CC BY
15
УДК 534.22
ОБ ОДНОЙ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ХОХЛОВА-ЗАБОЛОТСКОЙ
НЕЛИНЕЙНЫХ ЗВУКОВЫХ ПУЧКОВ
© 2009 г. О.А. Савицкий
Рассмотрен подход к получению асимптотических решений уравнения Хохлова-Заболотской в пределе сильного проявления нелинейных процессов. Проведена редукция исходного уравнения к цепочке связанный; квазилинейным дифференциальным уравнений первого порядка.
Ключевые слова: нелинейный, звуковой пучок, асимптотическое решение, уравнение Хохлова-Заболотской, дифракция, волна конечной амплитуды.
In work the approach to derivation asymptotic solutions of Khokhlov-Zabolotskaia equation is considered within the limits of strong display of nonlinear processes. The reduction of the initial equation to a chain connected first order quasilinear differential equations is carried out.
Keywords: a sound beam, the asymptotic solution, the Khokhlov-Zabolotskaia equation, a diffraction, a finite amplitude wave.
Таганрогский технологический институт, Южного федерального университета, пер. Некрасовский, 44, г. Таганрог Ростовской области, 347928, rector@tsure. т
Taganrog Technological Institute of Southern Federal University, Nekrasovskiy Lane, 44, Taganrog, 347928, rector@tsure.ru
Уравнение Хохлова-Заболотской (ХЗ) является одним из основных в задачах нелинейной теории звуковых пучков в средах без физической дисперсии скорости звука [1, 2]. Если ограничиться кругом задач, в которых диссипативными процессами можно пренебречь, то после обезразмеривания уравнение ХЗ принимает вид
дУ 8V дв{ dz дв
N ^ = —А I V, 4
(1)
где V = -
v
v0
в волне; z = ■
расстояние от центра излучателя,
8R2
1_д_ R dR
R=-
ro
vi,0,Rj= £ vni,e,R
n=0
n!
где 0. Подставляя разложение (2) в
(1), получим бесконечную цепочку дифференциальных уравнений
- нормированная скорость смещения частиц
= 0
= 1д. 4
V
(3)
1
= -A±V, + 2 1
д2У12 дв2
с! (I
Введем обозначения У1 =—=—— и т.д., то-
дв
дв
нормированное на характерный масштаб проявления
х д
нелинейных эффектов х„ : X ---отношение харак-
хд
терных масштабов проявления нелинейности и дифракции хд; в = си ( .г/с - «безразмерное время» в сопровождающей системе координат, движу щейся вместе с волной со скоростью звука с; со - характерная частота волн; А_ - поперечный лапласиан, который в цилинд-
' ¿2 - ^
рической системе координат имеет вид
гда система (3) примет вид
_д_ дв{
dV^_y dVo dz 0 дв
д
2
дв
дв1
dz и дв dz и дв
= 0
= Vr
о
= — Aj 2 J
■ (4)
dFl ~дв
дв1
dFl ~дв
Предполагая отсутствие источников поля, после интегрирования уравнений системы (4) по в получим
- поперечная координата, нормированная на
характерную ширину звукового пучка го . Единственным безразмерным параметром уравнения (1) является число N которое определяет превалирующее влияние на распространение звуковых волн в пучке дифракционных (N>1) или нелинейных (N<1) процессов.
Практически значимых точных решений уравнения ХЗ не получено, поэтому в исследованиях по теории нелинейных волн и в инженерных расчетах используются результаты применения различных асимптотических и численных методов решения (1).
Рассмотрим способ получения асимптотических решений уравнения ХЗ в пределе сильного проявления нелинейных эффектов в звуковом пучке. Именно этот режим распространения звуковых волн интересен с точки зрения решения прикладных задач нелинейной акустики. В этом случае безразмерный параметр N становится малой величиной, и для построения асимптотического решения (1) воспользуемся методом возмущений по параметру. Главным достоинством получаемых таким образом асимптотических решений в отличие от асимптотик, полученных методом возмущений по поперечной координате [1-4], будет возможность изучения с их помощью динамики поперечных распределений взаимодействующих волн, пространственных нелинейных эффектов, связанных с нелинейной трансформацией волновых фронтов и ряда других нелинейных эффектов в звуковых пучках.
