Об одном способе обращения линейных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927.2

ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ОБРАЩЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ю.С. Асфандиярова1

Рассматривается обратная задача для обыкновенного дифференциального уравнения с линейными граничными условиями. Исследована разрешимость такой задачи, указан способ обращения.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, краевые задачи, нелокальные граничные условия, функция Грина.

Постановка задачи

В приложениях (например, в теории динамических измерений [1]) возникают проблемы, приводящие к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений с неклассическими краевыми условиями - многоточечные краевые задачи, задачи с распределенными данными и т.п.

Все подобные задачи могут быть сформулированы как задачи решения линейного дифференциального уравнения с линейными граничными условиями, задаваемыми системой функционалов:

L[x] = x(n)(t) + pn_i(t)x(n_1)(t) +... + pi(t)x'(t) + Po(t)x(t) = f (t), Uj(x) = a, j = 1,2,...,n. (1)

Здесь pt(t), f (t) - непрерывные на [a,b] функции, CCj - числа, Uj(x) - линейные, линейнонезависимые функционалы.

З адачу нахождения правой части f (t) по экспериментально измеренной функции x(t) = x(t) будем называть обратной задачей.

На первый взгляд, логичным представляется решение поставленной задачи подстановкой измеренной функции x(t) в левую часть уравнения (1). Однако хорошо известно (например, [2]), что наличие погрешностей измерения (даже малых) приводит к значительным ошибкам восстановления f (t) 2.

В настоящей работе предлагается способ решения обратной задачи обращением дифференциального оператора задачи (1) с помощью функции Грина.

Основные теоремы

Линейная краевая задача (1) может быть редуцирована к задаче с однородными граничными условиями

(Ц *] = f(t X (2)

\Uj (x) = 0, j = 1,2 n.

Если f (t) = 0 , то задача (2) называется однородной.

Теорема 1. Линейная краевая задача (1) с линейно независимыми краевыми условиями Uj(x) = №j (j = 1,2,...,n) может быть сведена к краевой задаче (2) с однородными граничными

условиями Uj(x) = 0 .

Лемма 1. (Об общем виде линейного функционала в Cn[a,b]). Пусть U(x) - линейный в Cn[a, b] функционал, тогда для любого набора точек {ti}!n=1 существует вектор с = (с)|.=12 n е Rn и функция ограниченной вариации <r(t) такие, что

1 Асфандиярова Юлия Сагитовна - аспирант, кафедра математического анализа, механико-математический факультет, ЮжноУральский государственный университет. e-mail: asfandiyarova@list.ru

2 Легко понять, почему так происходит. Если полагать модель измерений аддитивной относительно ошибки x(t) = x(t) + S(t) , то в случае, если ошибка измерений содержит высокочастотную составляющую, уже при нахождении первой производной она будет зна-

^игельной.тем1боле£дляпроизводных,порядоккото£ыхвыш£те£во2^^^^^^^^^^^^^^^^^^_^^^^^^^^^^^^^^^^^_ 12 Вестник ЮУрГУ, № 32, 2011

U (x) = £ CiX(ti) +1 х{п)(^о(^. (3)

i=1 a

Доказательство, например, в [3].

Лемма 2. Для любых линейных линейно независимых функционалов Uj(x) (у = 1,2,...,п) и

любого набора чисел aj (j = 1,2,...,п) существует многочлен Щ), удовлетворяющий условиям ^ (х) = ау (у = 1,2,..., п).

В дальнейшем нам потребуется следующая лемма из теории двойственности [4].

Лемма 3. Пусть (Г,О) □ двойственность и у1 (. = 1,2,...,п) □ линейно независимое подмножество О. Тогда существует п линейно независимых элементов х. е Г, таких, что

(х,у,) = 5у(1, j = 1,2,...,п).

Доказательство леммы 2. Пусть Р □ пространство многочленов x(t), t е[а, Ь] . Рассмотрим отображение А : Р ^ Яп, ставящее в соответствие многочлену х вектор и1(х), и2(х),..., ип(х). А □ линейный непрерывный оператор в силу линейности функционалов и у . Ядро оператора А представляется в виде пересечения ядер функционалов и у :

п

Кег А = П Кег и у.

j=1

Рассмотрим двойственность , О , где Г □ пространство п раз непрерывно дифференцируемых функций, а О □ множество линейных функционалов над ним:

Г = Сп[а, Ь], О = Сп[а, Ь]*, (Г, О) - двойственность.

