CC BY
3
DOI 10.54220/v.rsue.1991-0533.2022.78.2.028
Н. Ю. Мисиченко, П. В. Николенко, Н. А. Рутта, Е. Н. Тищенко
ОБ ОДНОВРЕМЕННОМ ВЫХОДЕ НА ЗАДАННЫЙ УРОВЕНЬ ФОНДОВООРУЖЕННОСТИ ГРУППЫ ОБЪЕКТОВ В КРАТЧАЙШЕЕ ВРЕМЯ
Аннотация
В модели «инвестиции-потребление» рассматривается группа объектов, каждый из которых имеет свой закон роста фондовооруженности. Изучается вопрос об одновременном выходе на заданный уровень фондовооруженности в кратчайшее время, при условии, что для достижения этой цели выделена заданная сумма. Каждый из объектов получает свою долю суммы в виде финансового потока, ограниченного сверху величиной — предельной способностью к поглощению инвестиций. В предположении выполнения некоторых условий согласования между начальной и финальной фондовооруженностью и выделенной суммой установлено, как следует поделить указанную сумму между объектами и в виде какого финансового потока каждый из объектов получит свою долю, чтобы поставленный вопрос был решен.
Ключевые слова
Производственная функция, фондовооруженность, коэффициент амортизации, принцип максимума Понтрягина.
N. Yu. Misichenko, P. V. Nikolenko, N. A. Rutta, E. N. Tischenko
ABOUT SIMULTANEOUS ACCESS TO GIVEN LEVEL OF STOCK-WEIGHT OF GROUP OF OBJECTS IN SHORTEST POSSIBLE TIME
Annotation
In «investment-consumption» model, group of objects is considered, each of which has its own law of growth of capital ratio. Issue of simultaneous access to given level of capital strength in shortest possible time is being studied, provided that given amount is allocated to achieve this goal. Each of objects receives its share of amount in form of a financial flow, limited from above by amount — marginal ability to absorb investments. Assuming that certain conditions of agreement between the initial and final capital and allocated amount are met, it is established how the specified amount should be divided between objects and in form of what financial flow each of objects will receive its share so that issue is resolved.
Keywords
Production function, capital ratio, depreciation coefficient, Pontryagin maximum principle.
Введение
В модели «инвестиции-потребление» динамика фондовооруженности подчинена закону [1, а 312]:
X=s/(x) — дх,
здесь х — фондовооруженность; X — производная по времени; /— производственная функция; /(.х) — стоимость, произведенная в единицу времени одним работающим;
^ — доля произведенном стоимости, которая возвращается в производство в виде инвестиций;
д — коэффициент амортизации фондов.
Рассмотрим группу объектов, каждый со своим законом динамики: = = ^ ,
где г =1,2,...,п.
На момент времени нуль фондовооруженность составляет величину х 0 = (х° , х° , ..,х°) , требуется, чтобы за кратчайшее время фондовооруженность достигла значений .
Для этого в дополнение к собственным инвестициям 5 ¿/¿(х ¿) выделена сумма £, которая поступает на объект с номером г в виде финансового потока и¿( *;). Так, что уравнение динамики для приобретает вид:
X ¿=^ (х ¿) +и ¿( 0 , причем , где — предель-
ная способность к поглощению инвестиций. Таким образом, выполняется условие
/ 1 ( и 1 ( 0 +и 2( 0+..+ ип ( 0 ,) й t = 5, где момент завершения процесса, то есть это такое для которого х 1( t 1) =
хЪ х2 ( ) = х2 ' . . хп ( = х1
Требуется определить функции так, чтобы оказалась минимальной.
