Об одной нелинейной рекуррентной последовательности третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 20-38

= Математика =

УДК 519.6

/Л и и и и

Об одной нелинейной рекуррентной последовательности третьего порядка

Р. А. Вепринцев

Аннотация. Исследована нелинейная рекуррентная последовательность третьего порядка при положительных начальных условиях с положительными параметрами в рекуррентном уравнении.

Ключевые слова: разностное уравнение, рекуррентная

последовательность, бесконечное произведение, равновесное решение, точка равновесия, локально устойчивая точка равновесия, локально асимптотически устойчивая точка равновесия, глобальный аттрактор, периодическое решение разностного уравнения.

Введение

Пусть 1 — некоторое числовое множество, например, интервал действительных чисел или объединение таких интервалов.

Определение 1. Разностным уравнением порядка к называется уравнение вида

Хп = I (Хп-1, ... ,Хп-к), п = 1,2,..., (1)

где I — непрерывная функция, которая отображает множество 1к в 1.

Определение 2. Решением уравнения (1) называется последовательность {хп}П=_к+\, которая удовлетворяет уравнению (1), т.е. обращает его в числовое тождество для всех п = 1, 2, . . .

Определения 1, 2 можно найти [1, 2].

Определение 3. Последовательность {хп}П=_к+1 назовем рекуррентной последовательностью к-го порядка, если первые к ее членов заданы, а остальные однозначно определяются при помощи рекуррентного соотношения (1).

Из определений 2, 3 следует, что решением уравнения (1) является рекуррентная последовательность, определяемая однозначно начальными условиями х-к+1,... ,хо £ 1.

Рассмотрим разностное уравнение третьего порядка

ЬхкХк-1 , п /0ч

хк+1 =ахк-1 +-------—-------, к — 0,1,... (2)

схк + ахк—2

с положительными коэффициентами а,Ъ,с,а> 0 в рекуррентной формуле. Рекуррентная последовательность третьего порядка

Ъхкхк-1 , , ч

х-2, х-1, хо, хк+1 = ахк-1 +-----— -----, к = 0,1,... (3)

схк + ахк-2

с положительными начальными условиями х-2,х-1,хо > 0 является решением уравнения (2). При этом хп > 0 для всех п = -2, -1,..., т. е. ■] = (0, то).

Работа посвящена решению следующих задач.

Задача 1. Исследовать сходимость последовательности {хп}П^=_2 (3) при произвольно заданных параметрах х-2,х-1,х0, а, Ъ,е,й> 0.

Более общей является следующая задача.

Задача 2. Исследовать решения разностного уравнения (2) при положительных начальных условиях.

1. Вспомогательные результаты

Наряду с последовательностью {хп}п?=-2 будем рассматривать две последовательности:

1- {аn\n=0, ап — х'п1х'п—2-,

2. {аП]Щ==0, в которой а0 =----, а*к+1 = а +-^, к = 0,1,...

2 ак

Лемма 1. ак+1 = ак+1 для всех к = 0,1,...

Доказательство. Применим метод математической индукции.

1. При к = 0 утверждение выполняется. Действительно,

х1 Ъх0 х1 Ъ

---- = а + ГЗ----- ^ а1 = ---- = а + , лх-2 ,

х_ 1 сх0 + ах-2 х_ 1 с + а-~А

х0

^ к х0 Ъ Ъ

ао —-, а° — а |-----------~г а-\ — а |—т-,

0 х-2' 1 с + % 1 с + аХ-2

т. е. а\ = а1.

2. Пусть утверждение выполнено при к = п — 1,п ^ 2.

3. Докажем, что утверждение имеет место и при к = п:

хп+1 Ъхп хп+1 Ъ

= а + ~ ^ ап+1 = “ = а + „ , ^хп-2 ,

хп—1 схп 1 ахп—2 хп—1 с 1 а

_ хп к = + Ъ к = + Ъ = + Ъ

—--------, ап+1 — а +-~г~ ^ ап+1 — а +--г- — а +--х—2"

хп—2 п+1 с + £ с + От с + а ^

ап ап хп

ап = а

п

т. е. акп+1 = ап+1 .

Лемма 1 доказана.

Пусть Ро = П а°г+1 = П а2i+1, Ре = П ак>и+1) = П а2(г+1).

i=0 i=0 i=0 i=0

Лемма 2. х2к+1 = х—1Рк, х2(к+1) = х0Рк, к = 0,1,...

Доказательство. Применим метод математической индукции.

1. Утверждение выполняется при к = 0:

00 * х1 0 х1

Рп = а° =------- ^ х_ 1Рп = х_ 1-----= х1;

х—1 х—1

г,0 к х2 00 х2

Ре = а-2 = — ^ х0Ре = х0— = х2. х0 х0

2. Пусть утверждение выполнено при к = п — 1, п ^ 2.

3. Покажем, что тогда утверждение справедливо и при к = п:

х2п+1 — х2п— 1 Га + ,х2^ 2 1 — х2п— 1 Га + л 1 — х2п— 1а2n+1,

V с + а——/ V с +

х2п О2п

п—1 п

х2п—1 = х—1Р^—1 ^ х2п+1 = (х—1 Л а2i+^ а2п+1 = х—1Л а2i+l = х—Р;

х2п+2 — х2п ^а + с +_ а Х2п—1 ^ — х2п ^а + | л ^ — х2па2п+2,

х2п + 1 О2п+1

п— 1 п

х2п — х0Ре ^ х2п+2 — ^х0 ^ ^ а2^+1)^ а2п+2 — х0 ^ | а2(i+1) — х0Ре .

i=0 i=0

Лемма 2 доказана.