Функционалы и у (j = 1,2,...,п) образуют линейно независимое подмножество пространства

О . Следовательно, выполнены условия леммы 3, т.е. существуют п линейно независимых элементов х1 е Г таких, что и у(х1) = 5у (., j = 1,2,...,п).

п

Любой элемент х е Сп[а, Ь] представляется в виде суммы х = £иу (х) хj + у, где у е Кег А ,

j=1

п

так как, применяя поочередно функционалы и. к равенству у = х— £иу(х)хj , получаем

у =1

и(у) = ^(х)-^(х)Ц.(х1) = и.(х)-^(х) = 0 ,

j=1

п

т.е. у е Кег и. (. = 1,2,..., п), откуда у е П Кег и у = Кег А . Таким образом, получаем,

j =1

со&т(Кег А) = п .

Следовательно, образ оператора 1т А , изоморфный рКег А, имеет размерность п . Так как

1т А с Яп , то 1т А = Яп .

Таким образом, существует многочлен х^) такой, что и у(х) = ау (j = 1,2,...,п) .•

Доказательство теоремы 1. Пусть функция х^) является решением задачи (1), т. е. Д х] = / ^) и иу (х) = ау, j = 1,2,..., п. В силу леммы 3 существует многочлен ДО, удовлетворяющий граничным условиям этой системы, т. е. такой, что и у (х) = а у, у = 1,2,..., п.

Рассмотрим функцию у(0 = х^) - х^) . В силу линейности интеграла функция у удовлетворяет нулевым граничным условиям и является решением линейного дифференциального уравнения 1[ у] = ) , где

Математика

f(t) = L[x- x] = L[x] -L[x] = f (t) -L[x].

Таким образом, рассматриваемая функция y(t) является решением задачи (2) с правой частью f(t) = f (t) - L[x]. •

Известно [5], что если однородная задача имеет только тривиальное решение, то задачи (1) и (2) однозначно разрешимы для любых правых частей f (t) и граничных данных aj, при этом

справедливо следующее утверждение:

Теорема 2. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, то существует единственная функция Грина этой задачи и для любой функции f (t), непрерывной на [a,b], существует единственное решение задачи (2), и это решение задается формулой

b

x(t) = j G(tT) f (r)dr, (6)

a

где G(t,T) - функция Грина задачи (2).

Доказательство, например, в [5].

Соотношение (6) и является искомым обращением оператора (2), позволяющим по измеренному экспериментально решению найти правую часть уравнения (2).

Равенство (6) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма I-го рода относительно функции f (t), устойчивые методы численного решения которого хорошо разработаны [2].

Для нахождения функции Грина основной задачи (2) воспользуемся аналогом теоремы [6], устанавливающей связь между функцией Грина основной задачи (2) и функцией Грина вспомогательной задачи:

|x n) = f (t), (7)

\ Uj (x) = 0, j = 1,2.n.

Теорема 3. Пусть задача (2) однозначно разрешима для любой функции f (t), тогда функция Грина этой задачи является единственным решением уравнения

b

G(t, s) - G (t, s) = j G(t T)V (t, s)dT, (8)

a

где G(t,T) - функция Грина вспомогательной задачи (7) и

... , n-1 / \ д G(t,s)

V(т,s) = -Х Pk (t— •

k=0

Лемма 4. Функция r(t, s) = G(t, s) - G(t, s) на прямоугольнике K = {(t, s): a < t, s < b} непрерывна по t и по s и имеет непрерывные производные по t до n -го порядка включительно.

Доказательство. Функции G(t, s) и G(t, s) непрерывны и имеют непрерывные частные

производные по t до (n - 2)-го порядка включительно. Производные (n - 1)-го порядка непре-

рывны для t е [a, s) u (s,b], а при t = s они имеют разрыв:

dn-1G(t, s)

d n-1G(t, s)

= 1.

дгп~1

г=5

Следовательно, (п-1)-я производная функции Г(г, 5) непрерывна и при г = 5 . Далее заметим, что для У г е [а, 5) и (5, Ь]:

п-1 дкСт(г V)

![Г] = Ь[в] - Цв] = Ь[в] - Цв] - X Рк (г) Д, ).

