CC BY
28
13. Никитина А.В., Чистяков А.Е., Фоменко Н.А. Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды // Электронный научно-инновационный журнал. Инженерный вестник Дона. - 2012. - C. 4.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Я.Е. Ромм.
Никитина Алла Валерьевна - Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»; e-mail: nikitina.vm@gmail.com; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.; 89515168538; кафедра высшей математики; к. ф. - м. н.; доцент.
Камышникова Татьяна Владимировна - e-mail: kam.vm@gmail.com; тел.; 88634615118;
кафедра высшей математики; к. т. н.; доцент.
Семенов Илья Сергеевич - e-mail: flanker555@yandex.ru; тел.: 89085029807; кафедра высшей математики; аспирант.
NikitinaAllaValervevna - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education "Southern Federal University"; e-mail: nikitina.vm@gmail.com; 44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia; phone: +79515168538; the department of higher mathematics; cand. of pthis.-math. sc. associate professor.
KamishnikovaTatvyanaVladimirovna- e-mail: kam.vm@gmail.com; phone: 88634615118; the department of higher mathematics; cand. of tex. sc. associate professor.
Semenov IlyaSergeevich - e-mail: flanker555@yandex.ru; phone: +79085029807; the department of higher mathematics; postgraduate student.
УДК 518.5.001.57
И.А. Ляпунова
ОБ ОДНОЙ ДЕМОГЕНЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АДАПТАЦИИ НАСЕКОМЫХ К ИЗМЕНЕНИЮ КОРМОВОЙ БАЗЫ
Среди множества математических моделей типа «хищник-жертва» особое место занимают демогенетические модели. Цель данной работы: построение математической модели адаптации насекомых - вредителей к изменению кормовой базы - растительного ресурса в соответствии с предположением об изменении динамики их поведения в зависимости от таксиса. В работе вводится гипотеза о том, что динамика роста насекомых -вредителей меняется в зависимости от вида их деятельности в конкретный момент времени - кормятся они, либо размножаются. Согласно данному предположению рассматриваются случаи быстрого и медленного таксиса; учитывается зависимость распределения растительного ресурса, а значит, и распределение вредителей от вида таксиса.
Вредитель; плотность биомассы; динамическая устойчивость (неустойчивость).
I.A. Lyapunova
SOME DEMO GENETIC MODEL ADAPTATION OF INSECTS A CHANGE IN
PREY
Among the many mathematical models of the "predator-prey" special place - in the demo genetic models. The aim of this work: the construction of mathematical models of adaptation of insects - pests change prey - vegetation in accordance with the suggestion to change the dynamics of their behavior depending on the taxis. This paper introduces the hypothesis that the dynamics of
growth of insects — pests varies according to the type of activity at a time — they are feeding or breeding. Under this assumption, we consider the cases of fast and slow taxis; taken into account the dependence of the distribution of plant resources, and hence the distribution of the pest on the type of taxis.
Transgene corn; biomass density; dynamic stability (instability).
Введение. В последние десятилетия научные организации все больше внимания стали уделять исследованиям современных и ожидаемых антропогенных изменений в различных естественных и искусственных биоценозах [11]. Как известно, особи изменяют свою скорость, в зависимости от качества и близости кормового пятна. В частности, в моделях сообщества хищник-жертва ускорение движения хищника определяется неоднородностью распределения плотности жертв [1]. Тем не менее, в современных демогенетических моделях влияние популяци-онного таксиса не отражается [2].
Используемые на сегодняшний день модельные подходы для трансгенных видов культур и их вредителей базируются на модифицированной демогенетиче-ской модели Костицына, дающей описание динамики конкурирующих генотипов вредителя на основе уравнений Лотки-ольтерра. Одними из наиболее успешных моделей являются двухуровневые демогенетические модели «растительный ресурс - вредитель» и «вредитель - паразитоид», предложенные Жадановской Е.А. [3]. Но они не учитывают направления движения хищников в различные периоды роста и развития вредителей.
