Об одном существенном условии в распознавании конечных множеств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.517

© В. А. Белоусов, Н. И. Калядин ОБ ОДНОМ СУЩЕСТВЕННОМ УСЛОВИИ В РАСПОЗНАВАНИИ КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ1

Ключевые слова: распознавание, классифицирующая функция, этал-лоные множества.

Abstract. Condition which increase the efficiancy of finite sets recognition is made.

В работе указано существенное условие, наложенное на исходные данные (конечные множества), при выполнении которого удаётся эффективнее распознавать исходные множества по сравнению с комбинаторным (переборным) алгоритмом сравнения множеств.

Пусть имеется основное множество M ^ {Xl, X2, ..., Xm} из т конечных множеств 3£i,i = 1 ,т,т ^ 2;

S ^ {N1, N2,..., Nt}

— разбиение на t ^ 2 классов множества M; f : Im ^ It — классифицирующая функция, распределяющая номера элементов основного множества M по номерам классов из S,

Im ^ {1, 2,..., m}, It ^ {1, 2,..., t}.

Обозначим через Pi(X) характеристическую функцию

P (X) = I 1, если X € N;

\ 0, в противном случае;

хРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 03-01-00255, 04-01-96016).

индексные множества Э, :

^ {*:/(*)= з}, 3 = М;

Ек — эталонные множества, полученные по алгоритму эталонирования [1], к = 1,£.

Л е м м а 1. Пусть (V* € ^)(У£ € М)[Х = 0]. Тогда

В самом деле (V* € € М)[Р^(Х) ^ ^¿(Х)] в силу лем-

мы 1. Отсюда Дг(Х) = 1, то есть £г П X = 0. Покажем, что ( V Дк(X)&qik) = 0. Тогда, если (V* = ,?)[Я,(X) = 0] , то

к&ь\{¿}

( V Нк(Х)&Д1к) = 0 независимо от ^¿к , к € 7* \ {*} . кеЗДМ

Пусть

1, если Ег П X ф 0, г = 1,

0, в противном случае;

кеЭ,'

0, в противном случае.

Т е о р е м а 1. Пусть (VX € М)[Х = 0]. Если ^ € 1*)[9г^' — 1 ^ — 0], то

[Р*(Х) = ^¿(Х)&-^ V Д (Х)&д*,-)].

]&ь\{г}

Доказательство.

( ^ ). Пусть X € N1, то есть Р\ (X) = 1.

3&ь\{г}

Предположим противное, то есть (Зг = ^)[Д, (X) = 1] , а значит

xn и Xk = 0 . Но X С у Xk . Следовательно, £г П Xk = 0 , keDj k&Dj k&Dj

то есть = 1 .

По условию теоремы имеем = 0. Значит (Д,(X)&qгj) = 0. Пусть ^1, ^2, ••,^'к,•••,> все такие индексы, что Д, (X) = 1,

(А; = 1, г) . Отсюда (Щк(Х)&д^к) = 0 по тем же соображениям.

С другой стороны, для ] € 1* \ {^1,^2, • •>, *} (Д, (X)&qгj) = 0 в силу того, что Д, (X) = 0.

Отсюда следует, что ( V Д, (X)&9ц )=0 .

,еЗ(\{г}

Поэтому заключаем, что

Дг^^— Д, (X)&qгj) = 1.

,еЗ(\{г}

( ^ ). Положим, что Рг^) = 0 . Покажем, что тогда Дгф&К \/ Д, (^^г,) = 0.

,еЗ(\{г}

Возможны два случая: 1)Дг^) = 0 ; 2)Дг^) = 1.

В первом случае Дг^)^—( V Д,(X)&q¿j) = 0 независимо

,еЗ(\{г}

от . Рассмотрим второй случай.

Положим, что Дг^) = 1, то есть П X = 0 . Поскольку Рг^) = 0, а Б ^ {N1, N2,..., N4} — разбиение на £ (£ ^ 2) классов исходного множества М, то существует такое ] = г, что Р, (X) = 1. Тогда в силу леммы 1 Д, (X) = 1. Но X С и ^Xk .

Отсюда Ег п и Xk = 0 , то есть = 1. Отсюда кеЭ,’

Д, (X)&q¿j = 1,

то есть ( \/ Дк^^^к) = 1. Следовательно,

кеЗ(\{г}

Дг^^—( Д, (X)&q¿j) = 0.

,еЗ«\{г}

Объединяя прямое и обратное доказательство убеждаемся в справедливости теоремы 1.

Анализ применимости условия (V* = ] € 7т) [д, = 1 ^ д, = 0] в ранней работе авторов [2] при определении классов разбиения конечных семейств конечных множеств показал: оно может являться самостоятельным и существенным условием в распознавании конечних множеств [3], что и отражено в теореме 1.

Список литературы

1. Белоусов В.А., Калядин Н.И. Алгоритм построения эталонных множеств при сильном слипании множеств в обучении// Тез. второй междунар. конф. «Математические алгоритмы». Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1995. С. 8.

2. Белоусов В.А., Калядин Н.И. О некоторых классах разбиений конечных семейств конечных множеств// Автоматические устройства учета и контроля: Межвуз. сб. ИМИ. Ижевск, 1976. Вып. 11. С. 84-94.

3. Белоусов В.А., Калядин Н.И. О задаче классификации множеств натуральных чисел// Тез. докл. III конф. РОАИ. Н.Новгород, 1997. Ч.1. С. 94-97.