Об одной решетке квазимногообразий метабелевых групп без кручения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54.01

Ю.А. Авцинова

Об одной решетке квазимногообразий метабелевых групп без кручения1

Yu.A. Avtsinova

On a Lattice of Quasi-varieties of Torsion-free Metabelian Groups 1

Пусть М - квазимногообразие всех групп без кручения, в которых квадраты элементов перестановочны. В работе построена решетка квазимногообразий, содержащихся в М и определимых данными квазитождествами от двух переменных.

Ключевые слова: решетка, квазимногообразие, метабелевы группы.

Введение. Пусть М - квазимногообразие всех групп без кручения, удовлетворяющих тождеству

(Ух) (Уу)([ж2,у2] = 1). (1)

В [1] доказано, что единственным собственным подквазимногообразием в М, определимым коммутаторными квазитождествами от двух переменных, является квазимногообразие абелевых групп без кручения. Естественно, возникла задача изучения подквазимногообразий в М, которые задаются квазитождествами произвольного вида от двух переменных. Рассмотрим следующий список квазитождеств:

^1 = (Ух)(Уу)(х-4 = [х,у][х,у\х &

& [х,у][х,у]У = 1 ^ [х,у]х[х,у]У = 1);

Ф2 = (Ух)(Уу)(х- = [х,у][х,у]х к

& [х,у]х[х,у]У = 1 ^ [х,у][х,у]У = 1);

Фз = (Ух)(Уу)(х- = [х,у][х,у\х ^

^ [х,у][х,у]у = 1);

^4 = (Ух)(Уу)(х- = [х,у][х,у\х ^

^ [х,у]х[х,у]У = 1);

Ф5 = (Ух)(Уу)(х- = [х,у][х,у]х &

& у4 = [х,у][х,у]У ^ [х,у] = 1).

Квазимногообразия, которые можно задать в

М

1 Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП

ятие 1).

Let M be a quasi-variety of torsion-free groups in which squares of all elements are commutative. In this paper we constructed a lattice of quasivarieties contained in M and defined by given quasiidentities in two variables.

Key words: lattice, quasivariety, metabelian groups.

упорядочены относительно включения и образуют решетку. Цель данной работы - построение этой решетки квазимногообразий.

1. Основные обозначения и предварительные замечания. Введем следующие обозначения:

М

групп без кручения тождеством (1);

Я - многообразие, заданное тождеством (1); О' - коммутант группы О;

2 - множество целых чисел; квт^ - ядро гомоморфизма у>;

[х,у] = х— у-ху - коммутатор элементов х и у хУ = у-ху,

[х, уы = ([х, у] г)х = х— [х, у]гх {Ь € 2); гр(а1, а-2,...) - группа, порожденная элементами ах,а-2,..

(а) - циклическая группа, порожденная эле-а

Н < О - Н является подгруппой группы О.

О , О , О ,

имеющие в многообразии Я следующие представления:

С = гр(а, Ь, с У [а, Ь] = Ъ2, [а, с] = С", [Ь, с] = с2); О4 = гр(а, Ь У а- = [а, Ь][а, Ь]“);

С = гр(а, Ь У а- = [а, Ь][а, Ь]а, Ь = [а, Ь][а, Ь]ъ).

Запись О = Ф читается ”в группе О истинно квазитождество Ф”. Запись О И Ф означает противоположное высказывание.

Развитие научного потенциала высшей школы” (меропри-

Запись Ф Ь Ф означает, что квазитождество

М.

Если ФЬФиФЬФ, то квазитождества Ф и Ф

М.

Будем использовать следующие хорошо известные тождества:

(Ух) (Уу) (Уг) (Уг)([ху,г£\ =

= [х,1]У[у,г][х,г]У [у, г]‘), (2)

Ух Уу х У х х, у х х, у ,

истинные в любой группе.

Если О € Ми Н = гр(х2 | х € О), то О/Н -абелева группа. Отсюда справедливо

М

истинны тождества:

(Ух)(Уу)(Уг)(Ут)( [[х,у\, [г,-ю\]= 1),

(Ух)(Уу)(Уг)( [[х,у],г2] = 1),

Ух Уу х, у хУ х, у Ух .

Применяя коммутаторные тождества к [х2 ,у2], получаем следующее.

М

истинно тождество

Ух Уу х, у хУ х, у -х х, у - х, у -У .

