Об одном точном решении системы уравнений лучистого теплопереноса в неподвижном веществе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.3

Об одном точном решении системы уравнений лучистого теплопереноса в неподвижном веществе

© А.С. Романов, А.В. Семиколенов МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Приведен пример точного решения системы уравнений лучистого теплопереноса в неподвижном веществе для «серого» приближения.

Ключевые слова: точное решение, лучистый перенос, энергия, излучение.

На кафедре «Физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана в течение нескольких лет читается курс «Нелинейные процессы переноса» в рамках специальности «Техническая физика», в котором рассматриваются основные положения теории лучистого теплопереноса. Одной из главных проблем, возникающих при изложении теории лучистого теплопереноса, является практически полное отсутствие каких-либо примеров точных аналитических решений соответствующей системы уравнений (в отличие, например, от переноса импульса в гидродинамике неньютоновских жидкостей и теории пограничного слоя и нелинейной теплопроводности) при сохранении в полном объеме их нелинейного характера.

Получение аналитических решений системы уравнений теории лучистого теплопереноса необходимо связать с упрощениями такой системы уравнений. Обязательным в этом случае является усреднение по частоте коэффициентов поглощения излучения веществом, т. е. использование «серого» приближения, когда коэффициенты поглощения считаются независимыми от частоты излучения. Такая возможность возникает при достаточно высокой температуре [1, 2]. Удобно также использовать «плоскую» симметрию, что позволяет перейти от векторных соотношений к скалярным, сохраняя общность физических утверждений.

Запишем систему уравнений лучистого теплопереноса в «нерелятивистском приближении» [2] и в плоской симметрии. (Отметим, что в первом случае пренебрегают производными по времени в уравнениях для излучения, которое оказывается функционально связанным только с температурой вещества.) При плоской симметрии имеется единственное направление в пространстве, такое что в любой плоскости, перпендикулярной этому направлению, температура излуч ающего вещества зависит только от времени, а векторы плотности S потока излучения и спектральной плотности Sv пото-

ка излучения в любой точке пространства параллельны этому направлению. Назовем это направление направлением переноса излучения. Пусть вдоль направления переноса излучения введена координатная ось х, тогда

Т = Т(х, г), 1Х = х, г), их = иу(х, г), = х, г),

где T (x, t) - температура вещества; Iv(^ x, t) - спектральная плотность интенсивности излучения; Uv(x,t) - объемная спектральная плотность лучистой энергии; Sv - проекция вектора Sv на ось x, равная длине этого вектора; ц = cos 9, 9 - угол между направлением

произвольного единичного вектора Q и осью x, 0 < 9<л:.

Спектральная плотность интенсивности излучения в этом случае имеет вид нелинейного интегрального оператора Iv (ц, x, t) = Iv (ц, T):

Iv(n, T ) =

1 x

- j <[T&t)]IvP [Tft, t)]exp

Ц -M 1 x

- j< [T&t)]I^ [Tft,t)]exp ц M

Pv[T ]

P

ц

[T ]|

ц

dц > 0;

dц < 0,

где ^'v[T (x, t) - модифицированный спектральный коэффициент

поглощения

[2]; \Pv(T) = pv(x, t)|

j < [T (б, t)] ds

интеграль-

c

ный (по пространству) показатель поглощения; I =— и ,

у 4л у

Йш3 1 _

и ур = 2 з - - спектральная равновесная объемная плотность

л с —

вкТ -1

излучения, ш - круговая частота излучения. Предполагается, что несобственные интегралы существуют. Тогда на основании определений спектральная плотность излучения и спектральный поток излучения также представляются как интегральные операторы:

Uv(x, t ) Uv(T) = Iv( T )d ц; U = j Uv(T) dv;

^ (х,X) = (Г) = Д, (|,Т)|ёц; S = |(Г)ёу .

-1 о

Если рассматривать перенос излучения в неподвижном веществе, то с учетом «плоской» симметрии уравнение для энергии вещества можно записать в виде

+ = 0, (1) дХ дх

где Е = Е (Т ( х, X)) - энергия единицы объема вещества. Используя уравнение непрерывности излучения [2], запишем

дЕ ~дх

-с { <(т )[Ц,(т )-uvp (T )

d v.

Дальнейшее изложение удобно проводить в безразмерных переменных. Введем следующие величины: T0 - характерная температу-

7 pcvl

ра; l - характерная длина пробега излучения; Х0 = —— - характер-

4а To

ajo4

ное время (а - постоянная Стефана - Больцмана); I0 = —0— харак-

л

терная интенсивность излучения; U0 = 4л1° - характерная объем-

c

ная плотность лучистой энергии; р = const > 0, Cv = const > 0 - некоторые характерные значения плотности и теплоемкости соответственно.