Перед тем как перейти к следующему пункту, в котором формулируется и доказывается теорема о поведении рекуррентной последовательности (3) в зависимости от параметров х—2,х0,х—1, а, Ъ,с,(1> 0, остановимся на одном вспомогательном построении.

Введем в рассмотрение рациональную функцию

Р(Ь) = а +--—,, t> 0.

сь + а

Она обладает следующими свойствами:

1) Р(ап) = ап+1 для всех п = 0,1,...;

2) Р (1) — “+ста,;

3) Р(Ь) строго возрастает по Ь на (0, то,) так как

. ( Ъь у ъ■ (сь + а) — Ъь■ с ъа

Р (Ь) = (а +--------- ) =-----^------------ = 7-----^ > 0 при Ь > 0;

V сЬ + а) (сЬ + а)2 (сЬ + а)2 р

4) P(t) строго выпукла вверх на (0, о), так как

2bcd

p,,(t)=- <0 "р"г> 0;

5) lim P(t) = a, lim P(t) = a + b " a < P(t) < a + b для любого t > 0.

t—0+0 t——<^o c c

Лемма 3. P(t) + P(t-1) = 2P(1), t > 0.

Доказательство. Функция y(t) = P(t) + P(t-1) является непрерывной функцией по t > 0. Ее производная равна нулю на (0, о):

т = Pm + (Pг1)) = (cr+dp + (f+dp •- s 0 t>0

поэтому функция y(t) постоянна на любом интервале (y, ¿) С (0, о) ", следовательно, на (0, о). В свою очередь, y(1) = 2P(1).

Лемма доказана.

2. Основной результат

ГО ОО

Пусть Po = П «2І+1, Pe = П «2(г+1).

i=0 i=0

Теорема 1. Поведение рекуррентной последовательности {xn}c^'=_2 (3) в зависимости от параметров x-2, x-1, x0, a, b, c, d > 0 может быть охарактеризовано следующим образом:

1) если a +------- > 1, то Xk ^ о при к ^ о;

c + d

2) если a +------- < 1, то Xk ^ 0 при к ^ о;

c + d

3) если a +------- = 1 и

c + d

a) a0 > 1, то

b) a0 < 1, то

c) a0 = 1, то

x2k+1 ^ Pox-1 при к ^ о, X2(k+1) ^ Pex0 при к ^ о, 1 < Pe < Po < о;

x2k+1 ^ Pox-1 при к ^ о, x2(k+1) ^ Pex0 при к ^ о,

0 <Po <Pe < 1;

х2к+1 = х—1, х2(к+1) = х0 при к = 0, 1,...

Доказательство. Имеем три возможных случая:

1). Р(1) > 1, 2). Р(1) < 1, 3). Р(1) = 1.

Каждой из 3 возможностей соответствуют условия на а0 = ——:

х—2

а). a0 = 1, -). a0 < 1, с). a0 > 1.

При доказательстве рассмотрим каждую из 9 возможных комбинаций этих условий.

1a) P (1) > 1, ао = 1.

В этом случае P(ak+i) > P(ак) для всех к ^ 0. Докажем этот факт методом математической индукции.

1. При к = 0 неравенство P(ai) = a2 > P(а0) = а1 верно, поскольку P(t) строго возрастает по t > 0 и ai = P(а0) = P(1) > 1 = а0.

2. Пусть P(ak+i) > P(ак) при к = n — 1, n ^ 1, т. е. P(an) > P(ага_1).

3. Тогда при к = n имеем P(ara+i) > P(an), так как P(t) строго возрастает по t> 0 и an+i = P(an) > P(an_i) = an.

Таким образом, ak+i > ак ^ 1 для всех к ^ 0.

Следовательно, x2k+i = x_iPk / ж, к -/ж, ввиду того, что нарушается необходимое условие сходимости бесконечного произведения Po = lim Pk :

k^-ж

a2k+i / 1 при к /ж и Pk > 1 для всех к = 0,1,... Аналогично, x2(k+i) / ж при к /ж.

1b) P(1) > 1, a0 < 1.

Уравнение P(t) = t, t > 0, имеет единственное решение ß £ (1,а + b/c). Этот факт следует из свойств 3, 4, 5 функции P(t) и условия P(1) > 1.

Учитывая, что ai = P(a0) > a0 и рассуждения, проведенные в 1а), получаем, что последовательность {an}'^'=0 строго возрастает и ограничена сверху числом ß. Следовательно, lim an существует и равен ß:

an+i = а +-----—d-, lim an+i = lim (а +---------), ß* = а +----------—d-, (4)

С + d n^<x n^<x\ с + — / с + d

an an в

поэтому ß* > 0 — корень уравнения P(t) = t, т. е. ß* = ß.