При написании тождеств и квазитождеств кванторы всеобщности будем иногда опускать.

Доказательство следующего факта, которым будем далее пользоваться, принадлежит А.И. Будкину.

ЛЕММА 1. Пусть Г2 = гр(х,у) -

свободная группа в многообразии Я. Тогда запись любого элемента из Г2 в виде хк ук [х,у]к [х,у]к*х [х,у]^У, где к* € 2 (г = 1, 2,3, 4, 5), однозначна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из тождества (1) следует, ЧТО любой элемент / € ^2 представим в виде

ky

Ш = х 1 у 2 [х,у] 3 [х,у] 4х[х,у]

где все к* € 2. Покажем, что такое представление однозначно. Пусть 11=хкук [х,у]к [х,у]кх[х,у]ку € #2,

Ш = х1 у1* [х,у]к [х,у]кх [х,у]15У € ^и^Ь. Докажем, что к* = I* (г = 1, 2,3,4,5).

Пусть О = 2 х 2= (а) х (Ь) € Я. Тогда существует гомоморфизм X : #2 ^ О, при котором х ^ а, у ^ Ь. Имеем: хШ = ак Ьк, хШ = а1 Ь1. Так как Ш = рг, то хШ = хШ И, следовательно, кх=1х, к2 = 12.

Теперь достаточно показать, что запись единицы в следующем виде:

l = [x,y]a> [x,y]a*x [x,y]s*y

однозначна.

Пусть A = (a) x (b) - прямое произведение групп порядка 2 и _ : G ^ A - естественный гомоморфизм, при котором образ g G G обозначается через g. Рассмотрим свободный ZA - модуль T с базой {ti,t2}, т.е.

T = {uiti+ u2t2 | щ,и2 G ZA},

где

ZA = {cia + c2b + сзаЬ + C4 | с G Z (i = 1,2, 3,4)}

A.

множестве M матриц

g h 0 1

| g G G, h G T

введем операцию умножения так:

g h g h

О 1 \ 0 1

glg2 glh2 + hl О 1

Несложно проверить, что множество М с введенной операцией образует группу, которую будем снова обозначать буквой М, и М € Я. Так как - свободная группа в Я, то отображение:

at

y

О 1

bt

О 1

продолжается до гомоморфизма ф : F2 ^ M. Легко проверить, что

Е = ф([х,у]83 [x,y\s*x[x,y\sy) =

1 nh+ r2t2 0 1

где Т1 = (в5 - 83)а + («з - ^)аЬ_- ^,

т2 = -в5а+ (в3 - в4)Ь + (в4 - в3)аЬ + в5. тт

в3 = в4 = в5 = 0.

Следовательно, к* = I* для всех г. Лемма доказана.

Всю необходимую информацию о группах можно найти в [2-4], о квазимногообразиях - в [5, 6], о решетках - в [7, 8].

x

Основной результат. ЛЕММА 2. 1) Ква-

М

2) Квазитождества Фз и Ф4 эквивалентны М.

у ху

,

М

х— = [х,ху][х,ху]х & [х,ху][х,ху]ху = 1 ^

^ [х,ху]х [х,ху]ху = 1.

Теперь, применяя тождества (2) и (4), полу.

.

Выполнив аналогичные действия с квазито-,

.

ЛЕММА 3. Квазитождества Фх и Ф5

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко видеть, что Ь . Ь .

О € М, О =

О

т : х ^ а, у ^ Ь. Имеем:

а- а, Ь а, Ь а, Ь а, Ь а, Ь ъ,

т.е. левая часть квазитождества Ф4 при интер-т О. О =

лемме 2 квазитождества Ф4 и Фз (с одинаковыми левыми частями) эквивалентны, то пра-

т О,

а, Ь а, Ь ъ. Ь а, Ь а, Ь ъ ,

Ь.

т.

доказана.

О

гообразии Я следующее представление:

О а, Ь

-

, Ь а, Ь а

О

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Любой элемент из О

ак Ьк а, Ь к а, Ь к а а, Ь к ъ,

где к! = -3, -2, -1, 0,1, 2,3, к* € 2(г = 2,3,4,5).

