Об одном уравнении с ядром Т. Карлемана и его приложении к проблеме моментов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

УДК 517.544

ОБ ОДНОМ УРАВНЕНИИ С ЯДРОМ Т. КАРЛЕМАНА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИИ К ПРОБЛЕМЕ МОМЕНТОВ

Ф.Н. Гарифъяпов, Д. Б. Кац

Аннотация

В работе получено решение полиэлемептпого лилейного функционального уравнения для голоморфной в квадрате неизвестной функции путем его сведения к интегральному уравнению с ядром Карлемапа. Это уравнение связано с проблемой определения целой функции экспоненциального роста по заданному лилейному соотношению между моментами этой функции и коэффициентами разложения в степенной ряд ее преобразования Вореля.

Ключевые слова: задача Карлемапа, целые функции экспоненциального типа, проблема моментов.

1. Разностное (функциональное) уравнение

Рассмотрим единичный квадрат

Д := € <С : < 11ег < < 1т* < ^| .

( 1 \ « 4 Обозначим I = I —-, 0 ), ¿1 = — - +/, 1 = 1к1\, к = 1, 2, 3, Г = и Основная

V 2 ) 2 к=1

цель настоящей работы исследовать дсвятиэлсментнос разностное (функциональное) уравнение

8

V/(*):= /(*) + £ /(°э (*)) = д(*), * е (1)

3=1

Пусть выполнены следующие предположения.

1. Заданная функция д(*) голоморфы а в Д, а ее граничные значения удовлетворяют условию Гельдера: д+ е И^(дД), / е (0,1].

2. Функции - это преобразования (сдвиги) двякопериодической группы с периодами 1 и г. отличные от тождественного преобразования, такие, что ДПсг^(Д) ф 0;

3. Искомая функция /(г) голоморфна в := С\Г, исчезает на бесконечности и имеет граничные значения /±(Ь) на Г, удовлетворяющие условию Гельдера.

Ясно, что V — линейный разностный оператор с постоянными коэффициентами. коммутирующий с дифференцированием. Тем не менее к нему неприменимы обычные методы исследования. Это связано с тем, что множество голоморфности

Д

Другими словами, соотношение (1), вообще говоря, не выполняется в области, соД

V/(*) = 0. (2)

Уравнения такого вида рассматривались, например, в книге [1]. Очевидно, что уравнению (2) удовлетворяет и любая производная /, причем система {/(3)(г)}, 2 = 0,1,... линейно независима. Для гарантии конечности числа решений дополнительно потребуем, чтобы граничные значения /±(£) имели в концах Г, самое большее, логарифмические особенности. Такой класс решений обозначим через В. Впервые подобный подход и его приложения к проблеме моментов были предложены в работах [2, 3].

2. Интегральное уравнение

Будем искать решение уравнения (1) в виде интеграла типа Коши

Я*)™/^, (3)

¿пг J т — г

г

с неизвестной гельдеровской плотностью. Тогда из (1) получаем

I А{г,т)<р{т)<1т = д{г), г € Д г

А(г,т) — -(4)

т — 2 ^—' т — а3 (г)

3 = 1

Ядро (4) называется ядром Т. Карлемана для двоякопериодической группы. Впервые интегральные операторы с ядрами подобной структуры предложил использовать Т. Карлеман на международном математическом конгрессе в Цюрихе в 1932 г. для регуляризации частного случая задачи, носящей его имя (см. [4]). Однако исследование полученного уравнения Фредгольма Т. Карлеман не провел даже в предложенном им самим случае, когда Д — фундаментальный многоугольник фуксовой группы. В дальнейшем целый ряд исследователей с большим или меньшим успехом попытались ликвидировать этот пробел (см., например, [5, 7]). Ценность идеи Т. Карлемана состояла в том, что в его ядре, в отличие от квазиав-томорфного аналога ядра Коши, содержалось лишь конечное число слагаемых. Не вдаваясь в подробности большого числа исследований по этой тематике, отметим следующие три обстоятельства.