Таким образом, an / ß > 1, соответствующие бесконечные произведения расходятся и xn /ж при n /ж. Здесь уместно отметить, что на сходимость бесконечного произведения не влияет удаление любого конечного числа членов этого произведения (если, конечно, среди этих членов нет равных нулю).

1c) P (1) > 1, a0 > 1.

Если a0 £ (1,ß), ß —корень P(t) = t, то повторим рассуждения 1b). При a0 = ß £ (1,а + b/c) последовательность {an}n=0 стационарна. Если же a0 £ (ß, ж), то последовательность {an}^L0 убывает в силу свойств P(t) и ограничена снизу числом ß. Необходимо lim an = ß. Но при любом

расположении a0 £ (1, ж) имеем an / 1, n /ж, и, как следствие, xn / ж, n / ж, в силу расходимости соответствующих бесконечных произведений из-за нарушения необходимого условия их сходимости.

2a) P(1) < 1, a0 = 1.

В этом случае P(ak+i) < P(ak) для всех к ^ 0. Докажем этот факт методом математической индукции.

1. При к = 0 неравенство P(ai) = a2 < P(a0) = ai верно, поскольку P(t) строго возрастает по t > 0 и ai = P(a0) = P(1) < 1 = a0.

2. Пусть P(ak+i) < P(ak) при к = n — 1, n ^ 1, т. е. P(an) < P(an_i).

3. Тогда при к = n имеем P(an+i) < P(an), так как P(t) строго возрастает по t и an+i = P(an) < P(an_i) = an.

Таким образом, 0 < ak+i < ak ^ 1 для всех к ^ 0.

Следовательно, x2k+i = x_iP^ / 0, к -/ж, ввиду того, что нарушается необходимое условие сходимости бесконечного произведения P = lim P k и

k^-ж

0 < P^ < 1, к = 0,1,... Аналогично, x2(k+i) / 0 при к / ж.

2b) P(1) < 1, a0 < 1.

Уравнение P(t) = t, t > 0, имеет единственное решение ß £ (а, 1). Этот факт следует из свойств 3, 4, 5 функции P(t) и условия P(1) < 1.

Если a0 £ (0,а), то {an}'^)=0 строго возрастает и ограничена сверху числом ß. Следовательно, lim = ß < 1 (см. (4)). При a0 = ß

последовательность {an}n=0 стационарна и an = ß для всех n ^ 0. Если же a0 £ (ß, 1), то {an}n=0 строго убывает и ограничена снизу числом ß. Необходимо lim an = ß. В итоге получаем, что при любом

расположении начального члена a0 на интервале (0, 1) an / 1, n / ж. Бесконечные произведения Po = lim P^ и Pe = lim Pjk расходятся к

k^-ж k^-ж

нулю из-за нарушения необходимого условия сходимости. Поэтому также x2k+i = x_P / 0,x2(k+i) = x0P!k / 0 при к / ж.

2c) P(1) < 1, a0 > 1.

Последовательность {an}2=0 будет строго убывающей и lim an = ß <

< 1, ß — корень уравнения P(t) = t, t > 0. Из 2b) имеем xn / 0, n / ж, так как все an > 0 и отбрасывание конечного числа членов в бесконечном произведении не влияет на его сходимость.

3a) P(1) = 1, a0 = 1.

Корень ß уравнения P(t) = t, t > 0, равен единице. Так как a0 = ß = 1, то последовательность {an}c^'=0, получаемая из соотношения P(an) = an+i, стационарна. Таким образом, an = 1 Уп ^ 0. Для элементов {xn}c^‘=i (усеченный вариант {xn }^°=-2 без начальных членов) справедливо представление

kk x2k+i = x_ij| a2i+i, x2(k+i) = x^JI a2(k+i), к = 0,1,...,

i=0 i=0

которое принимает вид

x2k+i = x_i, x2(k+i) = x0, к = 0, 1, . . .

Очевидно, что если начальные условия выбрать так, что x_i = x0, то последовательность {xn}n=_2 не сходится и в ней выделяются две подпоследовательности {x2k_i}^=0 и {x2k_2}^=0, каждая из которых

стационарна, именно нечетные элементы совпадают с начальным условием x-i, а четные элементы совпадают с начальным условием хо = х_2.

3b) P(1) = 1, ао < 1.

Так как а0 < 1, P(1) = 1, то последовательность {ап}Ж=0 будет строго возрастающей и lim ап = 1. Необходимое условие сходимости бесконечных

п^ж

k к произведений Po = lim П a2i+i, Pe = lim П a2(i+i) и Po,e = lim Pke, где

к^ж ^_о к^ж i=o к^ж ’

к

Po,e

a2i+1 • a2(i+1), выполнено: ап 1 при n ж.

i=0

Из условия P(1) = 1 имеем

a +--= 1, (1 — a)(c + d) = b, c + d — ac — ad = b ^

c + d v yv '

ban (c + d — ad) an + ad (1 + d — a d )an + a d

an+1 — a +

n

или

d

an+1an + an+1 —

c

Введем замену переменных

d

c

d

1 + -(1 — a) — a- — 0. (5)

c

( 1 — a = a (0 < a < 1),

= в (в> 0). (6)

^ с

Тогда (5) принимает вид ara+ia„ + вап+i — (1 + ав)a„ — (1 — a) в = 0, n = 0,1,..., 0 < ao < 1.

