Об одной эвристике и восстановимых графах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2004, вып. 14, с. 13-18

УДК 519.175.1

А.В. Пролубников

ОБ ОДНОЙ ЭВРИСТИКЕ И ВОССТАНОВИМЫХ С ЕЕ ПОМОЩЬЮ ГРАФАХ

В данной работе рассматривается эвристика, использующая спектральные свойства графов, которая может быть применена при решении задачи проверки изоморфизма графов [1,2]. Некоторый граф считается восстановимым при помощи данной эвристики, если она полностью характеризует этот граф. А именно, если значения функций, при помощи которых дается значение эвристики на отдельном графе, совпадает для двух графов, то эти графы изоморфны, то есть им соответствует один и тот же непомеченный граф. Рассматриваются модифицированные до положительно определенных матрицы смежности графов. Модифицированные матрицы, представляющие графы, обратимы. По сути, данная эвристика представляет собой значения элементов обратных матриц графов и то, как эти элементы изменяются при изменениях диагональных элементов исходных матриц.

Определение 1. Даны неориентированные графы Ga = (VA,EA) и Gb = = (Vb, Ев), где Уд, Vb ~ множества вершин графов, Еа, Ев ~ множества ребер графов. |Уд| = \VB\, \Еа\ = |Ев|• Графы GA = (VA)EA) и GB = (VB,EB) изоморфны (обозначается GA = Gb) тогда и только тогда, когда существует такое биективное отображение ф : Уд —► Vb, что (i,j) Є ЕА ('ф(ї),'ф(і)) Є Ев. ■

В данной работе матрицы, представляющие графы, являются видоизмененными матрицами смежности графов, используя которые можно эквивалентным образом переформулировать определение изоморфных графов так же, как оно может быть переформулировано с помощью матриц смежности графов.

Определение 2. Даны неориентированные графы GA = (VA)EA) и Gb = = (Vb, Ев)- \Va\ = \Vb\, \Ea\ = \EB\- Графы GA ylGb изоморфны тогда и только тогда, когда существует матрица перестановки Р такая, что А = РВР~Х. ■

В этом определении А, В - видоизмененные матрицы смежности графов Ga, Gb• Матрицы видоизменяются до положительно определенных так же, как

© 2004 А.В. Пролубников

E-mail: prolubnikov@univer.omsk.su Омский государственный университет

это делалось в работе [2]. Пусть А0 - матрица смежности графа Gл = (Уа, Ед). В соответствии с матрицей А0 строим диагональную матрицу Da0:

/ 0 ., .. 0

• О нА а22 • ■ • о

•• о •• О dA . . Unn

со следующими элементами на диагонали:

п

Ф\ ^ ^ CL^j + d = di + ф

з=1

где d - максимальная степень вершин в графе Ад, a di - степень вершины і Є Уд- Аналогично по матрице Во строится матрица Дв0-

Матрицы, с которыми работает алгоритм, имеют следующий вид:

А — Ао + Da0 , В — Во + Вво.

(1)

Введем следующие обозначения. Арщ - подматрица матрицы А, получаемая из нее вычеркиванием г-й строки и j-го столбца. А(А,... , А) ~ подматрица А, получаемая из нее вычеркиванием рядов с номерами А,... , А такими, что гр ф Ф iq, если р ф q. Под г-м рядом матрицы понимаются элементы г-й строки и г-го столбца матрицы. Арщ(А,..., А) - подматрица матрицы А, получаемая из нее вычеркиванием г-й строки и j-ro столбца и рядов с номерами А,..., А таких, что г, І гр, р = 1, к. Пусть

где

к

• 1 єк) = а + '£єіе>‘ 3=і

/0 .. . 0 . • •• о\ - 1

0 .. . 1 . ... 0 - і

\0 .. . 0 . ... о) — п

£j Є №, Д 0, j — 1, /с.

..., щ) - граф с матрицей смежности Alv",fe(ei,..., щ).

• • • А/с) _ элемент обратной к Alv"’fe(ei,..., щ) матрицы.

