Об одной модели динамики численности населения с учетом формирования и распада семейных пар Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2000, вып. 6, с. 101-106

УДК 517.958

ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННОСТИ НАСЕЛЕНИЯ С УЧЕТОМ ФОРМИРОВАНИЯ И РАСПАДА СЕМЕЙНЫХ ПАР

Н.В. Перцев

The paper is concerned with a mathematical models using for study the problems of human demography. Some mathematical models for pair formation in bisexual populations in the form of the system of nonlinear delay integro - diferential equations are discussed here.

Метод математического моделирования широко применяется при исследовании демографических процессов. Классические модели динамики численности популяций описаны в работах Мальтуса, Ферхюльста, Пирла, Шарпа, Лотки, Вольтерра, Колмогорова, МакКендрика, фон Ферстера. Обзоры работ этих и других авторов можно найти в монографиях [1-6]. В основу математических моделей демографических процессов положены соотношения между тремя основными факторами: рождаемость, смертность и миграция. Наиболее просто поддается описанию смертность в популяции. Это связано с тем, что имеется огромный статистический материал, позволяющий построить функцию выживаемости (или функцию дожития), которая задает долю индивидуумов в популяции, доживших до определенного возраста. Значительно более трудную задачу представляет собой описание миграции и рождаемости. Интенсивность миграции населения может зависеть от многих причин, среди которых выделяются причины экономического, политического, экологического характера и многие другие. Интенсивность рождаемости напрямую связана с процессом формирования семей, условиями их жизни, обеспеченности различными ресурсами, а также процессом распада семей как вследствие разводов, так и вследствие смерти одного из супругов.

Классические модели описывают динамику численности населения без учета половой структуры и миграции. Предполагается, что численности мужчин и женщин примерно одинаковы, и тогда достаточно рассматривать только одну переменную. Простейший вариант модели динамики численности населения в интегральной форме имеет следующий вид. Пусть B(t) - скорость (интенсивность) рождения новых индивидуумов в популяции в момент времени t. Пере-

© 2000 Н.В. Перцев

E-mail: pertsev@univer.omsk.su Омский государственный университет

102 Н.В. Перцев. Об одной модели динамики численности населения...

менная B(t) удовлетворяет уравнению

I

B(t) = BQ(t) + j X(t

о

r)L(t — т)В(т) dr.

(1)

Функция B0(t) задается соотношением B0(t) = J X(t + u)L(t + u)/L(u)p(u, 0) du.

о

Здесь p(u, t) - функция частоты индивидуумов возраста и в популяции в момент

U2

t, т,е, функция p(u,t) обладает тем свойством, что j p(u,t)du - доля индиви-

К1

дуумов в популяции в момент t, возраст которых лежит в интервале (щщг).

U2

Реальное число индивидуумов такого возраста равно N(t) J p(u,t)du, где N(t) -

t-2

общее число индивидуумов популяции в момент времени t. Выражение J B(t)dt

*i

задает число новых индивидуумов, рожденных в интервале времени (ф . /2). Далее, X{u)dt задает среднее число потомков одного индивидуума возраста и в dt единиц времени; L(u) - вероятность того, что время жизни индивидуума превышает гм; с(и) - инфинитезимальная интенсивность гибели, т,е, вероятность того, что индивидуум возраста гм погибнет в следующие h единиц времени, равна

U

c(u)h + o{h). Соотношение между Ь{гл) и с(о) имеет вид: Ь{гл) = ехр(^ J c(o)do),

о

Другой подход к описанию динамики популяций состоит в использовании дифференциальных уравнений с частными производными. Простейшая модель задается соотношениями

г)т г)т

f + f = -d(r)x(T,i), (2)

х(0,t) = / m(r) x(r,t) dr,

x(t,0) = cp(r).

(3)

(4)

В уравнениях (2), (3) функции d(r), m(r) описывают специфическую возрастную смертность и рождаемость, а гр(т), входящая в (4), задает начальную плотность популяции. Абстрактная модель динамики m взаимодействующих популяций может быть записана в форме

+ ^ (5)

х(0 ,t) = B(t,x(-,-)), (6)

x(r,t) = (p(T,t). (7)

Здесь х(т, t) = col(xi(r, t),..., xm(r,t)), Xi(r, t) - плотность численности % - й популяции, 1 < % < m. Отображения А(т, t, х(-, •)), B(t, х(-, •)) задают рождаемость и

Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.