Предполагается, что / обладает обычными свойствами производственных функций:
/{ > о , < 0 ,
1 1 0 /' (х) = 00 , 1 1 00 /¿' ( х) = 0. Предполагаем также, что интервал (х 0 , х I) содержит х^ — точку максимума функции F¿. Если это условие не выполнено, то ответ на поставленный вопрос легко усматривается из нижеизложенного. Отметим, что предельная сумма, которую может получить объект с номером
= (х1) + <№(х2) + 0/>1
и сопряженную систему =
^2 = - Ф 2^2 (х2) . (3)
Фз = 0
Если (х, и) оптимальный процесс, то, со-
есть
гХ
vi Li
либо
dx
xL0 Fj(x)+Pj
S(u = 0 ,
либо
l
. Величину Sj1 объект с но-
мером получает, если в течение
всего времени движения от до . Ясно, если для некоторых / ,_/' выполняется
неравенство J*1
J Л
кото-
^ Fj(x)+Pj JxJQ Fj{x)
рое означает, что Xj проходит свой путь при максимальной сумме медленнее, чем свой путь при нулевой сумме, то задача неразрешима. Таким образом, ясно, что для разрешимости задачи между величинами X ° , X должны выполняться некоторые соотношения. Будем говорить, что для задачи выполнены условия согласования, если решение существует, и ни одному из объектов не потребовалась предельная сумма. Далее будем предполагать, что условия согласования выполнены.
Материалы и методы
Для краткости в этом и следующем пункте предполагаем, что n=2. В общем случае рассуждения аналогичны. Запишем задачу как задачу управления.
Задача управления. Введем переменную , полагается . Тогда задаче можем придать следующий вид tt -> min
= Fi(.xi) + ui
х2 = F2(x2) + и2
Xg — Н^ + 1^2
х^О) = х^х^) = х\ х2(0) = x%,x2(t1) = xl х3(0) = 0,хз(^) = 5 10 < щ < plt 0 < и2 < р2 Исследуем полученную задачу с помощью принципа максимума Понтрягина [1, 2].
Результаты
Составим функцию Понтрягина (х2) + и2) + г^з (щ + и2)
+ V з) и i + ( V 2+V з ) Щ. (2)
гласно принципу максимума, найдется нетривиальное решение сопряженной системы, такое что при всех t Я (V ( 0, X ( 0 , и ( 0 ) > Я (V ( 0, X ( 0 ,17) , (4)
где ,
(и i ,U2) , 11 = ( 11 1 ,172) , 1 1 e [ 0 , Pl] ,
(1)
щ =
и2
. Кроме того, в заключительный момент выполнено условие неотрицательности . Из условий (3) следует, что 1 3 равно константе А, величины 1 ь 1 2 сохраняют знак. Из (2) и (4) следует, что
Гр1( если гр1 > —А \ 0, если тр! < —А (р2, если хр2 > —А [ 0, если \р2 < —А Поскольку выполнены условия согласования, как , так и обеспечивают наискорейшее перемещение к , а х2 к х|, откуда следует неравенство А < 0, [3, 4].
О числе точек переключения. Точки разрыва управления и называют точками переключениями. Рассмотрим первую компоненту управления и. Отметим, что в силу монотонности функция ^ (х 1) может принимать нулевое значение лишь в изолированных точках и, следовательно, убывает пока
и возрастает при .
Пусть ( ) интервал максимальной длины, на котором , предположим, что , . Обозначим
, тогда , точ-Г с1х Г (1х
ки переключения и , .
Кроме того, поскольку система ( х1 = Р1(х1)
[ф1 = -ф^Х^ является гамильтоновой с функцией Я = 1 1F1 ( х 1 ) , функция Н — константа вдоль решения и, следовательно, . Таким образом, если пока меняется от до , то либо один из концов отрезка [х^х^ совпадает с одним из концов [ ], либо ( х °) = х 1) .
Аналогично, если щ2 = 0 пока х2 меняется от до , то на отрезке [х2 , х!] верно такое же утверждение. Обсуждение Вычисление функций Для вычисления функций щ воспользуемся тем, что в момент величины занимают положения , а также тем, что затраченная сумма равна
Напомним, что А обозначает дополнение множества А.
Если х = V (х) (V > 0) , то время перемещения х от до составляет величину /^ ■ Учитывая это, получа-
+ Рг
ем систему Г йх Г
= ] Жм+ _]_
с1х
о г
р 1
/
е?х
ЛМ + Р1
+ - + Рп
I
с(х
(5)
1x1x1]
где , из которой искомые ве-
личины определяются однозначно.
