CC BY
21
6
• ••
Известия ДГПУ, №4, 2014
ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
НАУКИ
УДК 517. 956
ОБ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЯВЛЕНИЯ РАДИАЛЬНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
ONE MATHEMATICAL MODEL OF THE RADIAL HEAT
DISTRIBUTION PHENOMENON
© 2014 Зайнулабидов М. М., Зайнулабидов Г. М.
Дагестанский государственный педагогический университет
© 2014 Zaynulabidov M. M., Zaynulabidov G. M.
Dagestan State Pedagogical University
Резюме. Исследована задача радиального распределения тепла с оператором Эрнста, с младшими членами вместо оператора Лапласа в правой части двумерного уравнения теплопроводности.
Abstract. The authors investigated the task of the radial heat distribution with the Ernst operator, with the younger members instead of the Laplace operator in the right part of the two-dimensional heat equation.
Rezjume. Issledovana zadacha radial’nogo raspredeleniya tepla s operatorom Ernsta s mladshimi chlena-mi vmesto operatora Laplasa vpravoy chasti dvumernogo uravneniya teploprovodnosti.
Ключевые слова: уравнение Марвелла-Эйнштейна в варианте Эрнста; уравнение Ломеля; функции Бесселя.
Key words: Maxwell-Einstein equation in the Ernst option; Lomel equation; Bessel functions.
Klyuchevye slova: uravnenie Maskvella-Eynshteyna v variante Ernsta; uravnenie Lomelya; funktsii Bes-selya.
При исследовании уравнений Максвел-ла-Эйнштенйна в варианте Эрнста возникает необходимость исследования уравнения смешанного типа
"ди~\
д ,2 'Эи~| д * 2
—! ¥ - — ' f —1 [-V — I - )
дх |_ "Sr J ду\_ 'ду J
(1)
Г-2 / .2
эллиптического при i ( У >0, гиперболического при - (- У <0 и параболически вырождаемого при е < ,2;
=0 [1. С. 416].
Это наводит на мысль, что в иных случаях при составлении математической модели явлений теплопроводности в трехмерных пространственных объектах может появиться необходимость в исследовании уравнения типа
ды Г * -Г д [ 12 ~ды"| д Г t 2~дu 1 — = fX,у\ - X -1— +- I- у —1>
dt '^5х[ '9xJ dy[ 'SyJ (2)
( du du]
+ ei x, у,u,—, I
^ дх ду)
где f и g - заданные функции.
Предлагаемая вниманию работа посвящена исследованию уравнения (2) в варианте
d2 2^/2 2 du д Г /2 du~\
к - у sgn к + у -1—= — к -1 —
''dt "3xJ ^
5 Г/ 2'9и] . ^ ди ди]
+ — I к,-У — 1-1 + 2а х----у— I
дуу 'ду j \ дх ду)
где а - действительный параметр. Очевидно, при условии ограниченности
д с)
—, —, — ,и4(,у равенство (3) является
д д д '
уравнением, если только Ы Ф й .
Естественные и точные науки
7
В соответствующей оператору из (3) римановой геометрии для областей пространства точек (x,y,t), проекции которых на плоскость x0y симметричны относительно начала координат (0,0), роль расстояния от начала координат играет функция
^ ' [ lx2 + у2 -1,при X2-l(-y2 >0,x2 + y2>1,
[ ll-x2 - у2, при
X2-1<-у2 <0,x2 + у2 <1. (4)
Поэтому законом радиального распространения тепла, определяемого уравнением (3), будет его решение вида u=u(r,t), где r задается формулой (4).
Для получения такого решения разумно сначала в (3) перейти от переменных x, y, t к переменным r и t.
В результате такого перехода (3) примет вид
1 — се
А/, (5)
U. = /„ +
где
3 и
ut = -,ur = -,urr=—,u= Ji,t,
д д д
Возникает проблема поиска корректно поставленной, например, в области Q j0< < 1>0}начально-
краевой задачи для (5).
Для решения этой проблемы, как обычно, применим метод разделения переменных и будем искать решение U(r,t) уравнения (5) в виде
и4,Г=ТКсо ■> )• (6)
Подставляя (6) в (5) и разделяя переменные, получим
Г Г 1 Г , , ’ -
~ -j""’
что равносильно двум уравнениям
тЦ+л г<> ), (7)
" - \а
со +
-а) X +Л © { = I
(8)
относительно функций T(t) и ш(г), соответственно.
Общее решение (7) представим в виде
tCj= Ч Л CeR (9)
Уравнение (8) является частным случаем уравнения Ломелля [4. С. 164], и его общее решение имеет вид:
® О > :2Yaa ;; (10),
где Ja и Ya - функции Бесселя первого и второго родов, C и C - произвольные постоянные.
