема 1 доказана.
3. Применение теоремы 1 к доказательству существования решений задачи Шварца при
п = 2
Применим уравнение (3) к неоднородной задаче Шварца. Вместо произвольного контура Г = дБ будем рассматривать кривую Ляпунова. Все решения будем искать в классе функций, непрерывных по Гельдеру. В связи с этим напомним известное
Определение 3. Гладкая кривая Г с Я2 называется кривой (контуром) Ляпунова, если существуют такие два вещественных числа а >0 и Ь, 0< Ь < 1, что для любых двух точек 22 е Г выполняется условие Ляпунова
|0|< _ 22 |Ь,
где 0 - угол между касательными или нормалями к Г точках 22.
Николаев В.Г. Об одной скалярной форме двумерной задачи Шварца
и ее применениях
Ниже будет использован следующий результат, полученный А.П. Содатовым в [2]. Теорема 2. Пусть кривая Г = дБ - кривая Ляпунова, пусть (1тЛ) • (1т/) <0. Тогда для
любой граничной функции р из класса Гельдера Иа(Г), 0 < а <1 решение задачи
ВД + В,(г)|г= (), Л е Иа(Б)
существует и единственно (с точностью до постоянной). Из теорем 1, 2 вытекают три приведенные ниже теоремы.
Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 1 Г = дБ - контур Ляпунова. При этом собственные векторы матрицы J комплексно сопряжены: х = у. Тогда для любой граничной функции
уе Иа(Г), 0 < а < 1 решение задачи Шварца в классе фе Иа(Б) существует и единственно с точностью до вектор-постоянной.
Доказательство. Положим в (3) х = у, тогда I = 0. В результате для (3) оказывается выполненным утверждение теоремы 2. Поэтому из теоремы 1 вытекает утверждение настоящей теоремы.
Теорема 4. Пусть в условиях теоремы 1 Г = дБ - контур Ляпунова. При этом матрица J имеет вещественный собственный вектор х. Тогда выполнено утверждение теоремы 3.
Если при этом граничная функция уе С2(Г), то решение ф = ф(г) задачи Шварца обладает свойством
фе Иаф). (18)
дх ду
Доказательство. Если в (3) вектор х вещественный, то 111= 1.
Покажем, что при каждом таком I е С решение задачи (3) всегда существует и единственно, если Г - контур Ляпунова и ре Иа(Г).
> В силу замечания 2 достаточно рассмотреть случай I = 1. Обозначим: р= р+ iр2, {л = и + i V, gm = р+ i Ч. Тогда (3) запишется в виде
р+ i и - i v+ и + i V = р+ i 2и |Г = р + р2/'. (19)
Из (19) имеем: ч|г =(2. Согласно известной теореме [4], /л -голоморфная функция gm(г) е Иа(Б) может быть единственным образом (с точностью до постоянной) восстановлена
по граничному значению своей мнимой части р2 е Иа(Г). Тот же результат будет и для реальной части.
Тогда из (19) станет известно граничное значение реальной части функции Л т. е.
и |г = 1/2(р — р) е Иа(Г). Отсюда в силу той теоремы из [4] можно однозначно восстановить
функцию {л е Иа(Б). <
Таким образом, в силу теоремы 1 для произвольного 1, 111= 1 справедливо и утверждение теоремы 3.
Пусть теперь уе С2(Г). Это означает с учетом (14), что первые производные функций у = (у,у2) и р = (г, — И) непрерывны по Гельдеру на Г. Отсюда согласно [4] восстановленные из (19) функции Л gл будут обладать свойством
д {л д {л дgл д gл
е Иа(Б). (20)
дх ду дх ду Из (20) в силу (17) вытекает (18). Теорема 4 доказана.
Теорема 5. Пусть в условиях теоремы 1 Г = дБ - контур Ляпунова. При этом матрица J имеет комплексно сопряженные собственные числа / = Л. Тогда при IФ 0 в (3) выполнено утверждение теоремы 3
Доказательство. В данном случае задача (3) примет вид:
Математика
gl+ îx+1 • fi|r= j, gj,fÀe Hs(D), l Ф 0. (21)
Функция gi+ f будет 1-голоморфной. Поскольку (Im 1) • (Im 1) < 0, то для задачи (21) при
l Ф 0 выполнена теорема 2. Отсюда в силу теоремы 1 справедливо утверждение теоремы 3. Теорема 5 доказана.
Замечание 3. Условие l Ф 0 в (21) соответствует матрице J, не имеющей комплексно сопряженных собственных векторов. Из (21) следует, что при l = 0 решение задачи Шварца для матриц из условия теоремы 5 не единственно и не всегда существует.
Теоремы 3 и 4 означают в частности, что при 1Ф m и при l = {0; 1} однородное ( j ° 0) уравнение (3) имеет только тривиальные решения. Покажем, что такое его свойство справедливо не для всех l.