Обозначим безразмерные переменные так же, как и размерные. Тогда для безразмерных величин спектральной плотности Uv( x, Х) лучистой энергии и спектральной плотности потока излучения Sv (x, Х) после интегрирования по углу можно записать:

1

иv (x, Х) . Uv (T) = 2 J Ivp (T) < (TW (|Pv (T)|) (2)

—<X)

1

Sv (x, Х) s sSv (T) = ^ J Ivp (T) < (T) W2 (((T)) sgn (x — —. (3)

—<X)

да

Здесь Щ = | е-2Хт"- интегральная показательная функция. Отметим

1

да да

также, что в безразмерных переменных 11ур (Т)<^у = Т 4, | иурё у = Т4.

0 0 В «сером» приближении коэффициент поглощения считается независимым от частоты хЦТ) = х'(Т) и для него вводится приближенная зависимость от температуры (в безразмерном виде):

х'(Т) = Т"у, 1,5 <у< 3.

Особенностью среднего коэффициента поглощения х' (Т) является

его неограниченное возрастание при Т—-0: х '(Т) — да. Это означает,

что длина свободного пробега излучения становится очень малой в холодном веществе.

В «сером» приближении система уравнений, описывающая лучистый перенос энергии, имеет наиболее простой вид. После интегрирования по частоте уравнения переноса излучения и лучистого потока энергии принимают следующий вид:

5 = 2{/(ц,Т)цф; = х'(Т)(Т4 -/), (4)

и их следует рассматривать совместно с уравнением переноса энергии в неподвижном веществе (1).

Для выяснения характерных особенностей лучистого теплопе-реноса при неограниченном возрастании коэффициента поглощения при Т—^0 рассмотрим частное решение типа простой волны. В этом случае считается, что Т(д), /(д, д), где д = х - , V Ф 0 - произвольная постоянная, имеющая смысл скорости тепловой волны (рис. 1). (На рис. 1 заранее учтена возможность существования фронта, т. е. границы, отделяющей нагретое вещество от холодного.)

Уравнение энергии вещества в этом случае имеет вид

-VёёЕ = 2 I Т4(1 ГЧИ-Т4, (5)

ёг 2 ^

—I

где г = | ж'(Г(^) - оптическая толщина вещества. Граничные условия для уравнения (5)

Г = I = 0 при г = да (6)

означают, что в бесконечно удаленной точке г = да вещество находится в холодном состоянии и поток лучистой энергии отсутствует. Проинтегрировав уравнение (5) с учетом условия (6), имеем

1 1

уЕ = 2 | г48ВЙ (г — |) Ж2 (( — (7)

—I

Интегральное уравнение (7) - это уравнение Гаммерштейна [3], интегрируя его дважды, получаем

I г 1 I 1 I

у|ёЕёв =1 | Г4 ВВП (г — (( — ||)ё| + 3Г4ё

г 0 —I Г

С учетом известных неравенств между интегральными показательными функциями [4] можно записать равенство Ж4 (|г — ||) =

= ю|г — ||»2 (|2 — ||), где и (г)е

среднем последнее соотношение сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению вида

г = УТ^^-;- , Т=1 Её в, (8)

Г |

3,1 . После применения теоремы о

где функция ш1 (г) е

Замена интегральной показательной функции четвертого порядка на аналогичную функцию второго порядка и применение затем теоремы о среднем означают усреднение уравнений лучистого переноса по углу. Предельные значения функции Ш1 = 1/3 соответствуют диф-

3'1

' ô(z)'

T 4( z) E ( z )

фузионному приближению, а ш 1 = 1 - приближению лучистой теплопроводности. В этом смысле приближение Шварцшильда (Ш1 = 1/4) не имеет места при плоской симметрии.

Качественное исследование решений уравнения (8) может быть проведено известными методами [4, 5]. Такое исследование показывает, что особая точка г ^да, Т ^ 0 является седлом. Поэтому, если г ^да, то уравнение (8) вдоль сепаратрисы асимптотически эквивалентно соотношению

^ 1 ^ ( ) =--Шо =Ш1 (да).

Отсюда находим

Сг ш0

СЕ

ш0 — = -Е, г ^ да, Е ^ 0. (9)

сг

Из соотношения (9) получим асимптотическое представление для

Е (Т (л)):

, СЕ (Т)

л-л/ = -! ЖтЩТ), (10)

л/I

< да.

где л/ - произвольная постоянная,

Следует отметить, что уравнение (8) и граничные условия (6) допускают тривиальное решение Е = 0, которое является особым, так как при Е = Т = 0 нарушается условие единственности.