(7)

Если задаться произвольным ao G (0,1), то получаем однозначно определенную последовательность a1,a2,... из рекуррентного уравнения

(7).

Решим рекуррентное уравнение (7) с помощью математического пакета Maple при произвольном начальном условии ao [3].

В итоге после преобразований получаем следующую явную формулу для n-го члена an последовательности:

(—в + ae — ao)(ae) п + e(aao — a — ao + 1)(в + 1) n

a = __________________________________________________________ n = 0 I

an (—в + ae — ao)(ae)~n + (ao — 1)(в + 1)-n , П

(8)

В справедливости последней формулы также можно убедиться подстановкой ее значений в уравнение (7).

ГО

Далее рассмотрим бесконечное произведение Poe = П a*. Необходимое

г=1

условие его сходимости выполнено: an ^ 1 при n ^ ж. Обозначим через

те

аі = —1 + аі, 0 < аі < 1, і = 1, 2,... Исследуем на сходимость ряд ^ а'.

і=1

те

При всех номерах і = 1, 2,... члены ряда ^ аі отрицательны, поэтому для

і=1

те

исследования его на сходимость перейдем к ряду из модулей ^ \а'і\:

і=1

0 < \аі\ < 1, \аі\ — 0 при і — о,

і /і (ао — 1)(1 — ав + в) л п .о-. &

\аі\ = 1 — аі =--------------------------------------------------------------і, 1 — ав + в = 1 + а— > 1.

ао — 1 + (в (а — 1) — ао^ і+г)

в + 1

Обозначим через д = --------—. Покажем, что д > 1. Предположим, что

ар

в-+-^ = 1. Тогда

ав

& & в + 1 = ав, — + 1 = (1 — а) —, с + & = (1 — а)& с

1 < - + 1 = 1 — а < 1 — противоречие. а

П в + 1 ^ і Пусть теперь -----— < 1:

ав

с

в + 1 < ав, с + & < (1 — а)& ^ 1 +—- < 1 — а < 1 — противоречие.

&

Ряд

те

У^~, (9)

a0 — 1 тете

где y = -----—---- > 0, сходится. Поэтому ряды \а[\ и ai также

в(a 1) a0 i=1 i=i

сходятся. По теореме о сходимости бесконечного произведения и характеру числовой последовательности {ara}^°=0 (0 < a0 < ai < ... < an < ... < 1) заключаем, что

0 < Po,e <Po <Pe < 1.

Таким образом, x2k+1 = x-1Pk — x-1Po, k — о, и x2(k+2) = x0Pk — x0Pe, k - о.

3c) P (1) = 1, a0 > 1.

Используем схему, предложенную в 3b). Последовательность {an}%=0 строго убывает и lim an = 1: a0 > a1 > ... > an > ... > 1. Необходимое

n^-те

условие сходимости бесконечных произведений Po = lim POk, Pe = lim Pk,

k^-те k^-те

Po,e = lim Pke, где Pke = PkPk, выполнено. k

Используя равенство Р(1) = 1, замену переменных (6), получим, что п-й член последовательности {ап}П?=о задается формулой (8).

те

Рассмотрим бесконечное произведение Р0,е = П а*. Обозначим через а* =

i=1

= —1 + ai, ai > 0. Исследуем на сходимость положительный ряд Y1 а'{-

i=1

, = .+ = (a0 — 1)(1 — ав + в)

ai — —1 + ai — —

a0 — 1 + (в(а — 1) — a0)(y )

а@

те

ai

Вопрос о сходимости ряда £ а* эквивалентен вопросу о сходимости ряда

(9) те 1 *= в + 1 ао -1 О

вида (9) ^ —■—п, в котором д = ——, 7 = —------------------------ -. Он сходится,

п=1 7 + дп ав в (а - 1) - ао

так как д> 1 (см. 3Ь)), 7 € (—1, 0). Действительно,

11 ао — 1 ао — 1 < 1

ао + в(1 — a) а0 + d a

Исходя из теоремы о сходимости бесконечного произведения и характера числовой последовательности {a}^=0 (1 < ... < an < ... < a1 < a0), справедливо соотношение

1 < Pe < Po < Poe <

Таким образом, х2к+1 = х-1Рк — х-1Р0, к — ж, и х2(к+1) = х0Р£ — х0Ре, к — ж.

На этом рассмотрение случаев закончено. Выводы следующие:

1) из 1а), 1Ь), 1с) следует справедливость пункта 1) теоремы;

2) из 2а), 2Ь), 2с) следует часть 2) теоремы;

3) ситуации 3а), 3Ь), 3с) доказывают часть 3) теоремы.

Теорема доказана.

Следствие 1. Последовательность {хп}П=_2 (3) ограничена тогда и

Л Л Ь

только тогда, когда а +------- ^ 1.

с + а

^ т-г Ь хо , ( хо Л

Следствие 2. При а +---------- = 1 и ао = ----- > 1 ао = -------- < 1

с + а х-2 \ х-2 )

последовательность {хп}те=_2 (3) сходится тогда и только тогда, когда

Ре ( Ре \

х-1 = Ре хо € (х-2,хо) (х-1 = Ре хо € (хо,х-2П•' хп — Рохо, п — Ж.