Д

фуксовой группы, полностью исследована другим методом сведением к задаче Римана на римановой поверхности [6, 8].

2. В настоящей статье вместо границы параллелограмма периодов рассматрива-

Г

а не кусочно-голоморфной функцией.

3. Впервые классическое ядро Т. Карлемана используется не для исследования краевых задач со сдвигом, а для получения результатов в теории целых функций экспоненциального типа.

Заметим, что в работе [3] использовались ядра, содержащие меньшее число слагаемых, чем ядро (4). В частности, они не содержали в качестве одного из слагаемых ядра Коши.

Теперь вернемся к исследованию уравнения (1). Возьмем точку £ € Г и пусть г ^ £ из Д. Тогда с учетом формулы Ю.В. Сохоцкого-Племеля имеем:

1 1 Г

+ А^тЫт)с1т = д+{1), I € Г. (5)

г

Пусть теперь £ —>■ a(t) G dR \ Г. Здесь a(t) = {t + ik, t G Ik} сдвиг Карле-мана, изменяющий ориентацию дД и удовлетворяющий условию a(a(t)) = t. Он индуцирован порождающими преобразованиями соответствующей двоякопериоди-ческой группы и обратными к ним. Поэтому мы получаем

1 1 i

+ —J A(a(t),rMr)dr =g+(a(t)), ie Г. (6)

г

Вычитая из равенства (5) равенство (6). получаем интегральное уравнение

Яф) := ф) + Щ*., т)ф) dr = g+(t) - g+(a(t)), t G Г, (7)

г

с ядром

K(t,T):= A(t,r) - A(a(t),r). (8)

Уравнение (7) является уравнением Фредгольма 2-го рода, так как ядро (8) ограничено (конкретные оценки см. ниже в доказательстве леммы 1). Рассмотрим вначале соответствующее однородное уравнение

%> = 0. (9)

Лемма 1. Фундаментальная система решении (ф.с.р.) уравнения (9) содержит не более одной функции.

Доказательство. Предположим противное. Тогда ф.с.р. содержит функцию у со свойством

j у(т) dr = 0. (10)

г

Считаем оператор Я определенным на банаховом пространстве С(Г) с нормой = max{|<£>(i)| : t G Г}. Без ограничения общности предполагаем, что этот максимум достигается па li. Положим u = т — t. Тогда

г) - 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ' u + i u +1 + i u — 1 + i u — 2i u +1 — 2i u — 1 — 2i

В силу условия (10) ядро (8) можно заменить разностью Ki(t, т) = K(t, т) — K(t, 0). Оценим сверху величины

bj(t) =

Ясно, что Ki(t,r )т-1

1

Ki(t, т)у>(т) dr

1

1

(u + i)(t - i) (u +1 + i)(t - 1 - i) (u - 1 + i)(t +1 - i) 1 1 1

(u - 2i)(t + 2i) (u - 1 - 2i)(t + 1 + 2i) (u +1 - 2i)(t - 1 + 2i)'

причем |r| < a/2/2. Оценим первое слагаемое этой суммы. Если t и т лежат на ¿1, то мнимые части членов разности u = т - t равны между собою, то есть u на

отрезке 1\ - вещественное число и минимум модуля и + г составляет 1. Минимум модуля £ — г та этом отрезке равен 3/2. Таким образом,

1

(и + i)(t — i)

2

<з-

Умножив на т, получим

(и + i)(t — i)

2 а/2 _ л/2 1

< 3 ~2 ~ ~ < 2'

Эта оценка сохраняет силу и в том случае, когда t лежит та отрезках ¡k, k = 2, 3, 4. Аналогично проводится оценка остальных пяти слагаемых. Из этих оценок получаем |Ki(t, т)| < 3. Отсюда bj(t) < 1.5||<||, j = 1, 2, 3,4. Поскольку 6 < 2п, то отсюда ||у|| = 0. Полученное противоречие завершает доказательство леммы. □

Лемма 2. Фундаментальная система решений уравнения (9) содержит единственную функцию у0? удовлетворяющую условиям

J <о(т) ¿т = 1, <o(iT) = —i<o(T). (11)

г

Фундаментальная система решений союзного уравнения

K'y = 0 (12)

состоит только из постоянной. Неоднородное уравнение (7) безусловно разреши-

Доказательство. Ядро (4) кососимметричио, то есть

Я'ф = ф{1) - /m-, Т) - Ait, а{т)))ф{т) dT = 0.