В демогенетических моделях, где количество насекомых - вредителей прямо пропорционально градиенту роста растительного ресурса [4, 5], также не учитывается ряд важных биологических особенностей «летучих» вредителей, таких как периоды поедания растительного ресурса и размножения. Например, самый распространенный вредитель кукурузы - кукурузный мотылек, не питаясь, может пролететь несколько километров. От половой принадлежности многих видов насекомых - вредителей зависит и скорость их передвижения. Вследствие последних замечаний, современные модели и программные комплексы [8] не вполне адекватно описывают и прогнозируют динамику роста растительного ресурса и его вредителей.
Построение модели. Рассмотрим распределение заданной агрокультуры на некотором одномерном физическом пространстве Q. Пусть R=R(x,t) - прирост
биомассы кукурузы; г - мальтузианский коэффициент прироста. Уравнение ди-
R
намики плотности биомассы:
?)R R
— = SR AR + rRR(1 -R) - aRN, (1)
dt R KR
rR = rR + g (" у , t)
Здесь g(x,y,t) - функция, учитывающая плодородие конкретного участка.
Демогенетические модели предполагают наличие двух видов растительных ресурсов - обычного и трансгенного:
R = R1 + R2, (2)
где Rx = а(x, y)R - начальная биомасса растительного ресурса обычного вида, R2 =(1 -а(x,y))R - начальная биомасса растительного ресурса трансгенного вида.
Тогда прирост биомассы для обоих видов растений c учетом диффузии [6, 7] осуществляется по формулам:
dR R
—1 = SR AR. + rRR (1--) - aR N;
dt R 1 R 1 K
dR,
dt
2 = SrAR2 + rRR2(1 - aR2Nrr.
R_
KE
(3)
Введем функции fy, где i,j принимают значения генотипов ss, rs, ss.
f/s (ss , Nsr , Nrr )= W„-N ( Nss + ^ )2;
f (N , N , N ) = W — f N + Nr^|f ^ + N I;
J sr V ss ' sr^ rr f rs N I ss 2 II 2 rr I
fj:
(4)
/ (N ,N ,N )= W —f — + N
J rr \ ss ' r^ rr / rr ^^ I 2 r
где K = ( — ^//¿2; KR — емкость среды; SR, — коэффициент диффузии растительного ресурса, f ij определяют пропорции распределения потомства вредителя по
трем рассматриваемым генотипам ij (2.6); n — внешняя нормаль к границе dQ ; Q — ареал вредителя; Ny = Ny (x, у, t) — плотность генотипа ij в точке (x, у) е Q в
момент времени t (i, j = r или s); Nss, Nrs, Nrr - плотности соответствующих генотипов вредителя.
N = Nss + NrS + Nrr (5)
— общая плотность популяции.
Рассмотрим теперь уравнения динамики вредителей:
N + V( Nssvss) = SANss + eaRWss -.( N„ + %)2 — ^;
dt dN,
N
dt + V(Nv ) = SANrs + eaRWs |-(Nss + Nrr + ) —
(6)
^ + V(NrrVrr ) = SANrr + eaRWrr Nrr + ^)2 — ;
ч гг гг у гг гг V ГГ _
о? N 2
Активность вредителей определяется суммой плотностей двух видов насекомых-вредителей:
N = N (1)+ N(2), (7)
где N(1) и N(2) - плотности вредителей в активном и пассивном состоянии соответственно. С учетом (7) система (6) для пассивного поведения вредителей перепишется в виде системы (8):
dN «
dt
+ V( N(1) v(1)) =
V ss ss '
= SP> AN« + eaRWss4
N
(2)
Г (2 N<2) V
N (2) +Hil
V
-mn( -ДЯХ1 +ß2 N
1.
У
dN(
dt
+V( N( ) =
= S() AN1! + eaRWre
N
-(2)
N2 +
N
(2) V
N(2) +
N
(2) Л
(8)
dN«
dt
+ V( N? v«) =
= ^(1) AN() + eaRW„.