103

смертность в популяциях за счет взаимодействия индивидуумов. Заданная в (7) функция (p(r,t) = col((pi(r,t), ...,(pm(r,t)) определяет закон изменения возрастной структуры популяций при t < to, тогда как соотношения (5), (6) описывают этот закон для t > t0. Взаимосвязь моделей вида (1) - (7) детально рассмотрена в работах [4,6,7],

Учет половой структуры популяций приводит к необходимости рассмотрения как минимум трех переменных, отражающих динамику численности населения, К этим переменным относятся х = x(t), у = y(t) - численность неженатых мужчин и незамужних женщин и z = z(t) - число семейных пар. Формирование пар может быть описано функцией f(x,y), которая задает интенсивность (скорость) образования пар в результате контактов между неженатыми мужчинами и незамужними женщинами. Один из вариантов модели, описывающей изменение x(t),y(t), z(t), предложен в работе [8] и имеет вид:

Здесь kxz, kyz - интенсивности рождения мальчиков и девочек, pxz, pyz, р,хх, руу - интенсивности смертности мужчин и женщин (состоящих и не состоящих в браке), oz - интенсивность развода семейных пар. Функция f(x,y), входящая в (8), должна удовлетворять следующим свойствам:

1) /(0, у) = /(т, 0) = 0 для всех х > 0, у > 0,

2) при любом a > 0 f(ax, ay) = af(x, у),

3) если и > 0, v > 0, то f(x + u,y + v) > f(x, у).

Примерами такой f(x,y) служат следующие функции:

Модель (8) следует рассматривать как базовую, на основе которой могут быть созданы более сложные варианты уравнений, описывающих динамику численности населения. Обратимся, в частности, к вопросу о построении функции рождаемости, В модели (8) рождаемость пропорциональна общему количеству семей. Очевидно, что можно учитывать распределение семей по числу рожденных детей. Пусть :0 = z$(t), щ = ;| (/). z2 = z2(I). ...,zn = zn(t) - число семей, у которых родилось, соответственно, 0, 1, 2, ,,, , п детей к моменту времени t. Параметр п, вообще говоря, ограничен сверху, а в конкретных ситуациях он может быть равен, например, 2, 3 или 4, Тогда интенсивности рождения мальчиков и девочек можно задать соотношениями

х = (кх + ц,у + о) z - ухх - f(x, у), у = (ку +yx + o)z- ууу - f(x, у),

z = f(x, у) ^ (fix + Ду + о) Z,

т(0) = То, у( 0) = Уо, z( 0) = zQ.

(8)

f(x, у) = р тт(т, у), 0 < р, 0 < /3 < 1.

П — 1

П— 1

(9)

104 Н.В. Перцев. Об одной модели динамики численности населения...

Учтем также тот факт, что только спустя время тх, ту, например через 18 лет после рождения, новорожденные вырастают и могут образовывать семьи. Кроме того, из всех детей, рожденных в момент времени /. до моментов времени t + тх, t + ту доживает только доля гюношей и доля гу девушек. Поэтому интенсивности прироста численностей неженатых мужчин и незамужних женщин в момент времени t будут равны, соответственно, rx bx(t^rx) и ry by(t — ry). Заметим, что рождение ребенка в семье, имеющей i детей, приводит к тому, что число семей Z{ уменьшается, а число семей Zi+i увеличивается, 0 < i < п — 1, Принимаем, что семьи, имеющие п детей, потомства больше не производят. Предположим также, что мужчины и женщины, ставшие «свободными» после развода или смерти супруга, могут образовывать новые семьи и производить потомство. Тогда при сделанных предположениях система уравнений модели будет записана в следующем виде:

П П

X = rxbx(t - тх) + Py^Zi + - ДхХ - f(x,y),

г=0 г=0

п п

У = ryby(f - ту) + y-xJ2Zi + ^2aizi - ДуУ ~ f(x,y),

i=О i=О

z'o = f(x, у) - (цх + Цу + о0 + kX0 + kyo) Zo,

z\ = (kxо + kyo) z0 — (цх + Цу + <71 + kxi + kyi) z\, t > 0, (10)

Z2 = (kXl + kyi) Z\ — (цх + Hy + <72 + kX2 + ky2) Z2,

zn — {kXn_i + kyn_j) zn^i (y>x + Ду + <7n) zn.

Начальные условия для системы (10) зададим так:

т(0) = т0, у( 0) = уо, zn( 0) =

Zi(t) = Zi(t), 0 < i < п — 1, — тах(тж, ту) < t < 0, (11)

Представленная выше модель более детально отражает структуру рождаемости, чем модель (8), Вместе с тем модели (8) и (10), (11) не учитывают возрастную структуру популяции. Поэтому они могут использоваться для описания динамики численности населения только для сравнительно небольших промежутков времени, когда можно пренебречь существенным изменением возрастной структуры населения, В частности, при проведении конкретных расчетов можно выбирать периоды времени длительностью 10-15 лет. Переменные модели (10), (11) x(t), у {t) должны интерпретироваться как численности неженатых мужчин и незамужних женщин в возрасте до 40 - 45 лет. Кроме того, параметр п может иметь значения 2, 3,

С другой стороны, первое и второе уравнения системы (10) можно дополнить отрицательными слагаемыми — dx (t), — dy (t), задающими интенсивности уменьшения численностей x(t), y(t) вследствие процесса старения. Функции

Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.