- J(A{t, т) - A{t, а(т))) d,r = j(A(t, т) dr = 1,

Тогда

1

2тг1

г г

откуда следует второе утверждение леммы, то есть ф.с.р. однородного уравнения (9) содержит единственную функцию у0. Заменим в соотношении (9) т и £ на —т и — £ соответственно. Тогда функция у0( — £) также удовлетворяет (3) Значит, функция уо(£) либо четна, либо нечетна. Но первое невозможно, поскольку из четности следует (10), и в силу леммы 1 получаем уо(£) = 0. Поскольку уо(г£) также удовлетворяет (3), нечетная функция у0(£) удовлетворяет второму из условий (11). Разрешимость неоднородного уравнения (7) следует из альтернатив Фредгольма, так как

У (g+(t) — g+(a(t))) dt = J g+(t) dt = 0,

г ЭД

что и завершает доказательство леммы. □

Получим дополнительную информацию о свойствах у0. Поскольку Ку0 = 0, то (Ау0)+(£) = (Ау0)+ (а(£)), и силу теории краевой задачи Карлемана со сдвигом а для прямоугольника [9] имеем Ау0 = с, а в силу нечетности у0 эта постоянная равна нулю.

Покажем теперь, что функция < не может обращаться в нуль во всех концах (узлах) Г. Другими словами, единственное нетривиальное решение однородного уравнения (2)

/о(*) - ^ / ^^ (13)

¿пг J т — г

г

Г

противное. В силу свойств ядра (8) решение (рп € С°°(Г). Возьмем уравнение й<0(г) = 0 и продифференцируем его. Затем воспользуемся тем свойством ядра (4), что дА/дг = — дА/дт и проинтегрируем по частям, тогда А<0(г) = 0, следовательно, Т<0(*) = 0. Функция у>0(£) четна, и по лемме 1 имеем <0(^) = 0- Итак, функция <0(^) может быть лишь кусочно-постоянной, а это противоречит нашему предположению.

Осуществим теперь обратный переход от неоднородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода (7) к исходному разностному уравнению (1). Заметим, что безусловная разрешимость уравнения (7) вовсе не означает безусловной разрешимости уравнения (1). Действительно, (7) эквивалентно уравнению &+(£) — — й+(а(£)) = #+(£) — #+(«(£)), то есть й+(£) = #+(£) + С. Осталось выяснить, когда С = 0. Для этого равенство

+ А{1,тМт)с1т = д+{1)+С

умножим на <0(^) и проинтегрируем по Г, воспользовавшись кососимметричностью ядра. В результате получим

С =у <0(*)<(*) ^ — У ^

гг

Теорема 1. Однородное функциональное уравнение V/ = 0 имеет в клаеее В единственное нетривиальное решение (13). Неоднородное уравнение (1) разрешимо тогда и только тогда, когда

У ^ = У <0(*)<(<) (14)

гг

< 0 ¿ < 0 гольма (7).

Замечание 1. При нечетном свободном члене уравнение (1) всегда разрешимо,

Г

от нечетной функции равен нулю).

Замечание 2. Разностное уравнение (V/)(г) = 1, г € Д, неразрешимо в классе В. По заданной функции #(г) всегда можно подобрать постоянную с такую, что уравнение (V/)(г) = #(,г) + с, г € Д, будет разрешимо в этом классе.

3. Неклассическая проблема моментов

Рассмотрим приложение полученных результатов к проблеме моментов для целых функций экспоненциального типа (ц.ф.э.т.). Функция /(г) € В является нижней функцией, ассоциированной по Борелю с ц.ф.э.т. Д(г) (верхней функцией),

см. [10]. Вводом прежде всего ц.ф.э.т.