Ро ' Ро '

Доказательство. Действительно, последовательность {ап}те=о

хо

зависит от х_2, хо (начальный член ее ао = ---------, а параметры а,Ь,с,а

х-2

предполагаем фиксированными), но не зависит от начального условия х-1.

Pe

Положим Ж_1 = Хо. Только при таком выборе Х-1 по основной теореме

Po

будет совпадение пределов для четных и нечетных номеров соответствующей рекуррентной последовательности.

Следствие доказано.

Следствие 3. При а +---------- = 1 и а0 = —— = 1 последовательность

с+d Х_2

{хга}^=_2 (3) сходится тогда и только тогда, когда x_1 = x0: xn = x0, n =

= -2, -1,..., т. е. {xn}n^=_2 — стационарная последовательность.

Отметим, что полученные результаты могут найти применение в теории разностных уравнений при изучении решений разностного уравнения (2) и характеризации его точек равновесия в смысле устойчивости. По этому поводу см. пункт 5 работы. С этой целью сформулируем и докажем два утверждения.

Пусть Po (а0) = П а2г+1, Pk (а0) = П а2(г+1), = PП (a0)Pk (a0),

i=0 i=0

k = 0,1,..., — функции, зависящие от значения начального члена ао > 0 в рекуррентной последовательности {ап}^=0.

Утверждения 1, 2 опираются на следующие леммы.

Лемма 4. Если а0 ^ а0, то а'к+1 ^ ап+1, где а'к+1 = а +-~d~, для

С + т

ак

любого к ^ 0.

Доказательство. Применим метод математической индукции.

1. При к = 1 а'1 ^ а1, поскольку а'1 = P(а'0), а1 = P(а0), а0 ^ а0 и

функция P(t) непрерывна по t > 0: lim P(а0) = P(а0).

«о^а'о

2. Предположим, что ак ^ ап в случае к = n — 1, n ^ 2, т. е. а'п_ 1 ^ ап-1.

3. Так как а'п_ 1 ^ ап-1, то в силу непрерывности P (t) а'п = P (а'п_ 1) ^ ^ P(ап-1) = ап, что и требовалось доказать.

Лемма доказана.

Лемма 5. Если а'0 > а0, то ак+1 > ап+1 для всех к ^ 0.

Доказательство. Применим метод математической индукции.

1. Утверждение выполняется при к = 0. Это так в силу строго возрастания P(t): а^ = P(а0) > P(а0) = а1.

2. Пусть утверждение выполнено при к = n — 1, n ^ 1.

3. Покажем, что тогда утверждение имеет место при к = n. Действительно, по индуктивному предположению а'п_ 1 > ап и P(t) строго возрастает по t > 0, поэтому а'п = P (а'п-1) > P (ап-1) = ап-1, что и требовалось доказать.

Лемма доказана.

Из леммы 4 вытекает следующее утверждение.

Утверждение 1. Функции Р^(од), Pjk(од), Pjke(a0) непрерывны по а0 > > 0.

Рассмотрим функции

те те

Po(ао) = П а2г+1 = lim Р%(ао), Ре(ао) = TT а2^+1) = lim Р^(ао),

-Ä--Ä- к^те -Ä--Ä- к—»те

i=0 i=0

те

Po,e(ao) = TT ai = lim P0ke(ao),

А к^те

i=1

определенные для значений ao > 0, при условии Р(1) = 1. В этом случае они принимают конечные положительные значения.

Утверждение 2. Ро(а0), Ре(ао), Ро,е(а0) непрерывны по а0 > 0.

Доказательство. Рассмотрим доказательство этого факта для функции Ро,е(ао), так как аналогичного вида доказательства имеют место и для Ро(ао), Ре(ао).

Пусть r > 1. Покажем, что функциональная последовательность непрерывных по утверждению 1 функций {Р0Пе(ао)}те=1 сходится равномерно к предельной функции Ро,е(а0) на отрезке [1, г]. В этом случае Ро,е(а0) будет также непрерывной на отрезке [1, г] функцией. Из произвольности r > 1 будет следовать, что Ро,е(а0) непрерывна в любой точке а0 Е (1, то) и непрерывна справа в точке ао = 1.

те

Итак, рассмотрим функциональный ряд Y1 ип(ао), а0 Е [1,r], в котором

П=1

4

и1(ао) = Р^е(ао) = ai > 0,

i=1

4

и2(ао) = Р^е(ао) - Ро1 е(ао) = Ц ai • (аа - 1) > 0, ...,

i=1

2n

ип(ао) = РПе(ао) - РПё" 1(ао) = Ц а • (а2п+№п+2 - 1) > 0, ...

i=1

Его n-я частичная сумма «п(ао) равна n-му члену функциональной последовательности {РПе(а0)}те=1, а сумма «(ао) — ее предельной функции Ро,е(ао): 8п(ао) = Р'Пе(ао), «(ао) = Ро,е(ао).

Заметим, что каждое см, i = 1,2,..., фигурирующее в произведениях выше, является строго возрастающей функцией по ао > 0 в силу леммы 5.

те

Ряд £ ип(а0) сходится равномерно по признаку Вейерштрасса с

п=1

те

мажорантой Y1 ип(г): зп(а0) ^ s(c0). Это следует из самого вида

п=1 [1,г]

п-го члена ряда и леммы 5. Следовательно, РП'е(ао) ^ Р0,е(ао), что и

[М

требовалось доказать.

