Об усреднении системы уравнений лучистого теплопереноса по углу Текст научной статьи по специальности «Физика»

Радиооптика

Сетевое научное издание

Ссылка на статью:

// Радиооптика. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 02. С. 69-82.

Б01: 10.7463/^ор1.0215.0786356

Представлена в редакцию: 22.02.2015 Исправлена: 10.03.2015

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 536.23

Об усреднении системы уравнений лучистого теплопереноса по углу

Романов А. С.1, Семиколенов А. В.1, Смирнова Н. С.1*

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

ть.п5тцпоуа@уапс1е;ци

В статье описан метод усреднения системы уравнения лучистого теплопереноса по углу. В связи с тем, что спектральная интенсивность излучения является нелокальной функцией температуры излучающего вещества, очевидно, возможное упрощение системы уравнений вытекает из выбора симметрии для начального распределения температуры. Приведен способ усреднения при плоской симметрии процесса. Кроме того, показано, что упрощение происходит также при относительной изотропности излучения. В обоих случаях усреднения уравнений лучистого теплопереноса по углу проблема сводится к выбору единственного параметра, который фактически и определяет результат усреднения.

Ключевые слова: излучение, лучистый теплоперенос, усреднение

Введение

На кафедре физики МГТУ им. Н.Э. Баумана в рамках магистратуры продолжительное время читается курс «Нелинейные процессы переноса» по специальности «Техническая физика». В одном из разделов курса достаточно подробно рассматривается лучистый теплоперенос, как пример нелинейного процесса переноса. При этом обсуждаются различные аспекты теории лучистого теплопереноса (например, вырождение системы уравнений лучистого теплопереноса и связанные с этим эффекты [1], формулировка обобщенного принципа максимума для лучистого теплопереноса [2]).

Одной из принципиально важных тем этого раздела курса является возможность обоснованного упрощения системы уравнений лучистого теплопереноса.

Как правило, в известных монографиях (см., например [3]) просто приводится

несколько вариантов усреднения распределения интенсивности излучения по углу: диффузионное приближение, приближение Шварцшильда, приближение лучистой теплопроводности, без методически последовательного анализа проблемы. Ниже обсуждается метод усреднения уравнений лучистого теплопереноса, основанный на

существовании, вообще говоря, двух различных пространственных масштабов. Средней спектральной длины свободного пробега излучения ^ и некоторой характерной длины Ь

для поля температуры излучающего вещества. При этом для анализа проблемы используются известные свойства интегральной показательной функции.

1. Основные теоретические сведения

Описание переноса энергии излучением основывается на уравнении переноса излучения, которое в квазистационарном («нерелятивистском») приближении имеет вид

[3]:

(П,У) /,= а,.(/„ -/,). (1)

Здесь (г, О,) - интенсивность излучения частоты , в точке пространства, определяемой радиус-вектором Г, в момент времени I, распространяющегося в направлении единичного вектора О; [Т(Т,()] - модифицированный коэффициент

ослабления излучения, Т(Г,^) - температура вещества; /^ [Т(г,^)] - равновесная

с

спектральная интенсивность излучения, определяемая по формуле Планка: / =— и

4л:

и = ■4.---— - равновесная спектральная объемная плотность лучистой энергии, с -

С ¿й -1 скорость света в вакууме.

Вторым основным соотношением теории лучистого переноса энергии является определение спектрального потока лучистой энергии:

£,= { /уШО, (2)

(4*)

где интегрирование предполагается по полному телесному углу 4ж .

Если умножить уравнение переноса излучения (1) на единичный вектор О и затем проинтегрировать его по полному телесному углу и применить определение вектора спектральной плотности потока лучистой энергии (2), то получим соотношение, которое часто называют уравнением непрерывности излучения:

йЦД,) = С • Я,\и,р-и.), (3)

где обозначено

1 I /¿О (2')

п •>

•(4я)

- объемная спектральная плотность лучистой энергии, а интегрирование предполагается по полному телесному углу 4ж .