F0(z) = J <р0(т) exp (rz) ch, F0{iz) = F0(z), (15)

сопряженную по Борелю с нижней функцией (13). Ее индикаторной диаграммой (совпадающей с сопряженной индикаторной диаграммой) будет квадрат R.

Замечание 3. Выясним, когда нижняя функция f G B имеет своей сопряженной индикаторной диаграммой некоторое «меньшее» выпуклое множество Ri С R.

R

нечно удаленной точки и д(ж) = 0, то есть она сама является нижней функцией. При сделанных предположениях разностное уравнение (1) выполняется и в окрестности бесконечно удаленной точки. Применяя преобразование Бореля, получим F(А)H(А) = G(A), где G(А) - верхняя функция, ассоциированная по Борелю 8

с д, а H(А) = 1 + exp (—Аaj(0)) - характеристический квазиполином. Частное j=0

G(A)/H(А) должно быть целой функцией, и ее нижняя функция f (z) принадлежит B

пой» классической постановке. Ясно, что для функции (13) вышеизложенное не выполняется, поскольку в противном случае G = 0 и fo = 0, что приводит к противоречию.

Итак, ц.ф.э.т. (15) имеет кусочно-тригонометрический индикатор

1г0(в) = i(cos0 + sin0), в G [0, ho (в + = hо(0),

и тип сто = л/2/2.

Теорема 2. Ц.ф.э.т. (15) имеет вполне регулярный рост (в.р.р.). Доказательство. Дважды проинтегрировав по частям интеграл (15), полу-

-2n«Fo(z) = z-1 exp (zt)уо(т)|r-z-2 exp (zt)y0(r)|r +z-2 J exp (zt)y0'(r) dr. (16)

г

n

Возьмем лучи axgz = — (2fc — 1), fc = 1,2, 3, 4, направления наибольшего роста, на которых значения индикатора равны типу. Поскольку

I |y0fc)(r)| |dr| < ^

г

для любого fc, то при y0(t1) = 0 (здесь ti - вершина квадрата) асимптотическое поведение ц.ф.э.т. (15) на направлениях наибольшего роста полностью определяется первым приращением в правой части (16), то есть она имеет в.р.р. на этих лучах. Пусть y0(t1) = 0. Еще раз возьмем интеграл в правой части (16) по частям. Совершенно аналогично получим, что функция (15) может не иметь в.р.р. на этих лучах только в случае ¥>0(ti) =0 - Продолжая эти рассуждения, получаем, что если в.р.р. не имеет места на этих лучах, то (ti) = 0, к =1, 2,.... Тогда в силу определения функции y>0(t) и структуры ядра (8) выполнены условия теоремы Принсгейма [11, с. 102], то есть в некоторой окрестности вершин квадрата tk, к =1, 2, 3, 4, получим

<0 = 0. Но тогда Д0 = 0 (см. замечание 3). Осталось заключить, что функция (15) имеет в.р.р. на направлениях наибольшего роста. Тогда она имеет в.р.р. внутри каждой из координатных четвертей, где у нее тригонометрический индикатор [12, с. 186], что завершает доказательство. □

Следствие 1. Множество корней ц.ф.э.т. (15) имеет нулевую плотность внутри каждой из координатных четвертей (см.. [12, с. 202]).

Пусть д(гг) = — гд(г). Тогда /(гг) = —г/(г). Перепишем уравнение (1) в виде / (г) = д(г) — / (г +1) — / (г + 1 — г) — / (г + 1 + г) + / (1 — г) +

Тогда

и отсюда

+ f (1 + i - z) + f (1 - i - z) + if (1 - iz) - f (1 + iz), z e R.

CO

f (z) = g(z) + 2 J F(x)e-x((1 + 2cosx) shxz - sinxz) dx,

fMn+3)(0)=s№.+,(0)+4/... (17)

0

Замечание 4. Тем же самым приемом, что в [13, с. 115], можно показать, что

У F(x)x4n+1 e-x cos xdx = 0, k = 0,1, 2,....

0

(см. по этому поводу также [3]).