Докажем теперь, что каково бы ни было число 0 < г < 1, последовательность {РПе(ао)}^=1 равномерно сходится к своей предельной функции Р0,е(ао) на отрезке [г, 1].

те

Для этого рассмотрим ряд ^ ип(а0), а0 £ [г, 1], с членами

п=1

4

и1(ао) = Р0,е(ао) = Л а* > 0,

г=1

4

и2(ао) = Ро2е(ао) - Р0,,е(ао) = аг ■ (аа - 1) < 0, ...,

г=1

2п

ип(ао) = Р'Пе(ао) - Р'П-1(ао) = Ц аг ■ (а2п+№п+2 - 1) < 0,

Г

те

Построим мажоранту для функционального ряда ^ ип(ао).

п=1

Для любой последовательности {ап}те=о, ао > 0 (Р(1) = 1), бесконечное

п те те

произведение П аг = П Р(аг) сходится, поскольку сходится ряд ^ (-г=1 г=о г=о

-1 + Р(аг)) как установлено в ходе доказательства основной теоремы. Бесконечное произведение

Р(а-1)Р(а-1) ■ ••• ■ Р(а-1) ■ ••• (10)

также будет сходящимся. Действительно, Р(а-1) = 2 - Р(ап), п = 0,1, • • •

..., по лемме 3, тогда по признаку сходимости бесконечного произведения вопрос о сходимости бесконечного произведения (10) сводится к вопросу о сходимости ряда

те тете

^(-1 + Р(а- 1)) = ^(1 - Р(аг)) = - ^(-1 + Р

г=о г=о г=о

Пусть 0 < а1,Ь1 < 1, а2,Ь2 > 1 и 1 - а1 ^ а2 - 1, 1 - Ь1 ^ Ь2 - 1. Тогда

справедливо неравенство

1 - а1Ь1 < а2Ь2 - 1 (11)

Докажем его.

Если а\ = 2 - а1 = (1 - а1) + 1 ^ а2, Ь\ =2 - Ь1 = (1 - Ь1) + 1 ^ Ь1, то

а1 Ь*1 ^ а2Ь2, или а\Ь\ - 1 ^ а1Ь1 - 1. Но

а\Ь\ - 1 = (2 - а1)(2 - Ь1) - 1 = (1 - а1 Ь1) + 2(1 - а1)(1 - Ь1) > 1 - а1Ь1,

что доказывает неравенство (11).

Исходя из леммы 3 (Р(Ь) + Р(1) = 2), неравенства (11), сходимости бесконечного произведения вида (10), свойств функции Р (Ь) и последовательности {а'п}с^=0, а'0 = г, в качестве мажоранты возьмем ряд

Из соображений, сделанных выше, приходим к выводу, что функция Ро,е(ао) непрерывна в любой точке интервала (0,1) и непрерывна слева в точке ао = 1.

Из непрерывности функции Ро,е(а0) справа и слева в а0 = 1 следует ее непрерывность в этой точке.

Утверждение доказано.

Введем некоторые базовые понятия и определения теории разностных уравнений (см. [1, 2]), которые будем использовать в следующем пункте.

Определение 4. Решение уравнения (1), постоянное для всех п ^ —к + + 1, называется равновесным решением уравнения (1). Если

— равновесное решение уравнения (1), то х называется точкой равновесия или просто равновесием уравнения (1).

Дадим классификацию точек равновесия в смысле устойчивости.

Определение 5. 1. Точка равновесия х уравнения (1) называется локально устойчивой, если для любого е > 0 существует 5 > 0 такое, что если {хп}П^=1_к — решение уравнения (1) с условием

\x\-k — х\ + ... + |хо — х\ <5,

те

£ и'п, в котором

п=1

2п-1

^ Р(аг) ' (1 — Р(а2п)Р(а2п+1)), . . .

i=0

3. Элементы теории разностных уравнений

хп = х для всех п ^ —к + 1

то

\%п — x\ < е для всех n ^ 1.

2. Точка равновесия x уравнения (1) называется локально асимптотически устойчивой, если x — локально устойчивая точка равновесия, и найдется такое y > 0, что если {xn}c^=l_k — решение уравнения (1) с условием

\x_fc+i — x\ + ... + \xo — x\ < y,

то

lim xn = x.

n^<re

3. Точка равновесия x уравнения (1) называется глобальным

аттрактором (глобальной точкой притяжения), если для любого своего

решения {xn}m=_k+1 _

lim xn = x.

n^<re

Определение 6. 1. Решение {xn}nn==_k+1 уравнения (1) называется периодическим с периодом р, если существует такое целое число p ^ 1, что

xn+p = xn, n ^ —k + 1. (12)

2. Решение {xn}nre=_k+i называется периодическим с простым периодом р, если р — наименьшее положительное целое число, для которого имеет место (12).

3. Набор из любых р последовательных значений решения

(xn+1, xn+2, . . . , xn+p)

в этом случае называется р-циклом уравнения (1).

4. Исследование решений разностного уравнения (2)

Приведем следствия о поведении решений разностного уравнения (2), вытекающие из основной теоремы пункта 3 и определений пункта 4.