Пусть #2 = гр(х,у) - свободная группа в Я. Существует гомоморфизм ф : Е2 ^ О, при котором х ^ а, у ^ Ь. Пусть N = квтф. Ввиду (3) и (4), несложно заметить, что эле-

х х, у х, у х

пы #2, поэтому N = (хА[х,у][х,у]х). Значит, любой элемент из N можно записать в виде (х4[х,у][х,у]х)1 = х1 [х,у\1 [х,у\1х, где I € 2.

О

ты конечного порядка. Пусть д € О, дп = (акг Ьк [а, Ь]к [а, Ь] к*а [а, Ь] къ)п = 1 и п ф 0. Тогда существует такой I, что

(хк1 ук [х,у]к3 [х,у]к*х[х,у]к*У)п = х41 [х,у]1 [х, у1х.

Отсюда, так как хк ук х, у к х, у к х х, у к У п хпк упк С, с € О4, то, по лемме 1, из однозначности записи элементов в группе #2 получаем кг = 0, пк\ = 41. к,

х1 [х,у]1 [х,у]1х = ([х,у к [х,у] к*х [х,у] къУ)п = х, у пк х, у пк х х, у пк У,

имеем: 41 = 0, I = пкз, I = пк4, 0 = п^.

к* г, д .

к , п

хк х, у к х, у к х х, у к У

х2 к1 [х, у кз [х, у к4х [х, у кьУ, где к* € 2 ({ = 3,4,5). Тогда

х1 [х,у]1 [х,у]1х = (хк [х,у]к [х,у] к*х [х,у] къУ)п =

хпк1 [х, у 2 кь [х, у 2 к4:х \х, у 2 кЬ у

Из однозначности записи элементов в группе ^, видим, что пк\ = 41, пк'з = I, §к4 = I, п к'5 = 0. Значит, пк\ — 41 — 2пк'3. Поэтому кх -четное число. Получаем

[х,у1 [х,у]1х = (х^ [х, у кз [х, у ^х[х,у кьу)п = хпк х, у пк х, у пк х х, у пк У.

Отсюда, по лемме 1, п^1 = 41, пкз = I, пк^ = I, пк$ = 0. Имеем пкх = 41 = 4пк3, поэто-к . к . этого случая быть не может.

Следовательно, неединичных элементов ко-

О

а, Ь ,

О

Замечание 3. Квазитождество Ф4 ложно в О.

ЛЕММА 5. Квазитождества Фх и Ф4 заМ.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что О = .

От х ^ ак Ьк [а,Ь]к* [а,Ь] к^а [а,Ь] к*ъ, у ^ а11 Ь1’2 [а,Ь]к [а,Ь]ка [а,Ь]1&ъ.

Так как (а^ Ьк* [а,Ь]к3 [а,Ь] к*а [а,Ь\ к*ъ)4 € О'А:, к.

щих а, Ь группы О4 выполнено

,Ь

,Ь

(-1 )*+ (-IV

[а,Ь}( -1) Ч

,Ь

где I, в € 2, имеем следующее:

тх

а к а, Ь к

а, Ь к а а, Ь

ъ

где к* € 2;

т(х)4 = а4 к1 [а,Ь]2кз [а,Ь]2 кь а [а,Щ2 < ъ =

= [а, Ь](2к'ь[а, Ь](2к'ь-к>[а, Ь]2кьъ, где к* € 2;

[т(х),т(у)] = [а,Ь] * [а,Ь] *а [а,Ь] ^ъ, где ^ € 2;

[т(х),т (у)] =

= [а,Ь\^ ( —^(+ (>3-^) (—^(.

. [а,Ь] 0' ^-^)(—^ К ^ (М—- ((а [а,Ь] к ъ;

Их),т(у)] Т(-У) =

♦ ('С — )г1+ ( — ) ‘2 ^ ♦ \(—) ^ — —) ‘2

[а,Ь] ^ а >+(Н —2)У 2

• [а,Ь]( (*х-^( 1 — ^)-1) ‘2 + *20+(-Ф) —) ‘2) а.

. [а,Ь 0: ^-ь) (1-(-1} ‘2 (с-1) ‘ч- ^ (1+(-1} ‘2 (с-) ^ (ъ. к

[т(х),т(у)\ = [т(х),т(у)]тх, и из истинности леО

тО данном отображении.

