CC BY
2
1.3 ж 10® -1.6 >; 108 -
1.4 ж 10® -1.2 >; 108 -
1. ж 10® -
3. ж 107 -6. х 107 -
4. ж 107 -
2. х 107 -
О -I-■-1-■-1-■-1-.-.-.-1
О 1 2 3^3
t
Рисунок 3. График модели Аллена рынка одного товара с кусочно-постоянным запаздыванием цены предложения. Случай неустойчивости.
Вывод. Таким образом, следует отметить, что в действительности только первый случай соответствует условиям задачи, из графика прослеживается устойчивость.
Использованные источники:
1. Симонов П.М., Исследование устойчивости решений некоторых динамических моделей микро- и макроэкономики // Вестник Пермского университета. - 2003 - Вып.5 - С. 88-92.
2. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы: Учебное пособие для вузов. - СПб.: Питер, 2005. - 336 с.
3. Повзнер Л.Д. Теория систем управления: Учебное пособие для вузов. - М.: Изд. МГГУ, 2002. - 472 с.
4. Михайлов В.С. Теория управления. - К.: Выща школа, 1988.
5. Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования. - К.: Выща школа, 1989.
УДК 517.7
Куимов П.А. студент магистратуры 2 курса факультет «Прикладной математики и механики» ФГБОУВПО «Пермский национальный исследовательский
политехнический университет» Россия, г. Пермь
ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ИНДЕКСНОГО ФОНДА В ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ
Ключевые слова и фразы: портфель ценных бумаг, метод EGP, доходность, риск, структура индекса, кривая Лоренса, коэффициент Джинни.
Аннотация: В статье предложены новые подходы к оптимизации структуры портфеля ценных бумаг. Указано направление, позволяющее объединять распространенные модели составления оптимального портфеля. Это активный способ управления и пассивный. Совместное использование данных методов проведено с помощью введения дополнительной целевой функции, наилучшим образом описывающей степень совпадения распределения долей ценных бумаг составленного инвестиционного портфеля с распределением, построенным по методу индексного фонда. В статье установлено, что итогом такого подхода является двухкритериальная задача оптимизации с ограничениями. В заключение работы приводится практическая иллюстрация предлагаемой модели, результаты которой показывают возможность практического использования разработанной методики.
1.Введение. В настоящее время существует множество подходов к формированию оптимальной структуры портфеля ценных бумаг (ПЦБ), одним из которых является рассмотрение доходностиценной бумаги как статистического случайного процесса. Используемые при этом допущения не всегда согласуются с реальностью фондового рынка. Проблема заключается в том, что процессы, протекающие на рынке ценных бумаг, зачастую неоднородны и неустойчивы. Вследствие этого инвесторы, стремясь добиться наибольшей прибыли, часто формируют ПЦБ с переменной структурой. Умение формировать портфель из разных ЦБ так, чтобы он приносил наибольший доход, определяет возможность управления ПЦБ. Стратегия управления ПЦБ - это поиск решений относительно всей инвестиционной политики (приоритеты, базовые параметры). Тактика - определение объемов инвестиций в конкретный вид ценной бумаги (корректировки, ориентация).
Согласно оценке информационной эффективности рынка ЦБ,портфельные стратегии могут быть как активными, так и пассивными. Активная модель управления, в случае нарушения инвестиционных целей, предусматривает своевременное варьирование состава финансовых инструментов в портфеле. Главной задачей активной модели является качественный мониторинг фондового рынка, а именно привлекать к ПЦБ эффективные рыночные инструменты и в то же время исключать из состава неэффективные активы. Методы пассивного управления используются в предположении информационной достаточности рынка ценных бумаг.В данном случае исходят из представления о невозможности устойчивого отклонения от среднерыночной доходности финансовых инструментов. Наибольший интерес вызывает совместное использование методов активного и пассивного управления.
В данной статье продолжается исследование, начатое в работе [1]. Делается попытка объединения выше названных методов. В качестве представителя активного управления берется метод БОР [2], а в качестве
представителя пассивного управления - метод индексного фонда. В настоящей работе предлагается под результатом объединения этих методов понимать соответствующим образом построенную в работе двухкритериальную задачу с ограничениями. В заключении работы полученные результаты иллюстрируются на конкретном примере.
2. Модификация метода EGP. В методеБОР ставится задача нахождения оптимальных удельных весов инвестиций в различные ЦБ субъекта [2]. На первом этапе вводится формула доходности портфеля в момент времени г:
N
А = 2 кяи, г = 1,..., т.
1=1
Я
где й - доходность7 - ой ЦБ (которая может выражаться в процентах
годовой прибыли) в момент времениг и к - доля инвестиции в 7 -ую ЦБ, входящую в портфель,
N
= 1. ^ (1)
Математическое ожидание доходности портфеля является взвешенной средней ожидаемых доходов от отдельных ценных бумаг:
__N N _
Р = Е (р ) = Е (2 кЯ ) = 2 кА
11 11 (2) — 1 т
Яг гр .