Следствие 4. Каждое решение разностного уравнения (2) ограничено при условии, что

b

а + ^ 1. c + d

xo

Более точно, для любых начальных условий x_2,x_ 1,x0 > 0, а0 =------------, и

x_2

b

1) а + < 1 c+d

a) а0 ^ 1:

xn < max{x_1,x0}, n = 1, 2,...,

b) a0 > 1:

xn < max{x_1,x0} ■ ajk, n = 1,2,...,

где к ^ 1 — номер такой, что а^ ^ 1;

2) а +--= 1

с + I

хп ^ шах{ж_1,жо}- Р0, п = 1,2,...

Доказательство. Справедливость первой части утверждения прямо вытекает из следствия 1.

Вторая часть утверждения вытекает из анализа доказательства основной теоремы. Так, например, в случае 1Ь) последовательность {ап}П^=0 будет строго убывающей и сходящейся к некоторому числу в ^ (0,1) (см. 2с) в основной теореме. Поэтому, начиная с некоторого номера к ^ 1, необходимо | ап| ^ 1, п = к, к + 1,... Этим обстоятельством и объясняется множитель а^ в произведении шах{х_1,х0} ■ а§.

Следствие доказано.

Точки равновесия разностного уравнения (2) определяются из уравнения

- - Ьх2 _ п

х = ах + —-—, х> 0,

сх + ах

или

х((с + 1)(1 — а) — Ь) = 0, х > 0.

Из последнего уравнения и основной теоремы получаем следствие.

Следствие 5. 1. Разностное уравнение (2) при а +—+—а = 1 не имеет равновесных решений и точек равновесия.

2. При а + --------- = 1 каждая положительная стационарная

с + а

последовательность {хп}П=_2, хп = а, где а > 0, является 'равновесным решением разностного уравнения (2), а значение х = а — точкой его равновесия.

Следствие 6. Точки равновесия разностного уравнения (2) не являются локально асимптотически устойчивыми и глобальными аттракторами.

Доказательство. Пусть х — произвольная точка равновесия. Каким бы ^ > 0, фигурирующим в определении 5, ни задаться, все точки {х} из проколотой 7-окрестности х будут точками равновесия, т. е. если положить х_2 = х, х_1 = х, х0 = х, то хп = х, п = 1, 2,..., и хп / х, п /ж, что означает нарушение требования в определении локально асимптотически устойчивой точки равновесия. По этим же соображениям точка х не является глобальным аттрактором.

Следствие доказано.

Следствие 7. Точки равновесия разностного уравнения (2) являются локально устойчивыми.

Доказательство. Пусть x — произвольная точка равновесия

уравнения (2) и Us(x) = (x — 5,x + ö),x > ö, — ¿-окрестность точки x. Будем брать начальные условия x_2,x_i,xo, принадлежащие Us(x), и оценивать максимально возможное уклонение решения {xn}n^=-2 от точки равновесия x, т. е. значения | xn — x| , n = 1, 2,...

В зависимости от значения од = рассмотрим последовательно три

X — 2

ситуации: од > 1, од = 1, од < 1. Отметим, что функции Po,e(ao), Po(a0), Pe(ao) непрерывны по ao > 0 в силу утверждения 2, в частности:

lim Po,e(ao) = lim Po(ao) = lim Pe(ao) = 1. ao^-1 ao^-1 ao^-1

1) Возрастание: ao > 1.

В любом решении {xn}n?=-2 с такими начальными условиями выделяются по основной теореме две подпоследовательности с нечетными и четными номерами. Подпоследовательности {x2fc+1}^=o, {x2(fc+1)}^=o строго возрастают и сходятся: lim x2k+1 = x_1Po(ao), lim x2(k+1) = xoPe(ao). При

к^ж к^ж

этом

1 < Pe(ao) < Po(ao) < Po,e(ao) < ж, ao > 1.

Если {x'n}%L-2 — решение с начальными условиями x’_2 = x — ö, x’_ 1 =

= x + ö, x'o = x + ö, то Vxo > x_2, x_2,x_1, xo £ Us(x) имеем

, xo x + ö xo

ao = ~j— = =—f > ao = — > 1,

x_ 2 x — ö x2

/x + ö \

1 < Pe (ao) < Po(ao) < Po,e(ao) = Po,ey x _ ЪГ /~x + ö \

lim x'2k+1 = (x + ö)P„ =—f > lim x2k+1 = x_1Po(ao),

к^ж \x — 6/ к^ж

/x + ö \

lim x2k+2 = (x + ö)Pe =—f > lim x2k+2 = xoPe(ao).

к^ж \x — ö' к^ж

Из накопленных соотношений следует, что все значения произвольного решения {xn}n^=_2 с условиями x_2,x_1,xo £ Us (x) и xo > x_2 будут меньше

величины Ms = (x + ö)Po,e^XX+s^, где Po,e(^X+s^ — непрерывная сложная

функция строго возрастающая по 0 < ö <x. Так как lim Po J =+f ) = 1, то

s^o+o ’ Vх

Ms — x при ö — 0 + 0.