к

О

получаем систему из шести равенств:

2кз - к1 + и1 + Ь2 - ^3 —

2к* - к1 + ^1 + ^ - ^з = 0,

2к* = О,

+

*, + (*3 - Ц (^'1-(-1)'

+(1 (ну^н^ ^

<* + «. - и,) )-1)■- +

(Щ-^)ь = а и-, + (и - VI (^нн^)-1)'■ +

+ь

(1±^) (-1)4= 0.

(5)

(6) (7)

(8)

(9)

(10)

а) Н, Ь - четные числа. Тогда из (8), (9), (10)

следует, что = и2 = = 0. Из (5) к - четное

число, противоречие.

б) к, Ч - нечетные числа. Из (9) Ц = Ц+ Ц, к

в) - четное число, 12 - нечетное число. Тогда из (8) выводим ^2 = ^1 +и3. Ввиду (5), получаем противоречие.

г) к - нечетное число, 12 - четное число. Из

(8) следует, что Ц = + Ь2. Из (5) получаем

к

Следовательно, случай 2 невозможен и О = .

О

,

надлежит квазимногообразию, заданному квазитождеством Ф4. Лемма доказана.

О

гообразии Я следующее представление:

О5 = гр (а, Ь У а- = [а, Ь][а, Ь]а, Ь4 = [а, Ь][а, Ь]ъ). О

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Любой элемент из О

ак Ьк а, Ь к а, Ь к а а, Ь к ъ,

где кх = 0,1,2,3, к2 = 0,1,2,3, к* € 2(1 = 3,4,5).

Пусть Г2 = гр(х, у) - свободная группа в Я. Существует гомоморфизм а : Е2 ^ О, при котором х ^ а, у ^ Ь. Пусть N = кета. Ввиду (3) и (4), несложно заметить, что элементы

х х, у х, у х у- х, у х, у У

ре группы #2, поэтому любой элемент из N можно записать в виде

(х4[х,у][х,у] х)1(, у-[ху][ху] УУ =

х у 1+9 х У1х х у ЧУ

х"у “‘[х,У +Ч[х,у\~\х,

где /,д € 2.

О

д € О ,

дп ак Ьк а, Ь к а, Ь к а а, Ь к ъ п п .

Тогда существуют такие / и д, что

хк ук х, у к х, у к х х, у к У п

= х41 у-Ч [х,У1+4 [х,У1х [х,У ЧУ.

Случай 1. = 0, к2 = 0. Из равенства

X1 у-Ч [х,У1+4 [х,У1х [х,У ЧУ =

х, у пк х, у пк х х, у пк У,

ввиду леммы 1, имеем:

4/ = 0, -4д = 0, / + д = пк3, / = пк4, д = пк5.

к* г, д .

к к .

X1 у-Ч [х,У1+4 [х,У1х [х,У ЧУ =

= хпк1 упк2 с^ес € О*,

то, по лемме 1, из однозначности записи элементов в группе ^2 получаем ик\ = 4/, пк2 = —4д. Поэтому п - четное число. Имеем

(хк ук'2 [х,у]кз [х,у] к*х [х,у] ку2 =

= х2 к у2^ [х, у] к [х, у] к4х [х, у] ку,

где к[ € 2 (I = 3,4,5).

Тогда

X 1у-*[х,у] [х,у]1х [х,у] *у =

= {хк1 ук [х,у]к3 [х,у] ^х [х,у]к*у)п =

= хпк упк2 [х,у] Ткз [х, у] ?к4х [х, у] ?к4у.

Из однозначности записи элементов в группе Г2, видим, что п% = 4/, пк2 = —4д, пк'3 = / + д,

п к1 — / п к' — д 2 к4 _ 1, 2 к5 _ д

Значит, п^1 = 4/ = 2пк', пк2 = —4д= —2пк'ь.

Поэтому кх, кг - четные числа. Получаем х41у-* [х,у] 1+* [х,у]1х [х,у] 1у =

хпк упк х, у пк х, у пк х х, у пк у.

пк /, пк — д, пк / д, пк /, пк д. пк / пк пк — д — пк , к к , быть не может.

Следовательно, неединичных элементов конечного порядка в группе С§ нет. Из этих же рассуждений следует, что [а,Ь] ф 1, поэтому группа 05 неабелева. Лемма доказана.

Замечание 4. Квазитождество Ф5 ложно в группе О5.