Определение (2) и соотношение (3) вместе с определением (2') полностью взаимозаменяемы и применяются вместе с уравнением переноса излучения (1).

и,=-

с,

dr = *v{lvp-Iv), (4)

2. Перенос излучения вдоль луча

Если в уравнении переноса излучения (1) в некоторой точке пространства зафиксировать единичный вектор направления Q, то из (1) получается уравнение вдоль соответствующего луча

d^ — а

d % —av

где % - переменная вдоль луча, совпадающего по направлению с вектором Q .

Уравнение (4) есть обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение записывается в квадратурах

5 ( % Л

Iv - J *V[T {^,t)\ Ivp [T (%"t)]^ exp -J *V[T (%"t)]d%" • d% . (5)

-<ю v %"

В (5) учтено, что здесь рассматривается лучистый теплоперенос в неограниченном физическом пространстве, причем предполагается существование всех несобственных интегралов, входящих в (5). Для этого достаточно, чтобы спектральный коэффициент ослабления излучения нигде не обращался в ноль: > 0, а температура излучающего

вещества была ограничена: T(r, t)< M, M — const во всем пространстве и в любое время.

Выражение (5) свидетельствует, что спектральная интенсивность излучения является нелокальной функцией температуры излучающего вещества. Диаграмма излучения может быть очень сложной, так как температура вещества, вообще говоря, задается разными функциями от переменной вдоль луча % для разных лучей. То есть, в общем случае усреднить уравнения лучистого переноса по углу не представляется возможным.

Поэтому ясно, что усреднение по углу уравнений лучистого теплопереноса становится возможным, если пространственное распределение температуры вещества обладает некоторой симметрией, что естественно влияет на физическую и математическую постановку задачи о лучистом теплопереносе. Возможность усреднения по углу, например, появляется, если поле температуры вещества, и как следствие излучения, обладает «плоской» симметрией. В этом случае удается перейти от векторных соотношений (1), (2) (либо (1), (3) ( 2")) к соответствующим скалярным соотношениям, что существенно упрощает проблему усреднения по углу.

3. Случай «плоской» симметрии

Рассмотрим задачу с «плоской» симметрией. В этом случае имеется единственное направление в пространстве такое, что в любой плоскости, перпендикулярной этому направлению температура излучающего вещества зависит только от времени, а все

векторы V/v и Sv коллинеарные этому направлению. Назовем это направление -

направлением переноса излучения. Пусть вдоль направления переноса излучения введена координатная ось «х», тогда можно записать

T = T(x,t), Iv=Iv(\i,x,t), Uv=Uv(x,t), Sv=Sv(x,t),

где Sv - проекция вектора Sv на ось х, равная длине этого вектора, д = cos 9, где 9 - угол

между направлением произвольного единичного вектора Q и осью х, 9 < 9 < к .

Рассмотрим еще одну ось, параллельную произвольному единичному вектору Q. Тогда в «плоском» случае, если ^ - координата вдоль этой оси, то справедливо равенство d 1 d _

— =--. Поэтому интегральное представление для спектральной плотности излучения

¿/Е, д dx

Iv = Iv(Cl,x,t^ (5) позволяет в «плоском» случае записать его в виде нелинейного интегрального оператора Iv (y.,x,t) = Iv (д,Т):

Цд,Т ) =

exp

i x

- j «,[T (it )]•/,p [T (tt)]

r^ —ад x

- j *V[T (^t )]• I Vp [T ($,t )]• exp

PAT ]|

д

Pv[T ]|

dд > 0

Д

(6)

dд < 0,

где

Pv(T= Pv(x£,t)|= j®v[T(e,t)]de

(7)

- интегральный (по пространству) показатель поглощения. Естественно, здесь предполагается, что несобственные интегралы существуют. Тогда, на основании определений, спектральная плотность излучения и спектральный поток излучения также представляются как интегральные операторы:

Uv (x,t) = Uv (T) = — j Iv (д,Т ) d д, S (x,t) = IV (T) = 2nj Iv (д,Т )д • dд . (8)

c —i —i

i

i

3.1. Уравнение в безразмерных переменных

Дальнейшее изложение теории удобно проводить в безразмерных переменных. В качестве характерных величин примем: Т0 - характерная температура излучающего

вещества, ^ - средняя длина свободного пробега излучения частоты V, /0 =

gt;

п

характерная интенсивность излучения, U0 =

4nI„

характерная объемная плотность

лучистой энергии, = сио - характерное значение плотности потока лучистой энергии, а - постоянная Стефана-Больцмана. Отметим также, что в этих безразмерных

x

c

переменных = Uvp, | (т) dу = т4, а для времени t в данном случае может быть

0

выбран произвольный масштаб, так как время присутствует в рассматриваемых соотношениях только как параметр.

Для обозначения безразмерных переменных используем те же обозначения, что и для размерных переменных. Тогда для безразмерных величин спектральной плотности лучистой энергии Ц (-М) и спектральной плотности потока излучения ^ (х,Х) после интегрирования по углу в соотношениях (8) можно записать:

Ц () - ¿V (т) =1 I ^ (т) ^ (т) Е (| К (т )) . (9)

2 —ш

1 ш

() - 1(т) =11 ¡V, (т) • ^ (т) • Е2 (|Д (т)|) • sgn(- — £). (I0)

—ш

ш

Здесь Е = |е т, 1 = 1,2,... - интегральная показательная функция [4]

1

соответствующего порядка.

Полученные соотношения (9) и (10) свидетельствуют, что на самом деле, при «плоской» симметрии удается перейти к скалярным соотношениям для расчета поля излучения. Причем спектральная плотность лучистой энергии (9) и спектральная плотность потока лучистой энергии (10) в этом случае вычисляются как функционалы от температуры вещества.

3.2. Усреднение по углу

Очевидно, что переход от векторных соотношений к скалярным соотношениям в «плоском» случае не эквивалентен усреднению уравнений лучистого теплопереноса по углу. Усреднение по углу и соответствующее упрощение системы уравнений лучистого теплопереноса оказывается возможным, если учесть известные свойства интегральных показательных функций.

Продемонстрируем формальные преобразования на примере соотношения (10). После двукратного интегрирования соотношения (10) и применения формулы интегрирования по частям, соотношение (10) сводится к виду

ш ш 1 ш

|^ (т)|^ (т)К (т=1 | ^ (т)1 V, (т)sgn(- — £) £4 (|Ру (т)|)^

ш

1| ^(т У.р(Г)а £.

Равенство (11) переписывается:

ш ш 1 ш

| ^ (т)| ^ (т) Д, (т = ¿V (т) Д, +1| ^ (т )Ivp(T)d£, (12)

V ^ /"V ^ ^ 2 ^ "V ^ ' ^' - — (

х £ —ш (11)

ш

3'

где

2 Í MT Kp (T ) sgn ( x-5) E4 (I i°,(T )|) d l

®v(T ) = - . (23)

2 Í MT Kp (T ) sgn ( x— l) E2 (I i°,(T )|) d l

—ад

Функционал (x,t)] является непрерывной функцией координат и времени.

Величина юу(Г) по известным соотношениям между интегральными показательными

1

функциями [4] оценивается: cov(T )<

з2

. Если теперь зафиксировать значение

cov (T) = cv* = const, 1 < cv* < 1, то после дифференцирования получим

cv* д 1 dS± = s ^ (14)

dx dx v 3 dx

С другой стороны, уравнение непрерывности излучения (3) при плоской симметрии в безразмерных переменных приобретает вид:

dS

- = ^v-

К — Uv). (25)

dx

Из сравнения (14) и (15) получаем искомое приближенное соотношение, выражающее суть усреднения уравнений лучистого теплопереноса по углу:

с • 1 dUv Г . 1 ^ 1 U

sv=-Qv--^ + --Tvp • (16)

dx ^ 3 J dx

Из выражения (16) следует, что при всех значениях постоянной ю* ^ 1 спектральная плотность потока лучистой энергии S„ равна сумме

Sv = d(Uv- Uvp > - 1-1 (16.)

v v /—i ^ /—i V /

dx 3 dx

Каждое из этих слагаемых может быть физически интерпретировано по отношению к локально равновесному излучению, которое очевидно является полностью изотропным.