Поэтому для любого e > 0 можем указать ö' > 0, что Ms' — x < е. Таким образом, любое решение {xn}^°=_2 разностного уравнения (2) с начальными условиями x_2, x_ 1,xo £ Us'(x), Xj > 1, и, в частности, удовлетворяющими требованию

Ix_2 — xl + Ix_ 1 — xl + |xo — xl < ö', (13)

будет находиться на интервале Ums, -x(x):

\xn — x\ < M& — x < e, n = -2, —1,...

2) Колебание: a0 = 1.

Если начальные условия x-2,x-1,x0 E Us(x), ö <x, и xo = x-2, то, как следует из основной теоремы решение {xn}%=_2 С Us(x), так как x^+1 = x-i, k = 0,1,..., и x2k+2 = x0, k = 0,1,...

3) Убывание: a0 < 1.

В любом решении {xn}n^=-2 с условием x0 < x-2 выделяются по основной теореме две подпоследовательности с нечетными и четными номерами: подпоследовательность {x2k+1}^=0 строго убывает и lim x2k+1 = x-1Po(a0);

к^ж

подпоследовательность {x2(k+1)}^=L0 строго убывает lim x2(k+1) = x0Pe(a0).

к^ж

Выполнено соотношение

0 < Po,e(а0) < Po(a0) < Pe(a0) < 1, a0 < 1.

Если {x'n}n?=2 — решение с начальными условиями x'_2 = x + ö, x-1 = x — — ö, x'0 = x — ö, то Vx0 < x-2, x-2,x-1, x0 E Us(x) имеем

, x0 x — ö x0

a0 = = =—т < a0 =-------< 1,

x_2 x + ö x-2

0 < Po,e(a0) = Po,e(< Po(a0) < Pe(a0),

\x + 0/

/ x — ö \

lim xijk+1 = (x — ö)Po(—— < lim x2k+1 = x-1Po(a0),

к^ж \x + 6/ к^ж

/£ ö \

lim x2k+2 = (x — ö)Pe[—— < lim x2k+2 = x0Pe(a0).

к^ж \x + ö' к^ж

Из накопленных соотношений получаем, что все значения произвольного

решения {xn}n^=-2 с условиями x-2,x-1,x0 E Us (x) и x0 < x-2 будут больше

— ö \ /x — ö \

величины Ms = (x — ö)Po e ( =-- ), где Po e ( =-- ) — непрерывная сложная

’Vx + öJ ’ \x + ö) _

/£ -- ö \

функция строго убывающая по 0 < ö <x. Так как lim Po e ( =--------- ) = 1, то

s^0+0 ’ \x + ö)

Ms ^ x при ö ^ 0 + 0.

Следовательно, для любого e > 0 можно указать такое ö" > 0, что x — Ms" < e. Таким образом, произвольное решение {xn}^==-2 разностного уравнения (2) с начальными условиями x-2,x-1,x0 E Us»(x), < 1, и, в

частности, удовлетворяющими требованию

\x-2 — x\ + \x-1 — x\ + \x0 — x\ < ö", (14)

будет находиться на интервале Ux-ms„ (x):

\xn — x\ < x — Ms" < e, n = —2, —1,...

Выбирая для данного е > 0 в качестве 5, фигурирующего в определении

5 локально устойчивой точки равновесия, минимальное из двух значений

5' (13) и 5" (14), имеем, что для любого решения {xn}c^=-2 разностного уравнения (2) с начальными условиями x_2,x_i,xo £ Us(x), 5 = min{5',5''},

\xn — x\ < e, n = -2, — 1,...,

в частности,

Ve>0 35>0 : |x_2 — x\ + |x_i — x\ + \x0 — x\ <5 ^ \xn — x\ < e, n ^ 1. (15)

Исходя из соотношения (15) и определения 5, произвольная точка равновесия x разностного уравнения (2) будет локально устойчивой точкой равновесия.

Следствие доказано.

Следствие 8. Решение разностного уравнения (2) будет периодическим с периодом p ^ 2 тогда и только тогда, когда

b

a +------ = 1, x0 = x_ 2, x_ 1 = xo.

c + d

При этом период решения простой и равен 2, а 2-цикл образует пара

(xo,x_i).

Доказательство. Утверждение вытекает из основной теоремы и определения 6.

Следствие доказано.

Автор благодарит В.И. Иванова за постановку задач и обсуждение полученных в работе результатов.

Список литературы

1. Camouzis E, Ladas G. Dynamics of third-order rational difference equations with open problems and conjectures. CHAPMAN&HALL/CRC Press, 2008. 579 p.

2. Grove E.A., Ladas G. Periodicities in Nonlinear Difference Equations. CHAPMAN&HALL/CRC Press, 2005. 377 p.

3. Манзон Б.М. Maple V Power Edition. М.: Филинъ, 1998. 240 с.

Вепринцев Роман Андреевич (veprintsevroma@gmail.com), студент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

On one nonlinear recursive sequence of order 3

R. A. Veprintsev

Abstract. One nonlinear recursive sequence of the third order with positive initial conditions and parameters is investigated.

Keywords: difference equation, recursive sequence, infinite product, equilibrium solution, equilibrium point, locally stable equilibrium point, locally asymptotically stable equilibrium point, global attractor, periodic solution of difference equation.

Veprintsev Roman (veprintsevroma@gmail.com), student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 20.05.2012