где т 7=1
Рискованность портфеля ЦБ оценивается стандартным отклонением р, вычисляемым на основе дисперсии его доходности:
_ N N N
ир 2 =Е(Р - Р)2=2 к Ц2+2 2 и,
7=1 I=1и=1,1*] (3)
Ц и 7 - 1 - ттг: и2
где и - ковариация между доходностью7 -ой и и -ой ЦБ и 7 -
дисперсия доходности -ой ЦБ:
1 т _ __т _
и и = -2(А - А)(Аг - А); Ц2 = -2 (А - А)2.
т г=1 т г=1
Оптимальный портфель соответствует максиму следующей функции:
Р - А
в
V
Цр (4)
Я
где 1 -норма доходов ЦБ с фиксированным процентом, для этих бумаг
и, = 0
риск равен нулю, т.е. 1 .
Это значит [3], что нужно найти решение системы
N _
Л(К U + £ kj *Uj) + (R -Rf) = 0,s - 1,...,N;
j-j (5)
(R - R/)
Л-
j=i
Iк2*^2 + 11 к **и1;
Где /=1 ¿=1 7=1,1^7
При подстановке новой переменной:
у,=л* К;
получим систему N линейных неоднородных уравнений относительно
данной переменной. Решая систему определим коэффициенты у, по которым вычислим:
к = ■
s N '
'-1 (6)
Выражение (7) определяет оптимальную структуру портфеля при
R
заданном наборе ЦБ и норме доходов f по ЦБ с фиксированным процентом.
Итак, в общем виде задача об оптимальном инвестировании выглядит следующим образом: Л ^ max (7)
N
£k-1; k £ 0,i-1,...,9. (8)
3. Учет индексного фонда. Учет индексного фонда проведем с помощью аналогов кривой Лоренца [3] и коэффициента Джинни [4].
Построим аналог кривой Лоренца- кривую, соответствующую
распределениюк = ( kl,"', kN) долей ценных бумаг ПЦБ. Вспомним, что при построении индексов применяется система условного взвешивания. Именно, доля данной ценной бумаги в общем объеме продаж на биржевом рынке чаще всего берется за вес, который назначается каждой ценной бумаге при использовании метода индексного фонда. Пусть эти веса и будут значения
долей в распределениик, = 1,'"!'Упорядочив доли по не убыванию вложенных в них средств и переномеровав, получим новую
к,1 = 1,'.',N. п
последовательность Далее на координатной плоскости отметим
(кШ,), к = 1,...,N, & = 0, & = к +... + к. г^ точки V / ' и 'о ' к ч к Соединяя соседние
точки отрезками прямых, получаем ломаную линию, концами являются
начало координат и точка (1,1). В дальнейшем ломаную линию будем
называть кривой Гк распределения к'.
Вспомним, что при построении индексов применяется система условного взвешивания. Именно, доля данной ценной бумаги в общем объеме продаж на биржевом рынке чаще всего берется за вес, который назначается каждой ценной бумаге при использовании метода индексного фонда. Таким
образом, индексному фонду соответствует некоторое распределение к , а
значит и кривая к .
Аналогично коэффициенту Джини [4] введем для данного
распределения к (\->-—> ) коэффициент близости к распределению
1 = 2 Я - ^
¿V
индексного фонда I г Гк , где Гк -площадь фигуры, ограниченной отрезком биссектрисы первого координатного угла и кривой Гк. Заметим, что
I е[0,1]
и что чем меньше будет значение этого коэффициента, тем ближе
Г
кривая к к кривой Г .
4. Пример.При помощи мониторинга фондового рынка были выявлены наиболее рентабельные предприятия на настоящий период. К данным инструментам отнеслись акции предприятий:Сбербанк России (ЦБ1), Татнефть (ЦБ2), Северсталь (ЦБ3), Лукойл (ЦБ4), Роснефть (ЦБ5), мобильные ТелеСистемы (ЦБ6), Сургутнефтегаз (ЦБ7), Уралкалий (ЦБ8) и Норильский никель (ЦБ9). В качестве входных данных для анализа и составления оптимального ПЦБ рассматривается стоимость обозначенных предприятий за 16 недель, в период с 04.02.16 по 26.04.16 г. [6].
Результат данной статьи будет сформирован тремя этапами. Этап 1: По выбранным инструментам вычисленные доли,входящие в портфель, будут получены методом индексного фонда. На первоначальном этапе, для того чтобы получить оптимальный ПЦБ без использования дополнительных методов оптимизации, возьмем доли равные индексам. Значение данных индексов предлагает нам действующий фондовый рынок
ЦБ.