N
(2)
N(2)+ N
(2) Y
N -ßmy +ß2 n
и
Д2)
В активном состоянии, учитывая, что вредитель, неустойчивый к яду, поедает только обычный вид растительного ресурса (не трансгенную агрокультуру), получаем следующую систему уравнений (9):
Э^2)■ + У(^2) У(2)) = ^ ДУ? - + Л (^) N<1 - ЛN¡2) ;
dt
dN(2)
dt
dN(2)
dt
+ V(NiV2) ) = ^AN(2)+ß(R,)N« -ß2Ni2) ; (9) + V(N<rV2) ) = 5(2)An(2)-MnC) +ß(R) N<? -ß2N(2) .
Медленный таксис в пассивном состоянии для трех видов насекомых-вредителей описывается следующими уравнениями (10):
V + а
Г dv(1
v+ а
v„ + а
dt
Г dv(1)
rs dt
Г dv(1)
rr dt
+ V( N(1) v(1))
ss ss
+ V( NM )
= Av(1' k(1) + VR,;
ss v 1 '
= ^ Av'1 + k(1) VR,;
(10)
+ V( N« v«)
= $1) Av« + k(1) VR.
Быстрый таксис в активном состоянии описывается одним уравнением для насекомых-вредителей, устойчивых к яду (11):
V = к(2) VN(2) + ^(2) Ду(2) . (11)
Во всех случаях границы области предполагаем непроницаемыми:
(VN¡j,п) = 0, (V;.,п) = 0, (х,у)еЭ^.
Заключение. Как видим, гипотеза об изменении плотности насекомых - вредителей в направлении градиента биомассы растительного ресурса не достаточна. Простое предположение об изменении динамики насекомых-вредителей в соответствии с биологическими потребностями ведет к значительному изменению де-могенетических моделей, а, следовательно, возникает необходимость в разработке новых методов исследования модели, программных продуктов по их численной реализации.
Гипотезы о пятнистости распределения растительного ресурса и, соответственно, насекомых - вредителей, а также учете запаздывания [4, 5, 8] вследствие сделанных предположений требует нового рассмотрения и исследования, так как в зависимости от вида таксиса распределение будет различным [9, 10].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Фрисман Е.Я. Изменение характера динамики численности популяции: механизмы перехода к хаосу // Вести. ДВО РАН. - 1995. - № 4. - Р. 97-106.
2. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.: Высшая школа, 1995.
3. Жадановская E.A., Тютюнов Ю.В., Ардити Р. Моделирование стратегии "высокая доза
- убежище" при использовании генетически модифицированной кукурузы для подавления кукурузного стеблевого мотылька // Известия вузов, Сев.-Кав. регион. Естественные науки, 2006. - Приложение, № 11. - 5 с.
4. Кажарова И.А. Мозаичная структура распределенного сообщества трансгенной кукурузы // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97). - С. 148-155.
5. Ляпунова И.А. Устойчивость модели пространственного распределения кукурузы вследствие процессов запаздывания // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 6 (107). - С. 126-131.
6. Сухинов А.И., Никитина А.В. Математическое моделирование и экспедиционные исследования качества вод в Азовском море // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011.
- № 8 (121). - С. 62-73.
7. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Бондаренко Ю. С. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011.
- № 8 (121). - С. 6-13.
8. Ляпунова И.А. Разработка программного комплекса прогнозирования урожая кукурузы // Сборник научных трудов Sworld по материалам международной научно-практической конференции. - 2012. - Т. 4, № 2. - С. 11-12.
9. Сухинов А.И., Никитина А.В., Чистяков А.Е. Моделирование сценария биологической реабилитации Азовского моря // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24, № 9.
- С. 3-21.
10. Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2012. - Т. 13, № 1. - С. 290-297.
11. Камышникова Т.В., Афонин А.А., Дурягина В.В. Вывод двумерной модели распространения загрязняющих примесей в водохранилище // Известия ЮФУ. Технические науки.
- 2009. - № 5 (94). - С. 12-18.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Я.Е. Ромм.
Ляпунова Ирина Артуровна - Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»; e-mail: ialyapunova@sfedu.ru; г. Таганрог, ул. Урицкого, 16/25; тел.: +79034319926; кафедра высшей математики; ассистент.
Lyapunova Irina Arturovna - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education "Southern Federal University"; e-mail: ialyapunova@sfedu.ru; 16/25, Uricki street, Taganrog, Russia; phone: +79034319926; the department of higher mathematics; assistant.