Первое слагаемое в правой части выражения (16') связано с локально неравновесным излучением, приходящим в данный элементарный объем физического пространства извне, так как объемная плотность лучистой энергии U определяется как функционал (9) от температуры вещества. Это излучение не является изотропным, и именно ее анизотропная часть uv = Uv - U , как показано, может быть усреднена по углу

за счет выбора постоянной c*v.

Второе слагаемое связано с локально равновесным излучением U . Всегда можно

d U d U dT

записать —— = ——--. Следовательно, эта составляющая спектральной плотности

dx dT dx

потока лучистои энергии существует за счет переменности температуры вещества по пространству, несмотря на то, что само локально равновесное излучение изотропно.

Если в (16) положить с * = 1, то соотношение (16) совпадает с известным

диффузионным приближением

*=- ^ fs (16")

3 ж дх

основанием для применения которого является близость углового распределения интенсивности /v (r, t, Q) к изотропному распределению [3]. При всех других возможных

значениях коэффициента co*v спектральная плотность потока лучистой энергии определяется обоими слагаемыми в (16'). Исследование зависимости коэффициента а* от степени анизотропии углового распределения интенсивности излучения может быть основано на соотношении (13). В этой связи отметим, что приближение Шварцшильда (или «вперед-назад») в рассматриваемой парадигме не реализуется.

Для физической оценки возможных значений коэффициента a*v рассмотрим один

частный случай распределения температуры вещества вдоль направления переноса излучения. Пусть зависимость температуры вещества от координаты задана в виде «ступеньки»:

Т = const > 0, x < 0 Т = .| 1 . (17)

[Т2 = const > 0, x > 0

Физически ясно, что при x = 0 реализуется наибольшая анизотропия излучения. Непосредственно из формул (6) следует, что диаграмма излучения при x = 0 представляет

из

себя две полусферы: Iv = I (Z¡) = const для углов

ж ж

2'2

то есть для

положительных проекций единичного вектора Q на ось х, и Iv = I (T2) для углов

в е

ж 3ж

2'Т

, то есть для отрицательных проекций единичного вектора О на ось х .

Физически также ясно, что при |х| ^ ш излучение становится равновесным и

полностью изотропным.

В силу простоты заданного распределения температуры вещества в виде «ступеньки» (17) величина ¿1 может быть вычислена по формуле (13) для произвольного значения переменной х:

„ К ( ж, |х|)

К( ^ ) , 1 = 1,2, (18)

Е3 ()

где = ж (т), индекс «1» соответствует значениям х < 0, а индекс «2» соответствует значениям х > 0.

В плоскости х = 0 величина < оказывается равной: <* = 1 (смотри [4]). Известно

d

также, что — dz

E ( z )

> 0, поэтому в рассматриваемом примере величина < (18)

Е„-1 ( - ).

монотонно возрастает по |х| и становится равной ш * = 1 в бесконечно удаленных точках |х| = да, так как для интегральной показательной функции любого порядка справедливо

асимптотическое разложение: Еп( г) ~ г~1 е х р (—г), - ^да .

Судя по рассмотренному примеру, даже если излучение близко к изотропному, диффузионное приближение (16") реализуется только в том смысле, что спектральная плотность лучистой энергии оказывается близкой ее равновесному значению: и « и.

На самом деле, если положить иу = и в соотношении (16'), то получим приближение лучистой теплопроводности

1-% (16''')

3 ^ дх

при любых значениях коэффициента со** .