к=о дгк

Так как Ц[в] = ЦО ] = 0, получаем

ГГГ пГ1 к°(г, 5)

Ц[Г] =-X Рк(г) •

к=0 дг

Следовательно,

д пГ(ґ, л) П-1 , чдк Г(Г, л) П-1 кО (ґ, л)

ап =—XРк(ґ)^к— XРк(ґ) ак •

дґп к=0 дґк к=0 дґк

д пГ(г, 5)

Последнее равенство верно для всех г, следовательно, ----------------- непрерывна для любого

дгп

г е [а, Ь]. Таким образом, лемма доказана. •

Доказательство теоремы 3. Из леммы 4 следует, что при фиксированном 5 функция Г(г, 5) является решением следующей задачи:

п-1 д кО (г, 5)

ЦЩ л)] = - X Рк (ґ)

к=о дгк ’

иу (Г(г, 5)) = 0, у = 1,2,..., п.

Следовательно, по определению функции Грина, функция Г(г, 5) может быть представлена следующим образом:

Ь

Г(г, 5) = | в(г,т)у(т, 5)ёт.

а

Таким образом, функция Грина основной задачи (2) действительно является решением уравнения (8).

Пусть Q(г, 5) - другое решение уравнения (8), тогда функция Грина задачи (2) может быть представлена в виде О(г, 5) = Q(г, 5) + г (г, 5), где г (г, 5) удовлетворяет уравнению (из (7)):

Ь

| г (г, т)у(т, д)^т = г (г, 5).

а

Пусть /(г) - произвольная функция, непрерывная на [а,Ь], тогда

Ь Ь Ь Ь Ь Ь

| О(г, 5) / (я)Л =| Q(г, 5) / (я)Л +1 г (г, 5) / (я)Л =| Q(г, 5) / (л)^ +1 г (г, я)| у(я, г)/ (т)^т^.

а а а а а а

Последний интеграл может быть представлен в форме

Ь Ь Ь п—1 Ь ~\к ґ^ґ \

IГ(ґ,л)|у(л,ґ)/(т)ётёл = — |г(ґ,л)X Рк(ґ)| —д ^ I(0<іт*.

к=0 а д5к

а а а а

Пусть Х(г) - решение вспомогательной задачи (6) с некоторой правой частью / (г), тогда

~(к)/ \ Г дкО(5,Т)

Х( ’ (5) = ] д^к /Шт.

Решение основной задачи (2) может быть записано в виде

Ь Ь п—1

х(г) = | Q(г, 5) / (я)<* -1 г (г, 5) X Рк (г )Х(к) (я№.

а а к=0

аметим, что

п-1

ЦЗд] = /(5) + X Рк (г)Х(к)(5). к=0

Учитывая представление г (г, 5) через в(г, 5) и Q(г, 5) и предыдущее выражение х(г), получаем:

Ь

| г (г, 5) Ц Х(л)№ = 0 для У/(г) е С[а, Ь].

а

Из произвольности функции /(г) и единственности решения задачи (2) следует, что г (г, 5) = 0 . Таким образом, О(г, 5) = Q(г, 5), т.е. О(г, 5) является единственным решением уравнения (8). Теорема доказана. •

Математика

Функция Грина

В случае, когда фундаментальная система решений исходного дифференциального уравнения известна, функция Грина задачи (2) может быть найдена методом, описанным в [5]. Определенную сложность представляет построение функции Грина в ситуации, когда фундаментальная система решений неизвестна.

В этом случае мы используем уравнение (8), где функция О (*,т) - функция Грина вспомогательной задачи (7). Фундаментальная система решений дифференциального уравнения вспомогательной задачи известна, поэтому функция Грина вспомогательной задачи О (*,т) может быть легко найдена.

В результате получаем функцию Грина на отрезке [а,Ь], заданную различными формулами в каждой из (2п) областей, приведенных на рисунке.

Области задания функции Г рина

Функция Грина вспомогательной задачи дается соотношением:

П

Xа*(т)х(*^ при ч ^*<т^ч

О (*,т) = <!