ЛЕММА 7. Квазитождества Фх и Ф5 задают несравнимые квазимногообразия в М.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко заметить, что группа 03 € М. Покажем сначала, что квазитождество Ф5 истинно в группе О3. Предположим, что левая часть Ф5 истинна в О3 при интерпретации х ^ ак Ьк скз, у ^ а11 Ь1'2 с1'3. Имеем (ак Ьк скз)4 € О' и (а11 Ь^ ск)4 € 0'3, поэтому % = 0 и /х = 0. Так как гр(Ь, с)' < (с), то

Теперь покажем, что О \= Ф1. Пусть левая часть квазитождества Фх истинна в группе О5 при отображении т :

х ^ ак Ьк'2 [а,Ь]кз [а,Ь] к*а [а,Ь] ^ь, у ^ ак Ь1'2 [а,Ь]к [а,Ь] ка [а,Ь] ^ь.

Несложно проверить, что для порождающих а, Ь группы О5 выполнен о следующее равенство:

,Ь

,Ь

(-1 )Ч (-Ра

,Ь

(1-( —■1 *) (-1) За_

,Ь

(1-(-1) °) (-1 у

Имеем:

т(х)2 = а2 к Ь2 к2 [а,Ь]к [а,Ь]к а [а,Ь]к ь, где к' € 2;

т(х)4 = [а,Ь](2к'3-Ъ+Ъ) [а,Ь](2к-к> [а,Ь](2к'4+^ь, где к' € 2;

[т(х),т(у)] = [а,Ь] ‘ [а,Ь] ‘2а [а,Ь] ‘зь, где и € 2;

~(х),т(у)\

х

= [а,Ь]‘Л+‘-Ы().

• [а,Ь\ ((4-^) (^ е' — ) "2 + ‘2 (1+— к е' —) "2 еа.

■ [а,Ь] (( ‘1 -^)(1- — к е —) к1+ ^(1+—к м еь,

г{х),т{у)]т(у) =

т

л.{ — 1

■ [а,Ь}( ‘-^( 1-(-1)г1)-1) ^ +-Н) ( — ) ^ ) а .

■ [а,Ь]((н-Н) (1-г^е'—)Н+ ^ (1+-12 е-1)11К

Из истинности левой части квазитождества 0

венств:

2кз — к1 + к2 + ^1 + ^1 ^

— к — к

+

(Ькскз)4 € (с) я (Ь^с13)4 € (с). Отсюда ^ = 0 и +(г3 — Ь2)(

1 Гк /-1 Г — к Ъ.ко ~кч Ъ.1о 1 '

—) ^ — (—1)

к

к = 0. Следовательно, [а^ Ьк скз ,а1'1 Ь1'2 с1з] = 1. Значит, правая часть Ф;, при данной интерпре-

0.

Докажем, что квазитождество Фх ложно в О € М. Рассмотрим отображение т : х ^ Ь, у ^ ас.

Ь- Ь, ас Ь, ас ь Ь- с Ь- с-

и [Ь,ас][Ь,ас]ас = Ь—с2Ь2с-2 = 1, но [Ь,ас\ь [Ь,ас]ас = Ь— с-Ь2с-2 = с-4 ф 1. Следовательно, О ¥ Ф1.

,

+^ + —^ 0, (12)

2к' + Ь2 + ^з + (^ — ^ ( —1) к1 +

ь

4 + (*з - Ч) ( 2

((-1)'* + (-1) +Ч-------------2---------

+

+*2

1 + (-1)'

(-)'

*з + * - Ц) (1——^-) (-1)к+

0.

(14)

(15)

(16)

Случай 1. кх,к2 - четные числа. Тогда

[т(х),т(у)\ = [т(х),т(у)], и из истинности левой части квазитождества Фх в группе С§ при т следует истинность правой части Фх в О5 при данном отображении.

кк

число.

а) к,к - четные числа. Тогда из (14), (15), (16) следует, что *х = *2 = *з = 0. Из (12) к -четное число, противоречие.

б) к, к - нечетные числа. Из (15) *х = *2 +*з,

к

в) к - четное число, к - нечетное число. Тогда ИЗ (14) ВЫВОДИМ *2 = *1 + *з- Ввиду (12), получаем противоречие.

г) к - нечетное ЧИСЛО, к - четное число. Из (14) следует, что *з = *х + *2- Из (12) получаем

к

Следовательно, случай 2 невозможен. кк

число.