Отметим также, что выбор конкретного значения коэффициента ш* безусловно

зависит от конкретной задачи лучистого теплопереноса, но в случае наличия в пространстве сильных неоднородностей температуры (например при расчете лучистого

тепл°перен°са Аюи фро„та ударной волны), на наш взгляд, удобн° выбрать »;=»•= 2.

Так как в областях пространства, где температура близка к однородной, роль анизотропной части излучения, как показано, снижается, а в рамках рассмотренной задачи это значение коэффициента не зависит также и от частоты излучения.

Для анизотропной части спектральной плотности излучения пу = иу- , из соотношений (15) и (16') следует уравнение

(19)

а 2 * "ч = о * Л 2 , (19)

дг ш*, 3ш* дг

где обозначено г = |[Г(х, I)]dx, причем — (х ) — - (х2 )| - интегральный по пространству показатель ослабления излучения между точками среды х и х .

Если уравнение (19) рассматривать над всей осью |-| <да, и задать нулевые граничные условия: = 0, при |-| =да, то соответствующее частное решение записывается:

д2П

f exp I * J

6V<

Тт I z-íl

V®v .

vp

dí. (20)

uv =

Соотношения типа (16 ), (20) могут быть положены в основу усреднения уравнений лучистого теплопереноса по частоте, но этот вопрос требует дальнейшего анализа и лежит за пределами темы настоящей работы.

В общем случае произвольного поля температур излучающего вещества можно предложить способ оценки, позволяющий обоснованно использовать полученные выше результаты для плоской симметрии.

Выше в качестве характерной была использована средняя спектральная длина свободного пробега излучения ^ . В этом случае безразмерный коэффициент ослабления

излучения имеет порядок жу = О (1). Наряду с ^ очевидно существует и другой

пространственный масштаб, связанный с характерной длиной изменений температуры излучающего вещества Ь. Предположим вначале, что отношение этих пространственных

масштабов £ = « 1 . То есть средняя спектральная длина свободного пробега

излучения ^ много меньше характерной длины Ь. Если теперь для пространственных

переменных выбрать в качестве характерной величины величину Ь, то в уравнении (1) в безразмерных переменных появляется малый параметр:

б(цу) /,= ж-(Ар - Л,). (1')

Уравнение (1') является сингулярно возмущенным уравнением по малому

параметру . В нашем случае неограниченного пространства этот факт не

накладывает никаких ограничений на построение формального разложения решения уравнения (1') по малому параметру.

Если в уравнении (1') считать е = 0, то получаем очевидный результат: / „ = / . То

есть в этом предельном случае спектральная плотность интенсивности излучения является полностью изотропной и равной равновесной.

Положим теперь и будем искать спектральную плотность интенсивности

в виде: / у = / + е/'. Тогда с точностью до величин порядка О(е2) из уравнения (1') получим соотношение

О^р=-ж V /;,

которое затем умножим на единичный вектор О и проинтегрируем по полному телесному углу. В результате получим

* =- ^ ^ (21)

3 ж их

Здесь использован тот факт, что | /^О^О = 0 .

Соотношение (21) носит название приближение лучистой теплопроводности и в рассматриваемом приближении (то есть с точностью до величин О (е)) совпадает с диффузионным приближением (16').

Ясно, что в конечном итоге, применение усреднения по углу зависит от характера зависимости температуры вещества Т(г,^) от пространственной переменной Г. Зависимость температуры от пространственной переменной вблизи некоторой точки г = Г, на длинах порядка длины пробега излучения, может быть задана в виде ряда по степеням разности Лг = г — г0:

2 Л2Т7

Т(г,Г) = Т(Го) + еУТ\г__- -Лг ^ ЛхгЛх, + О(е3) (22)

I

(обозначения в разложении (22) очевидны и общеприняты и малый параметр е = —, так

же как и выше). Все переменные в разложении (22) безразмерные.