Из соотношения (10) следует, что если существует интеграл

/

СЕ (Т)

-<да, (11)

Е (Т) ж'(Т)

то граничное условие (6) выполняется при конечных значениях независимой переменной л. Не нарушая общности, можно считать, что условия (6) выполняются при л = Л/ . При л > Л/ решение должно быть продолжено особым решением Е = Т = 0. В точке фронта л = л/ выполняются физические необходимые условия непрерывности функций Т (л), и (л), I (л).

Для подтверждения полученных выше общих утверждений приведем пример одного точного аналитического решения системы уравнений излучения и энергии вещества.

Будем искать решения поставленной задачи в разделяющихся переменных, т. е.

I (| л) = ф(л)ф(|) •

Уравнение переноса излучения (4) в новых переменных имеет вид

ОФ

|ф— = ж Ол

'(т4 -Фф).

Переменные разделяются, если Ф = Т . Соответственно получаем

11 ОТ4 1 -ф

ж' Т Ол

|ф

= Р,

(12)

где Р = const - постоянная разделения переменных. Из соотношения (12) следует, что

ф =

1

1 + |р

Тогда из определения потока лучистой энергии (4) 1 „ 1

S =

2 J1 (|, л)| ^ Т 4 /1ТТр|d ^ = Т 4 р

1ln

2Р

Р + 1

Р-1

Объемная плотность лучистой энергии

U = 1 11 (л, |)d| =1т4 1 —— d| = Т4— 2 j к 2 J 1 + Ru 2Р

ln

Р +1

В-1

Уравнение переноса энергии (1) в случае простой волны имеет вид

дЕ а?

- v-

Ол ОЛ

следовательно,

v ое =_О_ Т 41 Ол Ол р

1 --1ln

2Р

р +1

Р-1

Переменные в последнем уравнении разделяются, если Е = Т (еще одно условие разделения переменных [6]), тогда скорость волны

V = -

1 —-lln

2Р

Р +1

Р — 1

(13)

Температуру определим из уравнения (см. (12))

1 dT4 sT4 dл

= Р.

После интегрирования с учетом существования фронта T = 0 при Л = Л/, Л / = const получим

4 T d s Л — Л/ = Р J 7Г\,

J Р 0 ss ' (s)

т. е. граница фронта Л = Л/ строго отделяет нагретое вещество

(T > 0) от холодного вещества (T = 0).

Условием существования фронта является существование интеграла

Т d s

г а 1 ss '

(s)

< ю, T > 0.

Если в качестве примера задать s ' (T) = T 1, то температуру теп-

ловой волны находим в виде T =

Р41(л—л/)

Проанализируем зависимость скорости тепловой волны от параметра разделения у(р) (см. (13)). Возможная область значений постоянной разделения лежит в интервале Р е (—1,0). При малых значе-

Р + 1

ниях Р^ 0 справедливо соотношение ln

Р —1

= 2Р + 0 (Р3), следова-

тельно, на одном конце интервала у = 2Р, на другом - у ^да при Р^—1.

Результаты расчета функции у(р) представлены на рис. 2.

На рис. 3 в полярных координатах (., 9) приведена диаграмма излучения

. = I (ц, л) = 1

г =

-, д = cos 9,

Г4 1 + р|

в некоторой точке на оси л для двух значений скорости волны у.

Рис. 2. Результата расчета функции V (р)

( Р2 ^

Рис. 3. Диаграмма излучения Р2 < 0, Р2 < 0, — < 1

Рх

Как видно, частное аналитическое решение полностью подтверждает общие выводы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Райзер Ю.П. Простой метод вычисления средних пробегов излучения в ионизованных газах при высоких температурах. ЖЭТФ. 1959 т. 37, № 4, с. 1079-1083.

[2] Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. Москва, Наука, 1966, 688 с.

[3] Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раков-щик Л.С., Стеценко В.Я. Справочная математическая библиотека: интегральные уравнения. Москва, Наука, 1968, 448 с.

[4] Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва, ИЛ, 1958, 474 с.

[5] Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. Москва, ИЛ, 1961, 387 с.

[6] Думкина Г.В., Козманов В.Ю. Точное решение нелинейной системы уравнений энергии и нестационарного переноса излучения. ЖВММФ, 1979, № 4, с. 1061-1063.

Статья поступила в редакцию 05.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Романов А.С., Семиколенов А.В. Об одном точном решении системы уравнений лучистого теплопереноса в неподвижном веществе. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 8. URL: http://engjournal.ru/catalog/fundamentals/physics/873.html

Романов Александр Сергеевич родился в 1947 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1971 г. Д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор ряда работ по механике жидкости, газа, нелинейным процессам переноса. е-шаЛ: rolmal@bk.ru.

Семиколенов Андрей Владимирович родился в 1966 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1989 г., МГУ им. М.В. Ломоносова - в 1991 г. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор ряда работ по механике жидкости, газа, нелинейным процессам переноса. е-шаП: aysemik@mail.ru.