а) к,к - четные числа. Тогда из (14), (15), (16) следует, что *х = *2 = *з = 0. Из (13) к2 -четное число, противоречие.

б) к, к - нечетные числа. Из (15) *х = *2 +*з,

к

в) к - четное число, к - нечетное число. Тогда из (14) выводим Ц = Ь\ + *з- Ввиду (13), получаем противоречие.

г) к - нечетное число, к - четное число. Из (14) следует, что *з = *х + *2- Из (13) получаем

к

Следовательно, случай 3 невозможен.

Случай 4- кх,к2 - нечетные числа.

а) к,к - четные числа. Тогда из (14), (15), (16) Следует, ЧТО *х = *2 = *3 = 0- Из (13) к‘2 -четное число, противоречие.

б) к, к - нечетные числа. Из (15) *х = *2 +*з,

к

в) к - четное число, к - нечетное число. Тогда ИЗ (14) ВЫВОДИМ *2 = *1 + *з- Ввиду (13), получаем противоречие.

г) к - нечетное ЧИСЛО, к - четное число. Из (14) следует, что *з = *х +Ц- Из (13) получаем

к

Следовательно, случай 4 также невозможен. Значит О5 1= Фх- Итак, получаем, что группа О5 принадлежит квазимногообразию, заданному квазитождеством Фх и, ввиду замечания 4, не принадлежит квазимногообразию, заданному квазитождеством Ф5, а группа О, наоборот, принадлежит квазимногообразию, заданному квазитождеством Ф;, и не принадлежит квазимногообразию, заданному квазитождеством Фх- Лемма доказана.

ЛЕММА 8. Квазитождества Ф4 и Ф5 задают различные квазимногообразия в М.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что О4 = Ф 5- Пусть левая часть квазитождества Ф5 истинна в группе О4 ПРИ отображении т : х ^ ак Ьк* [а,Ь]к* [а,Ь]к*а[а,Ь]^ь, у ^ ак Ьк [а,Ь]к [а,Ь]ка [а,Ь]кь -Так как (ак Ьк [а,Ь]кз [а,Ь]к*а [а,Ь]к*ь)4 € О'А и (а!'1 Ьк [а,Ь]к [а,Ь]ка[а,Ь] кьУ € О'А:, то к2 = 0 и к = 0- Несложно проверить, что для порожда-а, Ь О

венство:

,Ь]0

,Ь

(-1 )г+ (-IV

[а,Ь}( -1>*а-

,Ь

Имеем:

т(х)2 = О2 к [а, Ь]к [а, Ь]ка [а, Ь]к ь, где к[ € 2

4 = Га Ь1(2к*-к1) Га Ь1(2к*-^)а[а,Щ2к'вь,

т(х)4 = [а,Щ2к*-к1> [а,Ь\

где к[ € 2

ту2 = а2[а,Ь][а,Ь]'* а [а,Ь] ь,

где

4 - Га Ь](21*-'1) Га ЫС21'*-Юа \п,Ь]21'*Ь

т(уГ = [а,ЬГ1^[а,Ь\ где \[ € 2-

Используя формулу (2), выводим:

['т(Х),тШ =

\ак [а, Ц кз [а, Ь]к*а [а, Ь]кь, ак [а, Ь]к [а, Ь]Ца [а, Ь]кь] = [ак ,[а,Ь]к [а,Ь]ка [а,Ь]кь] ■

[а,Ь]кз [а,Ь] к*а [а,Ь\ к*>ь,ак]

([а,Ь]к [а,Ь]ка [а,Ь]кь)-а 1

ь

■ [а,Ь]к [а,Ь]ка [а,Ь]кь■

■ [а,Ь]-к3 [а,Ь]-^а [а,Ь]-к*ь^

■( [а,Ь]к3 [а,Ь]к*а [а,Ь] коь)аН =

[а,Ь]-1заН [а,Ь]-каН+1 [а,Ь]-каЧь■ [а,Ь]1з-кз [а,Ь] ^-к^а [а,Ь] 1-к^ь^

■ [а,Ь]кзаН [а,Ь\к*а'1+1 [а,Ь\к*аЧь =

,Ь

-а [а,Ь\-‘Л )

, ((-1)к — 1 \ , ( 1+(-1)к

[а,Ь] ---)[а,Ь]-‘Л V

,Ь

( (—1) к1 —1 ( ? ( 1 — (—1) к1 (

2----------)[а,Ь] М V >

■ [а,Ь]-1*(-1) 1ь^

■ [а, Ь]1з-кз [а, Ь] ^-к^а [а, Ь] 1-кь)ь■

[а,Ь] к»( )[а,Ь] кз(^г^- ;»■

,Ь

1 —( —1 )11 2 .