Установлена теорема.
Теорема. Если (х,и) оптимальный процесс, то каждая компонента управления и имеет не более двух точек переключения. Значения х, которые соответствуют моментам переключения, определяются из условий (5).
Выводы
Для заданного суммарного объема инвестиций их распределение определяется единственным образом так, чтобы каждый объект вышел на требуемый уровень фондовооруженности наискорейшим образом.
[хп,хп\
+ П
= Б
Библиографический список
1. Ашманов, С. А. Введение в математическую экономику. — М., 1984.
2. Николенко, П. В. Непрерывные математические модели : учеб. пособие. — Ростов-на-Дону, 2014.
3. Николенко, П. В., Савченко, Д. В. Дополнительное инвестирование и динамика фондовооруженности в модели «инвестиции-потребление» // Информационные системы, экономика и управление : уч. зап. — Ростов-на-Дону, 2019. — С.39-43.
4. Николенко, П. В. Оптимальная форма заемных средств в задаче о наис-
корейшем выходе на заданный уровень фондовооруженности // Вестник РГЭУ (РИНХ), 2020. — С. 157-163.
Bibliographic list
1. Ashmanov, S. A. Introduction to mathematical economics. — M., 1984.
2. Nikolenko, P. V. Continuous mathematical models : textbook. — Rostov-on-Don, 2014.
DOI 10.54220/v. rsue.1991-0533.2022.52.75.029
3. Nikolenko, P. V., Savchenko, D. V. Additional investment and dynamic of capital-to-labor ratio in «investment-consumption» model // Information systems, economics and management : collected articles. — Rostov-on-Don, 2019. — P. 39-43.
4. Nikolenko, P. V. Optimal form of borrowed funds in problem of fastest exit to a given level of capital-to-labor ratio // Vestnik of RSUE (RINH). — 2020. — № 1 (69). — P. 163.
С. С. Морковина, А. В. Иванова
МЕТОД ОЦЕНКИ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ПРИВЛЕКАТЕЛЬНОСТИ КЛИМАТИЧЕСКИХ ПРОЕКТОВ НА БАЗЕ РАСЧЕТА УГЛЕРОДОЕМКОСТИ
ИНВЕСТИЦИОННЫХ ЗАТРАТ
Аннотация
В статье рассмотрен метод оценки эффективности инвестирования в лесные климатические проекты, раскрыта сущность, содержание и представлен алгоритм определения коэффициента углеродоемкости инвестиционных затрат, который является индикатором эффективности мер по сокращению выбросов или увеличению поглощения парниковых газов, что подтверждено выполненными расчетами по лесохозяйственным мероприятиям, направленным на лесовосстановление и лесоразведение. Используя коэффициент углеро-доемкости инвестиционных затрат, установлено, что лесохозяйственные мероприятия по лесовосстановлению и лесоразведению обладают инвестиционной привлекательностью при реализации проектов, направленных на увеличение поглощения / снижение выбросов СО2 в региональных системах лесного хозяйства.
Ключевые слова
Инвестиции, углеродоемкость, климатические проекты, метод оценки.
S. S. Morkovina, A. V. Ivanova
METHOD FOR ASSESSING THE INVESTMENT ATTRACTIVENESS OF CLIMATE PROJECTS ON BASIS OF CALCULATION OF CARBON INTENSITY OF INVESTMENT COSTS
Аnnotation
Article considers a method for evaluating the effectiveness of investing in forest climate projects, essence, content and algorithm for determining the carbon intensity ratio of investment costs are disclosed, which is indicator of effectiveness of measures to reduce emissions or increase the absorption of greenhouse gases, which is confirmed by performed calculations for forestry activities aimed at reforestation and afforestation. Using the coefficient of carbon intensity of investment costs, it has been established that forest management activities for reforestation and afforestation have investment attractiveness in the implementation of projects aimed at increasing absorption / reducing CO2 emissions in regional forestry systems.
Keywords
Investment, carbon intensity, climate projects, assessment method.