Из сравнения разложения (22) с полученными выше приближениями следует, что диффузионное приближение и приближение лучистой теплопроводности соответствуют линейному по малому параметру е приближению для температуры в (22).

Обозначим координату хх = х в соотношении (22) и положим ее совпадающей по

направлению с вектором V Т. Тогда две другие декартовые координаты х2 = у и х3 = -лежат в плоскости касательной к поверхности уровня для температуры, проходящей через точку г = г. Эти две декартовые координаты сориентируем так, чтобы они лежали в плоскостях главных сечений поверхности уровня. В этих условиях разложение (22) преобразуется к виду

от е (о2Т ^ / \

Т ( г, Г ) = Т ( го ) + е — • х + • х2 +Лу + ^2 -1 + О (е3)

,

где числа \ и Х2 - значения соответствующей кривизны поверхности уровня в точке г = г [5]. Следовательно, дальнейшее увеличение точности исследуемых приближений возможно, если гауссова кривизна поверхности уровня в точке г = г0 мала. То есть сумма Г = | Я !+ А2 | << 1. Тогда оказывается справедливым усреднение по углу (16), с точностью до величин О (е3), и которое в общем случае должно быть переписано в векторном виде:

ш*— I ]_!. (23)

3 ) ж„

Соотношение (23) в таком векторном виде справедливо даже при расчете лучистого теплопереноса на фронте ударной волны, если только гауссова кривизна фронтовой поверхности мала.

Заключение

Таким образом, показано, что возможны два разных подхода к усреднению уравнений лучистого переноса энергии по углу. Одна из них возникает при плоской симметрии процесса, другая - при относительной изотропности излучения. В обоих

случаях проблема сводится к выбору единственного параметра (13), который фактически и определяет результат усреднения.

Список литературы

1. Романов А.С. О конечной скорости лучистого теплопереноса // Прикладная механика и техническая физика. 1987. № 1. С. 84-90.

2. Романов А.С. О сравнении решений задачи Коши для некоторого класса интегродифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1988. Т. 28, № 3. С. 466-469.

3. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Физматлит, 2008. 653 с.

4. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами: пер. с англ. / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. Т. 1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. М.: Дрофа, 2013. 336 с.

Radiooptics

Radiooptics of the Bauman MSTU, 2015, no. 02, pp. 69-82.

DOI: 10.7463/rdopt.0215.0786356

Received: 22.02.2015

Revised: 10.03.2015

http://radiooptics.ru © Bauman Moscow State Technical Unversity

On Averaging System of Equations of Radiant Heat Transfer

A.S. Romanov1, A.V. SemikolenOV1, Wnanimov a ffy ¡mdex.ru

N.S. Smirnova1*

:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: radiation, radiant heat transfer, averaging

Description of energy transfer by radiation is based on the equation of radiation transfer, which for quasi-stationary ("nonrelativistic") approximation is as follows:

(av)/v=sv-(/,-/v) (i)

where /,, {r,t, Q,) - intensity of frequency radiation v at the space point that is determined by the radius-vector r at the moment of time t propagating towards the unit vector Q ; asv [/'(/"',/)] -modified attenuation coefficient of radiation; T(r,t) - temperature of the material; Ivp [/'(/%/)]

c

- spectral radiation intensity at equilibrium as defined from Planck: / =— U , 4v2 hv

Up = —3---Tv--spectral density of radiant energy at equilibrium, c- speed of light in vacu-

C ehv -1

um.