При ГФ (решение (10) регулярно для
любого Л, >0 и любого aeR, а при г=0 регулярность решения (10) зависит от параметра a и от постоянных Сх и С2 •
Поэтому краевое условие для искомой функции со ' при г=0 необходимо подобрать так, чтобы получаемая при этом для (10) в 0 < * < R задача Штурма - Лиувил-ля была разрешимой.
Для понимания сути проблемы разумно прослеживать процесс для простейших
случаев параметра a, например, для a=0, 1
а - : -.
2
Пусть а=0. Тогда условие ограниченности искомого решения со исключает краевое условие при г=0, поскольку, как
известно, и и в (10) следует по-
г ->
латать С2 =0.
Поэтому в этом случае для существования собственных значений Т>0 и соответствующих им собственных функций, образующих полную ортонормированную систему, достаточно задать краевое условие со 1 = )•
1
Пусть а = -. Тогда (5) примет вид
обычного одномерного уравнения теплопроводности Ut = Jrr , уравнение (8) - вид
О) ( +л:2щ £ = ), с общим решением (10) вида:
со Г= ‘4a ~+ ;2/, а 1 =
^ L 7 ' и 'J
г1,2\ Зх I—— sin Л + s2 -^—rosA | = v яА \пА I
I— t, sinT + Я cos2 71 \яА Wl 2 J
что соответствует известным из учебников классическим результатам, например [3. С. 67-71].
1
Пусть сс - - -. Тогда (10) примет вид 2
со £ = - sin Я
, cos А
в силу чего краевое условие в г=0 примет вид 1™ гсо\=).
г -»
Итак, как видно из рассмотренных случаев, в постановке краевой задачи для (8) существенную роль играет параметр a.
r
r
8
• ••
Известия ДГПУ, №4, 2014
Наиболее простейшей для (8) постановкой является задача Штурма-Лиувилля, когда искомое решение со удовлетворяет краевому условию со ^ = >и требованию
ограниченности функции Г а) %
в окре-
стности г=0.
При такой постановке в (10) надо полагать С2 =0, так как функция Бесселя второго рода при г=0 обращается в да.
Исходя из сказанного можно сделать
вывод, что для (5) в области Q корректно поставленной является задача нахождения
ограниченного с весом г~ решения U(r,t), удовлетворяющего начальному условию и(г,о)=ф(г) и краевому условию U(R,t)=0.
Однако при этом следует обратить внимание на то, что в гиперболической части
уравнения (1) Q представляет собой круговой цилиндр радиуса г<1, причем г=0 соответствует не одна точка, как в обычном случае, а граница круга х2 + у2 =1, а в эллиптической части (1) область Q состоит из четырех частей, каждая из которых ограничена дугой окружности х2 +у2 =2 и отрезками прямых |х| = и |_у| = , причем
г=0 соответствуют четыре точки <± ,0^<),± > в которых происходит стыковка с гиперболической частью.
Схема нахождения решения этой задачи такая же, как и для обычного уравнения теплопроводности, в силу чего ее приводить излишне, достаточно ограничиться ссылкой на учебную литературу, например на [2. С. 473-475].
Литература
1. Бицадзе А. А. Некоторые классы уравнений в частных производных. М. : Наука, 1981. 448 с. 2. Кошляков
H. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М. : Изд-во «Высшая школа», 1970. 710 с. 3. Мартинсон Л. К., Малов Ю. И. Дифференциальные уравнения математической физики. М. : Изд-во МГТУ им. Баумана, 2002. 367 с. 4. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Основы теории специальных функций. М. : Наука, 1974. 303 с.
References
I. Bitsadze A. A. Some classes of equations. M. : Nauka, 1981. 448 р. 2. Koshlyakov N. S., Gliner E. B., Smirnov M. M. Partial differential equations of mathematical physics. M. : Vysshaya shkola publishing house. 1970. 710 р. 3. Martinson L. K., Malov Yu. I. Differential equations of mathematical physics. M. : Bauman MSTU publishing, 2002. 367 р. 4. Nikiforov A. F., Uvarov V. B. Fundamentals of the theory of special functions. M. : Nauka, 1974. 303 р.
Literatura
1. Bitsadze A. A. Nekotorye klassy uravneniy v chastnykh proizvodnykh. M. : «Nauka», 1981. 448 s. 2. Nikiforov A. F., Uvarov V. B. Osnovy teorii spetsial'nykh funktsiy, M. : «Nauka», 1974. 303 s. 3. Martinson L. K., Malov Yu. I. Differentsial'nye uravneniya matematicheskoy fiziki, M. : Izd-vo MGTU im. Baumana, 2002. 367 s.
4. Koshlyakov N. S., Gliner E. B., Smirnov M. M. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh matematicheskoy fiziki.
M. : Izd-vo «Vysshaya shkola», 1970. 710 s.
Статья поступила в редакцию 23.09.2014 г.