, ( (—1)1! — 1 \ , / 1 + ( —1 )г1 '

-кЛ—2------------)\а,Ь] кЛ^^.

, ((—1) 11 — 1 \ , (1 —— 1) г1 \ [а, Ь]к5У*-) [а, Ц-kЛ^тJ-)a■

,Ь

Ы-1)н ь

Обозначим:

<1 = -ц,-г>к +1V('< - « (М),-11+

2

'(-1)11+1

2

(-1) ‘1 -1'

+к - кг + Ц+ (к5 - ^

*2=к4(1 + (2 +(к - < (21Г1) +

- - к

+и-ь-/4(1 + -+к-к5)(* (21Г)

1-(-1) ‘

Тогда

ч = М-1)11 -1) + ^1 -(-) к1 )-

[т(х),т(у)] = [а,Ь] ^ [а, Ь ^а [а,Ь] ‘зь.

[т(х),т (у)] =

= [а,Ь\* ( —^( +‘-^ (—^)■

[а,Ь\ 0: ^-‘3) (—^^ (+ * (^—^ ((а.

[а,Ь] ‘з(-^ 1ь;

~(Х),тШ

-(у)

= [а,Ь] ^ £^1) +‘-‘2)( ■ м (< ^-^) (1——^ К * (1±—^ ((а

,Ь

Ы-1)11 ь

к

а) - четное число. Тогда = *2 = *з = 0-То есть правая часть квазитождества Ф5 истин-

О

б) /1- нечетное число. Заметим, что в этом случае

*1 + ^ - *3 =

-/ / - к - к к / -

-к - / к - к к -

Так как левая часть квазитождества Ф5 исО

,

а, Ь ,

ство:

-2^ + ^1 + ^1 + *2 - ^з = 0/

четное число.

к

рить, что

((—1 У1 + ^

^1 = Ь - /4 + Ь - ^ + к3 ^---------------2-)

,, ((-)^ ^ к ((-)^ ^

I 2 ) 4I 2

(1 + (_ 1)^ )

*2 = к4^------^- /г ^ - к/1”1"

)-^ ^ -("1>"

^з — ^ (-У1 - 1) + 2^;

т.е. ^ - *з = 0- Из истинности левой ча-

О,

а, Ь ,

2кз - к1 + ^1 + ^ - ^з = 0-

к

четное число. Следовательно, случай 2 невозможен.

О = -

О

,

и не принадлежит квазимногообразию, заданному квазитождеством Ф4. Лемма доказана.

СЛЕДСТВИЕ. Квазитождество Ф4 и формула Ф1& Ф5 задают различные квазимногообразия в М-

Доказательство следует из лемм 5, 8 и замечания 3.

Обозначим:

М% - квазимногообразие, заданное в М квазитождеством Фх;

а

а

а

ММ зитождеством Ф4;

ММ

зитождеством Ф5;

Из всего вышесказанного получаем следующую теорему.

ТЕОРЕМА. Множество квазимногообра-

М

,,,,,

частично упорядочено относительно теоретико-множественного включения и образует 5-элементную дистрибутивную решетку, которая изображена на рисунке.

В заключение автор выражает благодарность профессору А.И. Будкину, под руководством которого выполнена данная работа.

Библиографический список

1. Авцинова Ю.А. О квазимногообразиях ме-табелевых групп без кручения аксиоматического ранга два // Известия Алтайского государственного университета. - 2010. -№1(65).

2. Курош А.Г. Теория групп. - М., 1967.

3. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М., 1977.

4. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. - М., 1974.

5. Будкин А.И. Квазимногообразия групп. -Барнаул, 2002.

6. Горбунов В. А. Алгебраическая теория квазимногообразий. - Новосибирск, 1999.

7. Биркгоф Г. Теория решеток. - М., 1984.

8. Гретцер Г. Общая теория решеток. - М., 1982.