Пример 1. Пусть
(4i 12^ ( ^ 2 2 , ! , о Л
-2x -16y +1 + 8xyi
J =
1
— -i
V 2 y
f( z) =
( X2 + 2 y 2) • i
(22)
Матрица J имеет разные собственные числа 1 = 7 и ц = 27. Функция ф(2) будет согласно определению 1 J -аналитической с матрицей J. При этом Яе ф(2)г =0 на эллипсе Г: 2х2 +16у2 = 1.
Таким образом, (22) доставляет пример нетривиального решения однородной задачи Шварца (2), которому в силу (14) соответствует р° 0 в (3).
Прямые вычисления показывают, что для матрицы J (22) собственные векторы х, у и число I (3) имеют, соответственно, вид:
/"V 1 \ (1- 1\ 1 ^(х,у) . х = (^ -X y = (3/^), I = —-- = 5.
2 2 ае1(х,у)
Следовательно, в силу теоремы 1 и замечания 2 при 111= 5 однородное уравнение (3) имеет решение в виде квадратичных функций 11 (2) и г).
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках выполнения государственного задания (проект 1.6644.2017/БЧ).
Литература
1. Солдатов, А.П. Функции, аналитические по Дуглису / А.П. Солдатов. - Изд-во НовГУ, 1995. - 196 с.
2. Николаев, В.Г. О решении задачи Шварца для J-аналитических функций в областях, ограниченных контуром Ляпунова / В.Г. Николаев, А.П. Солдатов / Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т. 51, № 7. - С. 965-969. Б01: 10.1134/80374064115070158
3. Николаев, В.Г. О некоторых свойствах J-аналитических функций / В.Г. Николаев // Вестник СамГУ, естественнонаучная серия. - 2013. - Т. 3(104). - С. 25-32.
4. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. -М.: Наука, 1968. - 342 с.
Поступила в редакцию 13 октября 2016 г.
Николаев В.Г. Об одной скалярной форме двумерной задачи Шварца
и ее применениях Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2017, vol. 9, no. 2, pp. 30-35
DOI: 10.14529/mmph170204
ONE FORM OF THE SCALAR TWO-DIMENSIONAL SCHWARZ PROBLEM AND ITS APPLICATIONS
V.G. Nikolaev
Federal State-Funded Educational Institution of Higher Vocational Education "Yaroslav-the-Wise Novgorod State University", Velikiy Novgorod, Russian Federation E-mail: [email protected]
The paper deals with the problem of existence and uniqueness of the Schwarz problem solution for 2-vector-functions, being analytic on Douglis, in regions bounded by the Lyapunov contour, and in classes of functions that are Holder continuous. However, the matrix J should have different eigenvalues X, and at least one eigenvector that is not multiple of the real one.
At the beginning of the paper, the inhomogeneous Schwarz problem with a boundary function щ is transformed. As a result of the performed reduction the Schwarz problem turns into an equivalent boundary problem for an inhomogeneous scalar functional equation. It connects boundary values of X-and /-holomorphic functions f g, defined in the plane region D, with a certain boundary function ф, which is constructed by щ.
This functional equation for different matrices J is distinguished only by a complex coefficient 1, which is calculated using the matrix J. In this case the following circular property is found: the Schwarz problem is solvable or not simultaneously for all matrices, which coefficient module is equal. That's why without loss of generality 1 can be considered a real number. It's proved that the studied functional equation for cases l = 0 and |l| = 1 has a unique solution for any right side of ф. The matrices J having complex conjugate eigenvectors and one real eigenvector correspond to these two cases. Therefore, for these matrices the inhomogeneous Schwarz problem in case of any boundary function щ has the unique solution. We consider absolutely and irrespectively the case when the matrix J has complex conjugate eigenvalues.
At the end of the paper it's shown that in case of |l| = 5 the homogeneous (ф = 0) functional equation has a nontrivial solution.
Keywords: matrix; Jordan canonical form; eigenvalue; eigenvector; holomorphic function; Lyapunov contour.
References
1. Soldatov A.P. Funktsii, analiticheskie po Duglisu (Functions being analytic on Douglis). NovGU Publ., 1995, 196 p. (in Russ.).
2. Nikolaev V.G., Soldatov A.P. On the solution of the Schwarz problem for J-analytic functions in a domain bounded by a Lyapunov contour. Differential Equations, 2015, Vol. 51, no. 7, pp. 962-966. DOI: 10.1134/S0012266115070150
3. Nikolaev V.G. On some properties of J-analytical functions. Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2013, no. 3(104), pp. 25-32. (in Russ.).
4. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye integral'nye uravneniya (Singular integral equation). Moscow, Nauka Publ., 1968, 342 p. (in Russ.).
Received October 13, 2016