Решим задачу Коши = Фо Я _ для
уравнения (1). Будем искать решение в виде ряда
ДГ п
(2)
д¥(
-V,
дУ(
dz 0' дв
= 1 А,
dz и дв 4
= 0
(5)
ab_VoaF2_ = ±AjFid0+
z
дв
SF,
дв
где 0.
Таким образом, в случае преобладающего влияния нелинейности исходное квазилинейное параболическое уравнение ХЗ (1) распадается на бесконечную последовательность уравнений в частных производных первого порядка, из которых только первое уравнение является квазилинейным однородным. Его решением будет нелинейно искажающаяся недифраги-рующая волна. Остальные же уравнения системы линейные с ненулевой правой частью. Наличие правой части в уравнениях системы (5) отражает влияние дифракционных процессов, причем это влияние связано с дифференцированием членов ряда (2) по поперечной координате Я. Оператор А1 дифференцирования по переменной Я находится в правой части уравнений системы (5) и действует на уже найденные из предыдущих уравнений системы функции. Таким образом, переменную Я в каждом уравнении системы (5) можно рассматривать как параметр, а каждое уравнение системы - как неоднородное квазилинейное уравнение с частными производными первого порядка по переменным г, 0. Важной особенностью цепочки связанных уравнений (5) является возможность ее последовательного решения, т.е. для получения решения Fn каждого последующего уравнения системы (5) необходимо знать результат решения только предыдущих уравнений системы Fn-1, Fn-2, ■■■ У0. Каждый раз при отбрасывании уравнений более высоких порядков будет получаться замкнутая систе-
x
x
д
2
2
2
r
2
ма уравнений. Такая структура системы уравнений позволяет прервать процесс уточнения искомого решения на любом уравнении системы, отбросив все последующие уравнения.
Теория квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка, как известно [5], позволяет получать решение задачи Коши для системы (5) в аналитической форме. Как видно из (5), в каждом уравнении главная часть дифференциального
оператора имеет один и тот же вид
5 5
— Vq — .
т.е.
дг м дв
проекции характеристик на плоскость (в, z) для всех уравнений совпадают.
Интегрирование системы (5) вдоль характеристик
^ М л? /ел
— =-= ^ (6)
1 -у0
позволяет свести решение системы дифференциальных уравнений в частных производных к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений
■ = 0 4
-f = -А JjVodß
2
(7)
^=l-A1\Fld6 + dg 2
dFl ~дв
1,5
-0,5
/ 4 ! 3 {/ / 2 |
и/ / ! ^
Л V
Влияние дифракции на оси пучка проявляется в несимметричном искажении положительного и отрицательного полупериодов волнового профиля. Длительность положительного полупериода уменьшается с одновременным увеличением его амплитуды, длительность отрицательного полупериода увеличивается, а его амплитуда уменьшается, так что действует правило равенства площадей [3]. Наблюдается также некоторое смещение нулевых точек волнового профиля за счет дифракционной расфазировки основной и высших гармоник. При этом положение разрыва волнового профиля практически не изменяется. Это связано со слабой дифракционной расфазировкой высших гармоник, которые и формируют этот разрыв на профиле.
При относительно небольших смещениях от оси пучка (рис. 2) качественного изменения в поведении волнового профиля не происходит, изменяется лишь его амплитуда.
В качестве примера применения предложенного подхода к получению асимптотических решений уравнения ХЗ рассмотрим искажение первоначально (при z = 0) монохроматического Гауссова пучка
-К2
= е к вт^1 . В последовательности
уравнений (5) ограничимся первыми двумя. Это даст приближение точного решения ХЗ с точностью до членов порядка Ш3. Результаты расчетов приведены на рис. 1-3.