As the second basic relationship in the theory of radiant energy transfer, can be definition of the spectral radiant energy flux:

Sv = J /vQt/Q

(4*) (2) where completely solid angle 4n integration is expected

Equations (1) and (2) enable us to obtain the relationship, which is often called as the equation of radiation continuity:

div(Sv) = c^\Uvp-Uv). (3)

Analysis of the "flat" symmetry task solutions shows that, in fact, with the "flat" symmetry it is possible to address the scalar relationships to compute the radiation field. Thus, in this case the spectral density of radiant energy and the spectral density of radiant energy flux are calculat-

ed as the functions of the material temperature. In this case, we obtain an approximate ratio that expresses the essence of the averaging equations of the angle heat radiation transfer:

c * 1 dUv J * 11 1 U

SV = -Q--- + | Q----- . (4)

dx ^ 3) dx

If to include q* = 1 in equation (4), then (4) coincides with the known diffusion approxi-

mation

S„ =-1-1 ^, (4')

3 ^ dx

V

basis for the application of which is the proximity of the angular distribution of the intensity /v(r,i,Q) to the isotropic distribution. Thus, averaging the equations of angle radiation heat

transfer may be possible as the result of the proximity of a radiant heat transfer process to the flat symmetry. Moreover, there are no restrictions of the differential properties of the temperature field of the radiating material, except restriction values of temperature. For example, the relationship (4) can be applied to calculate radiant heat transfer near the front of a shock wave in the gas, at which leap of temperature is realized, it just requires refining an appropriate value

In the general case of arbitrary temperature field of radiating material one can offer a method of evaluation, which allows reasonable using the above results for of the plane symmetry. In the case where as characteristic was used the average spectral length of the free path of radiation lv, the dimensionless coefficient of the radiation attenuation is of the order = O(l),

and in the case £ = -j- « 1 the average spectral length of free path of radiation lv is much less

than characteristic length L. If now we are choosing the value L as the characteristic value for space variables, then in equation (1) in dimensionless variables appears small parameter:

6(av)/v=aBv-(/v-/v). (1')

Equation (1') is the equation singularly perturbed in the small parameter £ « 1. If one seeks spectral density of the intensity as IV = Ivp +sI'v, 0 < £ « 1 , then as a result we obtain the

relation

S'=- i-% (5)

3 dx

which is called the approximation of radiant heat transfer and in this approximation (i.e. up to the terms O (s)) coincides with the expression of diffusion approximation (4'). It is clear that in the end, the use of averaging by the angle depends on the nature of dependence of temperature of material on the spatial variables, which can be transformed into

T (r,t) = T (r0) + sdT • x + y f^^ • x2 + ^ + ^ z ] + O (s3)

dx2

where the numbers and X2 - values of the corresponding curvature at the surface of level at point r = rn. Further increasing accuracy of the investigated approximations is possible if the Gaussian curvature of the level surface at the point r = rn is small, i.e. is the sum r = | A 1 + A2 I « 1- Then we have valid averaging by the angle (4) to an accuracy of the value

Equation (6) is true in such vector form even when calculating the radiant heat transfer at the shock front provided that the Gaussian curvature at the front surface is small.

1. Romanov A.S. About finite rate of radiative transport. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika - Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1987, no. 1, pp.84-90. (in Russian)

2. Romanov A.S. Comparison of solutions of the Cauchy problem for a class of integrodifferential equations. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki -Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1988, vol. 28, no. 3, pp. 466-469. (in Russian)

3. Zel'dovich Ya.B, Rayzer Yu.P. Fizika udarnykh voln i vysokotemperaturnykh gidrodinamicheskikh yavleniy [Physics of shock waves and high-temperature hydrodynamic phenomena]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2008. 653 p. (in Russian)

4. Spravochnikpo spetsial'nym funktsiyam s formulami, grafikami i matematicheskimi tablitsami [Special functions reference book with formulas, diagrams and mathematical tables]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 832 p. (in Russian)

5. Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T. Sovremennaya geometriya. Metody i prilozheniya. T. 1. Geometriya poverkhnostey, grupp preobrazovaniy i poley [Modern geometry. Methods and applications. Vol 1. Geometry of surfaces, transformation groups and fields]. Moscow, Drofa Publ., 2013. 336 p. (in Russian).

O (s3), and which in the general case should be rewritten in vector form

(6)

References