CC BY
51
УДК 536.2:51.380.115
А.Ю. Бушуев, В.Н. Тимофеев
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ МНОГОСЛОЙНОГО ТЕПЛОЗАЩИТНОГО ПОКРЫТИЯ
Построена итерационная схема по определению толщин слоёв многослойного теплозащитного покрытия минимальной массы при температурных ограничениях на границах слоёв. Алгоритм основан на сведении задачи оптимизации к последовательности решения основной задачи проектирования и использует функции чувствительности.
Многослойное теплозащитное покрытие, основная задача проектирования, оптимизация, градиентный спуск, функции чувствительности
ONE OF THE WAYS FOR SOLVING THE PROBLEM OF OPTIMIZATION MULTILAYER HEAT PROTECTION COATING
The iterative scheme is developing for estimating the thickness of multilayer heat protectioncoating of minimum mass with subject to the restrictions on the temperature at the layer boundaries. Algorithm is based on substitution optimization problem for sequence of solving basic designing problem with sensitivity functions.
Multilayer heat protection coating, basic designing problem, optimization, gradient descent, sensitivity functions
Многие энергетические установки, паровые и газовые турбины, парогенераторы, теплообменники, конструкции ракет и двигателей летательных аппаратов используют дорогостоящие теплоизоляционные и теплозащитные материалы. Возможности повышения экономичности, надёжности и ресурса работы таких установок в значительной мере зависят от совершенства применяемой теплозащиты, её оптимизации.
Задача синтеза многослойных конструкций с применением функций чувствительности решена ранее [1], в упрощённой постановке, когда определялись толщины слоёв из условия обеспечения равенства температур в контролируемых точках пакета предельно допустимым. В данной работе рассматривается задача синтеза в экстремальной постановке. Требуется подобрать толщины слоёв многослойного теплозащитного покрытия так, чтобы минимизировать массу пакета при выполнении ограничений на температуры в контролируемых точках пакета между слоями. При этом температурное поле в конструкционном пакете (КП) находиться из решения краевой задачи вида:
A.J. Bushuev, V.N. Timofyev
y < y < y , 0 < T < $, k = 1, n,
(1)
T(y,0) = Уо < y < yn
граничные условия на поверхностям м и V КП в общем случае имеют вид:
0 (тч дТ(УоТ) _
~Лг(1 4--------^^>
ду
0 (Тч дТ(Упт) _ _
Лп(т 4-----------^^ ,
дУ
тепловые потоки на граничных поверхностях м и V рассчитываются по формулам:
(2)
( 1е,* - К )~£«,°Т*’
(3)
(4)
qv _ 15-(323-Т ) + £, (3334 -Т,4), где коэффициент теплообмена (а / ср) № и энтальпия восстановления газового потока на поверхно сти м 1е№ — заданные функции времен £ № и £, - степени черноты граничных поверхностей КП. Энтальпию газового потока при температуре стенки /№ моделируем зависимостью
I _ 954Т + 0,0862Т 2.
В качестве минимизируемого функционала используем :
/о = £ р к, .
і = і
(5)
(6)
где рI — плотность материала |-ого варьируемого слоя; к] — толщина варьируемого слоя у.
Для решения задачи синтеза в экстремальной постановке рассмотрим сначала так называемую основную задачу проектирования (ОЗП), аналогичную основной задаче управления [2], состоящую в том, чтобы обеспечить условие работоспособности конструкции: температуры на границах слоёв должны быть не больше предельно допустимых при ограничении её массы не больше заданной величины М :
/о = £ РА < м.
і=і
(7)
_ Т < Т, I _ 1, п,
где Т — предельно допустимые значения температуры г-го контролируемого стыка; п — число варьируемых слоёв (число контролируемых стыков).
Решение ОЗП сводится к решению задачи безусловной минимизации вида:
Р (к) = £[шах( 8І (к),0)
(8)
где
£ Рк - м
8 о = —-------------д-. 8
м
С применением градиентного спуска
Т - Ті . — -ч,------, і = і, П.
Ті
—(к+1) —(к)
к = к - Бк8гий¥
где градиент функционала определяется в виде:
8тадР ■■
др др_
дк/ ’дК
(9)
(10)
*
л
п
Л
2
Л
Л
Т
дР о где -------= 2 тах
д дК
£ РК - м
1=1
-,0
м
р + 2£
тах
Т - Т,
Т,
,0
дт, . — дТ,
—-, 1 = 1, п, и значения ---------- совпа-
дhj дК1
дают со значениями функций чувствительности у/к ■ =дТ / дК^, вычисленными в точках с координатами у{, в которых контролируется температура. Способ вычисления ФЧ предложен ранее в работе [1].