Определение 3. Будем называть графы ..., еф и A^’"'^^!,..., щ)

подобными (к = 0, гг), если существуют такие биективные отображения ф, p>i : У а Ув) І = А А что

VAi

• • • А/с)

-Ц(1),...,Ц(/с)

14

Подобие графов G1J^"'k{e і,..., еф) и Gl^'"'lk{e і,..., еф) будем обозначать как

Є)[”'к(єі, • • •, Sk) ~ Gl^'"'lk{eі,..., є™)-

Будем называть отображение ф из определения подобия графов с-отображением, отображения (р - г-отображениями.

Определение подобия графов является ослаблением определения изоморфизма графов, поскольку для определения подобия графов вместо одного отображения ф, задающего изоморфизм графов, мы требуем лишь существования одного с-отображения и не более п каких-либо г-отображений (/д, необязательно совпадающих с ф. При этом с-отображение задает отображение г-го столбца обратной матрицы одного графа в соответствующий ф(і)-и столбец обратной матрицы второго графа, равный ему с точностью до перестановки его элементов, задаваемой при помощи соответствующего г-отображения (/д. При ф = (/д, і = 1, п определение подобия графов эквивалентно определению изоморфизма графов.

Определение подобия графов тесно связано со спектральными свойствами самих графов и ассоциированных с ними графов. Графы ассоциируются следующим образом: G^, i,j = 1, гг — графы, матрицы смежности Арщ которых являются подматрицами матрицы А графа вида (1), получаемыми удалением из нее г-й строки и j-го столбца. Матрица Адщ при і ф j) вообще говоря, несимметрическая, этой матрице соответствует некоторый ориентированный граф с петлями Gд. Gф (г = 1, гг) - граф, получаемый из Ga отбрасыванием вершины і и всех инцидентных ей ребер, за исключением петель. Аналогично определяются графы G^, = l,n.

Пусть

гг—1 п—1

Л« = П MG«), Л« = ПМС«),

к=1 к=1

п п

А а = JJ Afc(G^), А в = JJ Afc(Crs),

к=1 fc=l

где Лk(G1^) - к-е собственное значение матрицы Арщ, Ak(G1^) - к-е собственное значение матрицы £>(щ), Ak{Gа) ~ к-е собственное значение матрицы A, Ak(Gs) - к-е собственное значение матрицы В.

= А1 = Щ г =Щ=г4

v И Л,4' « \В\ Ав

То есть графы Ga и Gb подобны тогда и только тогда, когда существуют отображения ф^р){ : Vb —> Va, и графы G% и = 1,п имеют спектры

такие, что произведение всех собственных значений из одного спектра равно произведению всех собственных значений из второго:

п—1 п—1

Пл,(с«) = ПАк(сГ"м).

к=1 /с=1

15

Рассмотрим, как происходит изменение элементов обратных матриц к матрицам графов при изменении диагональных элементов матриц графов. Пользуясь формулой разложения определителя по строке, получаем:

det Л}~ (бц) = det А Е\ det Адду

Далее,

det ^41,2(e:i, er2) = det Аг(єі) + є2 det Д(2,2) = det А + є і det А( ід) +

+6^2 (det 2,2) + єі • det Д(і?2)) — det А-\- £\ det Ддд) + є2 det 2,2) + ^1^2 det Идду

Продолжая это разложение к раз, получаем:

к г С1 , д

А1'-'к(є1,...,єк) = detA + ^2 ХДГН*) detA(zpl).

q=1 Lp= 1 4=1

■ )J

(2)

Аналогично получаем выражение для Д У (£ъ • • •, гд):

k Cl , q

Сі> • • •) єк) = det А + ^2 ( П evt ) det А(і j) (гР1,... ,iPq/

q=1 Lp—1 Д=1

(3)

Подчеркнем, что г, j 7^ гР1,..., гр , то есть номера гРі,..., берутся во всевозможных 67p сочетаниях из к элементов по д, за исключением тех сочетаний, в которых присутствует і или j.

Поскольку

-1,

аа

= (-!)•«

А,1)'Ть • ■ ■ ’-к)

А1’"’к(є1,...,ЄкУ

то из (2) и (3) получаем

det А + X

аД-’Дь ...,£*) = (-l)l+J---------------—

к / 9

X ( П ept ) det А(гР1,. ■ ■, iPq)

.p=1 \t=l

det A + X

_

x гы det A(i,j-,ipi,.. ,,iPq)

=1 lp=l \t=1

(4)

To ЄСТЬ аЧ'Дєі, . . . , в/г) является отношением двух многочленов от переменных Єї, ... ,Єк, линейных по каждой из этих переменных.

