Об одном свойстве отображений полуплоскости на области с симметрией переноса Текст научной статьи по специальности «Математика»

№ 290

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Март

2006

МАТЕМАТИКА

УДК 517.54

И.А. Александров, Л. С. Копанева

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ отображении полуплоскости на области

С СИММЕТРИЕЙ ПЕРЕНОСА

Указывается точное значение ординаты выпуклости вдоль мнимой оси на классе Хг%.

Пусть Х2п - множество всех голоморфных однолистных в верхней полуплоскости П+ = {z e C:Im z > 0} отображений f: П+ ^ C таких, что область D = f (П+) есть односвязная область типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси, f (z + 2kn) = f (z) + 2kn, k e Z , и lim (f (z)- z) = 0, z = x + iy еП+.

Образом полуплоскости П + = {z e C :Im z > q}, q > 0, при отображении f e Х2п в w-плоскость является область Dq( f ) с аналитической ориентированной границей Г (f) = {w e C:w = f (x + iq)}, x e R. Из работы [1] следует, что кривая rq(f), f eХ2п, 0 < q < да, лежит в полосе

{ є C :2ln I 2sh { < Im w < 2ln Í 2ch —

где Z(t, z) есть решение дифференциального уравнения

d Z(t, z ) X(x)-Z(x, z )

d T

■ = ctg

Z(0, z) = z є П+

(1)

при условии, что отображение X: [0,да)^-К, X = Х(т), непрерывно [2].

Теорема 1 [1]. На классе Х2п справедлива оценка

|arg f '(z0 )< lncth

(2)

2; V 2 у

и, очевидно, совпадает сама с собой при сдвиге вдоль вещественной оси w -плоскости на 2п.

Назовем область Dq( f) выпуклой вдоль мнимой оси, если ее пересечение с любой вертикальной прямой связно. Для такой области угол, составленный касательной к rq (f) в точке w0 eTq (f) и горизон-

п

тальной прямой {w e C :Imw = Imw0}, меньше ^. Поэтому |arg f ’ (z0) < П, z0 = f -1 (w0).

Наша задача состоит в нахождении всех q, при которых области Dq( f), f e Х2п, будут выпуклыми вдоль мнимой оси. Легко видеть, что существует такое q0, что при q0<q<® для любой функции f e Х2п область Dq( f ) выпукла вдоль мнимой оси, но при q < q0 существует f e Х2п, отображающая полуплоскость П + на область, не являющуюся выпуклой вдоль

мнимой оси. Число q0 назовем ординатой выпуклости вдоль мнимой оси для Х2п.

Для нахождения q0 воспользуемся методом параметрических представлений.

В классе Х2п существует плотный относительно равномерной сходимости внутри П+ подкласс Х2п функций, даваемых формулой f (z) = lim (Z (x, z) - ix),

где z0 = x0 + iy0 e П+ и фиксировано.

Доказательство. При фиксированном т e (0,да)

решение Z(t, z) уравнения (1) голоморфно относительно z в П+ Почленно дифференцируя по z равенст-

d Z(t, z ) ^(т)-С(т, z )

во --------1 = ctg------------1 и затем полагая z = z0,

d т 2

получим

d ln zz (т, zo )= 2sin-2 ^z"1.

d т 2 2

Отсюда интегрированием по т от 0 до да с учетом условия Zz (0,z) = 1 и равенства f'(z) = lim Zz (т, z)

т^да

находим

1 ГЧ ) 1да • -2 ^(т)-С(т, z0)

ln f(z0 ) = 2 Jsin 2—- d т.

2 0 2

Пусть

р = р(т) = р(т,z0) = e-Im?(т,г0),

5 5 (т) = 5 (т, z0 ) = е-г(Х(т)-Ке?(т, z0 » .

В равенстве

d С(т z0) = i1 + p(т, z0 )5 (т, z0 )

d т 1 -р(т, z0 )s (т, z0) отделим мнимую часть. Получим

d Im Z = 1 -p2

d t

I1 -P5I

или, что то же самое

d p(t)

= -P(t):

1-P2 (t)

' ' 7|1 -Р(Т)^(х)|2 Отсюда следует строгое убывание отображения р(т) на (0, ®), очевидно, от р(0) = е~до нуля, посколь-

ку lim р (т) = lim р (т, z0) = 0 . Осуществляя переход от т и Z к переменным р и s в интеграле

™-2 Чт)-С(Т z0 ),

где V = V (Q = '

і -,uö її-ic^^vuöZ)

i

Sin

-d T,

<(£) = :

Zo-z

Z = e*, Zo = eizo, |Zol = ^J0

получим для ln f' (z0) формулу

s (p, z0 )d P

- f '<-o )=-2ir-p^-i;

где ю = e 10120 = e У0 . Из нее следует, что

Im s (p, z0 )d p

pd p

Со-|С о|2 с:

принадлежащей классу X2п .

Теорема 2. Ордината выпуклости вдоль мнимой оси для класса Х2п равна

q0 = lncth- = 0,422...

чо 4

(3)

arg f '(zo ) = -2j-

n 1

- 2p Re 5 (p, z0 ) + p

Доказательство. Из точности оценки (2) и строгой монотонности относительно _у0, 0 < у0 < да, правой

% _ п

Обратимся к оценке интеграла на множестве всех части оценки (2) следует, что lncthf = 2. Отсюда

комплекснозначных функций s(p), 0 < р < е~У0,

имеющих модуль, равный единице. Поскольку абсолютные величины max f'(z0) и min f '(z0) одинако-

имеем (3). Теорема доказана.

В заключение заметим, что теорему 1 и приведенный выше пример можно получить, используя сле-

вы, то ограничимся отысканием max f '(z0), для чего дУющУю вариацгонную теорему.

Теорема 3. Для функции f е Х2п существует та-

найдем максимум отображения g (u ) =—^ U ■,

1 - 2pu + р2

где u = cos а(р) = Re s, 0 < u < 1. Функция g(u) в точке .. = 2р

кое семейство функций f (z, е), е > 0, f (z, 0) = f (z), что

f (z, s) = f (z) + e£

k=1

Akf (zk )lctg'

J(z)-f (zk)

+і 1 +

1+p‘

g (uo ) =

■£[0,1] имеет максимум, и он равен

1

1 - p

2 •

Непосредственными вычислениями

+Ak l f '(z)ctg^-2^^+ij+Ak If'(z)ctgz2^+i

+o (є, z).

приходим к оценке (2) на X'2n, а значит, и на Х2п. Теорема доказана.

где 2к,к _ 1,...,т, т е N , - точки в П+ Ак - произвольные комплексные постоянные; о(е, ¿) - малая более высокого порядка, чем е, на любом замкнутом ог-

Оценка (2) - точная. В этом можно убедиться на раниченном множестве из П+.

примере функции

f (z ) = z0 + ln1-|Zi -1 ln4+1 ln (1 - ^ )+)ln [v + 2+1

Указанная в теореме 3 вариационная формула на классе Х2п аналогична вариационной формуле Шиф-фера - Голузина в классе £ (см., например, [3. С. 87]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Копанева Л. С. Экстремальные задачи в классе отображений с симметрией переноса // Вестник ТГУ. 2000. № 269. С. 43 - 45.

2. Александров И.А., Копанева Л.С. Левнеровские семейства отображений полуплоскости на области с симметрией переноса // Вестник ТГУ. 2004. № 284. С. 5 - 7.

3. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: ТГУ, 2001. 230 с.

Статья представлена кафедрой и лабораторией математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакционную коллегию «Математика» 10 декабря 2004 г.

2