;=1

п

(9)

XЬ*(т)Х(*), при *к ^т< * ^ *к+l,

где агк(Т) =

А* (т) , Щ (т)

+ -

А(т) W (т)

и Ь* (т) = А;к (т) , функции А(т), А* (т), W (т), Wi определяются А(т)

следующим образом:

А(т) =

^( Х1) ^1(^2) ... ^1(Хп)

и 2(х1) и 2(х2) ... и 2( хп )

Аik (т) =

ип(х1) ип (х2) ... ип (хп)

п

и1(х1) ... и1(х^_1) XСэи1а (Х) и1(^

и 2(х1) ... и 2(^_1;) X С5и 2а (Х ) и 2( Х/+1)

и1( хп ) и2(Хп)

ип (х1) ... ипX С*и«а (Х) ип... ип (хп)

5=1

W (т) - определитель Вронского фундаментальной системы решений дифференциального уравнения задачи (7):

х1 х2 . . Хп

W (т) = х1 х2 . . Хп

х(п_1) Х1 х(п_1) . х2 . х(п_1) . хп

Wi (т) - алгебраическое дополнение в матрице W(т) к элементу n -й строки i -го столбца:

X1 ■ Jx 1+ ■ Xn

W (т) = (-1)n X1 ■ ■ -<-1 X+1 ■ ■ Xn

n ! ) Jx - n ~ - ) 1 -4 (n +i1 X(n-2) ■ Xn

Литература

1 Грановский, BA^ Динамические измерения: Основы метрологического обеспечения I BA^ Грановский - %■: Энергоатомиздат, 1984^ - 224 с

2^ Иванов, B^K Теория линейных некорректных задач и ее приложения I B^K Иванов, B^ Bасин, B^n Танана^ - M^: Наука, 1978^ - 206 с

3^ Тихомиров, B^M^ Некоторые вопросы теории приближений I B^M^ Тихомиров^ - M^: Изд-во Mосковского университета, 1976^ - 304 с

4^ Шеффер, Х^ Топологические векторные пространства I Х^ Шеффер^ - M^: Mир, 1971 ■ -

360 с

5^ Наймарк, MA^ Линейные дифференциальные операторы I MA^ Наймарк - M^: Наука, 1969^ - 528 с

6^ Zalyapin, VT Inverse problem of the measurements theory I V^L Zalyapin, RV^ Kharitonova, S^ Ermakov II Inverse problems, Design and Optimization Symposium, Miami, Florida, USA^ - April 16-18, 2007^ - R 91-96^

Поступила в редакцию 7 октября 2011 г.

THE INVERSION PROCEDURE FOR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION’S LINEAR BOUNDARY PROBLEM

Yu.S. Asfandiyarova1

Differential equations with boundary conditions specified with linear functionals are considered^ Solvability of this problem was analyzed^ A new technique for computational procedure was described^ Keywords: differential equation, boundary problem, non-local boundary conditions, Green function.

References

1 ■ Granovskii VA^ Dinamicheskie izmereniia: Osnovy metrologicheskogo obespecheniia (Dynamic measurements: Principles of metrological support) Leningrad, Energoatomizdat, 1984^ 224 p^ (in Russ^

2^ Ivanov V^, Vasin V/V^, Tanana VP^ Teoriia lineinykh nekorrektnykh zadach i ee priloz-heniia (Theory of linear ill-posed problems and its applications) Moscow, Nauka, 1978^ 206 p^ (in Russ^

3^ Tikhomirov VM Nekotorye voprosy teorii priblizhenii (Some questions in approximation theory) Moscow, Izdatel'stvo Moskovskogo universiteta, 1976^ 304 p^ (in Russ^

4^ Schaefer H Topological vector spaces. Macmillan, 1966, 294 p^ [Schaefer H Topologiches-kie vektornye prostranstva (Topological vector spaces) Moscow, Mir, 1971 ■ 360 p^ (in Russ■)■]

5^ Naimark MA^ Lineinye differentsial'nye operatory (Linear Differential Operators) Moscow, Nauka, 1969^ 528 p^ (in Russ■)■

6^ Zalyapin V^L, Kharitonova H/V^, Ermakov S^ Inverse problem of the measurements theory^ Inverse problems, Design and Optimization Symposium, Miami, Florida, USA. April 16-1S, 2QQ7. pp^ 91-96^

1 Asfandiyarova Yuliya Sagitovna is Post-draduate Student, Mathematical Analysis Department, Faculty of Mechanics and Mathematics, South №al^tate^niversity._e-mail:^sfandiyarova@listru^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^_^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^