105

dx(t), dy(t) нетрудно построить на основе статистических данных по динамике численности населения за предшествующие периоды. Наконец, можно учитывать распределение семей по длительности времени до рождения очередного ребенка. Тогда слагаемые (кх. + к;1 ) :(. входящие в уравнения для Zi и zi+1, следует заменить на функции (pz)i(t), вид которых предложен в работе [9], Опираясь на эти предположения, систему уравнений модели запишем в форме

П П

X = rxbx(t- тх) + dy^2zi + ^2 °iZi ~ VхХ ~

г=0 г=0

п п

У = Гу by (t Ту) + р,х ^2 Zi + ^2 °iZi ~ Vyy ~ ” ^(*)>

i=0 i=0

Zo = f{x, y) - (px + p,y + a0) zQ - (pz)o(t), z'i = (pz)o(t) — (p,x + fj,y + o\) z\ — (pz)i(t), t > 0, (12)

Z2 = (pz)l(t) - {p,x + fiy + 02) z2 - (pz)2(t),

..................5

Zn = (pz)n-l(t) - {p.x + p,y + On) Zn.

Функции bx(t), by(t), входящие в уравнения (12), отличаются от (9) и задаются соотношениями

л—1 л—1

bx(t) =рх J2(pzm (13)

г=О г=О

Операторные функции (pz)i(t) устроены следующим образом:

rz

(pz)o(t) = j e^iflx+fly+ao)a f(x(t-a),y(t-a))p0(a)da, 0

TZ

(,pz)l(t)= J e-(flx+fly+ai)a (pz)0(t - a)Pl{a)da,

0

rz

(pz)2(t)= J e-(flx+fly+<T2)a(pz)l(t^a)p2(a)da, (14)

0

rz

(pz)n-i(t)= J e-^+fiy+<Tn~l)a(pz)n-2(t-a)pn-i(o)do.

о

В соотношениях (14) функции Pi(a) описывают интенсивность рождения очередного ребенка в семье, имеющей г детей, в зависимости от времени о, прошедшего от рождения предыдущего ребенка, 1 < г < п — 1 (при г = 0 - в зависимости от времени о после образования семьи). Коэффициент tz задает некоторое предельно допустимое значение для этих времен. Функции р, (a} > 0 таковы, что

106 Н.В. Перцев. Об одной модели динамики численности населения...

rz

J pi(a)da = l,0<i<n — 1. Коэффициенты рх > 0, qy > 0, входящие в (13), о

в сумме равны единице и при проведении конкретных расчетов могут быть принятыми как 1/2, Систему уравнений (12) следует дополнить начальными условиями

x(t) = x0(t), y(t) = yQ(t), -(max^, ту) + nrz) <t< 0,

Zi(0) = z®, 0 < i < n. (15)

В завершение отметим, что модель (12) - (15) представляет собой один из

возможных способов описания динамики численности населения. Другие способы построения моделей могут опираться на уравнения вида (5), (6), (7), разностные уравнения или на случайные процессы (см,, например, [1,10-12]),

Литература

1. Моран П. Статистические процессы эволюционной теории. М.: Наука, 1973. 287 с.

2. Динамическая теория биологических популяций / Под ред. Р.А. Полуэктова. М.: Наука, 1974. 456 с.

3. Михальский А.И., Петровский А.М., Яшин А.И. Теория оценивания неоднородных популяций. М.: Наука, 1989. 128 с.

4. Полуэктов Р.А., Пых Ю.А., Швытов И.А. Динамические модели экологических систем. Л.: Гидрометеоиздат, 1980. 288 с.

5. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985. 181 с.

6. Хмелевский Ю.И. Самовоспроизводящиеся системы. Математическая теория. М.: Наука, 1991. 431 с.

7. Gvori I. Some mathematical aspects of modelling cell population dynamics // Computers and Math. Appl. 1990. V.20. №4. 6. P.127-138.

8. Hadeler K.P., Waldstatter R., Worz - Busekros A. Models for pair formation in bisexual populations // J. Math. Biol. 1988. V.26. №6. P.635-639.

9. Перцев Н.В. Об одном, классе интегродифференциалъных уравнений в моделях динамики популяций // Математические структуры и моделирование / Под ред. А.К. Гуца. Омск: ОмГУ. 1998. Вып. 1. С.72-85.

10. Asmussen S., Hering Н. Branching Processes. Stuttgart: Birkhauser, 1983. 461 p.

11. Guttorp P. Statistical inference for branching processes. New York: Wiley and Sons, 1992. 211 p.

12. Mohler M. Forward and backward processes in bisexual models // J. Appl. Prob. 1994. V.31. №2. P.309-322.