Результаты вычисления представлены в таблице 1:
Инстр. ЦБ1 ЦБ2 ЦБ3 ЦБ4 ЦБ5 ЦБ6 ЦБ7 ЦБ8 ЦБ9 Р и2 ир Я
Знач. 0.76 0.01 0.01 0.01 0.03 0.02 0.16 0.02 0 1.28 4.53 0.28
Этап 2: На втором этапе сформируем ПЦБ используя метод БОР[2]. Результаты вычисления представлены в таблице 2:_
Инстр. ЦБ1 ЦБ2 ЦБ3 ЦБ4 ЦБ5 ЦБ6 ЦБ7 ЦБ8 ЦБ9 Р и2 ир Я
Знач. 0.24 0 0.04 0 0 0.23 0.48 0 0 1,82 3.61 0.5
Этап 3: На третьем этапе будем реализовывать двухкритериальную задачу [3] [4]. В качестве идеальной кривой Лоренса Г будет выступать кривая, построенная относительно долей первого этапа. А в качестве кривой Г
Лоренса к - кривая, доли которой описывает этап 2. Данную задачу будем решать методом уступок [5].Уступка по второму критерию будет составлять 10%.
Результаты вычисления представлены в таблице 3:
Инстр. ЦБ1 ЦБ2 ЦБ3 ЦБ4 ЦБ5 ЦБ6 ЦБ7 ЦБ8 ЦБ9 Р и2 Up Я
Знач. 0.19 0 0.04 0 0 0.17 0.6 0 0 1,25 3.42 0.37
Y
График кривых k
где Old - криваяЛоренса, построенная в результате метода EGP (2 этап). New - кривая Лоренса, построенная в результате решения двухкритериальной задачи (3 этап). Original-кривая Лоренса, построенная в результате полученных индексов (1 этап).
Вывод. Из результатов практической части статьи можно сделать два основных вывода. Во-первых, не во всех случаях индекс, предложенный на сайте фондового рынка, соответствует формированию оптимального
портфеля ПЦБ. Чтобы добиться улучшения характеристик портфеля, а именно получение более доходного ПЦБ, необходимо использовать метод EGP. Во-вторых, благодаря введению дополнительного критерия в метод EGP, решение двухкритериальной задачи приводит к уменьшению рискованности полученного ПЦБ к портфелю, составленного при реализации метода EGP. Таким образом, среди портфелей близких к индексному фонду получили оптимальный ПЦБ, удовлетворяющий следующим требованиям: с одной стороны ПЦБ близок индексному фонду (наиболее соответствует действительности), а с другой является близким к оптимальному ПЦБ по методу EGP.
Использованные источники:
1. Севодин М.А., Куимов П.А. О диверсификации индексного фонда // Перспективы науки, №7 (82), 2016. - с.29-32.
2. EltonE.J., GruberM.J. ModemPortfolioTheoryandInvestmentAnalysis. N.Y.: JohnWileyandSons, 1987. -645c.
3. Экономика: Учебник.3-е изд., перераб. и доп. / Под ред. д-ра экон. наукпроф.А.С. Булатова. - М.: Экономистъ, 2003. -635c.
4. Экономическая теория: учеб. / В.И. Антипина, И.Э. Белоусова, Р.В. Бубликова [и др.] ; под ред. И.П. Николаевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006. -576с.
5. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие/Н.И. Холод, А.В. Кузнецов, Я.Н. Жихар и др.; Под ред. А.В. Кузнецова. -2-еизд. - Мн.: БГЭУ, 2000. -412с.
6. Актуальные данные котировок акций: http://ru.investing.com
References:
1. Sevodin M.A., Kuimov P.A. O diversifikatsii indeksnogo fonda // Perspektivy nauki, №7 (82), 2016. - s.29-32.
2. Elton E.J., Gruber M.J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. N.Y. : JohnWileyandSons, 1987. -645c.
3. Jekonomica: Uchebnik.3-e izd., pererab. idop. / Pod red. d-rajekon. naukprof.A.S.Bulatova. - M.: Jeconomists, 2003. -635s.
4. Jekonomicheskajateorija: ucheb. / V.I.Antipina, I.E. Belousova, R.V. Bublikova [I dr.] ; pod red. I.P. Nikolaevoy. - 2-e izd., pererab. I dop. - M.: TK Velbi, Izd-voProspekt, 2006. -576s.
5. Jekonomiko-matematicheskiemetodyimodeli: Ucheb. posobie/N.I. Holod, A.B. Kuznetsov, Ya.N. Zhihari dr.; Pod red. A.B. Kuznetsova. -2-e izd. - Mn.: BGEU, 2000.-412s.
6. Actual quotations of shares http://ru.investing.com