Полученное асимптотическое решение отражает все качественные особенности трансформации волнового профиля в интенсивном звуковом пучке большой аппертуры (N<1) [1, 2]. На оси дифракция не замедляет нелинейных процессов, и при z = 1, также и как в плоских волнах конечной амплитуды, формируется вертикальный участок волнового профиля (рис. 1 -кривая 1). На больших расстояниях этот участок расширяется, что приводит к формированию слабой ударной волны ( z > 1 на рис. 1).
Рис. 2. Искажение волнового профиля на расстоянии 2=2 от источника в приосевой области звукового пучка на различных расстояниях от оси при N=0,2. 1 - К=0; 2 - Я=0,2; 3 -Я=0,4; 4 -Я=0,6
На периферии пучка нелинейные процессы вследствие уменьшения амплитуды волны замедляются настолько значительно, что даже на расстоянии 2 = 2 (рис. 3) не происходит формирования ударного фронта, а по мере увеличения отстройки от оси форма волны приближается к синусоидальной.
0,4
0,2
-0,2
-0,4
с■
-1; X *
\ —
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Рис. 1. Искажение волнового профиля на оси звукового пучка (Я=0) при N=0,2 на различных расстояниях от источника звука. 1 - 2=1; 2 - 2=1,2; 3 - 2=1,5; 4 - 2=2
Рис. 3. Искажение волнового профиля на расстоянии 2=2 от источника на различных расстояниях от оси при N=0,2. 1 -Я=1,1; 2 - Я=1,2; 3 -Я=1,4; 4 -Я=1,8
2
Влияние дифракционной трансформации волновых фронтов, наоборот, усиливается, вследствие чего форма профиля существенно отличается от приосевой области (рис. 3).
Эти изменения настолько значительны, что наблюдается обратное соотношение между амплитудами и длительностями положительного и отрицательного полупериодов волнового профиля по сравнению с аналогичным соотношением в приосевой области. Имеют место значительные фазовые сдвиги между волной основной частоты и ее гармониками.
В работе производилось также сравнение асимптотического решения с результатами численного моделирования [6]. Абсолютное отклонение полученных данных при одних и тех же начальных условиях не превысило 5 %. Приведенные результаты расчетов показывают, что построенное асимптотическое разложение хорошо описывает нелинейные и дифракционные процессы в звуковых пучках волн конечной амплитуды в условиях сильного проявления нелинейности. Предложенный подход к получению асимптотических решений уравнения ХЗ может быть применен в теоретических исследованиях пространственных нелинейных эффектов в неодномерных звуковых полях волн конечной ампли-
Поступила в редакцию_
туды, а также для проверки результатов численного моделирования нелинейных волновых процессов.
Работа выполнена по гранту РНПВШ 2.1.1/6584.
Литература
1. Руденко О.В., Солуян С.И., Хохлов Р.В. К нелинейной теории параксиальных звуковых пучков // Докл. АН СССР. 1975. Т. 225, № 5. С. 1053-1055.
2. Лапидус Ю.Р., Солуян С.И. Эволюция нелинейных волн вдоль оси слабодифрагирующих и сфокусированных пучков // Акуст. журн. 1985. Т. 31, вып. 5. С. 615619.
3. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. М., 1990. 432 с.
4. Воробьев Е.М., Заболотская Е.А. О распространении высокочастотных звуковых пучков // Акуст. журн. 1973. Т. 19, вып. 6. С. 815-818.
5. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М., 1998. 232 с.
6. Савицкий О.А., Чистякова Т.А. Схема расщепления по физическим процессам для уравнения Хохлова-Заболоцкой-Кузнецова // Альманах современной науки и образования Тамбов, 2008. № 1(8). С. 220-222.
18 марта 2009 г._