Равенства (17) можно рассматривать как интерполяционную задачу, связывающую коэффициенты Маклорена нижней функции и моменты Стильтьеса верхней функции относительно веса (1 + cosx) exp (-x).

Пусть необходимо найти функцию f e B такую, что

f (z) = £ f„z4n+3

n=0

в окрестности нуля и

4

CXJ

- J F(x)e-x(1 + cosx)x4n+3 dx - fn = gn, n = 1, 2, 3,..., (18)

(4п + 3)

0

где дп - заданные числа, а Д(г) - преобразование Бореля функции /.

Теорема 3. Если дп = 0, то задача (18) имеет единственное нетривиальное решение. Если функция

g(z) = Е

g„z4n+6

(4n + 6)!

голоморфна в квадрате R и непрерывна в его замыкании (например, если радиус сходимости этого ряда больше \f2j2), то задача (18) безусловно разрешима.

В заключение отметим, что для функции f G В интеграл / |f-(t)|2 |dt| схо-

dR

дится. В силу обобщения известной теоремы Пэли Винера [12, с. 502 503] справедливо представление

4

f (z) = (tjz)gj(-iz exP ie3),

j=l

где gj (z) - целые функции, интегрируемые с квадратом на вещественной оси, a = j = 1,2,3,4.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты Х- 09-01-97008-р-Поволжьо-а и 12-01-00636-а).

Summary

F.N. Garifyanov, D.B. Kats. On an Equation with Carleman Kernel and Its Application to the Moment Problem.

We solve a poly-element, linear functional equation for an unknown function liolomorphic in a square by its reduction to an integral equation with Carleman kernel. This equation is connected with the problem of determining an entire function of exponential growth by a given linear relationship between the weighted moments of this function and the serial expansion coefficients of its Borel transform at the center of the square.

Key words: Carleman problem, entire functions of exponential type, moment problem.

Литература

1. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982. 240 с.

2. Гарифъяиоо Ф.Н. Проблема обращения особого интеграла и разностных уравнений для функций, аналитических вне квадрата // Изв. вузов Матем. 1993. Л*' 7. С. 7 16.

3. Гарифъяиоо Ф.Н. Моменты Стильтьеса целых функций экспоненциального типа // Матем. заметки. 2000. Т. 67, 5. С. 674 679.

4. Carleman Т. Sur la t.heorie des equations int.egrales et. ses applications // Verliardlungen des Int.ernationalen Mat.hemat.iker Kongresses, Ziiricli. 1932. Bd. 1. S. 138 151.

5. Показеео В.И. Краевая задача Карлемапа для фундаментального многоугольника // Учен. зап. Казап. уп-та. 1964. Т. 123, кп. 9. С. 40 57.

6. Чибрикоаа Л.И. Грапичпые значения теории аналитических функций па римаповых поверхностях // Матем. анализ. Итоги пауки и техп. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1980. Т. 18. С. 3 66.

7. Аксеитъеоа Е.П., Гарифъяиоо Ф.Н. К исследованию интегрального уравнения с ядром Карлемапа // Изв. вузов. Матем. 1983. Л' 4. С. 43 51.

8. Зоерооич Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гёльдеровских классах па римаповых поверхностях // Усп. матем. паук. 1971. Т. 26, Л'1. С. 113 179.

9. Чибрикоаа Л.И. О краевых задачах для прямоугольника // Учен. зап. Казап. уп-та. 1964. Т. 123, кп. 9. С. 15 39.

10. Бибе.рбах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967. 240 с.

11. Маиделъбротп С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: Изд-во ипостр. лит.. 1955. 267 с.

12. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956. 632 с.

13. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980. 463 с.

Поступила в редакцию 13.04.12

Гарифьянов Фархат Нургаязович доктор физико-математических паук, профессор кафедры высшей математики Казанского государственного энергетического университета.

E-mail: /. у arify an uv От ail. ru

Кац Давид Борисович магистрант кафедры математического анализа Казанского (Приволжского) федерального университета. E-mail: гапЛотОООвгатЫег.ги