Теорема 1. Ga — Gb тогда и только тогда, когда существует биективное отображение ф : Уд —► Vb такое, что для любого k = 1, п

С/Г ’^Съ ■ ■ ■ Gk) ~ Дд

Cl ? • ■ ■ ч ■

16

Доказательство. Пусть Ga — Gb и ф : Va Vb - изоморфизм. Матрица смежности графа (Д"’’п(щ,..., єп) имеет вид

П

А1,'",п(єі,..., єп) = А + ,

з=1

графа G%(1)’"',1p{n) (єь .

В^(1)...^(n)(£i,...,en) = B + J2£jEm-

3=1

Пусть Р - матрица перестановки, соответствующая ф. Тогда

п п

Р~\В + ^2 £jEm)P = Р~1ВР + Р-1 ^2 £jEmP = з=1 i=i

= P^PP + J^

3=1

EjP-'EpWp = A+ 22 £3Ej-3=1

Следовательно, бф ~ (7в только тогда, когда

•Щь . . . , 6Д) ~ с£(1)- •ЖП)(£Ь.. • 5 Єп

изоморфизм, а значит, когда

Дм, ..., бд) ~ Gl(1)’- •ЖП)(£Ь.. • 5 ^тр

Пусть к = п и существует биективное отображение ф такое, что

С1ф"’п{єі,..., єп) ~ G^ ^ ..., £п).

Рассмотрим набор номеров i,j, р,..., in-2 таких, что к = 1,п — 2 и і ф

j. 1ак как а,ц (щ,..., єп) = (щ,..., £nJ, то многочлены в числителе

и знаменателе (4) для соответствующих элементов обратных матриц графов равны, то есть

det A(ij) (іі,..., in—2) = det (Ффі) і • • ■ і Ф(і"п—2)) ?

det Дії,...,г„_2) = detP(^(ii),... ,ф(гп-2)).

ф(г),ф(іі),..., ф(іп-2) — (п — 1)-значение биекции ф, и все эти значения отличны друг от друга, ipi(j) не равно Дії), • • -,Ф(гп-2) по определению ... ,Цгп_2)). То есть

Щ) 7^ ЦД Ф(к), • • •, Ф(гп-2),

<Pi(j) ФФ(і),Ф(ч),---,Ф(іп~2),

17

и поэтому ipj = Таким образом,

dot Apj)(zi, • • • 5 in—2) det -£>(ц(г)5ц(щ(z/Ді))5 • • • 5 Ф(іп—2))-

Но

dot Адщ (i\5... 5 in—2) 5

det -£>(ц(г)5ц(щ (ф(іі), • • • іф(іп—2)) — Ьц(г)ц(щ

и значит,

аЦ — иф(і)ф^)

Следовательно, отображение ф

= bi изоморфизм.

Определение 4. Будем называть граф восстановимым, если любой граф, ему подобный, является изоморфным ему графом. ■

Для восстановимых графов изоморфизм эквивалентен их подобию. Следовательно, по доказанной теореме 1 для двух восстановимых графов, являющихся изоморфными друг другу, переход от графов Ga и Gb к графам Є)["'к(є 1,..., є к) и ..., є*.), где к ф 0 и к последовательно принимает значения 1,..., п,

может быть произведен так, что

для каждого к) что эквивалентно их изоморфизму:

С1Гк(є1,...,єк)^С%-іНє1,...,єк).

Таким образом, класс графов, на котором за полиномиальное количество машинных операций алгоритм, представленный в [2], дает решение задачи проверки изоморфизма графов, может быть определен как класс восстановимых графов. Подчеркнем, что под полиномиальностью времени работы алгоритма понимается в данном случае полиномиальная зависимость (от мощностей множеств вершин графов, поданных на вход) количества элементарных машинных операций, за которое может быть получено решение задачи проверки изоморфизма графов.

Литература

1. Пролубников А.В., Файзуллин Р.Т. Эвристический алгоритм дешифрования шифра двойной перестановки // Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 9. С. 62-69.

2. Пролубников А.В., Файзуллин Р.Т. Класс графов, задача проверки изоморфизма для которых разрешима за полиномиальное время алгоритмом спектрального расщепления // Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 11. С. 28-57.

18