Для решения задачи синтеза ТЗП в экстремальной постановке построим итерационный процесс, на каждом шаге которого решается ОЗП при уменьшенном значении М .
Пусть на к-м его шаге известно какое-то решение ОЗП, так что выполняется равенство
Р (Кк] ) = £[тах(8, (К),0)
,=0
Задаём новое значение ограничения:
л (к+1)
М = ^ р к (к)
£ рК
(11)
(12)
=1
и ищем (к+1)-е решение ОЗП при следующем начальном приближении для искомого вектора:
—(к+1) —(к)
К = К -а-8тоЛМ, (13)
где а - параметр, регулирующий длину шага вдоль направления 8тайМ .
Итерационный процесс заканчивается на той итерации, когда будет выполняться условие
М(к+1) - М(к)/ Мк+1) <£, (14)
где £ - заданная точность решения задачи, либо когда нарушится условие (11).
В качестве методического примера с помощью разработанного алгоритма решена задача проектирования двухслойного теплозащитного покрытия конструкции. Предельно долл
пустимые значения температур на границах слоёв Т1 = 1073° К, Т2 = 343° К . Начальная температура КП Т0 = 300° К.
Исходные данные по параметрам теплообмена во времени, определяющие граничный тепловой поток qw приведены в табл. 1.
Постоянные теплофизические свойства материалов, приведены в табл. 2. Там же указано начальное приближение для толщин варьируемых слоёв и толщина неварьируемого слоя элемента конструкции.
Таблица 1
Зависимость параметров теплообмена от времени
Л
Л
л
л
2
т, с I 10-5, Дж в,-М ’ кг ( Л а кгс , Т ср м V р т, с I - 10", Дж в,ТМ ’ кг ( Л а кгс , т ср м V р
20 3,3494 3,1 -10-1 1220 269,250 3,6 -10-2
40 6,113 4,1-10-1 1300 254,730 4,6 -10-2
60 16,579 1,2 -10-1 1360 248,820 5,0 -10-3
80 34,200 2,3 -10-2 1400 243,250 1,3 -10-2
110 61,295 9,7 -10-4 1460 217,670 5,8 -10-2
160 263,140 1,6 -10-3 1560 108,400 1,1 -10-1
1120 263,14 1,6 -10-3 1660 9,045 8,0 -10-1
Таблица 2
Характеристики конструкционного пакета
Номер слоя X, Вт/м с, Дж/кгхК .3 р, кгхм3 Н, мм
1 — 1088,6 1400 20
2 - - 215 60
3 0,339 799,6 1800 3
В табл. 3 приведены теплофизические свойства материалов, зависящих от температуры.
Таблица 3
Зависимость теплофизических характеристик материалов от температур
Т, К 273 673 1073 1473 1873 2273
X, Вт/м 0,25539 0,26796 0,43960 0,83740 1,2770 1,74170
Х2, Вт/м 0,06280 0,07669 0,12058 0,20766 - -
с2, Дж/кгхК 703,38 954,59 1038,33 1080,19 1214,17 1256,04
Применением данного способа решения задачи получены оптимальные толщины сло-ёв ТЗП 28,4 мм, 25,3 мм.
Работоспособность и эффективность алгоритма подтверждены сравнением решения данной задачи с решением, выполненным методом штрафных функций с использованием метода ¥ - преобразования [3].
Выводы
1. Предложена итерационная схема решения задачи оптимизации многослойного теплозащитного покрытия конструкции, подверженной воздействию высокотемпературной среды по критерию минимума массы с учетом ограничений на температуры на границах слоев.
2. Преимущество разработанного алгоритма состоит в том, что он не требует выбора параметров штрафа при решении последовательности задач безусловной минимизации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бушуев А.Ю., Горский В.В. // ИФЖ. 2000 Т.73. № 1. С.155-159.
2. Сиразетдинов Т.К. Методы решения многокритериальных задач синтеза технических систем. М.: Машиностроение, 1988. 160 с.
3. Чичинадзе В.К. Решение невыпуклых задач оптимизации. М.: Наука, 1983. 256 с.
Бушуев Александр Юрьевич —
кандидат технических наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана
Тимофеев Валерий Николаевич —
кандидат технических наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана
Статья поступила в редакцию 15.02.12, принята к опубликованию 12.03.12
